Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, những dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cách tư duy trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua các phương pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực tư duy logic, độc lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển nhân cách của học sinh.

Trang 1

Mục lục

Trang

A phần Mở đầu 2

i Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm 3

III Nhiệm vụ nghiên cứu 3

IV Đối tợng và phạm vi nghiên cứu 3

v Phơng pháp nghiên cứu 4

B NộI DUNG Chơng 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị

Chơng 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phơng pháp hình học C KếT LUậN Và KHUYếN NGHị

D TàI LIệU THAM KHảO

Trang 2

Để giải quyết nó đòi hỏi ngời học toán và làm toán phải linh hoạt và vậndụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trớc một bài toán cựctrị thì mỗi ngời đều có một hớng xuất phát riêng của mình Nói nh vậy có nghĩa

là có rất nhiều phơng pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán cực trị Điềuquan trọng là ta phải lựa chọn phơng pháp nào cho lời giải tối u của bài toán.Thật là khó nhng cũng thú vị nếu ta tìm đợc đờng lối đúng đắn để giải quyết nó Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, nhữngdạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng

là hình thành cách t duy trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua cácphơng pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực t duy logic, độc lập sáng tạo

để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển nhân cách của họcsinh

Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi xây dựng đề tài :

Một số

“Một số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số”

Từ đó giúp những ngời học toán và làm toán có thêm công cụ để giảiquyết các bài toán cực trị

II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm

-Giúp cho học sinh có cái nhìn khái quát về các phơng pháp tìm cực trị của hàm số, từ đó hình thành nên các phơng pháp giải toán

-Góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy bộ môn theo hớng phát huy tínhtích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh Góp phần nâng cao chất lợng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trờng THPT

-Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dỡng kiến thức cho học sinh

- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn

đồng nghiệp trong việc bồi dỡng HSG, luyện thi ĐH, CĐ

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt tốt kết quả của đề tài, ngời nghiên cứu phải làm đợc những yêu cầu sau:

Trang 3

- Phải nắm thật vững những vị trí, mục tiêu, đặc điểm và hệ thống chơng trình toán học ở bậc THPT.

- Có cái nhìn khái quát về lý thuyết của bài toán cực trị của hàm nhiều biến

ở bậc đại học áp dụng vào toán học THPT dới góc nhìn toán học sơ cấp

Từ đó góp phần giúp giáo viên THPT hiểu đợc bản chất của vấn đề, để áp dụng vào từng đối tợng học sinh một cách có hiệu quả nhất

- Nâng cao dần trình độ học toán và làm toán của học sinh THPT đáp ứng

đợc nhu cầu của xã hội trong thời kỳ CNH, HĐH đất nớc

IV Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tợng “Một sốMột số phơng pháp giải bài toán cực trị của hàm số” ở trờng

THPT

- Phạm vi nghiên cứu là học sinh khối lớp 10 trờng THPT Yên Lãng

Sáng kiến kinh nghiệm gồm 2 chơng

Chơng 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị

Chơng 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phơng pháp hình học

Trong các chơng thì sau phần trình bày lý thuyết là một số bài tập đa ranhằm minh họa cho lý thuyết đã đa ra ở trên

Trang 5

Tuỳ từng dạng bài của hệ 1.1 , 1.2 mà ta có điều kiện có nghiệm thích  

hợp Trong nhiều trờng hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn sẽ đa về

dạng)  y0  (1.3)Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x), nên từ (1.3) thu đợc

min f x  và maxf x 

Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nếu dùng phơng pháp

này, ta quy về việc tìm điều kiện để một phơng trình (thêm điều kiện phụ) có

nghiệm

1.2 Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nh sau:

Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Trang 6

    thì (1.5) là phơng trình bậc hai đối với x Do đó

(1.5) có nghiệm khi và chỉ khi 2

Lớp 10A1 có 18/45 học sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh có lời giải sai

và 12 học sinh không có lời giải

Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai

Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số ở mức

độ trung bình khá và chỉ một số học sinh có lời giải đúng Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm và một số không định hớng đựơc cách giải

Để khắc phục những sai lầm trên ta làm nh sau :

Bớc 1: Nêu phơng pháp chung để làm bài toán cực trị của hàm phân thức.Bớc 2: Cung cấp cho học sinh cách giải và biện luận phơng trình bậc 2Bớc 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phơng trình bậc 2

