Giải tích fourier hữu hạn

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô trong tổ Giải Tích và sự hỗ trợ

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô trong tổ Giải Tích và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận

Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng nhưng những vấn đề em trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo,

cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có thể hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian qua, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” không trùng với bất kì khóa luận tốt nghiệp nào khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Xuân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 4 Phương pháp nghiên cứu 5 Cấu trúc NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier……….…… 3

1.1.1 Định nghĩa………3

1.1.2.Sự hội tụ………4

1.1.3 Sự hội tụ đều………8

1.1.4 Sự hội tụ trong 2 2  , L  L   ……….13

1.1.5 Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval 16

1.2 Nhóm hữu hạn……… ……….18

1.2.1 Định nghĩa nhóm………18

1.2.2 Tính chất cơ bản của nhóm……… 19

1.2.3 Nhóm  N ……… 20

CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN 2.1 Chuỗi Fourier trên  N ……….28

2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier……….29

2.1.2 Công thức Fourier ngược……….30

2.1.3 Biến đổi Fourier nhanh……… 31

2.2 Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn……….32

2.2.1 Đặc trưng……… 32

2.2.2 Các quan hệ trực giao……… 33

2.2.3 Các đặc trưng như là một hệ đầy đủ……….35

2.3 Chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn tổng quát……… 38

2.3.1 Định nghĩa……….38

2.3.2 Công thức ngược……… 38

2.3.3 Đẳng thức Plancherel………39

2.4 Một số bài tập……….….39

Kết luận chung……… 46

Tài liệu tham khảo……… 47

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về biến đổi Fourier là một vấn đề lí thú của toán học, có rất nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho nghiên cứu rất nhiều vần đề

Trong quá trình học tập một số môn học và bài giảng chuyên đề em đã được tiếp thu rất nhiều kiến thức về chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel, đẳng thức Parseval, tích phân Fourier….Những kiến thức đó đã tạo cho em niềm say mê, hứng thú với môn toán, đặc biệt là ngành Giải Tích Hơn nữa

em muốn có thêm kiến thức về chuỗi Fourier và biến đổi Fourier

Chính vì lí do trên em đã chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” , dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Bùi Kiên Cường để nghiên cứu làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic, đặc thù môn học

Khắc sâu, tìm hiểu những kiến thức về Giải tích Fourier hữu hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn

Bước đầu tìm hiểu về chuỗi Fourier hữu hạn

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng: Chuỗi Fourier và các nhóm hữu hạn

+) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp đánh giá tổng hợp

Phương pháp so sánh, phân tích

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận còn gồm hai chương là:

+) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

+) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn

Chương 1: trình bày các vấn đề cơ bản về chuỗi Fourier trong trường hợp tổng quát và một số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm  N

Chương 2: trình bày về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn

Từ đó, ta thấy được sự giống và khác nhau trong hai trường hợp

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

f L f khả tích Lesbesgue trên  , , ta định nghĩa

chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau:

và lưu ý rằng kí hiệu “ ~” không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi

trên, đơn giản nó chỉ mối liên hệ (1.1) – (1.2) mà thôi Nếu f là hàm tuần

hoàn chu kì 2 , ta có định nghĩa chuỗi Fourier của f tương tự như trên,

trong đó các hệ số a n, b được tính trên một đoạn tùy ý n a a, 2. Nếu f

là hàm tuần hoàn chu kì 2l , bằng phép đổi biến 

Biến phân của hàm f trên a b,  kí hiệu V f   V f a b , ,  xác định bởi:

 

1

sup

n i

P i



Nếu V f  hữu hạn thì ta nói hàm f có biến phân bị chặn

Bổ đề Tích phân Dirichlet) Cho f là hàm số thực hoặc phức xác định trên khoảng a b,  và thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet dưới đây:

(i) Tồn tại các giá trị f a    , f b

và f có biến phân bị chặn trên

a b,  ( ta coi hàm f xác định trên a b,  với giá trị biên

f a f a

 và f b  f b 

(ii) Có hữu hạn điểm thuộc a b,  sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của a b, , hơn nữa 1 

,

f  L a b Khi đó:

a) Nếu 0ab thì lim  sin 0

Với x   ,  cố định, ta có các hàm theo biến  là f x 2 ( theo biến  ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng

1lim

12

 Nếu f liên tục tại x thì f x  f x  f x 

 Với x   , chứng minh tương tự Ta cũng có

với F và G là các hàm bị chặn, không âm, đơn điệu tăng Ngoài ra, F và

G liên tục tại các điểm mà f liên tục

Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số   0 bất kì, ta sẽ tìm được số n0N sao cho với mỗi n  n0, bất đẳng thức

" S x n  f x " đúng cho  x a b,  Thật vậy, với mỗi xa b, ,

ta có

trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x  x  2 trong tích phân thứ hai

và tính tuần hoàn chu kì 2 của f trong tích phân thứ ba

Do f  F  G, tách cận tích phân và biến đổi ta được

Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.4) Ta có

0 / 2

p

q r

q r

ở đây p  r q; ( tính toán trực tiếp ta có bất đẳng thức sau cùng) Áp

dụng điều này vào (1.8) và chú ý rằng sin  sin, suy ra:

