Một số phương pháp giải bài toán cực trị

Lý do chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy môn Vật Lí khi học sinh gặp bài toán tìm cực trị -cực đại hoặc -cực tiểu của một đại lượng vật lí các em học sinh thường nghỉ ngay đến dùng đạ

MỤC LỤC

Trang

Phần I MỞ ĐẦU

Phần II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn

a Phương pháp sử dụng phương trình bậc 2 có nghiệm 5

b Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cosi 7

c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki 9

d Phương pháp sử dụng công thức có sẳn của hàm số bậc 2 10

e Phương pháp từ hệ quy chiếu này chuyển sang hệ quy chiếu khác 12

f Phương pháp tìm cực trị thông qua các giá trị cực đại, cực tiểu

g Phương pháp tìm cực trị bằng việc khảo sát hàm số 15

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận 18

2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy môn Vật Lí khi học sinh gặp bài toán tìm cực trị -cực đại hoặc -cực tiểu của một đại lượng vật lí các em học sinh thường nghỉ ngay đến dùng đạo hàm, cụ thể là các em dùng công thức vật lí xây dựng biểu thức cần tìm sau đó lấy đạo hàm cho đạo hàm bằng không lập bảng xét dấu từ đó tìm được cực trị với cách giải này phạm vi sử dụng rộng rải Tuy nhiên đối với lớp dưới các

em học sinh vẫn gặp các bài toán cực trị nhất là trong kì thi học sinh giỏi, mà các

em lại chưa học đạo hàm Mặt khác nhiều bài toán dùng đạo hàm không phải bao giờ cũng có lời giải là đẹp nhất

Chính vì lí do trên tôi chon đề tài “Một số phương pháp giải bài toán cực trị”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh có cách nhìn toàn diện về bài toán cực trị trong vật lí, từ đó các em học sinh chủ động lựa chọn phương pháp giải hợp lí

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán cực trị trong môn vật lí ở trường THPT từ đó đưa ra phương pháp giải bài toán tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất của đại lượng vật lí và

phần nào các em học sinh thấy được việc đưa bài toán lí thuyết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống

4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài, tôi sử dụng phương pháp chủ yếu là tham khảo tài liệu, nhiều đề thi học sinh giỏi của các khối lớp, đề thi đại học, tổng kết rút kinh nghiệm qua các buổi dạy học sinh giỏi, dạy ôn thi đại học Căn cứ vào đề thi để hệ thống biên soạn loại bài tập này thành dạng, đồng thời đưa ra kiến thức cần thiết để phục

vụ cho việc áp dụng, đưa ra phương pháp vận dụng cho dạng bài tập này Mặt khác trong quá trình vận dụng đề tài tôi còn dùng nhiều biện pháp tham khảo tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, trao đổi với thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Vật lí, Toán học, trao đổi với các em học sinh để tìm ra vướng mắc từ phía các em Áp dụng kiểm tra đối chứng, đánh giá và so sánh kết quả trước và sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh giỏi và học sinh dự thi đại học qua nhiều năm từ đó đúc rút

ra kinh nghiệm này

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Để giúp các em học tốt hơn, giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập, cần giúp các em làm các bài tập rèn luyện tư duy môn học Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Đối với môn vật lý thì giáo viên cần biết định hướng, giúp

đỡ từng đối tượng học sinh, quan trọng hơn là phải tạo tình huống giúp các em nâng cao năng lực tư duy

Bài tập cực trị là một phương tiện có hiệu quả cao trong việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập và rèn luyện tư duy cho học sinh, rèn luyện cho các em phương pháp làm việc khoa học, độc lập góp phần hình thành cho học sinh năng lực tư duy khoa học Có thể sử dụng bài tập cực trị trong nghiên cứu, hình thành kiến thức mới; trong luyện tập, rèn luyện kỹ năng cho học sinh; trong kiểm tra, đánh giá kiến

thức, kỹ năng ghi nhớ của học sinh Khi giải bài tậpj cực tri, học sinh phải biết vận

dụng kiến thức các phương pháp khác nhau đối với từng bài tập

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Nghiên cứu đối tượng học sinh năm học: 2013-2014; 2014-2015; 2015- 2016

* Phương pháp quan sát:

Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy

* Phương pháp trao đổi, thảo luận:

Từ kết quả nghiên cứu, khi thực hiện đề tài tôi tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài

