Giải tích và mô phỏng đặc tuyến của mosfet bằng phương pháp phần tử hửu hạn ứng dụng matlab

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các phương trình vừa xây dựng ở trên.. Đây là một phương pháp giải gần đúng, đối với các phương trình phức tạp, nếu có sự hỗ trợ của máy tính

LUẬN VĂN CAO HỌC

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

NĂM 2004

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐẶNG LƯƠNG MÔ

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ kyÙ)

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS VŨ ĐÌNH THÀNH

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS TRẦN XUÂN PHƯỚC

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sỹ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SỸ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, Ngày 16 tháng 8 2004

Họ và tên học viên : Tống Thanh Nhân Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 05– 6– 1979 Nơi sinh : Tây Ninh

Chuyên ngành : Vô Tuyến Điện Tử Mã số: VTĐT13.022

I TÊN ĐỀ TÀI : GIẢI TÍCH VÀ MÔ PHỎNG ĐẶC TUYẾN CỦA MOSFET

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ỨNG DỤNG MATLAB

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

1) Tìm hiểu tính chất và các thông số cơ bản của chất bán dẫn và MOSFET

2) Tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn

3) Thiết lập các phương trình cho linh kiện bán dẫn MOSFET và viết chương trình cho Matlab xử lý theo phương pháp phần tử hữu hạn

4) Vẽ lại các phân bố áp và mật độ hạt dẫn

5) Căn cứ vào các kết quả tìm được vẽ lại các điểm và liên tục hoá các điểm này để có đặc tuyến linh kiện

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ đề cương) : / / 2004

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ ( Ngày bảo vệ luận văn) : / / 2004

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : GS TSKH ĐẶNG LƯƠNG MÔ

VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1: PGS TS VŨ ĐÌNH THÀNH VII HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2: TS TRẦN XUÂN PHƯỚC

(Ký tên và ghi rõ họ, tên, học hàm và học vị) Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ NHẬN XÉT 1 CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

TRƯỞNG PHÒNG QLKH-SĐH

Ngày tháng nămCHỦ NHIỆM NGÀNH

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin cám ơn quý thầy, cô trong Khoa Điện- Điện Tử đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi kể từ khi vừa vào học cho đến nay

Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy hướng dẫn luận văn,

GS TSKH Đặng Lương Mô Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi giải quyết các khó khăn, gút mắc trong quá trình làm đề tài, cũng như giúp đỡ tôi về mặt tài liệu nghiên cứu Nhờ sự chỉ bảo của Thầy nên giờ đây tôi đã cơ bản hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cám ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ tôi rất nhiều bằng cách trực tiếp hay gián tiếp khi tôi học cũng như khi làm luận văn

Thành Phố Hồ Chí Minh 29/07/2004

Tống Thanh Nhân

TÓM TẮT LUẬN VĂN

(Metal-Oxide-Semiconductor Transistor) đóng vai trò cực kỳ quan trọng, nó chính là phần tử đơn vị để cấu thành một IC, đặc biệt là IC số

ưu điểm nổi trội như : tổng trở ngõ vào rất lớn (giúp nâng cao khả năng mở rộng ngõ ra), tần số đáp ứng rất nhanh, công suất tiêu thụ thấp, điều khiển được bằng điện áp (nhờ hiệu ứng trường Do đó, MOS Transistor còn được gọi là transistor hiệu ứng trường MOSFET Metal Oxide_Semiconductor Field_Effect_ Transistor) và nhiều tính chất lý thú khác …

Vấn đề khảo sát đặc tuyến của MOSFET đã được thực hiện từ vài chục năm trước, ngay từ khi nó vừa được phát minh ở thập niên 60 Từ đó đến nay, đã có rất nhiều loại MOSFET được sản xuất, có thể cấu trúc của chúng có một số thay đổi nhưng bản chất vẫn giống nhau, đó là hình thành một kênh dẫn giữa hai cực D và S

nhờ vào một điện áp điều khiển đưa vào cực thứ ba G Ngoài ra, MOSFET còn một cực nữa gọi là cực đế, luôn được nối đất và xem như điện áp chuẩn

Đề tài luận văn này cũng thực hiện mô phỏng lại đặc tuyến của MOSFET, mô hình của linh kiện khảo sát được chọn có cấu trúc đơn giản hoá thành hai chiều như sau:

Công việc của luận văn là tìm phân bố điện áp, phân bố electron tự do, phân bố lỗ trống và phân bố điện trường trong mô hình cho trước như trên Từ đó ta sẽ tính được dòng điện qua linh kiện trong mỗi trường hợp phận cực (tức một tổ hợp điện áp

VGS và VDS)

Trình tự công việc có thể tóm tắt như sau:

1 Trình bày các phương trình cơ bản có liên quan đến điện áp và mật độ electron, lỗ trống

2 Phân tích các thông số có liên quan đến mô hình

3 Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các phương trình vừa xây dựng ở trên (Chủ yếu là 3 phương trình Poisson về áp ψ, mật độ electron n và mật độ lỗ trống p) Công cụ thực thi bước này là máy tính và phần mềm Matlab Đối với mỗi tổ hợp điện áp phân cực ta có một hệ khác nhau, kết quả cũng khác nhau

4 Sử dụng kết quả tìm được ở trên để tính dòng điện chạy qua linh kiện Mỗi cặp Áp_Dòng cho ta một điểm của đặc tuyến, tổng hợp các điểm cho ta một đặc tuyến hoàn chỉnh

NỘI DUNG VẮN TẮT

CHƯƠNG I CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

I.1 PHƯƠNG TRÌNH POISSON (CHO ĐIỆN THẾ)

ε

=

Nên ε.divEρ=ρ

divrotxρ = 0 ∀xρ suy ra đặt được Bρ rotAρ

= Lại theo phương trình thứ hai :

t

B - E rot

∂

∂

=

ρ ρ

⇒

t

A rot - E rot

∂

∂

=

ρ ρ

0 ) =

∂

∂ +

⇒

t

A E rot(

ρ ρ

Do rotgradx = 0 ∀x

⇒

t

A E grad

∂

∂ +

=

−

ρ ρ

ψ

⇒ ε ε grad ψ

t

A

t

A

qua, ta thu phương trình sau: div(ε.gradψ)= - ρ

(*)

I.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC

Theo phương trình Maxwell thứ nhất

t

D JHrot

∂

∂+

=

ρρρ

lấy div hai vế :

∂

∂ +

=

t J div H

t q J J div ρn ρp

Phương trình này được tách thành hai phương trình áp dụng riêng cho electron và lỗ trống:

R q t

n q J div n =

∂

∂ + ρ

Ta sẽ vận dụng hai phương trình này vào việc tính mật độ dòng electron và lỗ trống

I.3 PHƯƠNG TRÌNH HẠT DẪN CHUYỂN ĐỘNG

Xuất phát từ hai công thức Jρp q p vρp

độ hạt dẫn, qua một số biến đổi ta sẽ dẫn đến hai phương trình như sau:

gradn D

q E

n q

J ρn = μn ρn + n.

gradp D

q E

n q

J ρp = μ p ρp − p.

q

T k E

E ρ = ρ −

) ln(

E N

N

v c ie

2 exp

2 / 3

2

* 2

v

π

Eg : Bề rộng dãy cấm

Ta cũng vận dung hai phương trình này để tính mật độ dòng và dòng electron, lỗ trống

CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÁN DẪN

II.1 PHÂN BỐ CỦA HẠT DẪN

Xuất phát từ công thức tính phân bố mật độ cho các hạt có mức năng lượng ở dãy dẫn và dãy hoá trị như sau:

c n

c

dE E f E

E E N

e N

E E c

c fn

.exp

2

E E N

e N

E E v

fp v

.exp

2

q T

k

E E

E N

) (

exp

exp

q T

k

E E E N

v

).(

exp

.exp

q n

i

.

) (

q n

) (

exp

n

ϕ , ϕp là hai mức điện thế Fermi cùa electron và lỗ trống

II.2 ĐỘ LINH HOẠT CỦA HẠT DẪN CHUYỂN ĐỘNG( Tínhμn,μp)

n

μ , μp là hai đại lượng mô tả mức độ năng động của các hạt, thứ nguyên của

chúng là [hạt/Volt.cm2 ] Có 5 yếu tố ảnh hưởng lên chúng cụ thể như sau:

• Dao động nhiệt tại các mắc lưới tinh thể

1 4

3

.2.2

T k E m

C q

ac n

L n

ηπ

1 4

3

.2.2

T k E m

C q

av p

L p

η

π

C1 là hằng số đàn hồi của chất bán dẫn, có giá trị vào khoảng 105 V.A.s/cm3

Eac và Eav tương ứng là các hệ số méo dạng năng lượng (phụ thuộc điện thế) tương ứng với dãy dẫn và dãy hoá trị

2 / 3 2

,

.

12

.

2

64

CI q

T k g

m CI

q

T

k

CW p n

I p n

ε π π

ε

Trong đó : g CW( )x = ln(1+x2) , CI là tổng của tất cả các ion tạp chất bị ion hoá

• Sự phân bố hạt dẫn (cả tạp chất lẫn n, p) μC phụ thuộc vào n, p:

11

20

.

1 10 54 4 1 ln

.

