Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC

HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

         Người hướng dẫn khoa học 

       Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN 

Hà nội - 2013 

LỜI CẢM ƠN

  Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận. 

Đặc  biệt  em  xin chân  thành  cảm  ơn thầy  giáo Nguyễn  Văn  Tuyên 

đã  tạo  điều  kiện  tốt  nhất  và  chỉ  bảo  tận  tình  để  em  có  thể  hoàn  thành khóa luận tốt nghiệp này. 

  Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.  

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. 

  Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn.  

MỤC LỤC 

MỞ ĐẦU 1 

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   3 

1.1. Tập lồi   3 

1.2. Nón   12 

1.3. Hàm lồi   18 

1.4. Dưới vi phân của hàm lồi   23 

CHƯƠNG 2 ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG  

    31  2.1. Trên đồ thị của các hàm liên hợp 31 

2.2. Công thức dưới vi phân của tổng 34 

2.3. Đặc trưng nghiệm tối ưu 39 

KẾT LUẬN   44 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   45 

MỞ ĐẦU

  Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng. Trong đó công thức dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới  f g X , : n là: 

hàm  f và  hàm  g được  thay  bằng  hàm  chỉ  của  các  tập  lồi  C   và  D   thì 

công thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp tuyến của giao: với mỗi x C D N, C D  x N C x N D x  

  Trong  những  năm  gần  đây  các  điều  kiện  cho  công  thức  dưới  vi phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2, , 4, 5, 10, 18, 19, 20]). Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính qui này  chính  là  các  điều  kiện  kiểu  phần  trong-điểm  [4,  5].  Mục  đích  của khóa luận  này  trình  bày  các  điều  kiện  chính qui  yếu  hơn  các điều  kiện kiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa 

ra  các  điều  kiện  tối  ưu  và  các  nguyên  lý  đối  ngẫu.  Chúng  tôi  sẽ  chỉ  ra công thức tổng (0. 1) đúng khi Epi f*Epi g* là đóng yếu*, với Epi f* 

là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp  f của hàm f   *

(0.1) 

  Khóa luận được bố cục như sau: 

  Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi.  

Chương 2. Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của các hàm lồi và ứng dụng. Nội dung chính của chương này trình bày các kết quả trong bài báo [7].  

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

  Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu. Tập lồi 

là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối các điểm đó chứa trong tập.  

Chứng minh Nếu z1Z  thìz1cx1dy1  với  x1X  và  y1Y  Tương  tự,  z2Z  ta  cũng  có:z2 cx2dy2với  x2X   và  y2Y.  Khi 

Định nghĩa 1 2 Một điểm  x được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm 

y  x  x   x ,  

l l

convXY.    Mặt khác, nếu y Y  thì  y là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc  X, 

được chứa trong mọi tập lồi nằm trong  X  Do đó,  convX Y.    

Bổ đề 1 4 Nếu X  n , thì mọi phần tử của convX là một tổ hợp lồi của nhiều nhất n  điểm của X 1

Chứng minh Cho x là tổ hợp lồi của  m  n   điểm của 1 X  Ta sẽ 

chỉ ra rằng  m  là giá trị có thể giảm tới một. Nếu j   cho một vài 0 j, thì  ta  có  thể  xóa  đi  điểm  thứ  jvà  ta  thực  hiện.  Vì  vậy,  ta  giả  sử  mọi 0

     Để chứng minh phần thứ hai của bổ đề, giả sử x k x và y k   với y x kX  và y kX  Khi đó, 

(1.1) 

dãy  điểmx k 1y k   là  nằm  trong  X   và  hội  tụ  tới  điểm 

(1 )

    . 

Bổ đề 1 6 Giả sử tập X  n là tập lồi Thì int X   khi và chỉ khiX

nằm trong một đa tạp tuyến tính có số chiều nhỏ hơn n

Chứng minh.  Giả  sử  x0X   Xét  hệ  các  vectơ  xx0  với  mọi 

xX   Giả  sử  m   là  giá  trị  lớn  nhất  của  các  vectơ  độc  lập  tuyến  tính 

trong hệ này. Khi đó các vectơxx0với mọi  xX , có thể được diễn tả 

giống  như  tổ  hợp  tuyến  tính  của  m   các  vectơ  v v1, , ,2 v   Chú  ý  rằng,  m

vectơ độc lập tuyến tính v  (theo từ phần trên). Do đó trong trường hợp  i này thì  m  Hơn nữa, ta giả sử rằng tập n xx0:xX

hiệu nó là V x  Rõ ràng, nếu  x V  thì V x  , nhưng hình chiếu x

luôn luôn được xác định, vì vậy ta có kết quả sau đây: 

