SKKN HAY: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phương trình và hệ phương trình, trong chừng mực nào đó đến giới hạn ‘tuy còn ẩn tàng’ và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến thức hàm số và đồ thị, v.v…

Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs

A - lời nói đầu

C

ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em

học sinh ở bậc học này ở cấp 3 (THPT), để giải quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm

giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng

phải dùng đến ‘công cụ cao cấp’ của toán học: đạo hàm của hàm số

ở cấp THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc phép dùng ) “công

cụ cao cấp” của toán học nói trên, nên ngời ta phải bằng các cách giải thông minh nhất,

tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở cấp THCS để

giải quyết bài toán loại này Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS góp phần không

nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh ở cấp học này

Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất

các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng

nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở

cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ năng biến đổi

đồng nhất " các biểu thức đại số

Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến

thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình và hệ phơng trình, trong chừng

mực nào đó đến giới hạn ‘tuy còn ẩn tàng’ và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến

thức hàm số và đồ thị, v.v…

Về mặt t tởng các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức

thực tế của đời sống xã hội, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những

công việc đạt đợc hiệu quả cao nhất, tốt nhất

Tóm lại, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS là các bài toán tổng hợp các kiến

thức và kỹ năng tính toán, kỹ năng t duy ở cấp học này, nó rất cần thiết cho việc bồi

d-ỡng học sinh giỏi toán ở cấp THCS và cũng là tài liệu tự bồi dd-ỡng của đội ngũ giáo viên

ở cấp THCS

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số còn gọi là bài toán cực trị

Đại số Các em không thờng gặp bài toán dạng này trong các sách giáo khoa môn Toán,

bởi chúng là các bài toán khó Các bài toán cực trị thờng yêu cầu các em vận dụng nhiều

kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng

phán đoán Nó lại thờng có nhiều con đờng đi đến đích bằng cách vận dụng nhiều kiến

thức khác nhau Trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lí Viêc giải toán cực trị giúp

học sinh có thói quen đi tìm phơng án tối u khi giải quyết các công việc trong đời sống,

kỷ thuật

Trong phần trình bày tôi giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng khi giải bài toán

cực trị và một số bài bài tập áp dụng các kiến thức đó Tôi hy vọng với phần trình bày

này sẽ giúp các em bớt khó khăn, tiến tới tự mình giải đợc các bài toán dạng này và khi

đó chắc chắn các em sẽ thấy là những bài toán thú vị

B - Nội dung nghiên cứu

I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất

Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí

hiệu : M = maxf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn :

- Với mọi x thuộc D thì f(x) ≤ M, với M là hằng số

- Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M

2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất

Cho biểu thức f(x) xác định trên D Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu :

m = minf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn :

- Với mọi x thuộc D thì f(x) ≥ m, với m là hằng số

- Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m

Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ nhất của biểu

thức f(x,y, ) bằng cách tơng tự

II Các phơng pháp

Ph

ơng pháp 1 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x)  0 ( hoặc A(x)  0 )

a) Cơ sở lí luận

- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng thì số 0 có giá trị

lớn nhất

- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm thì số 0 có giá trị

nhỏ nhất

Từ đó, có thể suy ra rằng trong tập hợp M ={A(x) A(x)  0 } thì A(x) đạt giá

trị nhỏ nhất khi A(x) = 0, và trong tập hợp N = {B(x) B(x)  0 } thì B(x) đạt giá trị lớn

nhất khi B(x) = 0

b) Các thí dụ

Thí dụ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A(x) = 2x2 - 8x + 1, trong đó x là biến số lấy các giá

trị thực bất kì

Giải : A(x) = 2x2 - 8x + 1 = 2x2 - 2.4x + 1 = 2( x2 - 2.2x + 4 - 4 ) + 1

= 2 ( x - 2 )2 - 7

Với mọi gí trị của x, ( x-2)2  0 nên ta có A(x) = 2( x - 2)2 - 7  -7

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7, khi đó x = 2

Đáp số : A(x)(nhỏ nhất) = -7, với x = 2

Thí dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x) = -5x2 - 4x + 1, trong đó x là biến số lấy giá trị