1 10

428 1

p n cm p

n

s V cm

dẫn trung tính không gây ảnh hưởng lớn lên độ chuyển động của hạt dẫn Đại lượng này xác định như sau:

CN m

a

m q

B

p n N

p n

20

.0

* ,

μ

η

=

aB là bán kính Bohr (5.2917706 10-11 m)

CN là mật độ của các hạt dẫn trung tính

trên gây ra như sau:

p p

crit p n

p n

LICN p n LICNE

p n

E

E , 1 / ,,

,

, ,

1

β β

μ μ

II.3 TÁI HỢP - PHÁT SINH LỖ TRỐNG VÀ ELECTRON TỰ DO

Electron và lỗ trống được sinh ra hay mất đi phụ thuộc và năm yếu tố là hiệu ứng SRH, hiệu ứng quang OPT, cơ chế Auger ( hạt chuyển tiếp) AU, tái hợp các hạt dẫn trên bề mặt linh kiện SURF, cơ chế Ion hoá II

Ta có công thức chung để tính mức độ tái hợp như sau:

II SURF

AU OPT

SRH

R R

R R

p p n

n

n p n R

n p

i SRH

++

n p n C G

AU

n p n p C n C

( ) (p p ) ( )x

s n n s

n p n R

n p

i

1

1

1 1

2

++

E

E E

E R

crit p p

crit n n

II

β β

α

II.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN

Mục này trình bày các biên vật lý và biên do hiệu ứng khi tích hợp các linh kiện gần nhau Ta chủ yếu xem xét biên vật lý, cụ thể là các tiếp giáp giữa bán dẫn với các

cực kim loại Dựa vào đó ta xác định giá trị của điện áp tại biên cũng như dòng trên bề mặt linh kiện Đây là cơ sở để xác định giá trị cho các nơi khác bên trong

II.5 BIẾN PHỤ THUỘC

Các đại lượng n, phương trình nếu để trực tiếp để tính toán đôi khi gặp hạn chế, tuỳ

(ψ,u,v) để tiện tính toán

II.6 CHIA LẠI CÁC THANG ĐO

Khi hình thành các phương trình, nếu để nguyên mà giải có thể vướng phải vấn đề là giá trị xử lý hoặc quá lớn, hoặc quá bé vượt khỏi tầm tính toán của máy tính Đồng thời, nếu để nguyên mà giải thì sau này khi thay đổi một số yếu tố như kích thước, nồng độ tạp chất thì ta phải giải lại từ đầu Do hai vấn đề trên nên trước khi tiến hành giải hệ phương trình ta thường chuẩn các biến, các thông số Điều này giúp ích rất nhiều khi đi vào nghiên cứu các cấu trúc khác tương tự

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

III.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Phần tử hữu hạn là phương pháp dùng để tính toán một đáp ứng nào đó trong một cấu trúc không gian có giới hạn Nó đã được ứng dụng nhiều nhất là trong việc phân tích đáp ứng của vật liệu ( ngành xây dựng và cơ khí) Đề tài này sử dụng phương pháp này để phân tích đáp ứng điện của linh kiện bán dẫn Đây là một phương pháp giải gần đúng, đối với các phương trình phức tạp, nếu có sự hỗ trợ của máy tính thì phần tử hữu hạn tỏ ra khá hiệu quả

Nguyên tắc chung là:

-Chia vùng không gian khảo sát thành các miền (nếu một chiều thì chia thành đoạn, hai chiều thì chia thành các ô, ba chiều thì chia thành các khối) Mỗi miền gọi là một phần tử , chúng đều có các nút để định hình Mỗi nút có toạ độ của nó

-Trong mỗi phần tử thì đáp ứng cần tìm được gán là một hàm bậc một hoặc bậc hai , hệ số của hàm tính theo toạ độ các nút của nó

-Sau khi xác định phần tử và nút xong ta sẽ tiến hành hai bước:

Bước 1: Căn cứ vào phương trình cần giải và hàm được gán mà ta xác định ma trân [k] và ma trận [f]

Ma trận [k] mô tả quan hệ giữa các nút trong cùng một phần tử Đây là ma trận vuông kích thước mỗi chiều chính là số nút có trong phần tử đó

Ma trận [f] mô tả tác động của các thông số bên ngoài lên hệ, hay là các hệ số tự do [f] của phần tử chỉ có một chiều và có kích thước bằng số nút trong phần tử đó

Bước hai : Sau khi có các ma trận [k] và [f], dựa vào cấu trúc phần tử hữu hạn mà ta phân chia ban đầu ta sẽ xác định hai ma trận lớn là [kk] và [ff] cho toàn mô hình

