Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh trung học cở sở

Sáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH THCS"... CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMSáng kiến kinh nghiệm: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN C

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014

Sáng kiến kinh nghiệm:

"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

CHO HỌC SINH THCS".

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Sáng kiến kinh nghiệm:

"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

CHO HỌC SINH THCS".

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tượngnhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đờisống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinhgiải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo, mà quan trọng là hình thành cho họcsinh phương pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạtđộng, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quanđến nó thì vô cùng rộng rãi Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị

có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học Học sinh từlớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như: “Tìm số

x lớn nhất sao cho ” , “Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức " Nhưngkhi giải có thể giáo viên không dạy phương pháp tổng quát hoặc có dạy nhưng họcsinh không được tiếp thu theo hệ thống dạng toán

Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9, dạy họcsinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy: khi gặp toáncực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách giải dạngtoán này

Do vậy, tôi nghĩ rằng cần phải hình thành một cách có hệ thống các dạngbài toán cực trị đại số và phương pháp giải để dạy học sinh Giúp học sinh nắmđược phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số thường gặp trong trườngTHCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải các dạng toán trên Từ đó phục vụ tốtcho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi giảitoán cực trị đại số

Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòithử nghiệm với các đối tượng học sinh đại trà và ôn thi Được sự khuyến khích,giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường, ở trường bạn vậy nên tôi

đã mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải bài toán cực trị Đại

số cho học sinh THCS”

1.2 Điểm mới của đề tài.

Trong những năm gần đây bản thân tôi được nhà trường phân công dạy bồidưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi môntoán 9 Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng ngay từ đầu năm học bản

thân tôi luôn đưa vào chương trình dạy chuyên đề về cực trị đại số song hiệu quảdạy học chuyên đề này vẫn chưa cao Chính vì vậy điểm mới trong đề tài này làđưa ra các phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS Trong mỗiphương pháp đó tôi đưa ra 3 nội dung là phần lý thuyết cơ bản, bài tập áp dụng vàbài tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho các em.

1 3 Phạm vi áp dụng đề tài.

Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp chomột số dạng toán cực trị đại số thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng họcsinh tại một trường THCS ở huyện Lệ Thủy – Quảng Bình

2 PHẦN NỘI DUNG.

2.1 Thực trạng.

Trong những năm qua, thực tế giảng dạy môn Toán học sinh từ lớp 6 đến lớp

9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy:khi gặp toán cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cáchgiải Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào vì thế sốđông học sinh thường bỏ qua, một số ít học sinh thì có làm nhưng thiên về biếnđổi, đơn giản biểu thức nên không đi đến kết quả hoặc cho kết quả sai

Nguyên nhân của vấn đề trên là do toán cực trị không phải là dạng toánthường gặp, muốn giải được nó thì cần phải tổng hợp được nhiều kiến thức, trong

đó có những kiến thức nâng cao, ít được đề cập đến trong chương trình, sách giáokhoa bậc THCS Do vậy học sinh không nắm được các dạng toán cực trị vàphương pháp giải tổng quát cho từng dạng toán, dẫn đến kết quả là bài kiểm trathường bị điểm thấp Qua khảo sát năng lực học sinh đối với việc giải toán cực trịđại số trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau:

Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực xE R, khi đó nếu E khôngrỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dưới đúng

m của E ( m = infE ) hoặc cả hai Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E.Khi ME (hoặc mE) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) đây là cách viết tắt

theo chữ Latin (max = maximum, min = minimum ) mà trong trường phổ thông tathường gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).

Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồngthời cả hai điều kiện :

9 ) 25

4 5

4 (

khi x=-52 Do đó maxB = 59 khi x=-52

Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, min có thể học sinh mắc sai lầm

Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9  - 9 vì (x-1)2

 0 và (x-3)2

0  minA = -9 nhưng không tồn tại x thoả mãn điều đó Ta cần làm như Bài 1a)

Bài số 2.

8023 )

2

1 2006

4

8027 2

Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1

.Vậy minE = 1 khi x=y=2

Bài số 5.

Tìm min của F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012

Giải : Tập xác định của F là IR3

Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006

0 2

0 1

z y z

z x

z y x

Vậy min F = 2006  x=y=z=1

2 4 ) 1 3 (

2 4

1 4 ) 1 3 (

1

2 2

6 8 3 2 2

x x

.Giải :

Tập xác định của H là R\ {1}

) 1 (

) 2 ( 2 1

2

) 4 4 ( ) 2 4 2 (

2

2 2

2 2

x

x x x

* Tìm min I

1

) 2 ( 1

1 4

4

2

2 2

2 2

x x

1 4 4 4 4

2

2 2

2 2

x x

Giải :

Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2

Có nhiều cách giải ở đây, ví dụ :

K = x2 + (1-x)2 = ) 12 12

2

1 (

17 6 3

x

x ; b) G =

9

12 27 2

3 8 2





x x

2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối.