Định lí 1 1 Nếu tập V  n khác rỗng, lồi và đóng, khi đó với mọi n

x tồn tại duy nhất một điểm z V gần nhất với x  

Chứng minh Giả  sử   inf zx z V:  .  Khi  đó V  là  khác rỗngvà  là  hữu  hạn.  Giả  sử  ta  xét  một  dãy  các  điểm  z kVsao  cho 

 Do  tính  lồi,  tất  cả  các  điểm  thuộc V và  khoảng  cách  của  chúng  tới  x không thể nhỏ hơn  zx  Ta có: 

(1.6) 

(1.3) (1.4) 

(1.5) 

1.1.2 Các Định lí Tách

Định lí 1 3 Giả sử X  n là một tập lồi, đóng và giả sử xX Khi đó tồn tại 0 y n và   sao cho:0 y v,  y v,  với mọi vX Chứng minh: 

  Giả sử z X x , vì X  là tập đóngnên theo Bổ đề 1. 7, ta có: 

xz vz   v X   

Đặt  yx , và ta có z y   vì xX  Suy ra  y x, z 0,  v X   Khi đó 

2

y v  y z  y x  y z x  y x  y  Suy ra,  

y v  y z  y x  y zx  y x  , với   y 2> 0.  Vậy định lí được chứng minh.  

Định lí 1 4 Giả sử X  n là một tập lồi, đóng và giả sử xX Khi đó tồn tại 0 y n và   sao cho:0 y v,  y x, với mọi vX

Doy  k 0,   nên ta coi k y k 1. Do B0;1 là tập compact trong  n nên  y k B0;1.  Suy  ra,  tồn  tại  dãy  con   k l  k

hàm  liên  tục  theo  hai  biến  nên  cho  l     ta  được  y v,  y x,

 suy  ra điều phải chứng minh.  

Định lí 1 5 Giả sử X và1 X là hai tập lồi trong 2 n Nếu X1X2   , thì tồn tại 0 y n sao cho:

y v   v X  suy ra,  

Vậy  1 2

y x  y x  với mọi x1X1, x2X2.   

1 2 Nón

1 2 1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1 4 Tập K  n  được gọi là nón nếu với mọi  xK và với mọi    ta có  x0  K. Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một nón và vừa là tập lồi.  

  Một  ví  dụ  đơn  giản  của  một  nón  lồi  nằm  trong  nvới  orthant  không âm: 

Bổ đề 1 8 Giả sử K là một nón lồi Nếu x1K x, 2K, ,x mK và

Bổđề1 9 Giả sử rằng X là một tập lồi Khi đó tập

   : , 0 ,

cone X  x xX  

là một nón lồi

Chứng minh Tập  cone X  là một nón, bởi vì mọi phần tử của nó  

d x và  0, ta cũng có d x cone X  . Để chứng minh nó 

là lồi, ta xét: 

1 1 1

và K  là các nón lồi và 2 K1K2   , thì tồn tại y 0 sao cho: 

, ,

y x  y x với mọi x1K x1, 2K2.  

  Sử dụng Bổ đề 1. 11, ta suy ra  yK1o và  y K2o. Do đó Định lí 1.6  có thể được viết lại như sau: tồn tại y1K1o và y2K2o sao cho 

Vìm i1K i    nên  ta  cóC1C2     Theo  Định  lí  1.  6  ta  có  thể  tìm 

0 y mn sao cho:  y,  y z,  với mọi x, ,xvà mọi zC1.  

Bổ đề 1 12 Nếu xintK thì y x  , với mọi 0, 0  y K o  

Chứng minh Giả  sử  y x , 0  với  0 y K o.  Đặt  z x y,vì int

x K với      đủnhỏ  ta  có 0 zK   và  y z    mâu  thuẫn  với , 0

 thì với mọi xK ta có: 

1 2 3 Nón pháp tuyến 

(1.9) 

Định nghĩa 1 7 Xét tập lồi đóng X  n và một điểm xX  Tập 

Định nghĩa 1 9 Hàm  f  được gọi là lõm nếu f là lồi.  

Định nghĩa 1 10 Hàm  f  được gọi là chính thường nếu  f x    với  

Bổ đề 1 16 Nếu f là lồi thì dom f là một tập lồi

Chứng minh Nếu  x1dom f và x2dom f , theo Bổ đề 1. 15 ta có:

là lồi, với mọi c10,c2 0, ,c m 0.