Bớc 4: Cung cấp cho học sinh cách giải bài toán so sánh nghiệm

Bớc 5: Phân tích những sai lầm gặp phải khi gặp mỗi dạng toán

Sau khi đa ra các nhận xét trên và cho học sinh làm bài tâp 1.2 ta thu đợc kết quả ở các lớp nh sau:

Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Trang 7

Lấy y thuộc miền giá trị của hàm số khi đó 0 $ ẻ Ăx để sao cho phơng trình





y x

Kết quả thu đợc ở các lớp nh sau:

Học sinh còn lúng túng khi coi y là hằng số x là biến số Thứ hai, khi nhân

2 vế đa về phơng trình bậc 2 Tìm điều kiện có nghiệm của phơng trình học sinh

ở lớp 10A2, 10A4 còn lúng túng

Tất cả các lời giải sai đều mắc phải một trong các nhận xét trên Ngoài ra học sinh còn không chỉ ra max, min đặt tại đâu Các học sinh không có lời là do không biết cách biện luận phơng trình bậc 2

Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 học sinh có lời giải sai (77,8%-22,2%)

Lớp 10A2 có 28 học sinh có lời giải đúng( 62.2%); 12 lời giải sai (26,7%)

và 5 học sinh không có lời giải (11,1%)

Lớp 10A4 có 25 học sinh cho lời giải đúng(54,3%), 14 học sinh có lời giảisai (30,4%) và 7 học sinh không có lời giải(15,3%)

Bài toán 2 là một bài toán tơng tự bài toán 1, sau khi đợc hớng dẫn phơng pháp tìm cực trị đã có nhiều học sinh làm đợc, bên cạnh đó còn nhiều học sinh làm sai và không biết làm

Nhận xét : Phơng pháp miền giá trị có thể áp dụng để tìm Ymax, Ymin các

Từ những phân tích trên cho học sinh làm một số bài tập áp dụng nh sau:

Bài tập 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

 

2 2

Trang 9

Bµi 1.4 ( ta më réng cña bµi 1.3) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè

Trang 10

Ymax=1 đạt đợc khi x = 0 , Ymin = 3-2 2 đạt đợc khi x= 2

* Nếu y0 = 1 thì (1.13) có nghiệm khi p0 hoặc p = 0 và q = 1

* Nếu y0  thì phơng trình ( 1.13) có nghiệm khi 0   0

(1.14) theo ẩn y0 là t1y0  t2

Kết hợp cả hai trờng hợp thì ta thấy phơng trình (1.13) có nghiệm khi

t y  trong đó tt 1, t2 là hai nghiệm của phơng trình (1.15)

Từ đó max f x  t , minf x2    Nh vậy bài toán trở thành: Tìm p ,q để phơngt1

trình (1.15) có hai nghiệm 9 và -1 Theo định lý Viet điều đó xảy ra khi

Trang 11

Bài giải

Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f (x,y) trên miền D Điều đó chứng tỏ

hệ phơng trình sau đây (ẩn x,y ) có nghiệm

Bài tập tơng tự dành cho học sinh về tự làm ( có hớng dẫn)

Bài 1.7 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

Trang 12

Khi đó ta có

2

7t 12t 9y

5t 16t 7



   ,với 0 t 1( Đ/s :ymax=9

là hệ sau đây ( ẩn x, ẩn y) có nghiệm

Từ đây ta tìm miền giá trị t0 của từng hệ nh

vậy bài toán quay về dạng bài 1.6 và ta áp dụng nguyên lý phân rã để tìm tìm giátrị lớn nhất của hàm số

Trang 13

Chơng 2 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phơng pháp hình

học 2.1 Cơ sở lý thuyết

Bất đẳng thức tam giác

1.Với 3 điểm A, B , C bất kì ta luôn có :

+ ABBCAC( Dấu đẳng thức xảy ra  B nằm trong đoạn AC )

+ AB AC BC(Dấu đẳng thức xảy ra  C nằm ngoài đoạn AB )

Cách áp dụng :

+ Đa hàm số đã cho về dạng :   2 2 2 2

f x, y  x a  y b (a, b là các hăng số )

+Sau đó định hệ trục toạ độ, chọn 3 điểm A , B , C có toạ độ xác

định và cuối cùng sử dụng hai bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa hàm số

2 ABC :ABBCACAB BC

2.2

Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp

Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về cực trị

Trang 14

32

12



32



Khi đó ta có

2 2

Trang 15

Dấu “Một số=” xảy ra  CAB , ta thấy OAB CO

Hay f 0   2 2

Vậy: min f x( ) = " ẻ Ă2, x

Nhận xét:

Lớp 10A4 có 2/46 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai và

20 học sinh không có lời giải

Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm căn thức mức độ khá và

đa số học sinh cha có lời giải đúng Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm hoặc cha hình dung ra phơng pháp giải

Bớc 1: Cung cấp cho học sinh phơng pháp tìm cực trị bằng phơng pháp

hình học.( Nh phần lý thuyết đã cung cấp).