Ta có : B = ( x 1  1 )2  ( x 1  1 ) 2  x 1  1  x 1  1  x 1  1  x 1  1  2Suy ra max B = 2 khi (( x 1  1 )( x 1  1 )  0  x 0 (thoả(*))

b) F =

4

1 4

chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA, minA

x

Giải :Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm :

1 0 ) 3 )(

1 3 ( 0 ) 1 ( 4 ) 1

Với a31 thì x = 1, với a=3 thì x = -1

Kết hợp hai trường hợp trên ta có : min A = 1

3

1



 x ; maxA = 3  x=-1

Bài số 2.

Tìm max, min của B =

x x

x x





 2

Giải :Điều kiện để B có nghĩa là x  0 ;x 1 (*)

B nhận giá trị m  phương trình m =

x x

x x





 2

1 ( 20 ) 3

maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B =  7  2 15 khi x=

41 16 2

x x

; b) D = 2

2

) 1 2 (

1 6 4

a a

3 2 1 3

2 1

a a

Từ đây ta dễ dàng suy ra :

i) Nếu a1 a2 a3 an = A không đổi thì n

a a

a

a1 2  3   và do đó :

min n

a a

0 2

0 2

2 2

2 2

2 2

ca a

c

bc c

b

ab b

c b

b d c

b

1 1 ( ) 1

1 1 ( ) 1

1 )(

1 (

3

d c b

1 )(

1 (

3 1

1 )(

1 (

3 1

0 ) 1 )(

1 )(

1 )(

1 )(

1 (

81 )

1 )(

1 )(

c b

Giải :

4 2

1 2

1 ) ( ) 1 )(

b a b

b a a

3 1 4 1 ) 1 )(

(

4 2

1 2

1 )

b b

c

2 2

4 3

 bc a ca b c

ab

.Giải :

Ta có :

2 2 2

2 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 2

c

3 2 2

3 ) 3 ( 3 3 ) 3 ( 2

a

4 2 2

4 ) 4 ( 4 4 ) 4 ( 4

1 3 2

1 2 2

4 3 3 2 2

b c b

c

Vậy max C = 14

3 2

1 2 2

c b a a c

c b a c b

c b a b a

c a

c

b c

( 2

Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab).

Cho a,b là những số không âm và a+b = 1

Tìm max của C = 16ab(a-b)2

2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki

A Lí thuyết cơ bản.

Cho a1, a2, a3, , an và b1,b2,b3, , bn là 2n số thực tuỳ ý Khi đó ta có :

Dạng 1 : (a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) ( a1b1+ a2b2+a3b3+ +anbn)2 (1)

a b

2

a n a

x a

1

.ii) Nếu x12+x22+ +xn2 = C2 thì

max (a1x1+a2x2+ +anxn) = 2 2

2 2

1 a a n a

2

2 1

x a

x

min (a1x1+a2x2+ +anxn) = - 2 2

2 2

1 a a n a

2

2 1

x a

; 35

= 51[(a+4)y +3 ]2  0 nếu a - 4 hoặc 59 nếu a =- 4

Vậy : nếu a - 4 thì min C = 0 ; nếu a = - 4 thì max C = 59

,

1 3 2

a Tìm min D = a2+b2+c2

Giải :Theo BĐT B-C-S ta có :

4 2

2 2

2

3

1 ) 3 2 1 )(

( 3

1 ) (

b a c

4

0 ,

a  

2 2

2 2

yv xu

v u

y x

2 2

3.1.1 Đối với học sinh.

-Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuấtphát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên Nguyên nhân chính ở đây

là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũngchỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêutrên Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không rađến kết quả cuối cùng

- Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các emhọc sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầubiết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú họctoán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các

em trong quá trình tự học

Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt Sau đây là bảngthống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng đề tàivào giảng dạy :

3.1.2 Đối với bản thân :

Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trongkhâu phải giải thích dạng toán và hướng dẫn làm bài tập cho học sinh (phần lớn

các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làmviệc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau khi sửdụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện radạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm,phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.

Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vàokhông khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số kinhnghiệm của ḿnh để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chấtlượng giảng dạy trong nhà trường Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót.Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộngrãi trong học sinh Xin chân thành cảm ơn !

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BẢN XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THCS SƠN THỦY

Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy

Tên đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh

THCS”

Nhận xét của HĐKH trường THCS Sơn Thủy:

Đề tài được cập nhật nhiều điểm mới, được áp dụng vào thực tiễn đạt hiệuquả cao

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG LỘC

Điểm:………

Nhận xét:

Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012 ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH

Điểm:………

Nhận xét:

Quảng Lộc, Ngày tháng năm 2012

Tài liệu tham khảo

Tên tài liệu Chủ biên ( Tác giả )

1 Bất đẳng thức và toán cực trị Trần Đức Huyên

2 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II Nguyễn Vũ Thanh

3 Nâng cao và phát triển toán 8 T1, 2 Vũ Hữu Bình

4 Nâng cao và phát triển toán 9 T1, 2 Vũ Hữu Bình

5 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phan Huy Khải

7 Bất đẳng thức chọn lọc cấp II Nguyễn Vũ Thanh

8 Các bài viết liên quan trên mạng Internet