Tối ưu hóa dầm thép cán nguội sử dụng giải thuật di truyền và phương pháp giải hữu hạn

Nghiên cứu ứng xử ổn định đàn hồi của cấu kiện thép cán nguội bằng Phương pháp Dải Hữu hạn.. Ở Việt Nam, một số luận văn cao học nghiên cứu về đề tài trên như: Lưu Đức Duy 2003, Phân t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- -

CHÂU ĐỨC HẢI

TỐI ƯU HÓA DẦM THÉP CÁN NGUỘI SỬ DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN VÀ PHƯƠNG

PHÁP DẢI HỮU HẠN

Chuyên ngành : Xây Dựng Dân Dụng – Công Nghiệp

Mã số ngành : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

(PHẦN THUYẾT MINH)

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2008

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại :

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP, HỒ CHÍ MINH

Ngày tháng năm

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp HCM ngày tháng 06 năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Châu Đức Hải Phái: NAM

Chuyên ngành: Xây Dựng Dân Dụng – Công Nghiệp MSHV: 02104542

Khóa: 15

I TÊN ĐỀ TÀI:

Tối ưu hóa dầm thép cán nguội sử dụng giải thuật di truyền và phương pháp dải hữu hạn

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

1 Nghiên cứu ứng xử ổn định đàn hồi của cấu kiện thép cán nguội bằng

Phương pháp Dải Hữu hạn

2 Xây dựng quy trình thiết kế cấu kiện thép cán nguội dựa theo Phương pháp Cường độ Trực tiếp

3 Sử dụng Giải Thuật Di truyền để tối ưu hĩa quy trình thiết kế

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: –06–2006

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 05–3–2007

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PSG TS BÙI CÔNG THÀNH

QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng 06 năm 2006

MỤC LỤC 1

Chương 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Sơ lược tình hình nghiên cứu 1

1.3 Nội dung luận văn 2

Chương 2 PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA DẦM THÉP CÁN NGUỘI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN 4

2.1 Giới thiệu về FSM và so sánh với FEM 4

2.2 Nguyên lý năng lượng đối với dầm đơn 5

2.3 Dải phần tử tấm 5

2.3.1 Hàm chuyển vị 5

2.3.2 Nguyên lý năng lượng 7

2.3.3 Ma trận độ cứng và vec tơ tải trọng 9

2.3.4 Cực tiểu hóa thế năng toàn phần 12

2.4 Dải phần tử ứng suất phẳng 12

2.4.1 Hàm chuyển vị 12

2.4.2 Ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng 13

2.5 Dải vỏ phẳng 16

2.5.1 Ma trận độ cứng và vec tơ tải trọng 16

2.5.2 Phép đổi hệ tọa độ 16

2.6 Sự tương tác giữa uốn và biến dạng trong mặt phẳng tấm 18

2.7 Ma trận độ cứng hình học đối với tấm 20

2.8 Phân tích ổn định 21

2.8.1 Ổn định của tấm 21

2.8.2 Ổn định của kết cấu thành mỏng 21

2.8.3 Phương pháp tìm lời giải của FS 23

Chương 3 THIẾT KẾ DẦM THÉP CÁN NGUỘI THEO TIÊU CHUẨN AISI NAS 25 3.1 Sơ lược về phương pháp bề rộng hữu hiệu 25

3.1.1 Phần tử tựa cứng chịu nén đều: 27

3.2.1 Phạm vi áp dụng 31

3.2.2 Dầm đủ điều kiện sử dụng (Pre-qualified Beams) 32

3.2.3 Mất ổn định Đàn hồi 33

3.2.3.1 Mất ổn định cục bộ theo Phương pháp Dải Hữu hạn (Mcrl) 36

3.2.3.2 Mất ổn định Biến dạng theo FSM (Mcrd) 37

3.2.3.3 Mất ổn định Tổng thể (Euler) theo FSM (Mcre) 38

3.2.4 Xác định khả năng phục vụ của kết cấu 39

3.2.5 Thiết kế Dầm 39

3.2.5.1 Mất ổn định xoắn – bên 39

3.2.5.2 Mất ổn định cục bộ 39

3.2.5.3 Mất ổn định biến dạng 40

Chương 4 GIỚI THIỆU CHƯƠNG TRÌNH “COLD FORMED STEEL BEAM” VÀ CÁC THÍ DỤ TÍNH TOÁN 41

4.1 Giới thiệu chương trình 41

4.2 Thí dụ tính toán 49

4.2.1 Tiết diện chữ C 49

4.2.1.1 Tính toán khả năng chịu uốn của cấu kiện không giằng bên: 50

4.2.1.2 Tính toán khả năng chịu uốn của cấu kiện được giằng bên hoàn toàn: 51 4.2.2 Tiết diện lòng kênh có vách gia cường 52

