Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích thông số anten

+ Minh hoạ khả năng của phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích thông số anten thông qua việc mô phỏng một vài anten cụ thể.. Để hiểu rõ ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn tron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÙI TRẦN HẠNH LOAN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

PHÂN TÍCH THÔNG SỐ ANTEN

Chuyên ngành: Kỹ Thuật Điện Tử

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ TIẾN THƯỜNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS PHAN HỒNG PHƯƠNG

Cán bộ chấm nhận xét 2: TH.S HỒ TRUNG MỸ

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 15 tháng 03 năm 2010

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS.TS LÊ TIẾN THƯỜNG

Tp.HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2009

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: BÙI TRẦN HẠNH LOAN Phái: nữ

Ngày tháng năm sinh: 14/08/1981 Nơi sinh: Vĩnh Long

I- TÊN ĐỀ TÀI

+ Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích thông số anten

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Nhiệm vụ:

+ Nghiên cứu và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích thông số

anten (các dạng bức xạ, trở kháng ngỏ vào, tổn hao ngược,…)

+ Minh hoạ khả năng của phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích thông

số anten thông qua việc mô phỏng một vài anten cụ thể

+ So sánh, đánh giá kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn so với đo đạc

thực tế và so với các phương pháp số khác

2 Nội dung:

+ Nghiên cứu, xây dựng công thức giải tìm trường điện hoặc trường từ bao

quanh anten bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo hai cách: trong miền

tần số và trong miền thời gian

+ Mô phỏng phân tích thông số của một vài anten cụ thể để minh họa khả năng

của phương pháp phần tử hữu hạn

chức khoa học công nhận và với các phương pháp số khác

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/06/2009

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/12/2009

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS LÊ TIẾN THƯỜNG

QL CHUYÊN NGÀNH

-

Tôi xin chân thành cảm ơn:

− Gia đình

− PGS TS Lê Tiến Thường, cán bộ hướng dẫn khoa học

− Phòng Đào Tạo Sau Đại Học

− Thầy Cô Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM

− Thầy Cô Trường Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông

− Anh chị đồng nghiệp trong Công ty SPT

− Các bạn Đại Học và Cao học K2007, K2008

đã động viên, hỗ trợ và giúp đỡ tôi hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này!

Mục đích cơ bản của việc phân tích anten là tìm ra các thông số cơ bản như trở kháng ngỏ vào, các dạng bức xạ, các hệ số phản xạ, tỉ số sóng đứng điện áp, định hướng, độ lợi anten… Nếu ta có thể giải phương trình sóng vector để tìm được trường điện hoặc trường từ bao quanh anten thì các thông số cơ bản này sẽ dễ dàng tìm được Việc giải phương trình sóng vector bằng phương pháp giải tích chỉ có thể thực hiện trong một số ít trường hợp anten lý tưởng do độ phức tạp trong công thức tính toán Trong thực tế, phần lớn người ta phải sử dụng đến các phương pháp số chẳng hạn phương pháp phần tử hữu hạn để tìm lời giải xấp xỉ Để hiểu rõ ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích thông số anten, Luận văn đã thực hiện nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình sóng vector Bên cạnh đó, luận văn cũng nghiên cứu phân tích những khía cạnh quan trọng trong ứng dụng phương pháp phân tích thông số anten nhằm giúp cho việc phân tích được chính xác và hiệu quả hơn Cụ thể là các phương pháp chia cắt miền tính toán vô hạn thành miền hữu hạn, các phương pháp mô hình cấp nguồn (feed) của anten để phân tích thông số bức xạ và các phương pháp phân tích đặc tính tán

xạ Cuối cùng Luận văn thực hiện mô phỏng số học hai bài toán anten để minh họa khả năng ứng dụng của phương pháp này trong phân tích, tính toán các thông số anten Và so sánh, đánh giá độ chính xác, hiệu quả của phương pháp so với thực tế

và so với các phương pháp số khác Các kết quả mô phỏng này đã được gửi đến Tạp Chí Phát Triển Khoa Học và Công Nghệ - ĐHQG HCM để xem xét, đánh giá./

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Đặt vấn đề và tình hình nghiên cứu hiện nay 1

1.2 Mục đích, phạm vi nghiên cứu 2

1.3 Bố cục Luận Văn 3

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG VECTOR THEO FEM 5

2.1 Phương pháp giải theo FEM trong miền tần số 5

2.2 Phương pháp giải theo FEM trong miền thời gian 12

2.3 Mô hình các vật liệu phức tạp 16

2.3.1 Mô hình các vật liệu có tổn hao điện từ 16

2.3.2 Mô hình vật liệu tán xạ điện 18

2.3.3 Mô hình vật liệu tán xạ từ 23

2.3.4 Mô hình vật liệu tổn hao, tán xạ điện từ 28

2.3.5 Ví dụ minh họa ứng dụng FEM phân tích bài toán điện từ 30

2.4 Cách giải các phương trình phần tử hữu hạn 32

2.5 Các phần tử hữu hạn cong và bậc cao hơn 34

2.6 Kết luận 36

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP CẮT MIỀN TÍNH TOÁN 39

3.1 Điều kiện biên hấp thu (ABC - Absorbing Boundary Condition) 39

3.1.1 Điều kiện biên hấp thu bậc nhất 39

3.2 Các lớp phối hợp hoàn hảo (PML) 46

3.3 Phương trình tích phân mặt 49

3.3.1 Công thức trong miền tần số 50

3.3.2 Công thức trong miền thời gian 57

3.4 Kết luận 64

CHƯƠNG 4 MÔ HÌNH NGUỒN VÀ TÍNH TOÁN THAM SỐ TÁN XẠ 65

4.1 Mô hình nguồn anten 65

4.1.1 Đầu dò dòng điện (Current probe) 66

4.1.2 Bộ tạo chọc thủng điện áp (voltage gap generator) 68

4.1.3 Mô hình feed waveguide 69

4.2 Sự kích thích mặt phẳng sóng 77

4.2.1 Xây dựng công thức trường tổng 77

4.2.2 Xây dựng công thức trường tán xạ 80

4.2.3 Phương pháp phân tích trường tổng và trường tán xạ 81

4.3 Kết luận 84

CHƯƠNG 5 CÁC MÔ PHỎNG SỐ HỌC 86

5.1 Giới thiệu phần mềm Ansoft HFSS 86

5.2 Mô phỏng 1: Anten patch vi dải 89

5.3 Mô phỏng 2: Anten bow-tie 94

5.4 Kết luận 100

6.1 Tổng kết những vấn đề đã nghiên cứu 101

6.2 Kết quả đạt được trong nghiên cứu và mô phỏng 101

6.3 Các tồn tại, hạn chế của Luận Văn 102

6.4 Hướng phát triển, mở rộng đề tài 102

TÀI LIỆU THAM KHẢO 103

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 106

Từ viết tắt Diễn giải

MoM Method of Moment

Bảng 4.1: các hàm modal và wavenumber ngưỡng của chúng đối với waveguide hình chữ nhật có mặt phẳng cắt axb 72Bảng 4.2: các hàm modal và wavenumber ngưỡng của chúng đối với waveguide hình trụ tròn có bán kính a 72Bảng 4.3: các hàm modal và wavenumber ngưỡng của chúng với waveguide đồng trục có bán kính bên trong là a và bán kính bên ngoài là b 73Bảng 5.1: các thông số kích thước anten 95