Chứng minh Từ (1. 10) ta xác định đúng cho mỗi  f , ta có thể nhân  i

bất đẳng thức đó với c   và cộng lại để có được (1. 10 cho hàm  i 0 f  Hàm  f : n    được  gọi  là  hàm  nửa  liên  tục  dưới,  nếu  với  mọi dãy hội tụ  k

x ta có: 

lim k lim inf  k

k k

Chứng minh Xét dãy điểm x k,k  của epi f và ta giả sửx k x 

và k , khi k    Nếu f là hàm nửa liên tục dưới thì ta có:

  liminf  k lim k ,

k k

x    hội  tụ  tới  điểm 

trong đó giới hạn ở vế bên phải có thể là . Khi đó tồn tại    sao 0cho   k  

f x  f x  với mọi điều kiện đủ k lớn. Do đó:

 

x k, f x   epi f  với mọi điều kiện đủ k  lớn. Khi trên đồ thị là đóng thì giới hạn của các 

là lồi Ngoài ra, nếu f là nửa liên tục dưới thì tập M là đóng với mọi

Chứng minh Nếu  xM và  yM thì theo Bổ đề 1. 15 ta có: 

Định lí 1 10 Giả sử f : n là hàm lồi và giả sử X dom f là tập lồi, đóng và bị chặn Khi đó tập các nghiệm của bài toán







   Theo Bổ đề 1. 18 ta có : 

Từ  (1.  13)  ta  có  f x ˆ  f x i ,i1,2,,m.  Với  mọi  điểm x i  cũng tối 

ưu. Ta thấy rằng tập nghiệm của (1. 12) bao hàm trong bao lồi của các điểm cực trị là tập nghiệm của (1. 12).  

  Nếu  hàm  f     là  affine  thìf     là  hàm  lồi.  Tập  nghiệm  của  bài toán (1. 12) giống tập minima của f    với mọi xX  Do đó, bao lồi của  các  điểm  cực  trị  là  tập  nghiệm  của  (1.  12)  bao  hàm  trong  tập  các nghiệm của (1. 12).   

(1.12) 

(1.13) 

1 4 Dưới vi phân của hàm lồi  

1 4 1 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 1 12 Giả  sử  f : n    là  hàm  lồi  và  giả  sử  x dom f

 Khi đó với mỗi d  n ta có: 

được gọi là đạo hàm theo hướng của  f tại x theo hướng d   

1 4 2 Dưới gradient và dưới vi phân 

b) Tập tất cả dưới gradient của hàm  f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm  ftại x và kí hiệu là f x , tức là: 

f x g f y f x g y x y

Bổ đề 1 23 Giả sử f : n là hàm lồi chính thường và giả sử

x dom f Một vec tơ g  n được gọi là dưới gradient của hàm f tại

x khi và chỉ khi

 

f x d  g d  d Chứng minh Giả sử (1. 14) đúng, khi đó với mọi  y

 ta có:

f y  f x  f x yx  f x  g yx

(1.14) 

điều  đó  chỉ  ra  rằng g là  dưới  gradient.  Ta  chứng  minh  điều  ngược  lại. 

  Thật vậy, giả sử gf x . Khi đó, với mọi d  và   , theo Định 0nghĩa 1. 13 ta có:  

    ' ; ,

f xd  f x  f x d   ,  hai tập  đó không có điểm  chung và là  các tập lồi.  Do  đó,  chúng có thể tách bởi một mặt phẳng.  

y v, E và với mọi   ta có: 

(1.15) 

   

u  v u xd  f x  f x d    

Ta suy ra  0, trái lại ta cho  v    dẫn đến mâu thuẫn.  

  Giả sử  0, khi đó vì  x  là điểm trong của miền nên ta có thể chọn 

y  thuộc hình cầu nhỏ  B  tâm  x  khi đó tồn tại  v f y . Trong (1. 16) ta đặt  0,khi đó ta có: 

u y  u x  y B  Điều này chỉ xảy ra khi u   và mâu thuẫn với điều kiện 0 z   Do đó 0

f y  g y  f x  f x d  g xd ,  với mọi yintdom f  và     

và x y/ 2 int dom f   Áp  dụng(1.  17)  cho  f x y/ 2  thì  Định nghĩa 1. 13 đúng với mọi ydom f và với mọi  n

  Chứng  minh  tính  bị  chặn  của  g.  Giả  sử  g f x ,  với  xd là 

Hơn nữa, nếu f 'x d   thì cận trên đúng hàm đạt được ; 

Chứng minh Ta  có  đạo  hàm  theo  hướng  f 'x d tồn  tại  hữu  hạn , 

Bổ đề 1 25 Một hàm lồi f : n là khả vi tại x khi và chỉ khi dưới

vi phân f x chỉ có một phần tử, trong trường hợp này là gradient của hàm f tại x

Bổ đề 1 26.  Giả sử rằng f : n  là hàm lồi,   và 0

   

h x f x Khi đó h là lồi và h x f x  với mọi x

Chứng minh Quan  hệ  dưới  đây  được  chỉ  ra  từ  định  nghĩa.  Ta  có 

, và h x  f Ax  Khi đó h x  A Tf A x, với mọi x

Chứng minh Ta có  gf Ax khi và chỉ khi : 

là các hàm lồi chính thường Nếu tồn tại một điểm x odom f sao cho f 1

là liên tục tại x , thì f x  f x1  f2 x , x dom f

dưới vi phân f x1  và f2 x (xem Định lí 1. 11 và nhận xét sau chứng minh của nó) và từ Bổ đề 1. 2.  

