Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRẦN THỊ THÚY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THÚY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

Thạc sĩ NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI – 2010

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga, khóa luận của em đến nay đã hoàn thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô Nguyễn Thị Kiều Nga, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bào cho em nhiều kinh nghiệm quí báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Trần Thị Thúy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Trần Thị Thúy

Mục lục

TRANG Mở đầu 1

Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số đơn điệu trên một đoạn 2

1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên đoạn [a,b] 2

1.3 Cực trị của hàm số 3

1.4 Định lí Lagange 9

1.5 Tập lồi và hàm lồi, tính chất 10

Chương 2:Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và hàm số 2.1 Sử dụng tính đơn điệu trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hám số 15

2.2 Sử dụng định lí Lagange 27

2.3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki trong bài toán cực trị của hàm số 32

2.4.Phương pháp hàm lồi 49

2.5.Phương pháp miền giá trị 63

2.6.Phương pháp hình học 72

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông, bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán hấp dẫn, lôi cuốn tất cả nhứng người học Toán và làm Toán Các bài toán này rất phong phú và đa dạng vì vậy các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường xuyên có mặt trong các

kỳ thi phổ thông trung học, cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi và các kì thi Đại học, cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học Toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tất nhiên đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì mỗi người đều có một xu hướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của loại bài toán này Điều quan trọng là phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán Thật là khó nhưng thật thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết nó

Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, em mạnh dạn thực hiện bài khóa luận tốt nghiệp của mình với tựa đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trong chương trình toán THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích so sánh, tổng hợp

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm số đơn điệu trên một đoạn

Định nghĩa 1.1: Cho hàm số f x xác định trên    a b với mọi ;

+ Nếu f x 1  f x 2 thì f x được gọi là hàm không tăng trên    a b ;

- Các hàm số trên được gọi chung là các hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Hàm số tăng hoặc giảm trong một khoảng được gọi là hàm đơn điệu thực sự trên khoảng ấy

1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số tăng hoặc giảm (đơn điệu) trên  a b ;Giả sử hàm số y f x  liên tục trên  a b và có đạo hàm hữu hạn trong ;

1.3 Cực trị của hàm số

1.3.1 Định nghĩa cực trị

Định nghĩa 1.2: Cho hàm số f x xác định trên miền D  

M là giá trị lớn nhất của hàm số f x (kí hiệu  max  

 Tồn tại x0Dsao cho M  f x 0

m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x (kí hiệu   min  

 Tồn tại x0Dsao cho m f x 0

Định nghĩa 1.3: Cho hàm số f x xác địn h trên miền D ,   x0D Ta nói rằng f x cực tiểu địa phương tại   x0 nếu như tồn tại lân cận V  x0 sao cho:

Nếu f x đạt cực đại địa phương tại   x0D thì ta có:

Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm s ố f không trùng với cực đại địa

phương (cực tiểu địa phương) trên miền xác định D nào đó

1.3.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị địa phương

Định lý 1.1: (Điều kiện cần để hàm số có cực trị địa phương)

Nếu hàm số f x đạt cực trị địa phương tại   x0 a b; thì chỉ xảy ra một trong các khả năng sau:

a f x không có đạo hàm tại   x0

b f x có đạo hàm tại   x0 thì f x 0 0

Định lý 1.2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị địa phương)

Giả sử hàm số f x liên tụ c trên    a b có chứa điểm ; x và có đạo 0hàm trong khoảng  a b (có thể trừ tại điểm ; x ) 0

a Nếu khi x đi qua x0 mà f ' x đổi dấu từ dương sang âm thì f x đạt  

cực đại tại x 0

b Nếu khi x đi qua x mà 0 f ' x đổi dấu từ âm sang dương thì f x đạt  

cực tiểu tại x 0

c Nếu khi x đi qua x mà 0 f ' x không đổi dấu thì hàm số f x không  

đạt cực trị tại x0

Định lý 1.3: (Điều kiện đủ thứ hai để hàm số có cực trị)

Giả sử f x có đạo hàm liên tục đến cấp 2 ở lân cận của điểm   x0

- Khi f ' x0 0, ''f  x0 0 thì f x đạt cực tiểu tại   x0

- Khi f ' x0 0, ''f  x0 0 thì f x đạt cực đại tại   x0

1.3.3 Một số tính chất

Định lý 1.4: Hàm số f x liên tục trên một đoạn    a b thì đạt giá trị lớn ;

nhất, nhỏ nhất trên đoạn đó

Định lý 1.5: Cho hàm số f x xác đinh trên miền D và   A B là 2 tập con ,

của D trong đó A B Ngoài ra tồn tại

x A f x x B f x

   Chứng minh:

Bây giờ ta chứng minh (i), còn (ii) chứng minh tương tự

Thật vậy: giả sử max  0 , 0

Nhƣ vậy ta có: max   min   

Định lý 1.7: Giả sử f x g x là hai hàm số cùng xác định trên D và thỏa    ,

mãn điều kiện f x  g x , x D Khi đó ta có: max   max  

Vì x0D nên theo định nghĩa GTLN

   Đó là điều phải chƣ́ng minh

Định lý 1.8: (Nguyên lý phân rã)

Giả sử f x xác định trên miền D và miền D được biểu diễn dưới  

dạng DD1D1  D n Giả sử tồn tại: max  

GTLN, GTNN của các hàm số ấy trên các miền xác định đơ n giản Vì vậy nên tính chất này gọi là nguyên lí phân rã

x D f x x D f x x D f x x D f x

        (6) Dấu “ = ” trong (10) xảy ra khi và chỉ khi  x0 D sao cho

Nhận xét : Tính chất này cho ta thấy rằng không thể thay việc tìm GTLN

(NN) của một tổng các hàm số bằng việc tìm tổng các GTLN (NN) cƣ̉a tƣ̀ng hàm số đơn lẻ

Định lý 1.10: Giả sử f x1   , f2 x , , f n x xác định trên miền D và ta có

Định lý 1.11: Giả sử f x và   g x là hai hàm số cùng xác định trên miền  

D Đặt h x  f x g x  Giả sử tồn tại các GTLN , GTNN của các hàm số h x g x     , , f x trên D Khi đó ta có:

1 Giả sử f x là hàm số xác định trên miền   D Khi đó với mọi n

nguyên dương ta có:   2 1 2 1 

x D f x  x D f  x

Nhận xét: Khi giải bài tập , người ta thường ứng dụng một trường hợp riêng

của tính chất này như sau:

f x khi chúng được cho dưới dạng căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức với

dấu giá trị tuyệt đối

Định lý 1.16: Giả sử f x là hàm số xác định và liên tục trên D Khi đó nếu  

gọi M m tương ứng là GTLN, GTNN của , f x trên miền D thì:  

1.4 Định lý Lagrange

Định lý Lagrange: Cho hàm số f : a b;  thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) f liên tục trên  a b ;

ii) f có đạo hàm trong  a b ;

Khi đó  c  a b, sao cho f b  f a  f ' c ba

1.5 Tập lồi và hàm lồi, tính chất

1.5.1 Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.4: Tập hợp D gọi là tập lồi nếu x y,   D,   0;1 thì ta có

   

Định nghĩa 1.5:

1 Hàm một biến f x được gọi là hàm lồi trên miền xác định D nếu D  

là tập lồi và với mọi x y,   D,   0;1 ta luôn có:

f x   Hàm số f x gọi là afin khi và  

chỉ khi nó vừa lồi vừa lõm

Tính chất 3: Cho D là tập lồi trên 2

Tính chất 4: Cho D là tập lồi trên  và các hàm f x i :D là các hàm

lồi trên D Xét các hàm số sau trên D

  max 1   , 2 , , n  ,

f x  f x f x f x  x D Khi đó f x cũng là hàm lồi trên D  

Tính chất 5: (Mối quan hệ giƣ̃a tập lồi và hàm lồi)

Giả sử f D:  , ở đây D là tập hợp lồi trong  1

f x y  f x  y xD

(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f )

Hàm f gọi là hàm lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi trong  2

Tính chất 6: (Bất đẳng thƣ́c Jensen)

Cho D là tập lồi trong  , 1 1

b Bây giờ ta giả sƣ̉ f là hàm lồi trên D Ta phải chƣ́ng minh (13) đúng

Chƣ́ng minh bằng quy nạp:

- Với n1 thì (13) hiển nhiên đúng

- Với n2, theo định nghĩa hàm lồi thì (13) cũng đúng

- Giả sử đúng đến n k 2

- Xét n k 1

Lấy x x1, 2, x kD, lấy i 0,i 1,k 1 mà

1 1

1

k i i

1

k i i

1 1

ta suy ra:

f 1 1x   k1x k1  1 x1.f x 1 

.k1.f x k1  1 .f x  (17)

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm

Hệ quả: f :  là hàm số lồi trên  a b;  Khi đó:

Tính chất 7: (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số)

Cho f x   y liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên  a b và ;