* Phương pháp thực nghiệm:

Tôi tiến hành dạy thể nghiệm theo phương pháp đã nghiên cứu trong đề tài

* Phương pháp điều tra:

Tôi ra các bài tập áp dụng để kiểm tra đánh giá kết quả sử dụng phương pháp mới

Thực trạng học sinh

- Các em còn lúng túng trong việc tìm hướng giải một bài tập cực trị

- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc

- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt

- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn vật lý

Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Thực sự là khó không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải kiến thức tới các em Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn vật lý trong đời sống

Qua nghiên cứu trong một vài năm trở lại đây việc học sinh tiếp thu vận dụng các kỉ năng giải bài tập cực trị còn nhiều hạn chế, kết quả chưa cao Sự nhận thức và ứng dụng thực tế cũng như vận dụng vào việc giải quyết các bài tập Vật lý còn nhiều yếu kém Để làm tốt được những vấn đề này người giáo viên phải luôn luôn tìm tòi và đưa ra hướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt kết quả cao nhất trong các kì thi người thầy phải tìm ra được những cách giải phù hợp và nhanh cho từng dạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh Thực trạng trên

là những động lực giúp tôi nghiên cứu đề tài này

3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Cơ sở lí thuyết:

a Sử dụng điều kiện phương trình bậc 2 có nghiệm

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 + Nếu D = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép

+ Nếu D > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt

b Bất đẳng thức cosi

b.1: Bất đẳng thức cosi viết cho hai số Cho hai số dương a, b

a + b ³ 2 ab + Dấu bằng xảy ra khi a = b

+ Khi tích 2 số không đổi tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau

+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau

b.2: Bất đăng thức cosi viết cho ba số Cho ba số dương a, b,c

a + b + c ³ 33 abc

+ Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

c Bất đẳng thức Bunhia côpxki

Cho các số dương a1, b1, a2, b2 (a1b1 + a2b2)2 £ (a1 + a2)2 (b1 + b2)2

Dấu bằng xảy ra khi 1 1

a b

d Hàm số bậc 2 (Tam thức bậc 2)

Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c

+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol

+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol

+ Toạ độ đỉnh: x = - b ; y

 D

 (D = b2 - 4ac) Hoặc: y = ax2 + bx + c = f(x)2 + C0  Từ đây có thể biện luận được cực đại hoặc cực tiểu

AB A' B '

TK

d '

d

Do f(x)2 ³ 0 nên C0 > 0 Þ ymin = C0

C0 < 0 Þ ymax = C0

e Tính tương đối trong chuyển động

Chuyển động có tính tương đối Þ Vận tốc có tính tương đối Þ v v v              13                            12 23

Các bài toán sau đây có thể tìm cực trị bằng nhiều phương pháp khác nhau Tuy nhiên nếu ta sử dụng phương pháp này bài toán được giải quyết một cách đơn giản hơn bằng cách chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác

f Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm lượng giác.

Khi góc  thay đổi

- 1 ≤ cos ≤ 1

- 1 ≤ sin ≤ 1

Từ đây ta có thể tìm được các giá tri cực trị

h Khảo sát hàm số

- Lập biểu thức thông số cần tìm cực trị

- Tính đạo hàm

- Cho biểu thức đạo hàm bằng không sau đó tìm nghiệm

- Lập bảng biến thiên từ bảng biến thiên tìm được cực trị

3.2 Bài tập vận dụng

a Phương pháp sử dụng phương trình bậc 2 có nghiệm

Bài tập 1: Tìm khoảng cách cực tiểu giữa một vật thật và một ảnh thật của nó qua một thấu kính hội tụ có tiêu cự f

Lời giải

Sơ đồ tạo ảnh:

khoảng cách vật ảnh là (1)

Do vật thật và ảnh thật nên L = d + d'

Mặt khác: 1d d1'1f Þ

' d f

d



 (2) Thay (2) vào (1) L = d + d d f. f

  d2 - df + Lf = 0

Để Lmin thì phương trình có nghiệm Þ D ³ 0  L2 - 4Lf ³ 0

Þ L £ 0 hoặc L ³ 4f

Do L không âm nên Lmin = 4f

L = |d / + d |

Bài tập 2: Cho mạch điện như hình vẽ: UAB = 120 2 Cos 100t (v)

L =



1

(H)