thực bất kì

Giải: Ta có : M(x) = -5x2 - 4x + 1 = -5( x2 +

5

4

x ) +1

= -5( x2 + 2

5

2

x +

25

4

-

25

4

) + 1

= -5( x +

5

2

)2 +

5 9

Ta thấy ( x+

5

2

)2  0, với mọi giá trị x nên -5(x +

5

2

)2  0

Từ đó suy ra rằng M(x) = -5( x +

5

2

)2 +

5

9



5 9

Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) =

5

9

, lúc đó x =

5

2



Đáp số : M(x)(lớn nhất ) =

5

9

, khi x =

5

2



Ph

ơng pháp 2 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu

thức đại số bằng cách đa về dạng (2)

k

x A

 0 ( hoặc (2)

k

x A

 0 )

Thí dụ 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =

x

x x

3

16 15 2



 , với x thuộc miền số thực dơng

Giải : Ta có : A(x) =

x

x x

3

16 15 2



x

x x

x

3

23 16 8 2





x

x x

3

23 ) 4 (  2 

Vì x > 0, nên ta có : A(x) =

3

23 3

) 4 ( 2





x x

Với x> 0, thì ( x - 4 )2 ≥ 0, do đó A(x) =

3

23 3

) 4 ( 2





x

x ≥ 233

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) =

3

23

, lúc đó x = 4

Đáp số : A(x) (nhỏ nhất ) =

3

23

với x = 4

Thí dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số M(x) =

3 2

10 6 3

2 2









x x

x

x  R

Giải:

Ta có:

M(x) =

3 2

10 6 3

2

2









x x

x

2 ) 1 (

1 3

3 2

1 3

3 2

1 ) 3 2 ( 3 3 2

1 9 6 3

2 2

2

2 2

2







































x x

x x

x

x x x

x

x x

(vì x2 + 2x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 > 0)

Mặt khác, vì ( x + 1 )2 ≥ 0, xR nên ( x+1 )2 + 2 ≥ 2, xR, và do đó

2

1 2

)

1

(

1





x Từ đó ta có M(x) = 3 +   



1 3 2 ) 1 (

1 2

2 1

Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 3

2

1

, lúc đó (x+1)2 = 0, hay x=-1

Đáp số : M(x)(lớn nhất )= 3

2

1

, với x=-1

Thí dụ 5.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : F(x,y) =

2 2

1 ) ( 2 4 4 2

2 2 2













x y y x

x y y xy

, với x,y  R

Giải : Ta có F(x) =

2 2

1 ) ( 2 4 4 2

2 2 2













x y y x

x y y xy

=

2

1 ) 2 )(

1 (

1 2

) 2 (

1

2 2

4

4 2

2 4

2 4 2

























x x

y

y x

x y

x y y xy

( vì y4+ 1

≠ 0, y  R )

Mặt khác x2 ≥ 0, x  R nên x2 + 2 ≥ 2, x  R do đó F(x,y) =

2

1 2

1

2 



Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn nhất khi F(x,y) =

2

1

, lúc đó x = 0

Đáp số : F(x,y) ( lớn nhất ) =

2

1

; với x = 0, y  R

Ph

ơng pháp 3 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách

áp dụng bất đẳng thức Côsi

a) Cơ sở lí luận :

Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới các dạng khác nhau dới đây ( chỉ áp dụng với các số

không âm )

1 Dới dạng căn thức :

1) a b a.b

2 



2) 3

3 a b c

c b a







3) Một cách tổng quát: n

n

n

a a

a a

.

3 2 1 3

2 1











2 Dới dạng luỹ thừa :

1) a b a.b

2

2













 

2) a b c a.b.c

3

3













  

n

n

a a

a a

.