Hình 2.1: bài toán giá trị biên gốc 6Hình 2.2: bài toán giá trị biên xấp xỉ 7Hình 2.3: các ví dụ về các lưới phần tử hữu hạn 10Hình 2.4: đồ thị vecto của hàm cơ sở vecto bậc nhất tại cạnh thứ i Có sáu hàm cơ

sở vecto bậc nhất như vậy tại sáu cạnh của phần tử tứ diện 10Hình 2.5: vecto hàm cơ sở đối với phần tử tam giác tuyến tính, nó có thể xem như một trong 4 mặt của phần tử tứ diện 11Hình 2.6: tấm phân tán điện từ với mặt phẳng sóng tới 31Hình 2.7: các hệ số truyền dẫn và phản xạ của tấm điện môi tán xạ điện từ tại sóng tới chuẩn 32Hình 3.1: hàm cơ sở nội suy vô hướng Ni đối với node trên bề mặt lưới tam giác 44Hình 3.2: lỗi RCS lưỡng tĩnh chuẩn hóa trong lời giải phần tử hữu hạn sử dụng ABC bậc nhất và bậc hai theo kích thước phần tử hữu hạn dưới dạng bước sóng 46Hình 3.3: miền tính toán được cắt bởi một bề mặt rất gần đối tượng phân tích 51Hình 3.4: bề mặt nguồn tương đương được đưa vào để áp dụng các phương trình tích phân biên 58Hình 4.1: kích thích đầu dò dòng probe điện: (a) mô hình đơn giản (b) mô hình cải tiến để tính toán điện áp dọc đường offset 66Hình 4.2: anten lưỡng cực tuyến tính biễu diễn vùng lưới trong không gian do sự kích thích nguồn điện áp phân bố để mô hình bộ tạo áp delta-gap 68Hình 4.3: mô hình feed đồng trục 70Hình 4.4: sự kích thích trường tới trong ba công thức tán xạ: (a) công thức trường tổng (b) công thức trường tán xạ (c) sự phân tích trường tổng và tán xạ 79Hình 5.1: giao diện chính của chương trình HFSS 87

Hình 5.3: mô tả hình học của anten patch vi dải 90

Hình 5.4: cắt miền tính toán bằng một airbox 90

Hình 5.5: biểu diễn sự kích thích port 91

Hình 5.6: trở kháng ngỏ vào của anten pach vi dải gần tần số cộng hưởng 7.5GHz92 Hình 5.7: trường bức xạ vùng xa hình cầu của anten patch vi dải 92

Hình 5.8: return loss theo tần số của anten patch vi dải hình chữ nhật 94

Hình 5.9: kích thước và dạng hình học của anten bow-tie với góc chỏm α=34.60 95

Hình 5.10: cắt miền tính toán bằng một airbox 96

Hình 5.11: mô hình cấp nguồn và kích thích anten 96

Hình 5.12: trở kháng ngỏ vào của anten bow-tie (a) FEM (b) MoM 97

Hình 5.13: return loss (a) FEM (b) MoM 98

Hình 5.14: dạng bức xạ của anten (i) FEM (ii) MoM 99

Trong những năm gần đây, công nghệ anten nhận được nhiều sự quan tâm do chúng giữ vai trò quan trọng trong các lĩnh vực thông tin vô tuyến, cảm biến từ xa, thám hiểm không gian và nhiều hệ thống điện tử khác Việc phân tích anten về lượng là cần thiết để thiết kế và tối ưu các loại anten, đặc biệt các loại anten phức tạp không

dễ dàng được thiết kế bằng các phương pháp trực giác Trong phân tích các anten truyền thống, mục tiêu là tìm ra trường bức xạ và trở kháng ngỏ vào Trong trường hợp nhiều anten, ví dụ hệ thống anten nối ghép thì việc xác định số lượng ghép hỗ cảm giữa các anten là rất quan trọng, nó được mô tả bằng ma trận trở kháng tương

hỗ hoặc ma trận tán xạ Việc tính toán các trường bức xạ, các trở kháng ngỏ vào, và

ma trận tán xạ đòi hỏi giải các phương trình Maxwell với giả thuyết điều kiện biên được xác định trước bởi hình thể anten Tuy nhiên, các phương trình Maxwell chỉ

có thể giải đối với một số ít hình học anten lý tưởng

Ngày nay, cùng với sự tiến bộ của khoa học – kỹ thuật, đã có rất nhiều công cụ, phương pháp tính toán cho phép phân tích anten rất hiệu quả cùng với sự trợ giúp của máy tính số Trong số các công cụ tính toán điện từ này, đa phần các công cụ dựa trên các phương pháp số như phương pháp moment MoM, phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian FDTD và phương pháp phần tử hữu hạn FEM

Trong ba công nghệ số chính trên, phương pháp MoM có lịch sử lâu nhất trong phân tích anten Phương pháp này lý tưởng cho việc mô hình các anten kim loại đơn giản bằng cách sử dụng phương trình tích phân mặt trong đó miền tính toán bị ràng buộc bởi các bề mặt kim loại Nó cũng rất hiệu quả đối với các loại anten có đế phân lớp như anten patch vi dải và đối với anten có chất điện môi đồng nhất như anten cộng hưởng điện môi, do đối với những trường hợp này, hiệu ứng của các chất điện môi có thể giải thích bằng hàm Green đặc biệt hoặc được mô hình bởi các dòng điện và từ cân bằng bề mặt Tuy nhiên, khả năng của MoM bị thách thức khi người ta muốn mô hình anten phức tạp được thiết kế bởi cấu trúc và vật liệu phức tạp, không đồng nhất và không đẳng hướng Ngoài ra, do độ phức tạp tính toán cao,

phương pháp này trở nên tiêu tốn thời gian cho việc phân tích các anten lớn, đặc biệt các loại anten dạng dải, được mô hình bởi hàng triệu phần tử không biết Điều này vẫn đúng thậm chí đối với các giải pháp nhanh hơn như phương pháp FMM và phương pháp AIM dùng để giải các hệ phương trình MoM

Phương pháp FDTD, nói cách khác, có thể xử lý dễ dàng các vật liệu không đồng nhất và không đẳng hướng Phương pháp này rất hiệu quả và trở nên phổ biến rộng rãi do sự đơn giản trong công thức, thực hiện và tạo lưới Nó cũng rất hiệu quả vì nó không dính dáng đến bất kỳ giải pháp giải ma trận và thông qua biến đổi Fourier, nó đưa ra một giải pháp mở rộng với tính toán miền thời gian Sự chính xác của FDTD đối với việc phân tích anten được cải tiến đáng kể cùng với sự phát triển của PML cho việc cắt lưới Thử thách chính của FDTD là việc mô hình chính xác các cấu trúc hình học phức tạp, đặc biệt là các cấu trúc nguyên chất trong đó kích thước của nó xấp xỉ hàng trăm hoặc thậm chí hàng ngàn bước sóng Mặc dù sự chính xác mô hình hình học có thể được cải tiến bằng cách sử dụng các lưới bảo giác hoặc những kỹ thuật lưới con, nhưng phương pháp FDTD vẫn trở nên phức tạp hoặc kém hiệu quả

do trong trường hợp này người ta phải giảm kích thước bước thời gian để duy trì độ