10 ; C = 



4

1 10 (F) R là một biến trở Tìm R để công suất trong mạch cực đại Tính công suất cực đại

Lời giải

Từ UAB = 120 2 Cos 100t (v) Þ U = 120 (V)

 = 100 (rad/s)

Cảm kháng: ZL = L = 10 ()

Dung kháng: ZC =  



1 25 C

Công suất tiêu thụ của mạch: P = U.I.Cos =





R 2

U

2

2 (Z Z )

 PR2 - U2.R + (ZL - ZC)2.P = 0 (*)

Để có công suất cực đại thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là tồn tại R

Þ D ³ 0

 U4 - 4P2 .(ZL - ZC)2

³ 0

 P2





Ta có PR(Max) = 



2

U

480(W)

2 Z Z Khi đó phương trình: PR2 - U2.R + (ZL - ZC)2.P = 0

có nghiệm : R = R1 = R2 = U2

2Pmax = 15()

Lưu ý:

+Với bài toán này để tìm Pmax ta có thể dùng bất đẳng thức cosi hoặc khảo sát hàm số tuy nhiên với phương pháp này ta có thể nhận xét như sau:

Nếu P < Pmax thì phương trình (*) có D > 0 khi đó tồn tại 2 giá trị của R ( R1; R2 ) cho cùng một giá trị công suất, và R1; R2 thỏa mãn hệ thức

P



·

·

B L

A

A A'

LC F

h '

h



   Trong đó 1, 2là độ lệch pha giữa u và i khi R = R1 và R = R2

+ Với nhận xét trên trong đề thi trắc nghiệm khách quan vật lí lớp 12 các em hoc sinh giải quyết nhiều bài toán mà không tồn nhiều thời gian

b Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cosi

Bài tập 1: Nhúng một phần thước thẳng AB vào bể nước trong suốt có chiết suất n

= 4/3 sao cho thước tạo với mặt nước một góc , đầu A chạm đáy bể, I là giao điểm của mặt nước và thước Khi nhìn xuống đáy bể theo phương thẳng đứng người ta thấy điểm A được nâng lên đến vị trí A' cách mặt nước 15cm

1 Tính chiều cao của nước trong bể

2 Gọi  là góc tạo bởi A'I và AI Hãy xác định  để  đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

1 Xác định chiều cao của lớp nước trong bể

Sơ đồ ảnh:

(n, no)

Áp dụng công thức

'

o

h n

Þ h = '

o

n

h

n =20cm

Vậy chiều sâu của nước trong bể : h = AH = 20cm

2 Tìm  để  đạt giá trị lớn nhất

Xét DAIH : AH = h = HI tan

Xét DA'IH : A'H = h' = HI tan( -)

'

'

tan

H





tan (1 tan tan ) 4







 4tan - 4tan = 3tan + 3tan2  tan

 tan = tan = (4 + 3tan2  )

4

tan



Do  ;  là góc nhọn nên khi  cực đại thì tan cực đại

- - - - -

- - - - - - - - - - - - -

-

-



A

A '

H

I B

Từ (*) ta thấy tan cực đại khi 4 3tan

tan    cực tiểu

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số 3tan và 4

tan  ta có

min

4

tan   

vậy   49 0 Þ max  8 0

Bài tập 2: Có hai điện tích điểm q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong không khí ( = 1) Cho biết AB = 2d Hãy xác định cường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x Tìm x để EM đạt cực đại

Lời giải

* Xác định 

M

+     E           M                E1M                E2 M

Với E1M = E2M = k 2q 2

d x

+ Dùng quy tắc tổng hợp vectơ Þ E M

^ AB hướng ra xa AB

+ EM = 2E1M cos = 2 2 2 2 2 2 3

2

* Tìm vị trí M: + Áp dụng BĐT Côsi cho ba số

Ta có: d2 + x2 = d2 d2 2 3 d x4 2  2 232 3 3 2

+ Từ (*) và (**) Þ EM £ 4kq2

2

Lưu ý: phương pháp này giúp cho các em học sinh chưa học khảo sát hàm số

nhưng vẫn giải được các bài toán cực trị thuộc loại khó trong phần điện, điện trường…

c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki

B

·

2 M

E

 EM



1M

E



M

q1



Bài tập1: Một cái hòm có khối lượng m đặt trên mặt bàn nằm ngang với hệ số ma sát  Để xê dịch hòm cần phải tác dụng lên nó một lực F