3 2 1 3

2 1













    

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Chứng minh rằng nếu hai đại lợng dơng x và y có tích luôn luôn không đổi thì tổng

của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau

Giải

Từ bài toán trên, ta phải chứng minh rằng với x > 0, y > 0, và xy = k2 (không đổi) thì

x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y

Thật vậy

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có : x y xy









  2

2 hay ( x+y)2  4xy hay x+y  4 xy

Theo giả thiết : Ta có xy = k2 (không đổi), nên ta có :

x + y 2 k2 2k



 (*) Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k

Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = 2 xy khi và chỉ khi x = y Vậy x + y = 2k khi và

chỉ khi x = y

Tóm lại :

Bài toán tìm giá trị lớn nhất

Với x > 0, y > 0 và xy = k2 (không đổi ), thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

Chứng minh rằng, nếu hai đại lợng dơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá

trị lớn nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau

Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tơng tự ở trên)

Tóm lại

Với x > 0, y > 0 và x + y = k2 (không đổi ) thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán trên để giải các bài toán về cực trị đại số

Thí dụ 6

Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =

x

x 2

8 2

 , với x > 0

Giải : Ta có : A(x) =

x

x 2

8 2  = 8x +

x

2

Ta thấy 8x và

x

2

là hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích của chúng 8x

x

2

=

16 luôn luôn không thay đổi

Vậy A(x) = 8x +

x

2

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x =

x

2

hay 8x2 = 2

Từ đây, ta tính đợc x2 =

4

1

, suy ra x =

2

1

hoặc x =

2

1

 Kết hợp với điều kiện x > 0, ta

chỉ lấy giá trị x =

2

1

Với x =

2

1

; A(x)( nhỏ nhất ) = 8

2

1

+

2 1

1

= 4 + 4 = 8

Đáp số : A(x)( nhỏ nhất ) = 8; với x =

2

1

Thí dụ 7:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số B(x) =16x3- x6, với x thuộc tập hợp số thực

d-ơng

Giải:

Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc các bài toán áp dụng bất đẳng thức

Côsi

Từ B(x) = 16x3 - x6 , ta có : B(x) = x3(16 -x3 ) Rõ ràng x3 > 0; còn 16 - x3 > 0

khi 16 > x3 hay x < 3 16(*)

Đến đây ta nhận thấy rằng x3 và 16 - x3 là hai đại lợng biến đổi nhng tổng của chúng x3+

(16-x3) = 16 luôn luôn không thay đổi, vậy tích của chúng B(x) = x3(16-x3) đạt giá trị lớn

nhất khi và chỉ khi x3 = 16 - x3 Từ đây ta có : 2x3 = 16 hay x3 = 8 Ta tính đợc

x = 2 Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*)

Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2.

B(x)( lớn nhất ) = 16 23-26 =(16-23).23 = 8 8 = 64

Đáp số: B(x)( lớn nhất ) = 64, với x = 2

Ph ơng pháp 4 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

Thí dụ 8 Với giá trị nào của x thì biểu thức

P(x) =

5 2

356 80

56 16

4

2

2 3

4













x x

x x

x

x , đạt giá trị nhỏ nhất.

G iải

Đây là một bài toán rất khó giải đối với học sinh Bởi vì trong bài toán còn ẩn tàng cả

phép giải phơng trình, xét các dấu hiệu có thể áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay

không, ngoài ra việc biến đổi đồng nhất để rút gọn đợc biểu thức không phải không có

khó khăn

1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng đợc các bài toán về bất đẳng

thức Côsi

Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức thành tích các nhân tử và

sau đó rút gọn Cách này khá dài dòng và gặp không ít khó khăn

Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thức

4x4 + 16x3 + 56x2 + 80x + 356

4x4 + 8x3 + 20x2

Kết quả ta đợc :

P(x) = 4x2 + 8x + 20 +

5 2

256

2



 x x

Vì x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x+1) 2 + 4 > 0 (*), nên P(x) luôn luôn xác đinh với

mọi giá trị x

2) Đặt ẩn phụ để đa về xét biểu thúc có dạng đơn giản hơn

Từ P(x) = 4x2 + 8x + 20 +

5 2

256

2



 x

x , ta có : P(x) = 4 ( x

2 + 2x + 5 ) +

5 2

256

2



 x x

Đặt y = x2 + 2x + 5, ta có :

P(x) = 4y + 256y , và y = x2 + 2x + 5 > 0 với mọi x

4y và 256y là các đại lợng luôn lấy giá trị dơng và có tích bằng 1024 ( không đổi ) Vậy

tổng 4y + 256y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 4y = 256y

x2+ 2x +5 4x2 + 8x + 20

0 + 8x 3 + 36x 2 + 80x +356

8x 3 + 16x 2 + 40x

0 + 20x20x0 + 0 + 2562 2 + 40x + 100 + 40x + 356

Từ đây ta đợc y2 = 64.

