Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 8 trường THCS thiệu khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ ,GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS THIỆU KHÁNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ ,GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS THIỆU KHÁNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC

MỤC LỤC

Trang

Phần I : Đặt vấn đề 3

1 Lý do chọn đề ……… 3

2 Mục đích nghiên cứu ………3

3.Đối tượng nghiên cứu……… 3

4 Phương pháp nghiên cứu………4

Phần II: Giải quyết vấn đề ……… 4

1/ Cơ sở lí luận ……… 4

2/Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 4

3/Các giải pháp thực hiện ……… 5

1 Lý thuyết ………5

2 Phương pháp giải……….6

3 Các chú ý quan trọng………

8 4/Các dạng bài tập thường gặp ……….10

5/Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị……… 17

Phần III: Kết luận và kiến nghị ……….20

1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu ………20

2/ Kiến nghị những vấn đề nghiên cứu ……….21

I.ĐẶT VẤN ĐỀ 1/ Lý do chọn đề tài :

Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao tri thức, góp phần tạo nênnguồn tài nguyên chất xám cho đất nước Toán học là bộ môn khoa học tự nhiênđược hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sốngcon người Toán học giúp cho việc hình thành và phát triển cho người học nănglực tư duy logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức

Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, cókiến thức và phương pháp truyền thụ phù hợp Thực tế đã cho thấy hầu hết giáoviên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp còn nhiều hạn chế,các thầy cô dạy môn toán cũng không phải là ngoại lệ Vậy đâu là nguyên nhân ?Theo tôi nguyên nhân cơ bản là:

- Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cầnthiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới hoặc những bài toán khónên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận đúng và tìm tòi lời giải

- Chỉ nặng về trình bày lời giải mà không chú ý đến việc hướng dẫn học sinh

tự tìm ra lời giải Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải cụ thể ,mà chưasuy luận để giải bài toán tương tự

- Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từngloại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú rèn luyện cho học sinh

kĩ năng tính toán, biến đổi, suy luận

2/ Mục đích nghiên cứu :

Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng Tính trừu tượng và logic tăngdần khi các em càng học lên các lớp trên Từ năm học lớp 8 khó khăn của họcsinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát Dovậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này.Chính vì

vậy mà tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một số phương pháp giải bài toán cực trị ” 3/ Đối tượng nghiên cứu :

Hướng dẫn học sinh khá ,giỏi lớp 8 trường THCS Thiệu Khánh một sốphương pháp giải bài toán cực trị

4/ Phương pháp nghiên cứu :

- Khái quát và hệ thống các thức cơ bản

- Các phương pháp giải bài toán cực trị

- Các dạng bài tập

- Lưu ý cho học sinh các sai lầm thường gặp khi giải bài toán cực trị

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1/ C ơ sở lí luận:

-Trước khi thực hiện đề tài này thì đầu năm học tôi cho các học sinh khágiỏi do tôi phụ trách làm một bài toán tìm cực trị của lớp 8, tôi ghi thấy rất nhiềuhọc sinh mắc phải những sai lầm ngộ nhận như đã nêu trong đề tài Sau khi các

em nắm được nội dung kiến thức thì kỹ năng làm bài toán cực trị đã tiến bộ vàđặc biệt khi kiểm tra, 100% học sinh không còn mắc phải những sai lầm đáng tiếcnữa, tôi nghĩ đó chính là thành công bước đầu của đề tài

Tóm lại, từ yêu cầu thực tế của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và họcsinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán cực trị, tôi đã chọn đề tài

phương pháp giải bài toán cực trị ”để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp

phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinhtrong việc dạy và học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2/ Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Được sự phân công của Ban giám hiệu trường THCS Thiệu Khánh dạy bồi dưỡngmôn toán lớp 8 ,tôi thấy qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đâybản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải chobài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó

Khi trực tiếp bồi dưỡng, tôi tự thấy kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững ,xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được,đặc biệt là đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hết các em đềucho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian màchưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm Do vậy các em thường bỏ qua

bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không cóhứng thú khi gặp bài toán này