Tính toán khả năng chịu uốn của cấu kiện không giằng bên: 53

Chương 5 GIẢI THUẬT DI TRUYỀN 55

5.1 Giới thiệu chung về nguyên lý, toán tử và thuật giải 55

5.1.1 Mã hóa và Giải mã 55

5.1.2 Đánh giá Độ thích nghi 56

5.1.3 Luật Chọn lọc 56

5.1.4 Lai ghép (Crossover) 57

5.1.4.1 Lai ghép một điểm 58

5.1.4.2 Lai ghép nhiều điểm 58

5.1.4.3 Lai ghép đều 58

5.1.5 Đột biến (Mutation) 58

5.1.6 Tinh chọn hóa (Elitism) 59

5.2 Sử dụng Giải Thuật Di Truyền trong Matlab 59

5.3 Mô tả bài toán tối ưu hóa dầm thép cán nguội: 60

5.4 Sơ đồ khối chương trình tối ưu 62

5.4.1 Mô đun tính toán cường độ chịu uốn danh nghĩa: 62

5.4.2 Mô đun tính toán giá trị hàm phạt: 63

5.4.3 Mô đun tối ưu hóa tiết diện: 63

Chương 6 THÍ DỤ VỀ THIẾT KẾ TỐI ƯU DẦM THÉP CÁN NGUỘI 64

6.1 Tiết diện chữ C 64

6.1.1 Mô tả bài toán 64

6.1.2 Kết quả: 66

6.2 Tiết diện chữ C có vách gia cường 68

6.2.1 Mô tả bài toán 68

6.2.2 Kết quả 70

6.3 Tiết diện chữ Z 73

6.3.1 Mô tả bài toán 73

6.3.2 Kết quả 75

6.4 Tiết diện lòng kênh (channel) 76

6.4.1 Mô tả bài toán 76

6.4.2 Kết quả 78

6.5 Tiết diện lòng kênh có vách gia cường 79

6.5.1 Mô tả bài toán 79

6.5.2 Kết quả 81

Chương 7 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN NGHIÊN CỨU 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề

Đề tài luận văn liên quan đến việc thiết kế tối ưu các cấu kiện dầm thép được chế tạo bằng phương pháp gia công cán nguội các dải thép hay tấm thép để tạo hình thành các tiết diện khác nhau Cấu kiện thép cán nguội bao gồm các sản phẩm như đòn tay và dầm cái cho công trình nhà thép kim loại, dầm và cột cho công trình nhà thương mại hoặc nhà ở loại nhẹ, khung đỡ cho hệ thống tường bao che, hệ thống mái che di động, tạo thành hệ khung sườn cho việc thi công sàn và mái nhà, và còn rất nhiều sản phẩm khác Ngày nay, những sản phẩm này được phát triển rộng rãi và được sử dụng thường xuyên trong nhiều dự án ở các nước cũng như ở Việt Nam Chúng có các đặc điểm như cường độ cao, có trọng lượng nhẹ, đa dụng, chống cháy , và dễ chế tạo đã làm cho việc ứng dụng trở nên có hiệu quả kinh tế cao Hình 1-1 thể hiện tiết diện của một số sản phẩm thông dụng.

Hình 1-1 Một số tiết diện thép cán nguội thông dụng

1.2 Sơ lược tình hình nghiên cứu

Việc lựa chọn các kích thước của tiết diện thép cán nguội sao cho vừa kinh tế mà vẫn thỏa mãn các điều kiện về ổn định và cường độ rất được quan tâm nghiên cứu

Trên thế giới đã có nhiều nghiên cứu và bài báo về đề tài tối ưu hóa kết cấu thép cán nguội thành mỏng Seaburg et al (1971) [31] dùng phương pháp tìm kiếm gradient trực tiếp để tìm trọng lượng tối thiểu của cấu kiện có tiết diện chữ H Park et al (1995) [25] phát triển mô hình nơron động để tối ưu hóa bài toán phi tuyến với các ràng buộc phức tạp Tiếp theo đó, mô hình trên cũng được ứng dụng để tối ưu dầm thép cán nguội tựa đơn dựa trên tiêu chuẩn AISI (Adeli, H and Karim, A (1997) [1]; Karim, A and Adeli,

H (1999a) [11]; Karim, A and Adeli, H (1999b) [12]; và Karim, A and Adeli, H (2000) [13]) Nagy (2000) [21] sử dụng giải thuật di truyền để giải quyết các bài toán tiết diện thành mỏng có dạng hình thang Weilu (2003) [19] sử dụng giải thuật di truyền

để tối ưu xà gồ thép cán nguội dựa trên tiêu chuẩn Eurocode3 có hiệu chỉnh Jaehong

Lee, Sun-Myung Kim, Hyo-Seon Park, Byung-Hun Woo (2004) [9] thiết kế tối ưu dầm thép cán nguội tiết diện lòng kênh sử dụng giải thuật di truyền micro

Ở Việt Nam, một số luận văn cao học nghiên cứu về đề tài trên như: Lưu Đức Duy

(2003), Phân tích và tính toán thiết kế tối ưu một số kết cấu thép dạng thanh thành

mỏng mặt cắt hở [20] sử dụng các phương pháp tối ưu truyền thống để giải bài toán với

mô hình phần tử hữu hạn; Nguyễn Trần Thiện Tâm (2003), Khảo sát ổn định thanh

thẳng thành mỏng tiết diện hở theo phương pháp dải hữu hạn [22]

Về phương pháp tối ưu, ngoài các phương pháp truyền thống, hiện nay, phương pháp giải thuật di truyền được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tối ưu kết cấu Các đề tài luận văn ứng dụng giải thuật di truyền để tối ưu kết cấu, được thực hiện tại trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM, như :

Lê Trung Kiên (2000), Tính tối ưu hệ dàn phẳng sử dụng thuật giải di truyền [17]

Lê Đức Hiển (2001), Thiết kế tối ưu dầm bêtông cốt thép dùng thuật giải di truyền [18] Thái Quốc Dũng, Thiết kế tối ưu kết cấu khung composite dùng thuật giải di truyền [33]

1.3 Nội dung luận văn

Nội dung thiết kế kết cấu thép cán nguội được qui định và hướng dẫn trong nhiều tiêu chuẩn thiết kế kết cấu thép của các nước Tại châu Âu, nội dung này được qui định

trong tiêu chuẩn Eurocode 3, Phần 1.3 (1996) Tại Hoa Kỳ và các nước Bắc Mỹ khác, nội dung thiết kế kết cấu thép cán nguội được hướng dẫn trong Quy định của Bắc Mỹ về

Thiết kế cấu kiện Thép Cán nguội (North American Specification for the Design of

Cold-Formed Steel Structural Members - 2001), ban hành bởi Viện Sắt và Thép Hoa

Kỳ (American Iron and Steel Institute – AISI), và được viết tắt là AISI NAS (American Iron and Steel Institute North American Specification)