Ma trận [kk] được xây dựng từ tất cả các ma trận [k] phần tử [kk] mô tả quan hệ của một nút với tất cảc các nút còn lại trong mô hình [kk] là ma trận vuông kích thước của ma trận [kk] là (n x n) với n là tổng số nút có trong hệ thống phần tử hữu hạn

Ma trận [ff] mô tả quan hệ giữa các ma trận [f] của những phần tử có chung nút [ff] là ma trận một chiều, chiều dài của ma trận chính là số nút trong toàn hệt thống

- Sau khi có các ma trận, ta viết lại hệ phương trình Gọi X là đáp ứng cần tìm tại mỗi nút [ X] là ma trận đáp ứng Ta viết được hệ sau:

- Cuối cùng là lập trình để máy tính giải hệ phương trình trên và thu được kết quả là ma trận đáp ứng [X]

[kk].[X]=[ff]

III.2 KHẢO SÁT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN KHI GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI DẠNG ELIP

Phương trình đặt ra như sau:

0

22 21

a y y

a x

a

Ta dùng mô hình các phần tử dạng tam giác, hàm được gán cho đáp ứng trong

mỗi phần tử là bậc một

1 Tính các ma trận phần tử

Lấy tích phân hai vế và dùng v làm hàm thử ta thu được phương trình:

∂

∂

∂

∂+

e

ds q v dy dx f v v a y

a x

a y

v y

a x

ψ

x a n y

a x a n

.

.

y x y

x

1

,

j

e j e

∑

=1 ψ

Trong đó:

( )

dy dx a

y

a x

a y

i y

a x

a x

∂

∂

∂

∂ +

e j e i ij

e

.

( )

( )

( )

dy dx y x

S

e j e i ij

e

.

φ φ

( )

( )

( )

dy dx y y

S

e j e i ij

e

.

φ φ

( ) ( )

( )

dy dx S

e

e j e i

ij ∫ Ω

3 3 2 3 1 3

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1 11

.

.

.

.

.

.

4

1

β β β β β β

β β β β β β

β β β β β β

.

4

1

3 3 2 3 1 3

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1 21

γ β γ β γ β

γ β γ β γ β

γ β γ β γ β

e

A S

.

.

4

1

3 3 2 3 1 3

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1 22

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

20

Các ký hiệu trong ma trận như α,β, γ xác định theo toạ độ dễ dàng

Từ đây ta có ma trận [k] cho phần tử đang xét như sau:

[ ] k ( )e a [ ] S ( )e a [ ] S ( )e a ( [ ] S ( )e ) a [ ] S 22 ( )e a00 [ ] S ( )e

22

T 12 21

12 12

11

=

Tiếp theo ta tìm ma trận [f] cho mỗi phần tử, vấn đề này đơn giản hơn và kết quả thu được là :

( )

3

.2

3

2

A y x

A f y x

f dy dx f

i i i

i i i i

e

=++

=+

γβαφ

:làýLưu

2 Tổng hợp các ma trận phần tử.

a Tổng hợp ma trận [kk]

Mỗi một phần tử trong [kk] thể hiện mối qua hệ giữa hai nút nào đó trong hệ thống

Trực quan nhất về cách tổng hợp là ví dụ sau:

Gọi Kij(e) là phần tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận

phần tử (e) Khi lắp ghép ta sẽ có các phương trình sau đây:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

2 14

1 23 26

25 24

2 12 23

2 11

1 22 22

1 21 21

1 13 16

15 14

13

1 12 12

1 11 11

K K

K

K K

K K

K K

K

K K

K K

K K

K

K K

K K

Cụ thể trong hình trên ta có ma trận K như sau:

+ +

+ +

+ +

=

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

3 11

2 44

1 33

3 13

3 12

2 43

2 41

1 32

1 13

3 31

3 33

3 32

3 21

2 34

3 23

3 22

2 33

2 32

2 23

2 22

2 21

2 14

1 23

2 12

2 11

1 22

1 21

1 13

1 12

1 11

K K

K K

K K

K K

K

K K

K

K K

K K

K K

K K

K

K K

K K

K K

K K

K

K

b Tổng hợp ma trận [ff]

Mỗi phần tử trong [ff]cũng thể hiện mối liên hệ giữa các nút trong hệ thống phần tử hữu hạn Cách tìm [ff] cũng khà đơn giản, thể hiện qua cách thực hiện trên hính vẽ ví dụ trước

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥ ⎥

+

=

3 1

2 4

1 3

3 3

3 2

2 3

2 2

2 1

1 2

1 1

f f f

f

f f

f

f f

f

] ff [

Như vậy, ta đã tổng hợp được hệ phương trình theo phương pháp phần tử hữu hạn Phần mềm Matlab hỗ trợ ta giải hệ trên mà không cần mất nhiều công sức lập trình như các ngôn ngữ lập trình khác Sau khi giải xong ta thực hiện vẽ lại phân bố đáp ứng theo không gian hai chiều để đánh giá kết quả