Ta cũng có kết quả đánh giá hoàn toàn tương tự cho các số hạng còn lại bên

vế phải của (1.4), từ đó suy ra



cách chọn này không phụ thuộc vào xa b, 

Vậy định lí đã được chứng minh

Chuẩn tương ứng với tích vô hướng là: f  f f,

Bất đẳng thức Schwarzt Với mọi 2 

2 2 

0

k k

và f  g  2M Ngoài ra, ta xem g như hàm tuần hoàn chu kì 2 và

liên tục trên , nên ta có một đa thức lượng giác (tổng Fejer – Cesaro của

1/ 2 2

Như vậy hệ đã cho là một cơ sở trực chuẩn

Định lí 1.4 Chuỗi Fourier của hàm 2 

,

f  L   sẽ hội tụ trung bình về hàm f theo nghĩa:

Ta nói chuỗi

2

inx

n n

e c

e c

e c





Trong trường hợp chuỗi Fourier của f (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)

hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau:

   

122

  

0

1 0

1

1

22

Cho N là một số nguyên dương Một số phức z là căn bậc N của đơn vị

nếu z  Tập hợp các căn bậc N của đơn vị là: N 1

 2 / 2 2/ 2  1 / 

1,e i N,e i N, ,e i N N Thật vậy, giả sử rằng N  1

Định nghĩa: Nhóm  N là tập hợp tất cả các căn bậc N của đơn vị trên đường tròn

Chú ý: Từ n  m , với m và n khác nhau bởi một bội số nguyên của N

ta thấy việc lựa chọn lũy thừa với số mũ nguyên của  để xác định các căn của đơn vị không phải là duy nhất Thực tế, ta có thể lựa chọn các số nguyên thỏa mãn 0  n  N 1

Sự lựa chọn này là hoàn toàn hợp lí trong các số hạng của tập hợp,

chúng ta hỏi rằng điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta nhân các căn của đơn vị Rõ ràng chúng ta phải cộng các số mũ một cách tương ứng.Từ đó    

Chúng ta nhìn thấy rằng sau khi cộng các số nguyên n và m chúng ta quy về modun N , để mà tìm được duy nhất số nguyên

0k  N 1 thỏa mãn (n  m ) - k là một bội số nguyên của N Một cơ

sở tương đương để tiến tới vô cùng là sự kết hợp mỗi căn của đơn vị w với một lớp tương đương của n để mà n   Để cộng hai lớp này, chọn bất

kì một số nguyên trong mỗi nhóm của chúng, ta lấy lần lượt là n và m , và xác định tổng của hai lớp này là lớp với số mũ là số nguyên m n

Chúng ta hình thức hóa các khái niệm trên Hai số nguyên x y, cùng

modun N nếu hiệu x y chia hết cho N , và chúng ta viết x  y mod N

Nói một cách khác, điều này nghĩa là x và y khác nhau bởi một bội số

nguyên của N Dễ dàng kiểm tra được ba tích chất dưới đây:

 x  x mod N , với mọi số nguyên x

 Nếu x  y mod N , thì y  x mod N

 Nếu x  y mod N và y  z modN, thì x  z mod N.

Các tính chất trên là một quan hệ tương đương trên Lấy R x  kí hiệu

cho lớp tương đương hoặc lớp thặng dư các số nguyên x Bất kì số nguyên

nào có công thức x kN với k là một phần tử ( hoặc đại diện) của

 

R x Trong thực tế có đúng N lớp tương đương, mỗi lớp có duy nhất một

đại diện nằm giữa 0 và N 1 Bây giờ chúng ta có thể cộng các lớp tương đương bằng định nghĩa sau:

R x   R y   R x  y

Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện x và y bởi vì

nếu x' R x  và y' R y  thì dễ dàng kiểm tra được rằng

1 nằm trên đường tròn đơn vị

Cho V và W lần lượt kí hiệu cho không gian vecto của các hàm có giá trị phức trên nhóm các số nguyên modun N và nhóm các căn bậc N của đơn vị Khi đó, tương ứng cho ở trên được mở rộng từ V vào W như sau:

ở đây F là một hàm trên vành các số nguyên modun N và f là một hàm

trên nhóm các căn bậc N của đơn vị

Từ bây giờ trở đi, chúng ta viết  N nhưng hiểu một trong hai nghĩa là

nhóm các số nguyên modun N hoặc nhóm các căn bậc N của đơn vị

Một đồng cấu giữa hai nhóm Aben G và H là một ánh xạ f : G  H

mà thỏa mãn tính chất:

f a b    f a   f b ,

ở đó dấu nhân nằm ở bên tay trái là phép toán trong G và dấu nhân nằm ở

bên tay phải là phép toán trong H

Chúng ta nói rằng hai nhóm G và H là đẳng cấu, và viết G  H, nếu f

vừa là song ánh vừa là đồng cấu từ G vào H Hay G đẳng cấu với H khi

và chỉ khi f và 1

f đều là đẳng cấu

Nói cách khác, đẳng cấu nhóm mô tả các đối tượng giống nhau bởi vì chúng đều có cùng cấu trúc nhóm cơ bản; tuy nhiên, các kí hiệu biểu diễn trong các trường hợp của chúng có thể là khác nhau