Về phương pháp thiết kế, Eurocode 3 cũng như AISI NAS (Chương A đến G và Phụ

lục A đến C, sau đây được gọi chung là Phần Quy định chính) dựa vào phương pháp bề

rộng hữu hiệu (Effective width method) Nội dung phương pháp này như sau:

Các cấu kiện thép cán nguội khác với cấu kiện thép hình cán nóng ở tỉ số bề rộng trên

bề dày (w/t) lớn hơn, do đó xuất hiện mất ổn định cục bộ Bề rộng của mỗi phần tử của tiết diện được giảm thành bề rộng hữu hiệu do mất ổn định cục bộ của tấm và bề dày của phần gia cường được giảm thành bề dày hữu hiệu do mất ổn định biến dạng Cường

độ danh nghĩa của cấu kiện được tính toán theo các đặc trưng tiết diện hữu hiệu

Phương pháp bề rộng hữu hiệu có một số giới hạn như: không xét đến sự tương tác giữa phần cánh, phần bụng và phần môi của tiết diện; tất cả các mốt ổn định không được đưa vào tính toán; việc tính toán các bề rộng hữu hiệu khá phức tạp và khó lập trình tự động

Tuy nhiên, AISI đã bổ sung thêm một Phụ lục mới vào AISI NAS một quy trình thiết

kế mới có phạm vi sử dụng song hành với phương pháp hướng dẫn trong Phần Quy

đường cong độ bền danh nghĩa nhằm tiên đoán độ bền của cấu kiện dựa trên ứng xử ổn định đàn hồi Quy trình này không đòi hỏi tính toán các bề rộng hữu hiệu cũng như quá trình lặp, thay vào đó sử dụng các đặc trưng tiết diện nguyên và ứng xử ổn định đàn hồi của tiết diện để tiên đoán độ bền

Để xác định ứng xử ổn định đàn hồi của tiết diện cần sử dụng các phép phân tích số để xác định lực hoặc momen ổn định cục bộ, biến dạng và tổng thể Phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) đã đưa ra cách giải quyết thuận tiện và hiệu quả trong việc xác định ứng suất ổn định đàn hồi và các mốt tương ứng

Nội dung của luận văn là nghiên cứu ứng xử ổn định đàn hồi của cấu kiện thép cán nguội bằng phương pháp dải hữu hạn Xây dựng quy trình thiết kế cấu kiện thép cán

nguội dựa theo Phụ lục 1: Thiết kế cấu kiện Thép Cán nguội sử dụng Phương pháp

Cường độ Trực tiếp do AISI ban hành Sau đó, sử dụng giải thuật di truyền để tối ưu

hóa quy trình thiết kế

Để xây dựng chương trình tính toán, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Malab là ngôn ngữ thông dụng và phổ biến hiện nay Đồng thời, tác giả sử dụng công cụ giải thuật di truyền được tích hợp sẵn trong phần mềm Matlab nhằm phục vụ cho quy trình tối ưu hóa thiết kế của luận văn

.Bài toán cụ thể được áp dụng để tối ưu là dầm thép cán nguội với các tiết diện khác nhau như C, Z, H Đồng thời so sánh với các kết quả nghiên cứu đã có

Chương 2 PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI CỦA DẦM THÉP CÁN NGUỘI BẰNG PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

Phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) khởi đầu được phát triển bởi Y.K Cheung Việc ứng dụng FSM để tìm hiểu và tiên đoán ứng xử của các cấu kiện thép cán nóng và thép cán nguội được phát triển mạnh bởi G Hancock [8] Hancock sử dụng ma trận độ cứng theo công thức của Cheung, và với vài phép biến đổi, đã viết phần mềm BFINST – một chương trình máy tính cho việc giải bài toán ổn định đàn hồi của cấu kiện thành mỏng tiết diện hở thông qua dải hữu hạn Những nghiên cứu đầu tiên của ông về đề tài dầm tiết diện chữ I (Hancock 1977, 1978) đã dẫn đến việc thừa nhận và hiểu biết về phương pháp dải hữu hạn

Phương pháp dải hữu hạn đã đưa ra cách giải quyết thuận tiện và hiệu quả trong việc xác định ứng suất ổn định đàn hồi và các mốt tương ứng Trong phần sau sẽ đề cập đến

sự khác biệt cơ bản giữa phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method: FEM)

và phương pháp dải hữu hạn

2.1 Giới thiệu về FSM và so sánh với FEM

Phương pháp dải hữu hạn có thể xem như là một trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp luận và lí thuyết cơ bản của 2 phương pháp là như nhau Các hàm dạng được sử dụng để xác định trường chuyển vị theo các bậc tự do của nút phần tử Biến dạng được xác định theo các bậc tự do của nút phần tử , bởi vì biến dạng

là một hàm của trường chuyển vị Với biến dạng được xác định và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, các hệ số độ cứng cho các bậc tự do của nút phần tử được thiết lập

Sự khác biệt duy nhất giữa FEM và FSM là cách rởi rạc hóa phần tử Phương pháp dải hữu hạn có tên như vậy là do chỉ có một phần tử đơn (dải) được sử dụng để mô hình theo hướng dọc trục Sự khác nhau trong việc rời rạc hóa phần tử giữa 2 phương pháp được mô tả trong Hình 2-1

Những ưu điểm và chính xác của lời giải dải hữu hạn phụ thuộc và việc lựa chọn sáng

Hình 2-1 Cách rời rạc hóa phần tử của FE và FS

2.2 Nguyên lý năng lượng đối với dầm đơn

Nguyên lý năng lượng liên quan đến FSM được mô tả chi tiết thông qua ví dụ một dầm đơn chịu tải trọng tập trung tại giữa nhịp Điều kiện biên tại hai đầu dầm là