ổn định của phương pháp số

So với MoM và FDTD, FEM không phổ biến trong việc phân tích anten do công thức của nó phức tạp nhiều hơn so với FDTD và ít quy mô so với MoM, và ứng dụng của nó đòi hỏi phải tạo mạng lưới thể tích phức tạp Tuy nhiên FEM có một khả năng không thể sánh được về mô hình cả vật liệu và cấu trúc phức Bằng việc

sử dụng các phần tử hữu hạn cong và các mạng lưới không cấu trúc, FEM có thể mô hình chính xác các bề mặt cong, các cấu trúc nguyên chất và các vật liệu phức tạp

Do FEM trong miền thời gian có thể biễu diễn dạng công thức để đạt ổn định không điều kiện, kích thước bước thời gian không phải giảm thậm chí đối với các bài toán chứa rất ít phần tử hữu hạn Mặc dù FEM đòi hỏi giải phương trình ma trận lớn, nhưng ma trận liên kết thường rất thưa và đối xứng nên lời giải có thể có được bằng cách sử dụng phương pháp giải thưa tiên tiến Ngoài ra, FEM rất phù hợp với việc tính toán song song thông qua các dạng thuật toán phân tích miền

Ứng dụng của FEM trong phân tích và thiết kế anten có từ những năm 1970 khi Mei phát triển giải pháp chính xác đầu tiên cho phép FEM giải quyết các vấn đề vùng

mở không bị ràng buộc [1] Nhiều năm sau, FEM bị giới hạn giải quyết các mô hình đối xứng hoặc hai chiều đơn giản của anten do khó khăn trong việc sử dụng các phần tử dựa trên node để mô hình trường điện từ vector Sự phân tích phần tử hữu hạn ba chiều toàn sóng đầu tiên của anten xuất hiện vào đầu những năm 1990, nhờ

sự phát triển của các phần tử dựa trên cạnh Sau đó, các kỹ thuật số học dựa trên FEM được phát triển để phân tích và mô phỏng các loại anten và array Đặc biệt nhất là kỹ thuật số học dựa trên FEM được phát triển để phân tích các anten array tuần hoàn vô hạn, anten array hữu hạn, complex horn anten, dielectric lens anten, conformal anten, các anten đặt trên các vật liệu phức tạp và các anten treo trên platform hữu hạn Hầu hết các kỹ thuật này được phát triển để phân tích trong miền tần số Để thực hiện phân tích quét tần số, kỹ thuật rút gọn theo mô hình bậc được đưa ra Gần đây, FEM được phát triển đối với phân tích anten trực tiếp trong miền thời gian Việc phân tích trong miền thời gian này rất hiệu quả đối với việc mô tả đặc tính của đáp ứng băng rộng và khả năng mô hình các thiết bị, vật liệu phi tuyến tính Các phương pháp số học mới cũng được phát triển để phân tích array anten tuần hoàn vô hạn và hữu hạn sử dụng công thức phần tử hữu hạn miền thời gian

Để hiểu rõ ứng dụng, khả năng của phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích,

dự đoán các thông số anten như trở kháng ngỏ vào, các dạng bức xạ, các hệ số phản

xạ, Luận Văn sẽ thực hiện nghiên cứu vấn đề này và thực hiện một số mô phỏng để minh họa vấn đề đã được nghiên cứu

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN 1.1 Đặt vấn đề và tình hình nghiên cứu hiện nay

Ngày nay, nhiều phương pháp số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành công

cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán điện từ Có ba phương

pháp số chính đang được quan tâm rộng rãi và phát triển nhiều nhất Đó là phương

pháp moment MoM, phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian FDTD và

phương pháp phần tử hữu hạn FEM Mỗi phương pháp có những điểm mạnh, điểm

yếu cho từng ứng dụng khác nhau Xét riêng về ứng dụng trong lĩnh vực phân tích,

thiết kế anten, phương pháp MoM phù hợp cho mô hình các anten kim loại đơn giản

do nó sử dụng phương trình tích phân mặt trong đó miền tính toán bị ràng buộc bởi

các bề mặt kim loại Nó rất hiệu quả đối với các anten có đế phân lớp như anten

patch vi dải và các anten có chất điện môi đồng nhất lớn như anten cộng hưởng điện

môi Tuy nhiên MoM không hiệu quả trong việc mô hình các anten phức tạp được

thiết kế bởi cấu trúc và vật liệu phức tạp, không đồng nhất và không đẳng hướng

Nó trở nên tiêu tốn thời gian cho việc phân tích các anten lớn, đặc biệt các anten

dạng dải, được mô hình bởi hàng triệu phần tử không biết Phương pháp sai phân

hữu hạn thì phù hợp trong xử lý các vật liệu không đồng nhất và không đẳng hướng

Phương pháp này ngày càng trở nên phổ biến và hiệu quả do việc hình thành công

thức, độ thực thi và tạo lưới đơn giản Thử thách chính của phương pháp này là việc

mô hình chính xác các cấu trúc hình học phức tạp, đặc biệt là các cấu trúc nguyên

chất trong đó kích thước của nó xấp xỉ hàng trăm hoặc thậm chí hàng ngàn bước

sóng Phương pháp phần tử hữu hạn thì lại rất hiệu quả trong việc mô hình chính

xác các bề mặt cong, các cấu trúc mịn và các vật liệu hỗn hợp

Đặc biệt, FEM và các dạng lai ghép của nó (như FEM điều kiện biên hấp thu, FEM

phối hợp phân lớp hoàn hảo, FEM tích phân biên…) là một trong những phương

pháp tính toán miền tần số thành công nhất trong các mô phỏng điện từ Nó kết hợp

khả năng thích ứng hình học và vật liệu tổng quát để mô hình hình học bất kỳ và các

vật liệu của bất kỳ thành phần cấu tạo nào Đặc điểm thứ hai đặc biệt quan trọng

trong lĩnh vực điện từ do hầu hết các ứng dụng liên quan đến anten, mạch vi ba, bộ

tán xạ, mô tơ …đòi hỏi phải mô phỏng các vật liệu hỗn hợp, phi kim loại Do các

đặc điểm nổi bật của nó, FEM trở thành phương pháp đảm nhận vai trò khó khăn

nhất trong việc mô hình và mô phỏng điện từ

Hiện nay, có rất nhiều công trình nghiên cứu khoa học trên thế giới và trong nước