Ví dụ 1 Một đẳng cấu giữa hai nhóm Aben được nảy sinh khi chúng tôi xem xét nhóm  N Trong biểu diễn thứ nhất cho trước nhóm nhân các

căn bậc N của đơn vị trong Trong biểu diễn thứ hai cho nhóm cộng

/ N các lớp thặng dư của các số nguyên modun N Ánh xạ n  R n 

biến một căn của đơn vị 2  /

Ví dụ 2 Song song với ví dụ trên, chúng ta thấy rằng đường tròn ( với phép toán nhân) đẳng cấu với nhóm các số thực modun 2 ( với phép toán cộng)

Ví dụ 3 Các tính chất của hàm mũ và hàm logarit đảm bảo rằng:

Trong những điều sau đây, chúng ta chỉ quan tâm tới các nhóm Aben mà

hữu hạn Trong trường hợp này, chúng ta kí hiệu G là số lượng các phần

tử trong G và gọi G là cấp của nhóm Ví dụ cấp của nhóm  N là N

Rõ ràng, nếu G và 1 G là hai nhóm Aben hữu hạn thì 2 G1 G cũng là một 2

nhóm Aben hữu hạn Định nghĩa của tích trực tiếp có thể mở rộng cho trường hợp có hữu các thừa số G1G2  G n

 Định lí cấu trúc đối với các nhóm Aben hữu hạn phát biểu rằng những nhóm như vậy là đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm kiểu  N Đây

là một kết quả đẹp cho chúng ta một cách nhìn tổng quát về các lớp của tất

cả các nhóm Aben hữu hạn Tuy nhiên, từ nay chúng ta sẽ không sử dụng định lí này dưới đây, chúng ta bỏ qua việc chứng minh nó

Nhóm * 

q

Cho q là một số nguyên dương Chúng ta thấy rằng phép nhân trong

 q được định nghĩa không thể nhầm lẫn được, bởi vì nếu n cùng một

lớp tương đương với n' và m cùng một lớp tương đương với m' ( cả hai cùng modun q), thì nm cùng một lớp tương đương ' '

n m modun q Một số nguyên n  q là đơn vị nếu ở đây tồn tại một số nguyên m  q sao cho

*   

5  1, 2, 3, 4 Hơn nữa, * 

5 đẳng cấu với  4 với các tương ứng dưới đây

8 đẳng cấu với tích đề các  2   2 Trong trường hợp này đẳng cấu giữa hai nhóm đã cho được xác định như sau:

 Tập hợp các số thực với phép cộng thông thường Phần tử đơn vị là 0

 Với phép cộng thông thường, tập hợp tất cả các số nguyên là một nhóm Aben Tuy nhiên, tập  0 không là một nhóm Aben với phép toán nhân, từ đó với ví dụ này, 2 không có phần tử nghịch đảo trong Ngược lại, tập  0 là một nhóm Aben với phép toán nhân

 Đường tròn S1 trong mặt phẳng phức Nếu chúng ta xem đường tròn giống như tập các điểm  e i : , thì phép toán trong nhóm này là phép nhân của các số phức Tuy nhiên, nếu chúng ta xác định các điểm trên S1

với góc của chúng là  thì S1 trở thành nhóm modun 2 , phép toán ở đây là phép cộng modun 2

  N là một nhóm Aben, ở đây được hiểu là nhóm các căn bậc N của

đơn vị trên đường tròn,  N là một nhóm với phép nhân các số phức ở trên Tuy nhiên, nếu  N được xem như là / N , các số nguyên

modun N thì nó là một nhóm Aben, phép toán ở đây là phép cộng modun

N

CHƯƠNG 2 CHUỖI FOURIER HỮU HẠN

2.1 CHUỖI FOURIER TRÊN  N

Bước đầu tiên và quan trọng nhất trong việc phát triển chuỗi Fourier là tìm ra các hàm tương ứng với các hàm mũ   2 inx

n

e x  e  trong trường hợp các hàm tuần hoàn Một vài tính chất quan trọng của hàm mũ là:

Cho V là không gian vectơ các hàm giá trị phức có số chiều N Trên V ta

trang bị tích vô hướng:

 

2 1

lập tuyến tính, và vì không gian vecto V là không gian N chiều, chúng ta

kết luận rằng e0, ,e N1 là một cơ sở trực giao đối với V Rõ rằng tính

chất (iii) cũng đúng cái mà e k l  me k e m l   l , đối với mọi l và mọi

Ta có định nghĩa chuỗi Fourier như sau:

2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier

Cho V là không gian vectơ các hàm giá trị phức có số chiều N Trên V

được trang bị tích vô hướng (2.1) Với bất kì FV ta định nghĩa chuỗi

k

N

Ta có định lí sau:

2.1.2 Công thức Fourier ngược

Định lí 2.1.1 ( Công thức Fourier ngược) Nếu F là một hàm trên  N , thì