2 2

r m m

trong đó m là hệ số chưa biết của chuỗi thứ m

Hàm chuyển vị giả định trong (2.2) cũng đồng thời thỏa mãn điều kiện biên cho bởi (2.1) Để việc xấp xỉ đạt được giá trị gần đúng nhất, các giá trị m cần làm cho thế năng toàn phần của hệ đạt cực tiểu Thế năng toàn phần  được cho bởi:

2 2 2

0( ) 2

đủ bằng cách sử dụng các hàm chuyển vị đơn giản Tất cả các dải được liên kết trơn với nhau theo các đường biên dọc gọi là các đường nút, và tất cả các trường chuyển vị của từng dải riêng lẻ cấu thành hình ảnh biến dạng của toàn bộ tấm Bởi vì hai đầu của dải

là tựa đơn, hàm chuyển vị tương ứng cần phải cho giá trị bằng 0 tại hai đầu Đồng thời momen uốn theo chiều dọc cũng cần phải bằng 0 tại các gối tựa Mỗi chuỗi các hàm sin

có thể mô tả bề mặt biến dạng theo phương dọc, và các hàm đa thức trong mỗi dải có

thể mô phỏng đầy đủ hình ảnh biến dạng theo phương ngang Do đó, hàm chuyển vị cho một dải là sự kết hợp của chuỗi các hàm sin và các hàm đa thức, và có dạng

1

1

sin sin

1

1

sin sin

r

m i r

m j

Sau khi giải (2.9) để tìm a0, a1, a2, a3, hàm chuyển vị theo (2.5) có thể viết lại như sau:

3

2 4

im r

2.3.2 Nguyên lý năng lượng

Thế năng biến dạng của một dải phần tử tấm được cho bởi (Timoshenko, S và Woinowsky-Krieger, S., 1959):

U M M M dxdy M dxdy

y w

Từ (2.12), vec-tơ độ cong có thể được biểu diễn dưới dạng các tham số chuyển vị như sau:

1, , 2

T r

m m m

x y y y

x y xy xy

E t D

v v

E t D

v v

E t D

v E t v E t D

   

1 1

r

m m m

1

2

T T

2.3.3 Ma trận độ cứng và vec tơ tải trọng

Sau khi tích phân, (2.22) và (2.23) được viết ngắn gọn lại như sau:

   

1

1

[ ] 2

r

T m

sin ( )

( )

im im

m m

jm jm

im

m

jm jm

Thế năng biến dạng của toàn bộ tấm và công của tải trọng ngoài trên toàn hệ có được bằng cách lấy tổng từ các thành phần của tất cả các dải:

1 1

1

[ ] 2

hệ số độ cứng và tải liên quan vào các vị trí tương ứng và điền các vị trí còn lại bằng 0

Do đó, phương trình (2.24) và (2.25) có thể được viết như sau

Bởi vì ma trận độ cứng của mỗi dải thì đối xứng qua đường chéo chính của nó, do đó

ma trận độ cứng tổng thể cũng là ma trận đối xứng Hơn nữa, do thế năng biến dạng không thể mang dấu âm, do đó ma trận độ cứng tổng thể là xác định dương

Ngoài ra, có thể thấy rằng là ma trận độ cứng tổng thể có các phần tử khác 0 là một dải hẹp đối xứng với đường chéo chính (đối với tấm tựa đơn, nửa bề rộng của dải là 4) Những tính chất này của ma trận độ cứng tổng thể làm tăng hiệu quả của phép phân tích

và làm giảm bộ nhớ cần thiết của máy tính rất nhiều

Thế năng toàn phần của toàn bộ tấm được biểu diễn bởi biểu thức:

         

1

1 2

2.3.4 Cực tiểu hóa thế năng toàn phần

Để thế năng toàn phần đạt cực tiểu, vi phân bậc nhất của nó đối với các thông số chuyển vị phải bằng 0

Sau khi giải phương trình (2.37) để tìm các thông số chuyển vị chưa biết của tất cả các

số hạng của chuỗi, chuyển vị và moment uốn tại bất kỳ điểm nào của hệ có thể tìm được theo phương trình (2.12) và (2.20)

2.4 Dải phần tử ứng suất phẳng

2.4.1 Hàm chuyển vị

Đối với tấm chịu các lực tác dụng nằm trong mặt phẳng tấm, bỏ qua tất cả các ứng suất theo phương bề dày tấm, và mặt phẳng trung bình của tấm vẫn còn phẳng sau khi biến dạng Theo lý thuyết đàn hồi hai chiều (Timoshenko và Goodier, 1970), mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng như sau

 

x y

u x v y

trong đó u và v là các thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x và y Ứng suất liên quan đến biến dạng như sau

0 1

0 1

trong đó   Dp  là ma trận đàn hồi đối với phân tích ứng suất trong mặt phẳng

Đối với tấm chữ nhật tựa đơn ở hai đầu, các điều kiện biên như sau

0 1

1 0 1

( ) sin ( ) cos

r

m

c c x k y u

trong đó km  m  / l và c0, c1, d0, d1… là các hệ số chưa biết

Phép lấy vi phân cho thấy Phương trình (2.41) thỏa mãn các điều kiện biên cho trong (2.40)

Bằng cách theo các bước sử dụng đối với dải dạng tấm, các hệ số c0, c1, d0, d1… có thể biểu diễn dưới dạng các biên độ chuyển vị uim, vim, ujm, vjm dọc theo các đương nút i và

j, và Phương trình (2.41) được viết lại như sau

X k y X k y u

N u

X k y X k y v

và mối quan hệ ứng suất – biến dạng (2.39), véc tơ ứng suất và biến dạng được biểu diễn dưới dạng thông số chuyển vị như sau

     

1

r

m m

T T

Trong đó, px và py là các thành phần của tải trọng phân bố trên mặt phẳng của dải Do

đó, ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng của dải tìm được như sau

0 0

l b

T p

Các thành phần của   k m và   p m được cho trong Bảng 2-3 và Bảng 2-4

Tương tự quá trình lắp ghép và cực tiểu hóa mô tả trong Mục 2.3, một hệ phương trình đại số tuyến tính được thiết lập như sau