Bớc 2:Phân tích cho học sinh khi nào thì áp dụng phơng pháp tìm cực trị

bằng hình học vào đại số( Khi biểu thức trong căn có dạng tổng bình phơng).

Sau khi giáo viên hớng dẫn cho học sinh làm bài tập sau:

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2

1 2

3 x

O

3 2

x y

Trang 16

Sau khi hớng dẫn học sinh và cho làm bài tập 2 đợc kết quả nh sau:

Lớp 10A1 có 40 học sinh cho lời giải đúng (88,9%),5 học sinh có lời giải sai (11,2%)

Lớp 10A2 có 37 học sinh có lời giải đúng (82,2%); 8 lời giải sai (17,8%) Lớp 10A4 có 30 học sinh cho lời giải đúng (65,2%), 11 học sinh có lời giải sai (23,9%) và 5 học sinh không có lời giải (10,9%)

Nh vậy sau khi hớng dẫn phơng pháp tìm cực trị bằng phơng pháp hình học đa số học sinh đã biết vận dụng và làm đợc bài tập

Với phơng pháp trên, sai lầm chủ yếu của học sinh mắc phải là không biếtdụng đa bài toán đại số về bài toán hình học Một số học sinh còn lúng túng khi

đặt các toạ độ tơng ứng để đa về bài toán độ độ dài trong tam giác

Từ những phân tích trên ta cho học sinh áp dụng làm một số bài tập vận dụng

Trang 17

   2  2 2 2  2 2

f x  x 3 25  x 3  1 x 3 5  x 3 1

f 3   5 1

Với x 3 , dựng ABC vuông tại A,AC 5,AB x 3   Trên cạnh AC, ta lấy

điểm D sao cho AD 1 Theo đính lý Pitago, ta có:

Trang 18

  thì điểm M x;y , N z;t nằm trên đờng tròn tại gốc O bán kính   

R 5 trong hệ trục toạ độ Oxy , xét điểm P( 1; 2) Vậy P (1; 2) cũng nằm trên

x2

1O

Trang 19

O 1

Do MNP nội tiếp đờng tròn 0; 5

Mặt khác, một tam giác nội tiếp đờng tròn nếu tam giác đó là tam giác đều thì tam giác đó có chu vi lớn nhất

  max f x;y;z;t  3 30, x;y;z;t  D

Trang 20

Bài giải

Dựng ABCđều với cạnh bằng 1 khi đó:

ABC

3S

4

  .Trên AB, BC, CA ta lần lợt đặt các

Trang 21

Bài tập tơng tự cho học sinh về nhà làm: ( có hớng dẫn)

Bài 2.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 2 2

f(x;y)x yXét trên miền : D(x;y) : x 2y 8 0;x  y 2 0;2x y 4 0

( Đs

( x;y ) D ( x;y ) D

16max f(x;y) 20; min f(x;y)

5

    )

Bài 2.9 Cho hàm số ( ) 2 2

f y = y - 4y+ +8 y - 6y+10 " ẻ Ă yTìm giá trị nhỏ nhất của hàm f y( )

Hớng dẫn Hàm số f y đợc viết lại dới dạng ( )

f y = y- 2 +2 + y- 3 +1Sau đó trong hệ trục toạ độ ta chọn các điểm A1;2 ;B 2;3 ;M 1;y     , áp dụngbất đẳng thức trong tam giác AMBMAB Suy ra giá trị nhỏ nhất của f y( )

( Đs min f y( )= 10

Ă )

Bài 2.10 Cho hàm số ( ) 2 2

f x = x + +9 x +16 " ẻ Ă Tìm giá trị nhỏ nhất xcủa hàm số f x ( )

Hớng dẫn : Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A 0;3 ;B 0;4 ;M x;0     