nghiên cứu ứng dụng phương pháp FEM trong phân tích, thiết kế anten Công trình

nghiên cứu thế giới nổi tiếng và nhiều nhất trong ứng dụng FEM phân tích, tính

toán các thông số anten là của tác giả Jian-Ming Jin, Doughlas J.Riley và một số tác

giả khác Các tác giả đã phân tích, xây dựng các mô hình, các công thức giải tìm các

trường điện bao quanh anten Ngoài ra, tác giả còn trình bày các ví dụ mô phỏng

minh họa khả năng ứng dụng của phương pháp FEM trong phân tích thông số của

các anten băng hẹp, băng rộng, các anten có cấu trúc phức tạp và các array anten

Đồng thời so sánh kết quả mô phỏng đạt được so với kết quả thực nghiệm hoặc kết

quả mô phỏng từ các phương pháp số khác Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu

về ứng dụng FEM trong phân tích anten của các tác giả còn rất tổng quát, rút gọn;

mỗi công trình nghiên cứu chỉ phân tích một khía cạnh hoặc một giải pháp cụ thể để

giải cho từng anten cụ thể

Riêng ở Việt Nam, hiện chỉ mới có các công trình nghiên cứu, ứng dụng phương

pháp sai phân hữu hạn miền thời gian FDTD trong phân tích anten patch vi dải,

chưa có công trình nghiên cứu ứng dụng FEM trong phân tích anten cụ thể hoặc

anten tổng quát

1.2 Mục đích, phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi của Luận Văn tốt nghiệp sẽ cố gắng thực hiện nghiên cứu việc ứng

dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải tìm trường điện hoặc trường từ bao

quanh anten, vì từ đây có thể dễ dàng tìm các thông số cơ bản như trở kháng ngỏ

vào, các dạng bức xạ của anten, các hệ số phản xạ, tỉ số sóng đứng điện áp, định

hướng và độ lợi anten… Bên cạnh đó, Luận Văn sẽ nghiên cứu, phân tích những

khía cạnh quan trọng trong ứng dụng FEM để tính toán các thông số anten như các

mô hình cấp nguồn (feed) anten, các phương pháp cắt không gian vô hạn thành

miền tính toán hữu hạn, các phương pháp phân tích đặc tính tán xạ Cuối cùng là mô

phỏng phân tích thông số cho hai loại anten cụ thể để minh họa ứng dụng của

phương pháp FEM trong phân tích điện từ Trong đó có đánh giá, so sánh kết quả

mô phỏng với thực tế và với các phương pháp số khác

1.3 Bố cục Luận Văn

Luận văn được trình bày thành sáu chương với nội dung cụ thể của các chương như

sau:

Chương 1: Tổng quan

Trình bày phân tích, đánh giá các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và

ngoài nước liên quan mật thiết đến lĩnh vực nghiên cứu; trình bày những vấn đề

còn tồn tại và đưa ra những vấn đề mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu giải quyết

Chương 2: Phương pháp giải phương trình sóng vector theo FEM

Trình bày cách giải phương trình sóng vector theo phương pháp FEM Công thức

được xây dựng, phân tích trong cả hai miền: tần số và thời gian Các mô hình của

vật liệu có tổn hao, không đẳng hướng, phân tán điện từ sẽ được phân tích chi tiết

bằng phương pháp FEM miền thời gian do nó chưa được quan tâm và ứng dụng

rộng rãi Ngoài ra, các kỹ thuật để giải quyết các phương trình phần tử hữu hạn và

việc sử dụng các phần tử hữu hạn cong bậc cao hơn cũng sẽ đề cập đến [2], [3]

Chương 3: Phương pháp chia cắt miền tính toán

Một trong những thử thách chính trong phân tích phần tử hữu hạn của bài toán

anten là chia cắt không gian vô hạn thành miền tính toán hữu hạn Việc chia cắt có

thể thực hiện bằng một trong các phương pháp cơ bản sau: phương pháp điều kiện

biên hấp thu, phương pháp sử dụng các lớp kết hợp hoàn hảo, phương pháp tích

phân biên Những phương pháp này sẽ được trình bày cụ thể ở chương này

Chương 4: Mô hình cấp nguồn anten

Thử thách quan trọng khác đối với phân tích phần tử hữu hạn các anten là mô hình

cấp nguồn anten và tính toán các tham số anten, chẳng hạn trở kháng ngỏ vào

Chương này sẽ trình bày các mô hình feed đơn giản như current probe, voltage gap

và waveguide feed Ngoài ra, việc phân tích các đặc tính tán xạ của anten cũng

được đề cập, cụ thể lời giải phần tử hữu hạn cho bài toán này sẽ dựa trên trường

tổng hoặc trường tán xạ hoặc kết hợp trường trường tổng – trường tán xạ

Chương 5: Các mô phỏng số học

Trình bày một số ví dụ để minh họa khả năng của FEM trong phân tích, dự đoán

các thông số anten Bên cạnh đó, sẽ so sánh, đánh giá mức độ hiệu quả và chính

xác giữa FEM so với thực tế và các phương pháp số khác (FDTD, MoM)

Chương 6: Kết luận

Tổng kết lại những vấn đề đã được trình bày trong Luận văn Kết quả đạt được

trong nghiên cứu và mô phỏng của đề tài Các tồn tại, hạn chế của Luận Văn

Hướng phát triển và mở rộng của đề tài./

CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG

VECTOR THEO FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn FEM là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để

tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó FEM

không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền

con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Vì thế phương pháp này rất thích hợp với

hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những

miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu

những điều kiện biên khác nhau

FEM được đề xuất bởi Courant vào năm 1943 nhằm cung cấp các phương pháp

khác nhau để giải các bài toán dao động và cân bằng [4] Sau đó phương pháp được

phát triển và ứng dụng rộng rãi vào các bài toán phân tích cấu trúc và các bài toán

thuộc các lĩnh vực khác Ngày nay FEM được xem như là phương pháp nổi bật tiên

phong có thể ứng dụng rộng rãi vào các bài toán thuộc toán học hoặc khoa học,

trong đó bao gồm lĩnh vực microwave và RF

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày việc xây dựng công thức theo phương

pháp FEM để giải phương trình sóng vector xuất phát từ phương trình Maxwell

Đặc biệt các mô hình của vật liệu có tổn hao, không đẳng hướng, phân tán điện từ

sẽ được phân tích chi tiết bằng phương pháp FEM miền thời gian Ngoài ra, các kỹ

thuật để giải quyết các phương trình phần tử hữu hạn và việc sử dụng các phần tử

hữu hạn cong bậc cao hơn cũng sẽ đề cập đến

2.1 Phương pháp giải theo FEM trong miền tần số

Xét một anten tổng quát như Hình 2.1 Anten được kích thích bởi một nguồn dòng

với mật độ dòng điện được ký hiệu là Jimp Dòng điện này bức xạ trường điện từ và

sẽ thay đổi tùy theo cấu trúc của anten Anten có thể chứa hoặc được nhúng trong

vật liệu không đẳng hướng được mô tả bởi các tensor độ thẩm từ và điện môi, được

ký hiệu tương ứng là µt và εt Mục đích chính của phân tích anten là mô tả đặc tính

thực thi của anten, nghĩa là mô tả trở kháng ngỏ vào và các dạng bức xạ Để giải

quyết vấn đề này, ta giải các phương trình Maxwell:

imp

M H j

∇

ω

µt (2.4)