  K tm   tm    P tm

Giải phương trình đồng thời cho tất cả các tham số chuyển vị chưa biết liên quan đến tất

cả đường nút và số hạng của chuỗi, sau đó thế vào các kết quả trong Phương trình (2.42) và (2.45) thì thu được chuyển vị và ứng suất tại bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng của tấm

Bảng 2-3 Ma trận độ cứng của dải ứng suất phẳng

E E

im im

m m

jm jm

1 2

0

1 ( 1) 0

im

m

jm jm

2.5 Dải vỏ phẳng

2.5.1 Ma trận độ cứng và vec tơ tải trọng

Cấu kiện có tiết diện lăng trụ vách ghép là tập hợp từ các tấm vách chữ nhật ghép với nhau tạo thành và nó có khả năng chịu đồng thời momen uốn và tải trọng trong mặt phẳng tấm Loại cấu kiện này có thể được phân tích bằng cách sử dụng dải phần tử vỏ phẳng, được tạo thành bằng cách kết hợp dải dạng tấm và dải ứng suất phẳng, do đó nó

có khả năng mô phỏng các biến dạng do momen uốn và do lực trong mặt phẳng

Thế năng toàn phần của dải vỏ phẳng là tổng đại số của năng lượng do biến dạng uốn

và lực trong mặt phẳng Ví dụ, nếu một dải tựa đơn hai đầu, thế năng toàn phần là như sau:

         

1 2

trong đó các ma trận con được cho trong Bảng 2-1 và Bảng 2-3

  p m    Xim, Yim, Zim, Mim, Xjm, Yjm, Zjm, Mjm T là véc tơ tải trọng trong hệ tọa độ cục bộ, các thành phần của nó được cho trong Bảng 2-2 và Bảng 2-4

2.5.2 Phép đổi hệ tọa độ

Các phép lấy vi phân trên được thực hiện trong hệ tọa độ cục bộ, trong đó trục x và y trùng với mặt phẳng trung hòa của dải Đối với cấu kiện gồm các tấm ghép lại với nhau, hai tấm bất kỳ giao nhau theo một góc nhất định và, để lắp ghép ma trận độ cứng, véc

tơ chuyển vị và tải trọng của các dải , cần phải thiết lập một hệ tọa độ tổng thể chung cho tất cả các dải

Trong Hình 2-2, x, y và z là hệ tọa độ cục bộ của một dải, và x , y và z là hệ tọa độ tổng thể y và y trùng với đường giao của hai dải ghép chung Các thành phần chuyển

vị cục bộ và tổng thể liên hệ với nhau như sau

im

im im

im im

cos w sin

im im

im im

        

(2.54) trong đó

Bằng cách thay thế Phương trình (2.54) vào (2.51), thế năng toàn phần của dải phần tử

có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ chuyển vị tổng thể và véc tơ tải trọng tổng thể như sau

2.6 Sự tương tác giữa uốn và biến dạng trong mặt phẳng tấm

Từ trước đến đây, uốn và biến dạng trong mặt phẳng của tấm được cho là không có sự tác động qua lại Thực tế, nếu độ võng là lớn so với chiều dày của tấm, độ võng sẽ tạo

ra các biến dạng trong mặt phẳng tấm, và quá trình tương tác bắt đầu Trong bài toán ổn định tuyến tính, chỉ xem xét mất ổn định sơ bộ Hơn nữa, các ứng suất tồn tại trong mặt phẳng tấm  0

 có cường độ đáng kể, và do đó có thể coi các ứng suất trong mặt phẳng tấm không bị tác động bởi biến dạng uốn

Trong suốt quá trình mất ổn định sơ bộ, nếu điểm A và B (Hình 2-3) trong mặt phẳng trung hòa di chuyển dọc trục, chiều dài dx ban đầu trở thành

2

1   w 

Hình 2-3 Biến dạng trong mặt phẳng tấm do độ võng ngang

   thực hiện công trên các biến dạng

bổ sung trong mặt phẳng tấm, và công này được chuyển hóa thành thế năng biến dạng

Do đó, thế năng biến dạng trong mỗi đơn vị thể tích của tấm tăng thêm bởi

2 2

w

x

G w

Do đó, tương tác giữa uốn và ứng suất trong mặt phẳng bao gồm việc cộng thêm một

ma trận độ cứng bổ sung  KG vào ma trận   K ban đầu, do đó phương trình ma trận kết cấu trở thành

  K      KG       P

(2.70)

Ma trận độ cứng bổ sung này là đối xứng, có thể thấy điều này từ phương trình (2.68),

và được xem như ma trận độ cứng hình học hoặc ma trận độ cứng ứng suất sơ bộ

2.7 Ma trận độ cứng hình học đối với tấm

Ma trận độ cứng hình học cho một dải tấm chịu tác dụng của lực biên thay đổi tuyến tính có thể xác định bằng cách hoặc xem xét trực tiếp thành phần biến dạng bậc cao, hoặc bằng cách hình thành thế năng do các lực trong mặt phẳng gây ra Phương pháp thứ hai được chọn để sử dụng ở đây

Xét một dải với lực biên tuyến tính như Hình 2-4 Lực phân bố tương ứng với ứng suất

biên tuyến tính f1và f2qua T1= f1t và T2= f2t.