3/ Giải pháp thực hiện:

- Giáo viên trang bị cho học sinh các đơn vị kiến thức cơ bản

- Giáo viên yêu cầu học sinh nắm vững bản chất của bài toán cực trị là như thế nào

- Giới thiệu các phương pháp giải bài toán cực trị

Cho một hàm số F(x) xác định trên miền D; (với D  Rn)

a/ M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

* F(x)  M với  x  D

*  x0  D sao cho f(xo) =M Ký hiệu M = max f(x), x D

b/ m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu như hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

* F(x)  m với  x  D

*  x0  D sao cho f(xo) =m Ký hiệu m = min f(x), x D

c/ Các kiến thức cần nhớ: Xét trong tập hợp số thực R

c1/ x2  0 với  x, tổng quát: (f(x))2k  0 với  x; k  Z

Từ đó suy ra: (f(x))2 + m  m hoặc M - (f(x))2  M

c2/

a/ | x |  0

b/ | x + y |  | x | + | y | Dấu "=" xảy ra  x, y cùng dấu

c/ | x - y |  | x | - | y | Dấu "=" xảy ra  x, y cùng dấu

Với ab > 0 Dấu "=" xảy ra  a = b/

* a + b  2 ab với a  0, b  0, Dấu "=" xảy ra  a = b/

 min (a + b) = 2 k  a = bC5/ Bất đẳng thức Bunhiakôpski.

b/ Chỉ ra trường hợp x = xo  D sao cho bất đẳng thức trở thành đẳng thức

Ví dụ 1: Tìm giá tị nhỏ nhất của biểu thức sau:

c/ Ta có: C = a ab aa ca bb bb ca c b cc c

=(  )  (  )  (  )  3

c

b b

c a

c c

a a

b b a

Áp dụng hằng bất đẳng thức:   2

a

b b

 - (2x - 1)2  0  3 - (2x - 1)2  3

Vậy max 3  ( 2x 1 ) 2 = 3  x =

2 1

b/ áp dụng bất đẳng thức Bunhiaskôpski ta có:

(x + 2y + 3z)2  (12 + 22 + 32).(x2 + y2 + z2) = 14 (Vì x2 + y2 + z2 = 1)

 | x + 2y + 3z |  14 Dấu "=" xảy ra  x y z y 2x

3 2

1     và z = 3xVậy max | x + 2y + 3z | = 14  y = 2x và z = 3x

2.2 Phương pháp miền giá trị của hàm số

Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D/ Gọi yo là một giá trị nào đó của f(x) với x  D Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = yo

(với  x  D) phải có nghiệm

Sau khi giải phương trình, điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức:

m  yo  M Từ đó suy ra min f(x) = m ; x  D; max f(x) = M ; x  D/

Cũng có trường hợp ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất

2

2 2

Giải:

a/ Hàm số xác định với  x  R

Giả sử yo là một giá trị nào đó của y để y0 = 7x2 - 4x + 1

Do đó phương trình ẩn x: 7x2 - 4x + 1 -y0 = 0 phải có nghiệm

' =(- 2)2 - 7(1 - y0)  0  4 - 7 + 7y0  0  7y0 - 3  0  y0  73

Vậy min y = 73  x = 72

b/ Vì x2 + 1 > 0 với  x  R nên hàm số trên xác định với  x  R

Giả sử y0 là một giá trị nào đó để y0 =

1

) 1 (

2

2 2

3.1 Muốn tìm được cực trị của hàm số, không những ta cần chứng minh

một bất đẳng thức (f(x)  m ; f(x)  M) mà phải chỉ ra được sự tồn tại giá trị củabiến để có thể xảy ra dấu đẳng thức

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x4 + 2x2 + 1

Ta có A =(x2 + 1)2  0, muốn cho A = 0 thì ta phải có x2 + 1 = 0 nhưng điều kiệnnày không xảy ra trong R, do đó không thể luận min A = 0

Ta phải giải như sau:

Ta có x2  0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 0

x4  0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 0

 x4 + 2x2  0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 0

Vậy min A = 1  x = 0

3.2 Có trường hợp biểu thức đã cho là tổng của nhiều biểu thức đại số

khác, chẳng hạn A = B + C Để tìm cực trị của A ta đi tìm cực trị của B và Cnhưng phải chứng minh được rằng khi B đạt cực trị đồng thời C cũng đạt cực trị(với cùng giá trị của biến) và ngược lại

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = (x + 2)2 + (x - 1)2

Ta có (x + 2)2  0 với  x Dấu "=" xảy ra khi x = - 2

(x - 1)2  0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 1Nên A  0 nhưng không thể kết luận min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấuđẳng thức

Ta phải giải như sau:

5

1 2 4

9 4

1 2

1 2

3.3 Khi tìm cực trị của một biểu thức có khi ta thay đổi điều kiện để biểu

thức này đạt cực trị bằng điều kiện tương đương của biểu thức khác đạt cực trị:

1





x x

1 2 1

1 2 1

) 1 ( 1

4 2 4

2 4 4

2 4 4

2 2

x x x

x x x

x B

+ Vì 2x2  với  x Dấu "=" xảy ra  x = 0

1

2 1

x x

+ Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x4 + 1  2x2 Dấu "=" xảy ra  x

1

2

2 1

2

2

2 4

x

x x

1 Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta luôn có:

|2x - 3|  0 với  x Dấu "=" xảy ra  2x - 3 = 0  x = 1,5

+ Dùng tính chất: |x| + |y|  |x + y| (Làm cách này sẽ nhanh hơn)

+ Đưa về dạng thông thường dựa vào tính chất x2  0 ; |x|  0 để lập luận

b c a

b x b

b x

a

4 2

4

) 4

2 2 (

2 2

2

2 2

x  C  k  min C  x = - 2b a

+ Nếu a < 0 Suy ra: a 0

Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = - 2x2 - x + 1

Do đó phương trình ẩn x: 2x2 + x - 1 + y0 = 0 (1) phải có nghiệm

P có giá trị nhỏ nhất nếu a > 0; P có giá trị lớn nhất nếu a < 0

+ Với mọi biểu thức dạng này ta có thể sử dụng phương pháp miền giá trị

Bài 4 Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình.

x2 + y2 + 6x - 3y - 2xy + 7 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

P = (2x - 1)2 - 3.|2x - 1| + 3

A = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2  0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 3Vậy min A = 0  x = 3

b/ Ta có B = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)

Đặt x2 + 3x + 1 = 1

Khi đó ta có B = (t - 1)(t + 1) = t 2 - 1 mà t2  0 với  t  B = t2 - 1  - 1Dấu "=" xảy ra  t = 0  x2 + 3x + 1 = 0 

1

2



 x x

Giải:

Ta có A =

4 2

Vậy min A = - 31  x = 1

Chú ý: a > b chỉ suy ra được b1 b1  a, b cùng dấu

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. D = 2

2 ) 1 (

2

) 1 (

1 1

1 1 )

1 (

1 ) 1 ( ) 1 2 (

x

x x

2 2

2

2 2

2

) 1 ( 4

1 2 3

6 3 ) 1 ( 4

4 4 4 ) 1 (

x x x

x x

2 2

2 2

) 1 (

4

) 1 ( 4

3 )

1 (

4

) 1 ( ) 1 (

x x

2 ) 1 (

4

) 1 (





x

x

 0 với  x Dấu "=" xảy ra  x = 1

 D  43 Dấu "=" xảy ra  x = 1 Vậy min D = 43  x = 1







x x x







x x x

do đó phương trình A0(x2 - x + 1) = x2 + 1 phải có nghiệm



3

4 3

2 A 3

4 3

2 3

2 3

4 A 9

4 3

4 A 0 9

4 9

16 A

 x = -1

4.5 Căn thức.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 2  4  x

Giải: Điều kiện để A xác định 2 4

4 0 0 4 0 2

(*)Với điều kiện (*) thì A  0, bình phương 2 vế ta được:

2 5x) (3 16 2

x 1

2 5x) (3 2 x) 16(1 2

x 1

2 25x 30x 9 2 16x 16 2

1

2 9x 30x 25 2

Vì 1 - x2 > 0, (3 - 5x)2  với -1  x  1 Dấu "=" xảy ra  x = 53

 B2  16 với -1 < x < 1 Vì 5 - 3x > 0 với - 1 < x < 1 nên B > 0 Suy ra B  4Vậy min B = 4  x = 53

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a/ A = 2003 + x2 2x

b/ B = x - 2.. x 2

4.6 Cực trị có điều kiện

(Các biến bị ràng buộc thêm bởi một hệ thức cho trước)

Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1

Ví dụ 2: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1

y x

y

(*) ) 1 )(

1 )(

1 )(

1 ( ) 1 )(

1

(

2 2 2

2

2

2

y x

y y x x y

24

1x.y2

1

Dấu "=" xảy ra  x = y = 21 Vậy min P = 9  x = y = 21

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x3 + y3

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y - 4z Biết x, y, z thỏa mãn hệ

6 z 3 y x 2

 x 2  3 y 2  4 z 2  101

5/ Những sai lầm th ư ờng g ă p khi giải bài toán cực trị:

5.1 Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= x2 61x 17



Lời giải sai: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8  8  min (x2 - 6x + 17) = 8  x =3

Vậy max A = 81  x = 3

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định:

"A có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất" mà chưa đưa ra nhậnxét tử và mẫu là các số dương

Ví dụ: Xét biểu thức B =

4 x

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8  8 nên tử

và mẫu của A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra: A > 0 do đó A lớnnhất 

A

1

nhỏ nhất  x2 - 6x + 17 nhỏ nhất

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x2 + y2 biết x + y = 4

Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2  2xy do đó A nhỏ nhất  x2 + y2 = 2xy

 x + y = 2

Khi đó min A = 22 + 22 = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm Ta mớichứng minh được f(x,y)  g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y)  m với m là hằng số

Ta đưa ra 1 ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng

(x - 2)2  0  x2  4x - 4  x2 nhỏ nhất  x2 = 4x - 4  x = 2  min x2 = 4  x = 2.

Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x2 = 0  x = 0

Lời giải đúng: Ta có x + y = 4  x2 + 2xy + y2 = 16 (1)

1 2

1 x 4

1 4

1 x x

a x (

A    với x > 0; a và b là các hằng số dương cho trước

Lời giải sai: Ta có x + a  2 ax (1); x + b  2 bx (2)

Do đó:

x

) b x )(

a x (

A     4 ab min A 4 ab x a b

x

bx 2 ax 2

a x (

x

ab x x

ab bx ax

ab x

b/ K t qu ã ki m nghi m:ết quả đã kiểm nghiệm: ả đã kiểm nghiệm: đã kiểm nghiệm: ểm nghiệm: ệm:

số SL TL SL TL SL TL SL TLKhi chưa thực

Trước khi thực hiện đề tài tôi thấy :

1 Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị

2 Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức

3 Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại

Sau khi thực áp dụng vào đề tài vào thực tế giảng dạy tôi thấy :

- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán, từ đó tạo cho

các em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luậntoán học

- Trong quá trình giải các bài tập giúp các em có khả năng phân tích, suyngẫm, khái quát , mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình

- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp và đặcbiệt không còn mắc những sai lầm đáng tiếc

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1/ Kết luận vấn đề nghiên cứu :

Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài,chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bướcvào cuộc sống hoặc học lên nữa Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra nhữngsản phẩm ấy cần phải:

- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từngđối tượng học sinh

- Yêu cầu học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành từngloại toán, giải nhanh, thành thạo bằng nhiều cách Trên cơ sở giải bài tập, biết đặt

ra bài tập mới để kích thích sự say mê học toán của mình

- Đa dạng hoá các loại bài tập, kể cả những loại bài tập yêu cầu học sinh pháthiện những thiếu sót, sai lầm của lời giải cho trước rồi từ đó tìm ra cách giải đúng