Hình 2.1: bài toán giá trị biên gốc

(anten tổng quát gồm một bề mặt dẫn, một lớp điện môi và một feed)

Và điều kiện biên:

PEC S r E

nˆ× =0 ∈ (2.5) Trong đó SPEC là bề mặt dẫn điện hoàn hảo (PEC - Perfect electrically conducting)

của anten Trong (2.1), Mimp là ký hiệu mật độ dòng từ của dòng từ bị kích thích

Mặt dù trong thực tế dòng từ không tồn tại, nhưng nó là một đại lượng hữu ích để

mô hình feed anten nào đó, ví dụ như frill generator từ Ngoài (2.5), các trường từ

và trường điện phải thỏa mãn điều kiện bức xạ Sommerfeld tại vô cực:

0ˆ

E r

r (2.6)

Trong đó k0 là wavenumber không gian tự do

Bài toán điện từ định nghĩa trong (2.1) ÷ (2.6) có thể giải được theo phương pháp

phân tích trong rất ít trường hợp trong đó SPEC có hình dạng rất đơn giản Đối với

các bài toán thực tế, người ta phải tìm đến phương pháp số chẳng hạn phương pháp

phần tử hữu hạn cho lời giải xấp xỉ Do anten bức xạ trường điện từ ra vô hạn, bài

toán có không gian lời giải không bị ràng buộc Để sử dụng phương pháp phần tử

hữu hạn, không gian không bị ràng buộc này phải được cắt thành một không gian

hữu hạn Điều này có thể thực hiện bằng cách đưa vào một không gian lý thuyết bao

quanh kín anten, ký hiệu là S0 như Hình 2.2

Hình 2.2: bài toán giá trị biên xấp xỉ

(miền tính toán bị cắt bởi một bề mặt nhân tạo để phân tích phần tử hữu hạn)

Để xác định bài toán điện từ bị ràng buộc bởi S0, ta phải chỉ rõ điều kiện biên trên

S0 Điều kiện biên này phải chứng tỏ S0 trong suốt có thể đối với trường bức xạ

Điều kiện biên lý tưởng là làm cho S0 trong suốt hoàn toàn, nghĩa là trường bức xạ

có thể đi xuyên qua nó mà không gây ra méo hay phản xạ Điều này không thể có

trong thực tế Vì vậy, ta sử dụng điều kiện biên xấp xỉ sau:

0ˆ

n r∈S0 (2.7)

Điều kiện này tương tự với điều kiện bức xạ Sommerfeld trong (2.6), trong đó là

vector đơn vị chuẩn tắc đối với S

nˆ

0 và hướng về phía không gian bên ngoài Ở đây ta giả sử S0 đặt trong không gian Điều kiện bức xạ xấp xỉ (2.7) còn được gọi là điều

kiện biên hấp thu bậc nhất Để điều kiện biên hấp thu này chính xác hợp lý, S0 phải

được đặt cách anten một khoảng nào đó (trong thực tế, đặt cách anten khoảng nữa

bước sóng, nhưng trong lý thuyết, khoảng cách càng lớn càng tốt)

Bài toán điện từ được định nghĩa bởi (2.1) ÷ (2.5) và (2.7) có thể giải theo trường

điện E hoặc trường từ H Ở đây ta chọn giải theo trường điện E Bằng cách loại bỏ

trường từ H trong (2.1) ÷ (2.4), ta có được phương trình sóng vector cho trường

điện như sau:

[ r ⋅∇×E]−k r ⋅E=−jk Z J imp −∇×( r ⋅M imp) r∈V

×

0 0

2 0

Để giải bài toán giá trị biên xấp xỉ được định nghĩa ở Hình 2.2 và (2.7), (2.8), ta

nhân (2.8) với hàm testing xấp xỉ T và tích phân trên khối V:

0 0

2 0

ˆ

Z jk T

dS E T

n dV

E T k E T

PEC

ˆ

1 0

0

1 2

0 1

0

µ

µε

µ

t

tt

t

(2.12)

Phương trình (2.12) còn được gọi là biểu diễn dạng weak-form

Trong các công thức ở trên, S ký hiệu bề mặt bao quanh khối V Do không tồn tại

trường điện trên vật dẫn hoàn hảo, khối V được bao quanh bởi bề mặt bên ngoài S0

và bề mặt của bất kỳ vật dẫn bên trong S0 Áp dụng điều kiện biên hấp thu bậc nhất

Z jk T dS

E n T n jk

dS E T

n dV

E T k E T

PEC

.

ˆ ˆ

ˆ

.

.

1 0

0 0

1 2

0 1

0

µ

µε

µ

t

t t

t

(2.13)

Để tìm lời giải số học của (2.13) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, ta chia toàn bộ

khối V thành nhiều phần tử hữu hạn nhỏ, như các cell khối sáu mặt, khối bốn mặt tứ

diện, hình lăng trụ, hoặc hình chóp (Hình 2.3) Kích thước của các phần tử được xác

định chủ yếu bởi bước sóng và cấu trúc hình học của anten Thông thường, các phần

tử nhỏ hơn 1/10 đến 1/20 của bước sóng khi ta sử dụng hàm cơ sở bậc nhất Đối với

các cấu trúc mịn của anten, các phần tử phải nhỏ hơn nhiều để có thể phân tích hình

học cũng như sự biến đổi nhanh của các trường

Khi lưới phần tử hữu hạn được tạo, trong mỗi khối phần tử hữu hạn nhỏ, E có thể

biễu diễn dưới dạng nội suy sử dụng tập hợp các giá trị rời rạc Một phương pháp là

gán E tại vài điểm trên phần tử và sau đó nội suy E nơi khác sử dụng tập hợp các

hàm nội suy vô hướng Phương pháp này trở nên khó khăn do khó đặt điều kiện

biên chính xác vào trường E nội suy (điều kiện biên tại các bề mặt dẫn và các mặt

giao tiếp giữa các phần tử khác nhau) Một phương pháp tốt hơn là gán thành phần

tiếp tuyến của E tại mỗi cạnh của phần tử và sau đó nội suy E nơi khác sử dụng tập

hợp các hàm vecto cơ sở Ví dụ, trường trong phần tử tứ diện có thể được nội suy

, , (

i

e i

e i

Hình 2.3: các ví dụ về các lưới phần tử hữu hạn

(a) anten patch vi dải được cấp nguồn bởi đường dây đồng trục trong đó đế và mặt

phẳng đất đã loại bỏ (b) anten dạng còi (horn antenna)(c) array anten Vivaldi 4x4

lưỡng phân cực (d) Cấu trúc cấp nguồn của anten Vivaldi

Ký hiệu các tọa độ đơn công của khối tứ diện là λl(l =1,2,3,4)[5], hàm cơ sở vector

quan hệ với cạnh kết nối node k và l như sau:

) (

trong sáu hàm vecto cơ sở bậc nhất đối với phần tử tứ diện:

Hình 2.4: đồ thị vecto của hàm cơ sở vecto bậc nhất tại cạnh thứ i Có sáu hàm cơ

sở vecto bậc nhất như vậy tại sáu cạnh của phần tử tứ diện

Để thấy rõ hơn hàm cơ sở vecto, Hình 2.5 vẽ ba hàm cơ sở vecto trên một trong bốn

mặt của phần tử tứ diện

Hình 2.5: vecto hàm cơ sở đối với phần tử tam giác tuyến tính, nó có thể xem như

một trong 4 mặt của phần tử tứ diện

Rõ ràng, những hàm cơ sở này có một thành phần tiếp tuyến chỉ dọc cạnh liên kết,

và chúng đảm bảo tính liên tục tiếp tuyến của trường nội suy trong khi vẫn cho phép

thành phần chuẩn gián đoạn ở điểm gián đoạn vật liệu Vì vậy, chúng mô hình chính

xác tính tự nhiên của trường vecto E Có thể xây dựng các hàm cơ sở vecto bậc cao

hơn để đạt được độ chính xác nội suy tốt hơn

Khi trường E được nội suy trong mỗi phần tử sử dụng giá trị tiếp tuyến tại các cạnh

của phần tử, trường E trong toàn bộ khối V có thể được biễu diễn như sau:

∑

=

= edge

N i i

i E N E

1

(2.16)

Trong đó Nedge là tổng số cạnh loại trừ các cạnh trên SPEC, Ei là thành phần tiếp

tuyến của E tại cạnh i, và Ni là vecto hàm cơ sở tương ứng với cạnh i Rõ ràng, đối

với cạnh bên trong V, Ni kéo dài một vài phần tử lân cận qua các cạnh chung Và

cũng thấy rằng, bằng cách loại bỏ các cạnh trên SPEC trong (2.16), trường nội suy

đảm bảo thỏa mãn điều kiện biên trong (2.5)

Thay (2.16) vào trong (2.13) và sử dụng Ni như là hàm trọng số T, ta được:

edge i

N

j ij j

N i

b E K

edge

, , 2 , 1

.0

2 0 1

ij

dS N n N n jk

dV N N k N N

và triển khai Lưu ý rằng tích phân trên SPEC trong (2.13) bị mất do nˆ×N i =0 trên

SPEC Phương trình (2.17) có thể viết gọn lại như sau:

[K]{E}={b} (2.20)

Và có thể giải được cho {E} Do [K] là ma trận đối xứng và thưa (nếu εtr và µtr đối

xứng) nên có thể giải hiệu quả sử dụng lời giải ma trận thưa Một khi {E} tìm được,

trường mỗi nơi trong V có thể tính được bằng (2.16), từ đó các thông số khác như

trở kháng ngỏ vào và các dạng bức xạ có thể tính được

2.2 Phương pháp giải theo FEM trong miền thời gian

Ở phần 2.1 ta đã xây dựng công thức phần tử hữu hạn để phân tích anten trong miền

tần số Nó sử dụng tần số như là tham số đầu vào và giải tìm trường điện tại tần số

cụ thể Tuy nhiên, đối với hầu hết các phân tích anten, người ta thường quan tâm

đến các đặc tính của anten trên một dải tần số Nếu sử dụng FEM trong miền tần số

thì ta phải lặp lại lời giải tại nhiều tần số khác nhau, điều này dẫn đến tiêu tốn nhiều

thời gian để phân tích anten băng rộng và anten băng hẹp Đối với các anten băng

hẹp, các đặc tính anten thay đổi nhanh theo tần số do cộng hưởng Ta cần phải sử

dụng bước tần số cực nhỏ để bắt được sự biến đổi trở kháng chính xác gần cộng

hưởng Đối với các anten băng rộng, bước tần số có thể lớn hơn; tuy nhiên, toàn bộ

băng tần số thường rất rộng, vì thế cần rất nhiều mẫu tần số Ngoài ra, rất khó mô

hình các thiết bị phi tuyến chính xác bằng FEM dựa trên miền tần số Với hai trở

ngại này, người ta khắc phục bằng cách sử dụng FEM trong miền thời gian

Trong miền thời gian, hai phương trình Maxwell đầu tiên của (2.1)÷(2.4) trở thành:

) ( )

( )

t

t H t

( )

( )

t

t E t

(2.5), và điều kiện ở (2.7) trở thành:

0ˆ

µ r∈S0 (2.23)

Trong đó Y0=1/Z0 và S0 giả sử đặt trong không khí Bằng cách loại bỏ trường từ H

trong (2.21) và (2.22), ta được phương trình sóng vector cho trường điện như sau:

t E t

t E t

∂

∂

⋅+

∂

∂+

dV M

t

J T dS

t

E n T n Y

dV t

E T

t

E T

E T

ˆ.ˆ

1 0

2

2 1

0

µ

σε

µ

t

tt

t

(2.25)

Lưu ý rằng hàm testing T được giả sử thỏa mãn điều kiện biên nˆ×T =0 trên SPEC

Để tìm lời giải phần tử hữu hạn của (2.25), đầu tiên ta thực hiện rời rạc hóa không

gian giống như thực hiện trong miền tần số Để cụ thể hơn, bằng việc chia thêm

khối thể tích thành nhiều phần tử hữu hạn nhỏ và triển khai trường điện trong mỗi

phần tử bằng các hàm cơ sở vecto, ta có thể biểu diễn trường điện như sau:

∑

=

= edge

N i

i

i r E t N

t r E

1

)()()

,( (2.26) Thế (2.26) vào (2.25) ta được phương trình vi phân bậc hai:

[ ] { } [ ] { } [ ]S{ } { }E f

dt

E d R dt

E d

T 2 2 + + = (2.27)

Trong đó [T], [R] và [S] là các ma trận đối xứng (nếu εt, µt và σte đều đối xứng),

thưa, trong đó các phần tử của ma trận là:

t

J N t

f ( ) µt 1 (2.31)

Để tìm sự biến đổi theo không gian bằng phương pháp FEM, sự biến đổi theo thời

gian của (2.27) có thể giải được bằng tích phân trực tiếp hoặc bằng phương pháp sai

phân hữu hạn [5] Trong phương pháp sai phân hữu hạn, biến thời gian t được rời

rạc hóa dạng t = n∆t (n=0,1,…), trong đó ∆t được ký hiệu là bước thời gian Khi đó