Biểu thức thế năng (U) do các lực trong mặt phẳng gây ra là:

Kết cấu thành mỏng phẳng như tấm mỏng gia cường bởi dầm thành mỏng có thể được

mô phỏng bởi các dải vỏ phẳng, các dải vỏ này không những bao gồm uốn ngang mà còn chịu tải trọng đồng phẳng Trong hệ tọa độ cục bộ của một dải phần tử, biến dạng

do uốn ngang của kết cấu có thể xảy ra ở cả hướng x và z

Trong trường hợp kết cấu thành mỏng có chiều dài lớn chịu lực nén chủ yếu theo hướng

y, biến dạng ylà thành phần biến dạng quan trọng nhất, bởi vì độ chính xác của nó sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng hơn là các thành phần biến dạng khác

Như đã thấy trong Hình 2-5, nếu điểm A và B trong mặt phẳng trung hòa của dải di chuyển đến điểm A’ và B’ tương ứng, chiều dài dy ban đầu trở thành:

Do đó,biến dạng bổ sung theo phương y tìm được bằng cách bỏ đi các số hạng bậc cao sau

Hơn nữa, nếu xem xét các phương trình (2.79) và (2.80) thì các thành phần biến dạng

bổ sung được viết như sau:

2 0

v m m m

r

w m m m

G u

y

G v

y

w

x

G w

   tìm được từ tải trọng dọc trục P0 bằng phân tích tĩnh

Quá trình chuyển hệ trục tọa độ trình bày trong Mục 2.5.2 cũng được áp dụng cho việc chuyển hệ trục tọa độ của ma trận độ cứng hình học

Sau khi ma trận tính toán của hệ kết cấu được lắp ghép, phương trình trị riêng tìm được như sau:

2.8.3 Phương pháp tìm lời giải của FS

Trong các mục trước, các ma trận tường minh được đưa ra cho độ cứng ban đầu và độ cứng hình học của một dải hữu hạn rời rạc Đối với một cấu kiện bao gồm nhiều dải, sự đóng góp của mỗi dải được kết hợp trong một ma trận ban đầu tổng thể và một ma trận hình học tổng thể Do đó:

# 1

strips n n



  và    

# 1

  K       KG   

Trong đó trị riêng  là lực mất ổn định và véc tơ trị riêng là các mốt mất ổn định Lời giải của bài toán trị riêng có thể được giải nhanh chóng bởi các chương trình như MATLAB (MathWorks Inc., 1996)

Cả hai ma trận [K] và [KG] là hàm của chiều dài a Do đó, ứng suất mất ổn định đàn hồi

và các mốt mất ổn định tương ứng cũng là hàm của a Bài toán giải cho một số chiều dài a, và do đó một bức tranh hoàn tất về ứng suất mất ổn định đàn hồi và các mốt được

xác định Cực tiểu của đường cong đó có thể được coi như là các tải trọng mất ổn định tới hạn và các mốt cho cấu kiện

Chương 3 THIẾT KẾ DẦM THÉP CÁN NGUỘI THEO TIÊU CHUẨN AISI NAS

3.1 Sơ lược về phương pháp bề rộng hữu hiệu

Thép cán nguội, so với các loại thép dùng cho công trình thuộc hạng chịu lực nặng, có

tỉ số chiều rộng trên dài chiều dày (w/t) lớn và do đó phải chịu mất ổn định cục bộ Hình 3-1 mô tả dạng mất ổn định cục bộ ở dầm và cột Các phần tử phẳng chịu nén có

cả hai mép song song với hướng ứng suất và liên kết cứng với phần bụng, cánh, môi hoặc vách gia cường được gọi là phần tử tựa cứng Ví dụ trong Hình 3-1, đó là phần cánh trên của tiết diện lòng kênh và phần cánh của cột tiết diện chữ I

Để xét đến ảnh hưởng của mất ổn định cục bộ trong thiết kế, khái niệm bề rộng hữu hiệu được sử dụng cho phần tử chịu nén Cơ sở cho khái niệm này được giải thích như sau

Không giống như cột, tấm chịu nén không phải lúc nào cũng đủ khả năng gánh được toàn bộ tải trọng khi đạt đến trạng thái mất ổn định, tuy nhiên nó lại có một độ bền hậu mất ổn định đáng kể Ứng xử này được thể hiện trong Hình 3-2, trong đó một tấm tựa đơn ở các cạnh được chia thành các thanh theo phương dọc và ngang

Khi tải trọng phân bố đều tại hai đầu tăng lên từ từ, các thanh theo phương dọc chịu các ứng suất như nhau và cùng đạt đến tải trọng mất ổn định Tuy nhiên, khi các thanh dọc mất ổn định, các thanh ngang chịu lực kéo do ngăn cản biến dạng ngang của các thanh dọc Do đó, các thanh dọc không bị phá hoại khi chúng đạt đến trạng thái mất ổn định,

và còn có khả năng chịu thêm tải do các ràng buộc theo phương ngang Các thanh dọc

Hình 3-1 Mất ổn định cục bộ của phần tử chịu nén (a) Trong

dầm (b) Trong cột.

gần tâm nhất biến dạng nhiều hơn các thanh gần mép, và do đó, các thanh gần mép chịu được thêm nhiều tải hơn so với các thanh giữa sau khi mất ổn định

Ứng xử hậu mất ổn định của một tấm tựa đơn cũng tương tự như mô hình chia lưới nêu

trên Tuy nhiên, khả năng của tấm chống lại các biến dạng cắt xuất hiện trong suốt quá trình mất ổn định cũng đóng góp vào độ bền hậu mất ổn định của nó

Mặc dù mô hình chia lưới trong Hình 3-2a chỉ mất ổn định trong một nửa bước sóng dọc, tấm có chiều dài lớn hơn có thể bị mất ổn định theo một vài bước sóng, như trong

Hình 3-2 Khái niệm bề rộng hữu hiệu (a) Mất ổn định của mô

hình chia lưới (b) Mất ổn định của tấm (c) Phân bố ứng suất

Sau khi tấm tựa đơn mất ổn định, ứng suất nén sẽ thay đổi từ cực đại tại phần gần mép đến cực tiểu tại phần trung tâm của tấm, như được biểu diễn bởi đường số 1 của Hình 3- 2c Khi tải trọng tăng lên, ứng suất gần mép cũng tăng lên, ứng suất tại phần giữa tấm

có thể giảm nhẹ Tải trọng lớn nhất đạt được và sự phá hủy bắt đầu khi ứng suất tại mép đạt đến ứng suất chảy dẻo, trạng thái được mô tả bởi đường số 2 của Hình 3-2c