áp dụng bất đẳng thức tam giác AMBMAB Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất ( Đs minf x( ) =7

Ă )

Bài 2.11 Cho hàm số ( ) 2 2

f x = x - 6x+13+ x - 12x+45 " ẻ Ă Tìm giá xtrị nhỏ nhất của hàm số f x ( )

Hớng dẫn : Ta viết lại hàm ( ) ( )2 ( )2

f x = x- 3 + +4 x- 6 + 9Trong hệ toạ độ Oxy, xét các điểm A 3;4 ;B 6; 1 ;M x;2      

áp dụng bất đẳng thức tam giác AMBMAB

( Đs minf x( )= 34

Ă )

Trang 22

Bài 2.12 Cho hàm số ( ) 2 2

f x = 2x - 10x+25+ 2x - 4 6 x+24 " ẻ Ă xTìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )

Hớng dẫn : Ta viết lại hàm ( ) ( )2 ( )2

f x = x- 5 +x + 2 6- x +x Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A 0;5 ;B 2 6;0 ;M x;x     

áp dụng bất đẳng thức tam giác AMBMAB suy ra giá trị nhỏ nhất

( Đs minf x( ) =7

Ă )

Bài 2.13 Cho hàm số ( ) 2 2

f x = 5x - 8x+13+ 5x - 4 x+ " ẻ Ă Tìm giá4 xtrị nhỏ nhất của hàm số f x ( )

Hớng dẫn : Ta viết lại hàm ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ( )2

f x = x+2 + -3 2x + x- 2 + - 2xTrong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A2; 1 ;B 2;2 ;M x;2      2x

( Đs minf x( ) =5

Ă )

Bài 2.14 Cho hàm số ( ) 2 2

f x = 10x - 12x+10+ 10x - 20 x+20 " ẻ Ă xTìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )

Hớng dẫn : Ta viết lại ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ( )2

f x = x- 3 + 3x- 1 + x+2 + 3x- 4Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm A 3;2 ;B  2; 1 ;M x;3 1 x      

Trang 23

đầu điểm cao cũng nhiều hơn.

Nội dung của SKKN này đợc tác giả vùi công nghiên cứu trao đổi thôngqua quá trình học cao học, giảng dạy tại trờng THPT Yên Lãng và sự trao đổigiúp đỡ của đồng nghiệp ban bè, sử dụng một số kiến thức toán học cao cấp nhgiải tích lồi, các phơng pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến đợc ứng dụng vàogiải toán THPT và kiến thức toán học sơ cấp Và đã mang lại một số kết quả tíchcực đáng khích lệ

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách có hệ thốngkiến thức cụ thể chi tiết những dạng toán cơ bản về các phơng pháp tìm cực trị ởchơng trình toán THPT

Thông qua SKKN này học sinh đã tự tin hơn rất nhiều khi học toán từ đótạo tính ham học, sáng tạo trong quá trình học và t duy toán

Cần xây dựng hệ thống các phơng pháp giải, các dạng bài tập tơng ứng.Kiến thức trên chỉ đợc áp dụng cho học sinh khá giỏi Giảng dạy ở các lớpmũi nhọn của trờng

SKKN này có thể đợc áp dụng rộng rãi để bồi dỡng học sinh giỏi toán,luyện thi ĐH, CĐ

Chúng ta đã biết các bài toán tìm cực trị là các bài toán rất phong phú và

đa dạng Đòi hỏi vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vì vậy đây là nội dungrất đáng lo ngại của ngời học toán và làm toán.Trong SKKN này tôi đã đa ramột số công cụ để giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số Mặc dù bài toáncực trị có rất nhiều phơng pháp giải nhng do khuôn khổ của SKKN và do năng

Trang 24

lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên SKKN của tôi vẫn cha nêu hết đợc đầy

Trang 25

D Tài liệu tham khảo

1.Đỗ Văn Lu, Phan Huy Khải , Giải tích lồi, Nxb khoa học và kĩ thuật ,

Hà Nội

2 Phan Huy Khải (2002), Các bài toán cực trị của hàm số, Nxb Hà Nội

3 Võ Giang Mai, Võ Khắc Thờng, Lê Quang Tuấn, ứng dụng các tính chất

của hàm số để giải bài toán: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, Nxb Thanh Hoá.

4 Tạp chí toán học và tuổi trẻ(NXBGD)

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	0,98 MB