CHƯƠNG IV

GIẢI TÍCH MÔ HÌNH

IV.1 PHÂN CHIA MÔ HÌNH

Mô hình MOSFET được phân chia thành các phần tử tam giác con như sau:

Rộng 50 khoảng, ứng với 51 nút, đánh thứ tự tăng dầntừ trái sang phải

Cao 30 khoảng, ứng với 31 nút, đánh thứ tự từ thấp lên cao (đầu hàng trên liên tục với cuoí hàng dưới)

Hai phần tử kề nhau được quy ước

các nút cục bộ của chúng như hình vẽ

Về quy ước toạ độ ta chọn biên bên dưới trùng với trục hoành và biên bên trái trùng với trục tung, từ đó tính được toạ độ tất cả các nút trong hệ thống Ngoài 1581 nút trên, còn 58 nút của miền oxide , các nút và phần tử miền oxide được đánh thứ tự giống như miền bán dẫn (phần tử 3001 dến 3112, nút từ 1582 đến 1639)

1

1

2 3

ii+1

IV.2 XÂY DỰNG CÁC MA TRẬN PHẦN TỬ [k].

1 Ma trận [k]

Cách thực hiện ma trận phần tử [k] đã trình bày trong phần trước, nhưng các phương trình mà ta cần giả chỉ có dạng phương trình Poisson :

( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) *

2 2

2

C p n q y

∂

∂+

∂

∂

ε

ψψ

( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( ) * *

.

2

2 2

2 2

2 2

2

p n R T k

q y

x T k

q

n y

n x

n

n

ψ μ

ψ ψ

∂

∂

( ) ( ) ( ) ( ) k T R ( n p ) ( * * * )

q y

x T k

q p y

p x

p

p

, ,

.

2

2 2

2 2

2 2

2

ψ μ

ψ ψ

∂

∂

Ma trận [k] chỉ gồm tổng của hai ma trận S là [S11] và [S22] các hệ số a = 1 Ma trận [k] được dùng để giải cả ba hệ phương trình

IV.3 XÂY DỰNG CÁC MA TRẬN PHẦN TỬ [f] CHO BA HỆ

Cách tính ma trận [f] cũng đã trình bày tổng quát ở chương trước, ở đây có 3

trình (**), (***) thì phần tử thứ hai trong vế phải xem như rất nhỏ và được bỏ qua

Lưu ý ở đây, ma trận [f2], [f3] chỉ được tính sau khi đã có phân bố điện áp, tức là đã giải hệ (*) Ta sử dụng kết quả ở (*) để tính các ma trận f của (**) và (***)

IV.4 TỔNG HỢP CÁC MA TRẬN PHẦN TỬ

Phương pháp tổng hợp cũng trình bày qua ví dụ trước, trong mô hình này đa số phần tử của ma trận [kk] gồm 7 thành phần liên quan đến bản thân nút đó và 6 nút

xung quanh Ngoài ra, cũng cần lưu ý đến các nút ở biên, khi tổng hợp cho các nút này thì số mối liên hệ với các nút khác là ít hơn 6

CHƯƠNG V KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH

V.1 GIỚI THIỆU MỘT SỐ KẾT QUẢ CHẠY MÔ PHỎNG TÌM PHÂN BỐ ĐIỆN ÁP VÀ NHẬN XÉT

V.2 GIỚI THIỆU MỘT SỐ KẾT QUẢ CHẠY MÔ PHỎNG TÌM PHÂN BỐ ELECTRON (n) VÀ NHẬN XÉT

V.3 GIỚI THIỆU MỘT SỐ KẾT QUẢ CHẠY MÔ PHỎNG TÌM PHÂN BỐ LỖ TRỐNG (p) VÀ NHẬN XÉT

V.4 MỘT SỐ ĐIỂM CỦA ĐẶC TUYẾN - THỰC HIỆN LIÊN TỤC HÓA

Tuy chương trình đã chạy, nhưng chưa ra kết quả ổn định và chạy chưa đủ các yêu cầu Đồng thời kết quả chỉ quan sát trên đồ thị nên không tích dẫn vào phần tóm tắt Em sẽ cố gắn trong thời gian ngắn nhất sẽ hoàn thành chương trình Hiện tại luận văn cũng chỉ trích trình bày một số kết quả tương đối hợp lý

Lời cám ơn

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI - 1

CHƯƠNG I CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN -4

CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

CHẤT BÁN DẪN -14

( Tính μn,μp) -26

VÀ ELECTRON TỰ DO - 35 II.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN -46