 

f x   x  a b; khi đó y f x  là hàm lồi trên  a b ;

Tính chất 8: Cho D là tập lồi trong 1

Tính chất 10: (Bất đẳng thƣ́c Karamata)

Giả sử f :  là hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp hai, đòng thời

 

f x   x  Giả thiết x y z, , là các số thực thỏa mãn hệ điều kiện sau:

i) Điều kiện f '' x   0, x  có nghĩa là f x là hàm lồi trên   

ii) Nếu thay điều kiện f '' x   0, x  bằng điều kiện f '' x 0,

x

  thì bất đẳng thức Karamata có dấu ngược lại

iii) Ta có thể mở rộng bất đẳng thức Karamata cho trường hợp n số như

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

2.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A Phương pháp chung

- Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên miền D

- Lập bẳng biến thiên của hàm số trên miền D

- Dựa vào bẳng biến thiên và so sánh các giá trị của những điểm đặc biệt (đó là điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, các điểm đầu mút của những đoạn đặc biệt nằm trong miền xác định của hàm số)

Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý các điều sau:

- Nếu trong quá trình giải ta sử dụng phép biến đổi để cho bài toán đơn giản thì bài toán mới phải xác định lại miền xác định của biến mới

- Nếu bài toán đã cho là hàm nhiều biến ta có thể sử dụng định lý 10 và các phép biến đổi đưa bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến theo phương pháp chiều biến thiên hàm số đã được trình bầy như trên

B Một số ví dụ

2.1.1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số không có tham

Theo định lý 1.8 thì

 min;  , min min ; 1  , , min ; 2  , 

x y D f x y x y D f x y x y D f x y

    (*)

Lại có f 0, 1   1, 0, 1  D12 min f x y ,   1,  x y; D12 (7) Tƣ̀ (3), (4) và (7) suy ra các điều kiện nguyên lí phân rã đúng trên D do đó 1

2

t    x y t x  y  xy và do xy0 nên t2  x2  y2 1

212

t xy t

min

t

m m

y  x x a trong đó a là tham số Tìm điều

kiên của a để giá trị lớn nhất của   2

Khi a thay đổi, hiển nhiên 1 2 1, 2

A Phương pháp chung

Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa vào định lý Lagrange ta phải biến đổi để có hàm số y f x  thích hợp thỏa mãn điều kiện của định lý từ đó vận dụng định lý

B Một số ví dụ

Bài 2.2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

x arctgx

x e

Bài 2.2.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  

 

2 sinAsinBsinC tanAtanBtanC3

2.3 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPXKI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Phương pháp chung:

Một số phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phương pháp sử dụng bất đẳng thức, phương pháp này dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như vậy để sử dụng phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên một miền D nào đó ta tiến hành theo hai bước sau  

đây:

- Chứng minh một bất đẳng thức

- Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng

thức vừa tìm được trở thành đẳng thức

Chú ý: Phương pháp này thường áp dụng với các hàm số có điều kiện ràng

buộc của biến số

(1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a a1; 2; ;a và n

b  b   b , b i 0,i1,n

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số:

b b   b Đặt b i a c i i 0, i1,n thì

1 1 1

.2002

Bài 2.3.6 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   1 1 1

1     x x y z x 4 x yz (23)

2 4

1     y x y z y 4 y xz (24)

2 4

1     z x y z z 4 z xy (25) Nhân từng vế (23), (24), (25) ta đƣợc:

Ta có kết quả tổng quát sau:

1

x x

 

  (27)

21

1

y y

 

  (28)

21

1

z z

 

  (29) Cộng (27), (28), (29) ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở các bất đẳng thức (27), (28), (29)

xảy ra khi và chỉ khi 1

3

x  y z

Vậy 1 1 1; ; 6

3 3 3

f   

  mà x y z; ; D max f x y z ; ;  6,x y z; ; D Bằng cách lập luận tương tự ta có kết quả tổng quát sau: Với n2 thì

y

z x

y z

 

 ; ; : 0, 0, 0; 1

D x y z x y z x  y z

Giải

1 Lấy x y z tùy ý thuộc D Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ; ; 

cho hai dãy số x x y y z z và , , x, y, z ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 2.3.11 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 2.3.12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

 ; ;  1 tan tan 1 tan t anz 1 tan tan

Lấy x y z tùy ý thuộc D và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai ; ; 

dãy số 1;1;1 và   1 tan tan ; 1 tan tan ; 1 tan tan x y  y z  z x ta đƣợc:

D f x y z 