Độ bền hậu mất ổn định của một phần tử tấm có thể tính toán bằng cách cho rằng sau mất ổn định, toàn bộ tải trọng được gánh bởi các dải liền kề với các mép tựa và các dải này có ứng suất phân bố đều bằng với ứng suất cực đại thực tại mép Các dải này được thể hiện bằng các nét đứt trong Hình 3-2c Bề rộng toàn bộ của các dải, thể hiện bề rộng hữu hiệu b của phần tử, được xác định sao cho tích số của b và ứng suất cực đại tại mép bằng với tích phân của ứng suất thực tế trên toàn bộ bề rộng phần tử Bề rộng hữu hiệu giảm khi ứng suất tác dụng f tăng lên Khi tải trọng đạt cực đại, ứng suất trên bề rộng hữu hiệu là ứng suất chảy dẻo fy

Do đó, một phần tử với một tỉ số w/t đủ nhỏ có thể đạt đến điểm chảy dẻo trên toàn bộ

bề rộng (hữu hiệu hoàn toàn) Phần tử với tỉ số w/t lớn hơn sẽ có bề rộng hữu hiệu nhỏ hơn bề rộng phần tử và bề rộng giảm đi này được sử dụng đẻ tính toán các đặc trưng hình học của tiết diện

Ứng xử của các phần tử với các điều kiện tựa tại mép khác cũng tương tự như điều kiện

đã phân tích trên Tuy nhiên, phần tử tựa dọc theo một mép duy nhất sẽ có một dải hữu hiệu duy nhất

Các phương trình để tính bề rộng hữu hiệu của phần tử dựa trên lý thuyết mất ổn định đàn hồi nhưng cũng đồng thời được hiệu chỉnh để phản ánh các kết quả thí nghiệm thực

tế Bề rộng hữu hiệu của các loại phần tử được cho trong các mục sau đây

3.1.1 Phần tử tựa cứng chịu nén đều:

Bề rộng hữu hiệu của phần tử phụ thuộc vào hệ số độ mảnh 

1.052 w

t

f E k

E: mô đun đàn hồi

Bề rộng hữu hiệu được cho như sau

3.1.2 Phần tử tựa cứng chịu gradient ứng suất:

Phần tử chịu gradient ứng suất gồm phần bụng chịu nén do uốn hoặc nén uốn kết hợp

Để xác định bề rộng hữu hiệu b1 và b2 trong Hình 3-4, trước tiên cần xác định giá trị tuyệt đối của hệ số ứng suất

2 1

3.1.3 Phần tử không tựa cứng chịu nén đều

Hình 3-4 Minh họa phần tử tựa cứng với gradient ứng suất (a) Phần

tử thực (b) ứng suất trên phần tử hữu hiệu thay đổi từ nén sang kéo

(c) ứng suất trên phần tử hữu hiệu với ứng suất nén thay đổi

Hình 3-5 Minh họa phần tử không tựa cứng chịu nén đều (a) Phần tử thực (b) Ứng suất trên phần tử hữu hiệu

Bề rộng hữu hiệu được tính toán tương tự như phần tử tựa cứng chịu nén đều, tuy nhiên

k trong Phương trình (3.1) được lấy bằng 0.43 Hình 3-5 mô tả vị trí của bề rộng hữu hiệu trên tiết diện

3.1.4 Phần tử không tựa cứng và vách gia cường ở mép với gradient ứng suất

Bề rộng hữu hiệu được tính toán như sau:

1 Khi f1 và f2 đều là ứng suất nén (Hình 3-6)

- Nếu ứng suất giảm về phía mép không được tựa (Hình 3-6a)

k     

2 Khi f1 là ứng suất nén và f2 là ứng suất kéo (Hình 3-7)

- Nếu mép không được tựa chịu nén (Hình 3-7a)

1

  khi   0.673(1   )

0.22(1 ) 1

k     

Hình 3-6 Minh họa phần tử không tựa cứng chịu nén với gradient ứng suất (a) Môi hướng vào mặt trong (b) Môi hướng ra mặt ngoài

1- 0.22 / (1- )  khi 0.673



2 1.7 5 17.1

và được áp dụng hệ số an toàn, Ω, và hệ số kháng bền, φ, cho trong Mục 3.2.5 Các loại dầm khác cũng được phép sử dụng nội dung thiết kế của Mục 3.2.5, nhưng các hệ số chuẩn Ω và φ cho việc phân tích số áp dụng theo các điều khoản của Nội dung chính Phương pháp Cường độ Trực tiếp (Direct Strength Method) trong Phụ lục 1 là một qui trình khác để xác định cường độ [độ bền] và độ cứng của cấu kiện thép cán nguội Độ tin cậy của Phụ lục 1 được đảm bảo bằng việc sử dụng các số an toàn, Ω, và hệ số kháng bền, φ, nằm trong các điều kiện giới hạn hình học, và hệ số Ω và φ cổ điển cho các cấu hình khác

Các loại dầm đủ điều kiện sử dụng (pre-qualified) chỉ bao gồm các cấu kiện không bị khoét lỗ phần bụng và cánh (punchouts)

Hình 3-7 Minh họa phần tử không tựa cứng chịu nén với gradient ứng suất (a) Mép

không được tựa chịu nén (b) Mép được tựa chịu nén

3.2.2 Dầm đủ điều kiện sử dụng (Pre-qualified Beams)

Các dầm không bị khoét lỗ nằm trong các giới hạn về vật liệu và hình học cho trong Bảng 3-1 được phép thiết kế sử dụng hệ số an toàn, Ω, và hệ số kháng bền, φ, cho trong Mục 3.2.5