Giải phơng trình y2 = 64, ta đợc y = 8 hoặc y = -8

Từ trên , vì y > 0 nên ta chỉ lấy giá trị y = 8

Với y = x2 + 2x + 5 = 8, giải phơng trình bậc hai này ta đợc x = -3 , x = 1

Vậy P(x) lấy giá trị nhỏ nhất khi x = -3 hoặc x = 1 ( ứng với y = 8 ), ta tính đợc :

P(x) = 4.8 +

8

256

= 64

Đáp số : P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64 khi x = -3 hay x = 1.

Thí dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số sau :

Q(x) = ( x2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x2 + 2 ), với x  R

Giải: Nhận xét về các hệ số của ẩn x, ta thấy rằng 4x - 2x2 = 2 ( 2x - x2 ) = -2( x2 - 2x)

Do đó đặt x2 - 2x + 2 = y thì ta có : 4x - 2x2 + 2 = -2( x2- 2x + 2) + 6 = -2y + 6

Vậy Q(x) = ( x2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x2 + 2 ) = y ( 6 - 2y )

Ta liên tởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất khi tổng của chúng không đổi ở đây y và

6 - 2y thoả mãn điều kiện trên vì thế để tìm giá trị lớn nhất của Q(x) ta chuyển sang tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2.Q(x)

Ta có P(x) = 2.Q(x) = 2.y( 6 - 2y)

Ta thấy y = x2 - 2x + 2 = ( x - 1 )2 + 1 > 0, 6 - 2y > 0 khi 6 > 2y hay y < 3

Ta lại có 2y + ( 6 - 2y ) = 6 không đổi

Vậy P(x) = 2.Q(x) đạt giá trị lớn nhất khi 2y = 6 - 2y, lúc đó y =

2

3

( thoả mãn ĐK )

Vậy P(x) Lớn nhất = 2

2

3

( 6 - 2

2

3

) = 3.3 = 9

Q(x) Lớn nhất =

2

9

= 4,5

Lúc đó y =

2

3

, hay x2 - 2x + 2 =

2

3

Giải phơng trình bậc hai ta đợc : x = 1 

2

2

Đáp số : Q(x) Lớn nhất = 4,5 ; với x = 1 

2

2

Ph

ơng pháp 5 - Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức chứa nhiều đại lợng.

Thí dụ 10

Tìm giá trị của m và p sao cho : A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ

nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Giải : Ta có A = ( m2 - 4mp + 4p2 ) + ( p2 - 2p + 1 ) + 27 + 10m - 20p

= ( m - 2p )2 + ( p - 1 )2 + 27 + 10( m - 2p )

Đặt X = m - 2p, ta có :

A = X2 + 10X + ( p - 1 )2 + 27 = ( X + 5 )2 + ( p - 1 )2 + 2

Đến đây, ta thấy rằng ( X + 5 )2  0, m, p  R; ( p -1 )2  0 ,  p  R, do đó A đạt

giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0

Lúc đó , 







 1 5

p

X

, hay 









 1

5 2

p

p m

 







 1 3

p m

Vậy A ( Nhỏ nhất ) = 2 ; với p = 1; m = -3

Thí dụ 11 Với giá trị nào của x và y, biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất ?