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ

HỮU HẠN -64

PHẦN TỬ TAM GIÁC -69

Trang

IV.2 XÂY DƯNG MA TRẬN PHẦN TỬ [k]81

IV.2.1 MA TRẬN [k] -81

IV.2.2 MA TRẬN [kk] -82 IV.2.3 MA TÂN [f], MA TRẬN [ff] -84

PHƯƠNG TRÌNH -86

-90

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC CHƯƠNG TRÌNH VÀ CHÚ GIẢI

GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Lĩnh vực bán dẫn đã được con người tìm hiểu và khai phá gần một thế kỉ nay Trên thế giới, đặc biệt là các nước như Mỹ, Nhật, Đức đã có rất nhiều phát minh trong lĩnh vực này Khả năng tích hợp transistor vào một linh kiện hiện nay đã lên đến hàng trăm triệu con trong một cm2 Trong các linh kiện bán dẫn thì MOS Transistor (Metal-Oxide-Semiconductor Transistor) đóng vai trò cực kỳ quan trọng, nó chính là phần tử đơn vị để cấu thành một IC, đặc biệt là IC số

có các ưu điểm nổi trội như : tổng trở ngõ vào rất lớn (giúp nâng cao khả năng mở rộng ngõ ra), tần số đáp ứng rất nhanh, công suất tiêu thụ thấp, điều khiển được bằng điện áp (nhờ hiệu ứng trường Do đó, MOS Transistor còn được gọi là transistor hiệu ứng trường MOSFET Metal Oxide_Semiconductor Field_Effect_ Transistor) và nhiều tính chất lý thú khác …

Vấn đề khảo sát đặc tuyến của MOSFET đã được thực hiện từ vài chục năm trước, ngay từ khi nó vừa được phát minh ở thập niên 60 Từ đó đến nay, đã có rất nhiều loại MOSFET được sản xuất, có thể cấu trúc của chúng có một số thay đổi nhưng bản chất vẫn giống nhau, đó là hình thành một kênh dẫn giữa hai cực D và S nhờ vào một điện áp điều khiển đưa vào cực thứ ba G Ngoài ra, MOSFET còn một cực nữa gọi là cực đế, luôn được nối đất và xem như điện áp chuẩn

Đề tài luận văn này cũng thực hiện mô phỏng lại đặc tuyến của MOSFET, mô hình của linh kiện khảo sát được chọn có cấu trúc đơn giản hoá thành hai chiều như sau:

Trình tự công việc có thể tóm tắt như sau:

1 Trình bày các phương trình cơ bản có liên quan đến điện áp và mật độ electron, lỗ trống

2 Phân tích các thông số có liên quan đến mô hình

3 Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các phương trình vừa xây dựng ở trên (Chủ yếu là 3 phương trình Poisson về áp ψ, mật độ electron n và mật độ lỗ trống p) Công cụ thực thi bước này là máy tính và phần mềm Matlab Đối với mỗi tổ hợp điện áp phân cực ta có một hệ khác nhau, kết quả cũng khác nhau

4 Sử dụng kết quả tìm được ở trên để tính dòng điện chạy qua linh kiện Mỗi cặp Áp_Dòng cho ta một điểm của đặc tuyến, tổng hợp các điểm cho ta một đặc tuyến hoàn chỉnh

CHƯƠNG I

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Để tìm phân bố điện áp cũng như hạt dẫn bên trong cấu trúc của khối bán dẫn ta phải biết phương trình mô tả của các đại lượng này như thế nào? Các phương trình chủ yếu dựa vào hệ phương trình Maxwell Chương này xây dựng phương trình cho áp và n, p, mật dộ dòng Jn, Jp

I.1 PHƯƠNG TRÌNH POISSON

Phương trình Poisson được suy ra từ phương trình thứ 3 của hệ phương trình Maxwell

t

D JHrot

∂

∂+

=

ρρρ

(1.1-1) t

B-Erot

∂

∂

=

ρρ

ρ

=D

0B

Phương trình (3) divDρ= ρ

Mà D ρ E ρ

goi là thế vector

Kết hợp với phương trình (1.1-3):

t

Arot-Erot

∂

∂

=

ρρ

0)=

∂+

(1.1-7)

Mặt khác rotgradx = 0 ∀x Ta chon gốc điện thế và đặt

t

A E grad

∂

∂ +

=

−

ρ ρ

Suy ra:

ψ ε

ε grad t

A

∂

∂ +

2

Trong đó:

ε : Hằng số điện môi của chất bán dẫn

q : Điện tích nguyên tố (1.6 10-19 C) Đây là phương trình Poisson mà ta sẽ giải Phương pháp giải phương trình này là phương pháp phần tử hữu hạn mà t sẽ đề cập trong phần sau Các thông số

n, p, C ban đầu được giả lập, ε và q là các hằng số cho trước

I.2 PHÖÔNG TRÌNH LIEĐN TÚC:

Phöông trình lieđn túc coù theơ nhaôn ñöôïc tröïc tieâp töø phöông trình Maxwell thöù nhaât (

t

D J H

rot

∂

∂ +

=

ρ ρ ρ

) Laây div hai veâ ta coù :

0

=

∂

∂ +

=

t J div H

(1.2-1) Bađy giôø chia maôt ñoô doøng Jρ

thaønh hai thaønh phaăn laø Jρn

laø maôt ñoô doøng do caùc electron töï do vaø Jρp

laø maôt ñoô doøng do söï chuyeơn dôøi cụa caùc loê troẫng Ta coù:

t q J J div ρn ρp

(1.2-4)

Keât quạ naøy hoaøn toaøn roõ raøng vaø phuø hôïp thöïc teâ Ñieău naøy cuõng coù nghóa laø nguoăn vaø toơng caùc doøng daên beđn trong coù theơ buø vaøo ñụ cho caùc hieôn töôïng laøm thay ñoơi ñieôn tích Keùo theo phại coù hai phöông trình lieđn túc moôt lieđn quan ñeân maôt ñoô doøng electron, söï thay ñoơi soâ löôïng electron theo thôøi gian Phöông trình coøn lái mođ tạ quan heô giöõa maôt ñoô doøng loê troâng vaø söï bieân thieđn cụa loê troâng theo thôøi gian

R q t

n q J

p q J

∂

∂ +

ρ

(1.2-6)

Trong hai phương trình trên, đại lượng R là một hàm mô tả quan hệ giữa quá trình tái hợp hai hạt dẫn trái dấu hoặc quá trình hình thành hạt dẫn Phần R mang dấu dương có nghĩa là quá trình tái hợp ( mất hạt dẫn), phần R mang dấu âm thể hiện sự phát sinh (có thêm hạt dẫn nhờ electron tách khỏi nguyên tử)

Ta chưa có thông tin về cấu trúc của hàm R trong hai phương trình trên Cách tính toán R đươc trình bài trong phần sau, nhìn chung R là hàm phụ thuộc giá trị điện áp tại điểm đang xét, phụ thuộc vào bản chất của chất bán dẫn, nồng độ hạt dẫn, … Và R có thể xem là khởi nguồn để khảo sát các phương trình liên tục trên

I.3 PHÖÔNG TRÌNH HÁT DAÊN CHUYEƠN ÑOÔNG

Coù raât nhieău taùc nhađn lieđn heô trong vieôc xađy döïng phöông trình lieđn túc Moôt soâ ñieău ñöôïc trình baøi döïa tređn keât quạ coù saün vaø khođng neđu lái phaăn daên giại

Khođng laøm maât ñi nhöõng thuoôc tính chung cụa maôt ñoô doøng ta coù theơ gaùn moôt soâ thaønh phaăn haỉng soâ nhö ñieôn tích moêi hát daên q, maôt ñoô taôp trung hát daên

n, p, vaôn toâc trung bình cụa hát daên vn,vp Ta coù theơ vieât lái phöông trình mođ tạ doøng electron vaø doøng loê troẫng nhö sau:

Trong ñoù:

troâng

loê ñoômaôt

:

p

do

töï e ñoômaôt

:

n

A.s hayC101.6021892

baỉngtoânguyeđntích

:

J

do

töï e doøng ñoômaôt

:

J

19 - p

Fρpe ρ

ÔÛ ñađy ta boû qua löïc töø Lorentz, vaø xem ñoô thay ñoơi naíng löôïng cụa hát daên khođng ñaùng keơ so vôùi naíng löôïng cụa bạn thađn noù Cuoâi cuøng ta thu ñöôïc hai

phương trình vi phân mô tả chuyển động của các electron và lỗ trống với các thành phần liên quan:

n

n n

n n

v n T

k n grad m E n m

q v n

ρ ρ

.

1

p p

v n T k n grad m E p m

q v n

ρ ρ

.