Bảng 3-1 Các Giới hạn cho Dầm đủ điều kiện sử dụng (Pre-qualified Beams)1

bo/t < 75

0 < D/t < 34 1.5 < ho/bo < 17.0

0 < D/bo < 0.70

44 deg < θ < 90 deg E/Fy > 421 [Fy < 70 ksi (483 MPa hoặc 4920 kg/cm

14 < D/t < 17 5.5 < ho/bo < 11.7 0.27 < D/bo < 0.56

θ = 90 deg E/Fy > 578 [Fy < 51 ksi (352 MPa hoặc 3590 kg/cm

10 < D/t < 16 2.5 < ho/bo < 4.1 0.15 < D/bo < 0.34

36 deg < θ < 90 deg E/Fy > 440 [Fy < 67 ksi (462 MPa hoặc 4710 kg/cm2)]

Tiết diện Lòng kênh với vách

tăng cường ở phần cánh chịu nén

ho/t < 97 bo/t < 467

0 < ds/t < 26 (chiều cao vách tăng cường) 0.14 < ho/bo < 0.87

Tiết diện Lòng kênh hình thang

với vách cứng tăng cường ở phần

cánh chịu nén

ho/t < 203 bo/t < 231 0.42 < (ho/sinθ)/bo < 1.91 1.10 < bo/bt < 3.38

0 < nc ≤ 2 (số vách tăng cường ở phần cánh chịu nén)

0 < nw ≤ 2 (số vách tăng cường ở phần bụng/nếp gấp)

0 < nt ≤ 2 (số vách tăng cường ở phần cánh chịu kéo)

52 deg < θ < 84 deg (góc giữa bụng và mặt phẳng ngang) E/Fy > 310 [Fy < 95 ksi (655 MPa hoặc 6680 kg/cm2)]

(1) r/t < 10, với r là bán kính cong của đường tâm

3.2.3 Mất ổn định Đàn hồi

Lực mất ổn định đàn hồi là lực mà trạng thái cân bằng của vật thể nằm giữa 2 trạng thái: mất ổn định và cân bằng Cấu kiện thép cán nguội thành mỏng có ít nhất 3 mốt mất ổn định đàn hồi liên quan: cục bộ (local), biến dạng (distortional), và tổng thể (global) Mốt mất ổn định tổng thể bao gồm mất ổn định uốn (flexural), xoắn (torsional), hoặc uốn-xoắn (flexural-torsional) đối với cột, và xoắn-bên (lateral- torsional) đối với dầm Theo phương pháp truyền thống, Điều luật chính chỉ đề cập đến mất ổn định cục bộ và tổng thể Ngoài ra, phương thức để tìm mất ổn định cục bộ của Điều luật chính là xem cấu kiện như là một tập hợp các “phần tử” và phân tích ổn định cục bộ của từng phần tử riêng rẽ

Phương pháp của Phụ lục này đưa ra một phương thức để hợp nhất 3 mốt mất ổn định liên quan vào trong qui trình thiết kế Hơn nữa, tất cả các mốt ổn định được xác định cho cấu kiện như là một tập hợp thay vì từng phần tử một Điều này đảm bảo sự tương thích và cân bằng được duy trì tại các điểm nối của phần tử Xét một ví dụ, tiết diện chữ

C có mép chịu nén thuần túy trong Hình 3-8 Lực mất ổn định đàn hồi của cấu kiện từ phép phân tích là:

= 8.94 in (227.1 mm), b = 2.44 in (62.00 mm), d = 0.744 in (18.88 mm), và t = 0.059

in (1.499 mm), ứng suất mất ổn định tới hạn, fcr của mỗi phần tử xác định từ Điều luật chính:

mép (lip): k = 0.43, fcrl-lip= 0.43[π2E/(12(1-µ2))](t/d)2 = 72.1 ksi (497 MPa)

cánh (flange): k = 4, fcrl-flange= 4.0[π2E/(12(1-µ2))](t/b)2 = 62.4 ksi (430 MPa)

bụng (web): k = 4, fcrl-web= 4.0[π2E/(12(1-µ2))](t/h)2 = 4.6 ksi (32.0 MPa)

Mỗi phần tử tiên đoán một ứng suất ổn định khác nhau, mặc dù cấu kiện là một nhóm liên kết Những khác biệt này về ứng suất ổn định được bỏ qua trong Điều luật chính ứng suất ổn định của cánh và mép khá cao có ít dính dáng đến ứng suất ổn định của bụng khá thấp Phương pháp phân tích dải hữu hạn, mà có kể đến sự tương tác của các phần tử, cho thấy phần cánh trợ giúp phần bụng khá rõ ràng về ổn định cục bộ, làm tăng ứng suất ổn định của bụng từ 4.6 ksi (32.0 MPa) lên 6.59 ksi (45.4 MPa), nhưng ứng suất ổn định của cánh và mép giảm đáng kể cũng do sự tương tác đó

Phương pháp của Phụ lục này cho phép sử dụng các phép phân tích số để xác định lực hoặc momen ổn định cục bộ, biến dạng và tổng thể Người thiết kế cần lưu ý rằng cường độ của một cấu kiện không tương đương với lực (hoặc moment) mất ổn định của cấu kiện Thực tế, lực ổn định đàn hồi có thể thấp hơn cường độ thực sự, do độ mảnh của cấu kiện với phần dự trữ hậu mất ổn định đáng kể; hoặc lực ổn định đàn hồi có thể cao một cách ảo do bỏ qua các các ảnh hưởng phi đàn hồi Tuy nhiên, lực ổn định đàn hồi là lực tham khảo hữu ích để xác định độ mảnh của cấu kiện và đưa ra cường độ cuối cùng của nó

Hình 3-8 Phân tích Ôn định Đàn hồi về Uốn và Nén bằng FSM

Hình 3-9 Phân tích Ôn định Đàn hồi về Uốn và Nén bằng FSM (tiếp theo)