F(x,y) = x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Giải: Ta có F(x,y) = x2 + 26y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = ( x2 - 10xy + 25y2 ) + ( y2 - 6y

+ 9 ) + ( 14x - 70y ) + 50 = ( x - 5y )2 + ( y - 3 )2 + 14( x - 5y ) + 50

Đặt Z = x - 5y, ta có :

F(x,y) = Z2 + ( y - 3 )2 + 14Z + 50 = ( Z + 7 )2 + ( y - 3 )2 + 1

Vì ( Z + 7 )2  0 và ( y - 3 )2  0 với mọi giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất khi

( Z + 7 )2 = 0 và ( y - 3 )2 = 0 Từ đó suy ra Z = -7, y = 3 hay 









 3

7 5

y

y x











3

8

y

x

Đáp số : F(x,y) nhỏ nhất = 1, với x = 8, y = 3

Ph

ơng pháp 6- Phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số có hệ ràng buộc ( thoả mãn

một hệ các điều kiện nào đó )

Thí dụ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x,y) = 6x + 4y thoả mản điều kiện :









0

21 6

y

x y

Giải: Vấn đề quan trọng và then chốt là ta phải tìm ra từ biểu thức đã cho P(x,y) = 6x +

4y ta làm xuất hiện đợc các yếu tố ràng buộc đã cho

Từ P(x, y) = 6x + 4y, với x > 0, y > 0 nên 6x > 0, 4y > 0 và do đó

P(x,y)2  ( 6x 4y) 2  4 ( 6x).( 4y)( áp dụng bất đẳng thức Côsi )

Từ đó P(x,y)2  4 6 4 xy  96 xy. Đến đây ta làm xuất hiện tích xy

Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy ra P(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất là:

P(x,y) = 96 216 = 144

Đáp số : P(x,y) nhỏ nhất = 144

Thí dụ 13 Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ

nhất Biết rằng x, y, z thoả mãn hệ ràng buộc sau đây :



















0

4 3

4 3

6 3

2

z

y

z y

x

z y

x

Giải: Từ điều kiện 













4 3 4 3

6 3 2

z y x

z y x

, trớc hết ta tính x, y theo z, ta đợc













(**) 2

3

(*) 3

4

z

y

z

x

Để x  0 thì 4 - 3z  0, suy ra z 

3 4

Để y  0 thì 3z - 2  0, suy ra z 

3 2

Để x  0 và y  0, phải có điều kiện :

3

2

 z 

3

4

(***) Thay các giá trị của x,y từ (*) và (**) vào biểu thức đã cho ta đợc F(x,y,z) = 2(4 -3z) +

3(3z - 2) - 4z = 2 - z

Nh vậy F(x,y,z) chỉ còn phụ thuộc vào giá trị của z F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi z

đạt giá trị lớn nhất Nhng từ ràng buộc, z chỉ có thể lấy các giá trị trong khoảng xác định

3

2

 z 

3

4

mà thôi

Từ đó suy ra : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất với hệ ràng buộc đã cho khi z =

3

4

Từ đó ta tính đợc x = 4 - 3z = 4 - 3

3

4

= 0; y = 3z - 2 = 3

3

4

- 2 = 2

Và F(x,y,z) nhỏ nhất = 2 -

3

4

=

3

2

Đáp số : F(x,y,z) nhỏ nhất =

3

2

; với x = 0, y = 2, z =

3

4

Thí dụ 14 Cho biểu thức đại số sau : P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 ; với x1, x2, x3, x4, x5

là các đại lợng lấy giá trị không âm

Hãy tìm giá trị lớn nhất của P, biết rằng : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1

Giải: Từ P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 , và vì x1x4 + x2x5  0, ta có :

P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5  x1x2 + x2x3 + ( x1x4 + x2x5 ) + x3x4 + x4x5

Biến tổng thành tích ta đợc :

P  x2 (x1 + x3 + x5 ) + x4(x1 + x3 + x5) hay P  (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 )

Đến đây ta nhận thấy rằng :

Do giả thiết các xi ( i = 1,2,…,5) ,5)  0 nên các tổng (x1 + x3 + x5) và tổng (x2 + x4) là đại

lợng không âm

Đặt U = x1 + x3 + x5 ; V = x2 + x4

Ta có : U  0, V  0 và U + V = 1

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : U V U.V

2 



hay U V U.V

2

2













 

 1 3 5 2 4

2 5 4 3 2 1

x x x x x



















    

(1)

Ta lại có : (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) = x1x2 + x2x3 + x1x4 + x2x5 + x3x4 + x4x5

Suy ra (x1 + x3 + x5 )(x2 + x4)  x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : 1 2 2 3 3 4 4 5

2 5 4 3 2

2     







x x x x x