  Cả  hai  dưới  vi  phân  f x1   và  f2 x là  đóng  và  tổng 

còn  trường  hợp  là  khi  cả  hai  dưới  vi  phân  không  bị  chặn.  Xét  hai  dãy 

k k k

g z g

Bằng cách  chọn  một  chuỗi,  nếu cần thiết  ta  có  thể giả sử rằng  k

z   có giới hạn là z  Ta có: 

k

g  và đi đến giới hạn ta kết luận rằng: 

2 0

0 z x, zx  z  , (mâu thuẫn).  

Vì vậy, tổng f x1  f2 x là đóng.    

CHƯƠNG 2 MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC

2 1 Trên đồ thị của hàm lồi

  Chúng ta nhắc lại một vài khái niệm và một số kí hiệu. Cho  X  và 

Z  là các không gian Banach. Không gian đối ngẫu của  X  là  X' với tôpô yếu*. Cho tập  D X  bao đóng  D  được kí hiệu là  clD  Nếu tập  A X'

b) Hàm tựa D được định nghĩa là D u supx D u x . 

Định nghĩa 2 1 2 Nón pháp tuyến của tập  D  được viết là: 

Epi f  x r X  xdom f f x r  Định nghĩa 2 1 4 Hàm  f  được gọi là hàm chính thường nếu 

dom f   và  f x      

Định nghĩa 2 1 5 

 Hàm  f được  gọi  là  nửa  liên  tục  dưới  tại  xX (với  f x   ),  

nếu với mọi    tồn tại lân cận U  của 0 xsao cho: 

*

f v  v x  f x xdom f  Định nghĩa 2 17 Dưới vi phân của hàm  f  kí hiệu là f X: ⇉X'được xác định bởi: 

  Giả sử hàm h X : '   là hàm chính quy, nửa liên tục dưới yếu * được định nghĩa bởi hàm cl h và đẳng thức:  

 

Epi cl h cl Epi h,  trong đó bao đóng ở vế phải được lấy theo topo yếu*. Hàm cl h được đặc trưng  như  là  hàm  lớn  nhất  trong  tất  cả  các  hàm  trội  nửa  liên  tục  dưới yếu*của  h.  Với  mỗi  hàmlồi,  chính  thường  f X :     ta  có khẳng định  f cl f  f**. Nếu hàm  f  là hàm lồi, chính thường thì theo Định lí Fenchel- Moreau ta có cl h f**. Do đó với bất kì hàm  f là hàm lồi,  chính  thường  và  nửa  liên  tục  dưới,  ta  có  f cl h f**  (xem  [23, Định lí 6. 18]).  

  Cho  hai  hàm  chính  thường,  nửa  dưới  liên  tục  f  và  g :

(2.1) 

(2.2) 

Định lí 2 2 1.  Giả sử f và g : X   làhai hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới sao cho dom f  dom g   Nếu

điều đó cũng có nghĩa rằng:cone dom f dom glà một không gian con 

đóng [2], với  a  thuộc vào tập lồi  A  nằm trong X  

core A  aA  x X        axA ,  

và int A kí hiệu là phần trong của A.  

  Những ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối ngẫu của bao đóng yếu hơn của phần trong.  

Epi f Epi g   ,  mà  nó  là  một  nón  lồi.  Tuy  nhiên, 

int dom f dom g  , và cone dom f dom g0, không là không 

gian con.  

  Bây giờ chúng ta thấy rằng điều kiện đối ngẫu là đặc trưng đầy đủ của  công  thức  dưới  vi  phân  của  tổng  trong  trường  hợp  đó  các  hàm  số 

Bổ đề 2 2 2 Giả sử C và D là hai tập con đóng, lồi của X với

CD  Nếu EpiC EpiD là đóng yếu * với mọi x C D  ta có

N  x N x N x Chứng minh Giả sử  f = C  và  g   thìD f g C D , theo định lý trên ta có: 

N  x    x   x   x  N x  N x   

  Từ  định lý trên nếu C và  D là hai tập con lồi đóng của  X  thì ta có 

CD nếu cone C D  là không gian con đóng thì,  

Epi Epi là đóng yếu*.  

Hơn nữa nếu  X  là không gian Euclid,  C và  D  là hai nón lồi, đóng và 

nếu cặp C D, là bị chặn đều tuyến tính thì EpiC EpiD là đóng (xem [6]). Cặp {C, D} được gọi là bị chặn đều tuyến tính [4, 5], nếu mỗi tập bị 

chặn  S   trong  X ,  tồn  tại S  sao  cho  khoảng  cách  tập  C,  D   và 0