đạo hàm theo thời gian liên tục có thể được xấp xỉ bằng sai phân hữu hạn, dẫn đến

phương trình tính được vecto {E} chưa biết dựa trên các giá trị trước đó theo thời

gian Quy trình này được gọi là time marching Việc sử dụng vi sai hướng tới

thường dẫn đến phương trình time marching không ổn định (lời giải theo hướng

hàm mũ và trở nên sai hoàn toàn) Việc sử dụng vi sai hướng lui sẽ dẫn đến phương

trình time marching ổn định không điều kiện (kích thước bước thời gian ∆t không bị

ràng buộc bởi rời rạc hóa theo không gian), dẫn đến chính xác bậc nhất – sự chính

xác của lời giải tỉ lệ với ∆t Việc sử dụng vi sai trung tâm sẽ dẫn đến phương trình

time-marching chính xác bậc hai, ổn định có điều kiện – time marching ổn định chỉ

khi ∆t nhỏ hơn giá trị nào đó được mô tả bởi rời rạc không gian Đối với (2.27), lựa

chọn ưa chuộng hơn là sử dụng công thức vi sai thu được từ phương pháp vi phân

thời gian Newmark-beta [6], tương đương với sử dụng vi sai trung tâm cho các đạo

hàm bậc một và bậc hai theo thời gian, ta có:

{ } { } { }

t

E E

(2.32)

2

1 1

2

2

) (

2

t

E E

E dt

f

f β β β (2.35) Trong đó β là tham số có giá trị từ 0 đến 1 Trong các công thức từ (2.32) đến

(2.35), các ký hiệu mũ ám chỉ thời gian mà tại thời điểm đó các đại lượng liên đới

được xem xét; ví dụ, {E}n nghĩa là vecto {E} được xem xét tại t = n t Thay thế

những phương trình này vào (2.27), ta được phương trình sau:

2 1 2

1 1

2 1

2 2

1 1

− +

−

+

+

− + +

n n

n n

f f

f E

S R t

T t

E S T

t E

S R t

T t

β β

β β

β β

(2.36)

Khi β = 0, phương trình này rút gọn thành công thức chứa vi sai trung tâm Tuy

nhiên, ta có thể thấy rằng khi β ≥ 14, phương trình này ổn định không điều kiện,

trong khi vẫn duy trì độ chính xác bậc hai Cho trước các giá trị ban đầu của {E},

nghĩa là, {E}0 và {E}1, và các giá trị của vecto kích thích {f}, (2.36) có thể được sử

dụng để tính toán tất cả các giá trị tiếp theo của {E} Để tính mỗi {E} mới, ta phải

giải phương trình ma trận tại mỗi bước thời gian Tính ổn định không điều kiện của

(2.36) là rất quan trọng đối với các bài toán liên quan đến các phần tử hữu hạn cực

nhỏ để mô hình các cấu trúc nguyên chất Với tính ổn định không điều kiện này, ∆t

có thể được chọn dựa trên sự biến đổi thời gian của trường thay vì bị ràng buộc bởi

các phần tử hữu hạn nhỏ nhất trong miền giải pháp

2.3 Mô hình các vật liệu phức tạp

Công thức mô tả ở phần 2.2 là giả sử đối với các vật liệu phân tán tự do Nói cách

khác, cả tensor độ thẩm từ µt và tensor điện môi εt không thay đổi theo tần số

Ngoài ra, suy hao từ bỏ qua Do các thiết kế anten hiện đại thường tận dụng những

ưu điểm của vật liệu kỹ thuật để đạt được các đặc tính anten mong muốn, do đó cần

thiết phải có công cụ phân tích có khả năng mô hình các vật liệu phức tạp một cách

chính xác Phần này sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn miền

thời gian trong việc mô hình các vật liệu tán xạ và suy hao điện từ Tuy nhiên để

hiểu rõ hơn trong việc ứng dụng phương pháp FEM phân tích, xây dựng các mô

hình anten tổng quát, trước hết luận văn sẽ trình bày mô hình vật liệu suy hao không

tán xạ, kế đến sẽ trình bày mô hình vật liệu tán xạ điện và từ, cuối cùng là mô hình

anten tổng quát (suy hao, tán xạ điện từ) [7, 8, 9]

2.3.1 Mô hình các vật liệu có tổn hao điện từ

Xét khối có tổn hao, không đẳng hướng, không tán xạ, được mô tả bởi các tensor độ

thẩm điện µt, tensor điện môi εt, tensor độ dẫn điện σte và tensor độ dẫn từ σtm

Phương trình Maxwell đối với vật liệu này có thể được viết như sau:

M H

t

J t

E t

E E

1 1

2

2 1

µ

σε

µ

tt

t

tt

t

(2.40)

Ta có thể viết lại như sau:

imp

m e

M t

J

H t

E t

E E

1

1 2

2 1

∂

∂+

∂

∂+

εµ

t

ttt

tt

∂

∂+

V

dV g T dV

H T

dV t

E t

E T

dV E T

1

2

2 1

σµ

σε

µ

tt

tt

V V

dV E T

dS n E T

dV E T

dV E T

dV E T

ˆ

1

1 1

1 1

µ

µµ

µµ

t

tt

tt

dS n H T

t

H T dV

E T

ˆ

1

1 1

µ

σµµ

t

ttt

(2.45)

Trong đó giả sử không tồn tại dòng từ trên bề mặt S

Bây giờ ta xét phần tử thứ ba trong (2.42), nó có thể được viết lại như sau:

dV H T

dV H T

H T

dV H T

ˆ

1

1 1

1 1

σµ

σµσ

µ

σµσ

µ

tt

ttt

t

ttt

t

(2.46)

∇+

∂

∂+

V

dV g T dS

n t

H T dV

H T

dV t

E t

E T

dV E T

.ˆ

1

2

2 1

σµ

σε

µ

tt

tt

t

(2.47)

Ta thấy rằng trong việc thực hiện phần tử hữu hạn của (2.47), trường từ H không

thể xem như là hàm không biết trước độc lập Hơn nữa, nó có thể chuyển qua vế

phải và xem như là nguồn đối với trường điện Đặc biệt, với trường điện En và

trường từ Hn-1/2, với n là bước thời gian, khi đó ta có thể tính trường từ tại bước kế

tiếp bằng cách sử dụng (2.37) thông qua vi sai trung tâm:

imp

n m

n m

m n

M E t

t

H t t

=

−

−

− +

.2

2

.2

.2

1

2 / 1 1

2 / 1

σµ

σµσ

µ

t

ttt

t

(2.48)

Khi đó nó có thể được dùng để cập nhật vế phải của phương trình time-marching

Khi các phần tử cạnh bậc nhất được dùng để biểu diễn trường điện, và trường

từ được rời rạc hóa là không đổi trong mỗi phần tử

E

×

∇

2.3.2 Mô hình vật liệu tán xạ điện

Trong vật liệu tán xạ điện, không đẳng hướng, các phương trình Maxwell có thể

viết lại như sau:

t

t H t

quan hệ với nhau theo phương trình sau:

e

d E t

X t

E

t E t X t

E t

D

0 0 0

0 0

)()

()

(

)(

*)()

(.)