Xác định giá trị nhỏ nhất của lực F

Lời giải

Gọi  là góc tạo bởi lực  F

vả phương ngang

Áp dụng định luật II Niu Tơn

ms

ms

Thay (2) vào (1) F cos  (P F sin ) m a



P ma

F

cos + sin

Để lực kéo F nhỏ nhất thì 

   min

a 0 (cos + sin )

Áp dụng BĐT Bunhia-CốpXki ta có

   £ 2 2  2  2

Vậy Fmin =  

 2

P F

1

 Tan = 

Bài tập 2: Một người muốn qua một con sông rộng 750m Vận tốc của anh ta đối

với nước là v1 = 1,5(m/s) Nước chảy với vận tốc v2 = 1 (m/s) Vận tốc chạy bộ trên

bờ là v3 = 2,5 (m/s) Tìm đường đi ( kết hợp giữa chạy bộ và bơi) để anh này đến điểm bên kia sông đối diện xuất phát trong thời gian ngắn nhất

Lời giải:

Giả sử người này chạy bộ từ A đến B rồi bắt đầu bơi theo hướng hợp với AC một góc 

Thời gian bơi qua sông:

t1 =



1

AC

cos

Mặt khác: AB = (v2 - v1sin)t1 (2)

Thời gian người này chay bộ :

t2 =

3

AB

v (3)

M



F





C

Thời gian người này chuyển động:

t = t1 +t2 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) Þ t =    



sin AC

cos

v v v

v v =        

750 2,5 1 1,5sin 3,5 1,5sin

200

Do t > 0 Þ Đặt X =  



3,5 1,5sin cos > 0  Xcos + 1,5sin = 3,5

Áp dụng BĐT Bunhia-KoopsKi cho vế trái

Xcos + 1,5sin 2 2 2 2 2 2

.

Þ 2 2

3,5

1,5

 X2 +1,52 ³ 3,52

 X ³ 3,16

Þ Xmin = 3,16 Þ tmin = 632(s)

Xảy ra khi :   Þ   



min

min

1,5 sin

x

x

Þ  = 25,40

Thay vào : t1 =



1

AC cos

v = 556(s)

Þ t2 = tmin - t1 = 76(s)

Þ AB = t2.v3 = 190(m)

Vậy tmin = 632(s)

Lưu ý : Phương pháp này áp dụng nhiều cho bài toán động học và động lực hoc ở

lớp 10

d Phương pháp sử dụng công thức có sẳn của hàm số bậc 2(Tam thức bậc 2)

Bài tập1: Một con lắc đơn lý tưởng có chiều dài l, khối lượng m Từ vị trí cân bằng kéo vật m để dây treo lập với phương thẳng đứng góc 450 rồi thả nhẹ

Tìm độ lớn cực tiểu của gia tốc trong quá trình dao động Biết gia tốc trọng trường là g

Lời giải Trong quá trình dao động của con lắc đơn

Gia tốc tiếp tuyến : at = gsin

Gia tốc hướng tâm: an = v2 v2 2 ( os -cos )g c 0

mặt khác: a a a                              t  n

Do a  t

vuông góc với a  n

0

4 ( os -cos )

= g 2 2

0

4 os -8sin cos 4 sin   c     cos 

= g 1  cos2   4cos2   4 2 osc   2

= g 43cos2   4 2 osc   3

= g  

2

cos

= g

2

3 os 2

3

g

c 

Vậy amin =

3

g

xảy ra khi: cos = 2 2

3 Hoặc đặt cos = t ( 0 £ t £ 2

2 ) khi đó a = g 3t2  4 2.t 3

Đặt y = 3t2 - 4 2t +3 đẻ amin thì ymin

Þ Sử dụng đỉnh của paraboll Þ amin

3

g

Bài tập 2: Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm 0 với cùng vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc a = 600 Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình chuyển động

Lời giải

Chọn hệ quy chiếu như hình vẽ

Giả sử tàu 1 chạy trên trục ox, tàu 2 chạy trên trục oy

Phương trình chuyển động của hai tàu

x = 60 -v.t

y = 40 - v.t

Tại thời điểm t khoảng cách giưa hai tàu là d

Áp dụng hàm số sos trọng tam giác ta có:

d2 = x2 + y2 - 2x.y.cos600

0

A

B'

· B



 g