1

∂

Trong đó: v n ,v p là vận tốc của electron và lỗ trống

m n * là khối lượng ảnh hưởng của electron

m p * là khối lượng ảnh hưởng của lỗ trống

τn ,τp là hai đại lượng mô tả mức độ trở về trạng thái cân bằng từ

trạng thái không ổn định của electron và lỗ trống Đây là khoảng thời gian tiêu tốn để các hạt này trở lại trạng thái cân bằng

Những phương trình trên không chỉ được quan tâm ở tầm vĩ mô như một phương trình cân bằng làm nền cho các phương trình khác Người ta mong muốn có thể giải các phương trình này một cách chính xác theo một phương pháp nào đó nhưng điều này gần như không thể Bắt buộc phải giải các phương trình trên bằng phương pháp gần đúng

Để đơn giản ta đặt như sau:

*

.

n

n n

m

qτ

μ =Thay (1.3-7) vào (1.3-5) , (1.3-6) và rút gọn ta thu được hai phương trình sau:

∂

∂

q

T k n grad n E n q J t

J

n n

n n

1

∂

∂

q

T k n grad p E p q J t

J

p p

p p

1

μ

Do các khoảng thời gian τn ,τp rất nhỏ, chỉ vào khoảng vài micro giây nên

xem như bỏ qua số hạng đầu tiên trong hai phương trình Hai công thức sau giúp tính toán dòng và tránh được sự xáo trộn khi xét ở thời gian cực ngắn:

=

q

T k n grad n E n q

q

T k

Đây gọi là các hằng số truyền, các hằng số này có thể được làm sáng tỏ về mặt ý nghĩa vật lý dựa trên hệ thức Einstein

Thay (1.3-16), (1.3-17) vào (1.3-14), (1.3-15) sau đó lại thay (1.3-14), (1.3-15) vào (1.3-12), (1.3-13) bỏ qua đại lượng vô cùng bé O(τn) và O(τp ) ta rút ra hai phương trình mô tả tổng của dòng hạt dẫn và thành phần truyền dẫn như sau:

gradn D

q E n q

gradp D

q E p q

Đặt fno ,fpo là hàm mô tả trạng thái cân bằng của hạt dẫn

fn , fp là hàm mô tả mức độ hình thành hạt dẫn ở trạng thái đang xét Giả thiết là ở trạng thái cân bằng thì fno, fpo bằng 0 Ta tính mật độ dòng theo công thức sau:

n n

n Vk n

p Vk p

fp x

Với Efn, Efp là hai mức năng lượng Fermi của electron và lỗ trống

Ngoài ra giữa số lượng hạt dẫn n, p và các mức điện áp ϕn , ϕp còn liên hệ nhau qua công thức:

q n

ie

).(

exp

q n

ie

).(

exp

(1.3-25) Hai biểu thức trên thể hiện sự dịch chuyển của dòng, sử dụng biến đổi trực tiếp hai phương trình trên ta dễ dàng tính được ϕn ,ϕp theo ψ như sau:

n

n q

T k

ln

=

ie p

n

p q

T k

ln

ψ

Trong đó:

ψ: điện áp tại điểm đang xét

k: hằng số Boltzmann bằng 1.380662 10-23 V.A.s.K-1

nie : giá trị đặc trưng cho nồng độ của hạt dẫn, xác định bởi công thức sau:

E N

N

v c

Công thức tính nie được tìm trong phần sau

Thay hai hệ thức (1.3-26) và(1.3-27) vào (1.3-20), (1.3-21) ta thu được hai phương trình mô tả mật độ dòng như sau:

n

n

n q

T k grad

n q

−

=

ie p

p

n

p q

T k grad

p q

Khai triển toán tử grad và lưu ý

t

A E grad

∂

∂ +

=

−

ρ ρ

q

T k n q gradn D

q E n q

q E p q

Hai công thức vừa thu được thể hiện tính chất tiêu biểu của mật độ dòng như:

-Phụ thuộc vào bản chất chất bán dẫn

- Mật độ phân bố các hạt dẫn

- Bề rộng biến đổi của các dãy năng lượng và đặc biệt là bề rộng rất hẹp của dãy cấm của chất bán dẫn có nồng độ tạp chất cao

Nếu ta giả sử các thông số liên quan đến sự tập trung của hạt dẫn là hằng số (nie là hằng số) thì hai công thức trên hoàn toàn giống với hai công thức (1.3-18), (1.3-19) Ngoài ra ta cũng rút ra hai công thức sau đây sau khi cân bằng hai phương trình

)ln(

)ln(

Cuối cùng ta có biểu thức tính mật độ dòng electron và dòng lỗ trống như sau:

gradn D

q E n q

gradp D

q E n q

Đây là hai phương trình mà ta sẽ kết hợp phương trình Poisson để giải tìm nghiệm hội tụ là phân bố mật độ hạt dẫn trong khối bán dẫn để sau đó tính giá trị dòng IS , ID ứng với các giá trị điện áp phân cực cho trước

Để làm sáng tỏ hơn các phương trình trên ta cũng cần xem xét một số mặt như: sự tập trung của các hạt dẫn, sự tái hợp và phát sinh các hạt dẫn, hiện tượng trôi do nhiệt độ … Các vấn đề này được trình bày trong phần giải tích mô hình.