(

τττε

εε

εε

ε

tt

tt

(2.51)

Trong đó εt∞ là tensor điện môi tương đối tại tần số quang học, là tensor cảm

điện và * là tích chập thời gian Từ (2.49) và (2.50) ta có:

∂

∂+

t E t

2

t E t X t E t

t X t

E t X

[ ( )* ( )] ( )* 2( ) ( )* ( )

2 2

2

t E t X t

t E t

X t E t X

Do đó, có hai phương pháp để giải (2.52) Phương pháp thứ nhất là dựa trên (2.53),

phương pháp thứ hai là dựa trên (2.54)

Đầu tiên ta xét phương pháp dựa trên (2.53), khi đó (2.52) có thể được viết như sau:

2 0

∂

∂+

E t &&te

Dạng weak form của (2.55) có thể thu được bằng cách nhân nó với hàm testing T và

sau đó áp dụng lý thuyết phân kỳ của Gauss, ta được:

ˆ

)(

*)(.)

( )

( 1

0 2

2 0

T

dV t E t X T t

t E T

t E T

µ

εε

εµ

t

&&tt

t

(2.56)

Phần tử cuối cùng (tích phân mặt) có thể được dùng để hình thành điều kiện biên

trên bề mặt khép kín khối khảo sát Trước khi thực hiện rời rạc hóa phần tử hữu hạn

của (2.56), ta giả sử:

e

e e

b j

a X

(2.58) ta có:

) (

* ) ( )

( )

( ) (

* )

t

t E a t E t

phương trình vi sai bậc hai chứa phần tử tích chập, ký hiệu [Z] { }ψ Sử dụng

phương pháp Galerkin, ma trận [Z] có thể viết như sau:

*)()(t e t E i t

ψ = (2.62) Trong đó Ei(t) là hệ số triển khai phần tử hữu hạn của E(t) Do ϕe (t)có dạng hàm

mũ được giả sử, nên tích chập trong (2.62) có thể được giải đệ qui như sau:

n e

n i t b n

) 1 ( 2

ψ

Trong đó n là chỉ số bước thời gian và ∆t là chiều dài của mỗi bước thời gian Để

giải (2.63) chính xác, ta sử dụng hồi qui tuyến tính đối với Ei(t) trong khoảng thời

gian [(n-1)∆t, n∆t] để đạt được công thức đệ qui chính xác bậc hai:

2 1

n i t b n

ψ (2.64) Việc sử dụng tích chập đệ qui này tiết kiệm thời gian tính toán và bộ nhớ đáng kể

Rõ ràng ta thấy giá trị của { }ψ n chỉ phụ thuộc vào {E}n và các giá trị trước đó của

nó; do đó { }ψ n có thể tính được sau khi {E}n được tính Tuy nhiên, để đạt được lời

giải ổn định không điều kiện khi sử dụng phương pháp Newmark-beta, ta phải sử

dụng trọng số trung bình đối với { }ψ , và nó sẽ cần giá trị của để tính vế phải

của phương trình time-marching để tính

{ }ψ n+ 1

{ }n+ 1

E Do { }ψ n+ 1 chứa , phần tử không biết phải được chuyển qua vế trái của phương trình time-marching đầu tiên

Nói cách khác, áp dụng phương pháp Newmark-beta là chưa đầy đủ và lời giải

phương trình time-marching chỉ ổn định có điều kiện

{ }n+ 1

E

Bây giờ ta xét phương pháp thứ hai dựa trên (2.54) Trong trường hợp này, (2.52)

có thể được viết lại như sau:

2 0

2

2 0

∂

∂+

∂

∂+

X t

t E t

2 / 0 2

2

)(

)

()

()

()

t e t

n t

t

t E t

Xt t τ && τ τ t τ && τ (2.66)

Trong đó E(t)=0 với t≤0 Giả sử E&& không đổi trong khoảng thời gian tích phân và

electric susceptibility có thể được viết như (2.58), (2.66) có thể viết lại như sau:

∆ +

2 / 1 ( 2

/

1

0

1 )

2 / 3 ( ) 2 / 1 (

2 / 0 2

2

.1

1

11

.)(

)()

(

*)

(

n k

k n e t k b t b e

n e t b e

n k

k n t

k t

n t

e t

n t e

E a e

e b E

a e

b

E d X E

d X t

t E t

X

e e

Bây giờ ta có thể rời rạc hóa phần tử hữu hạn với đầu tiên lưu ý là biểu diễn dạng

weak-form của (2.65) tương tự như (2.56), ngoại trừ các đạo hàm theo thời gian

trong tích chập Bằng việc áp dụng phương pháp Galerkin và ứng dụng phương

pháp Newmark-beta với β=1/4, ta có được phương trình sau:

n n

t E

S R

t

T t

E S T

t E

S R

t

T t

ψ

2

1 2

2

1 2

14

12

11

4

11

24

12

11

(2.68)

Trong đó:

0 0

~

2

n k

k n k

n k

n k n

1

~

) 2 / 1 ( 0

2 / 0

∫∫∫

∫∫∫

∆ +

N a N e

e b

dV N a N e

b

t k b t b e

k ij

t b e

ij

e e

e

t

tε

n n

n

So sánh hai phương pháp vừa trình bày ở trên, ta thấy rằng phương pháp đầu tiên

cần biểu diễn dạng giải tích đối với Xte (t)

để tìm đạo hàm theo thời gian thứ hai của

nó, trong khi đó phương pháp thứ hai chỉ cần giá trị của Xte (t)

Hiệu quả số học của hai phương pháp được mong đợi rất giống nhau, và thực hiện cẩn thận thì hai

phương pháp là ổn định không điều kiện

Công thức được trình bày trong phần này có thể được mở rộng cho mô hình các vật

liệu như vật liệu Lorentz, trong đó độ cảm điện được mô tả bởi sự dao động và suy

giảm đồng thời theo phương trình X (t) a e tcos( e t)u(t)

e

t

Tất cả những vấn đề cần thiết là viết lại phương trình trên như sau: X (t) a Re[e b t]u(t)

b =δ − α , và sau đó chỉnh sửa phương trình chứa thành phần bằng cách lấy

phần thực của nó [8] Công thức sau đó có thể được mở rộng để mô hình các vật

liệu có độ cảm điện môi được biểu diễn bởi triển khai đa điểm cực:

p

t b p e e

a X

) ( )

t

ω

Trong đó Ne là số điểm cực trong triển khai Những triển khai như thế này rất hữu

ích trong việc mô phỏng trên dải tần số rộng do nó cung cấp đặc tính tổng quát liên

quan đến mô tả đặc tính hoạt động của vật liệu cụ thể theo hàm của tần số

2.3.3 Mô hình vật liệu tán xạ từ

Đối với các vật liệu tán xạ từ, không đẳng hưởng, phương trình Maxwell trở thành:

t

t B t

Trong đó εt là tensor điện môi không thay đổi theo thời gian và B(t) với H(t) quan

hệ theo phương trình sau:

+

=+

= ∞ H t X m t H t ∞ H t t X m t H d

t

B

0 0 0

* ) ( )

( )

t H t

t

∂

∂ +

t

t H t X t

t H t

t B

∂ +

* ) ( )

( )

(

0 0

t

µ

µ (2.78)

Để tránh sử dụng tích chập làm tiêu tốn thời gian mà trong khi đó vẫn sử dụng được

phương trình sóng bậc hai, ta lấy đạo hàm theo thời gian của (2.75) được:

2

2 ( ).)(

t

t E t

t H