Phân tích bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình hỗn hợp

Theo đề tài này, tác giả tập trung nghiên cứu việc áp dụng mô hình hỗn hợp cho phương pháp PTHH dựa trên nguyên lý biến phân của Hellinger-Reissner đối với bài toán phẳng đàn hồi tuyến t

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC

SĨ, TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày … tháng … năm 2006

Trang 2

- -

Tp HCM, ngày…… tháng …… năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : Hồ Phú Vinh Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 07-06-1978 Nơi sinh : Quảng Nam

Chuyên ngành : Xây Dựng DD và CN MSHV : 02103553

I - TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN THEO MÔ HÌNH HỖN HỢP

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG :

Chương I: Chương mở đầu (Tổng quan, mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn)

Chương II: Cơ sở lý thuyết (Bài toán phẳng, phương pháp PTHH, mô hình hỗn

hợp, nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner, công thức liên hệ giữa

ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể) Chương III: Chương trình ứng dụng để tính toán bằng ngôn ngữ Matlab

Chương IV: Thí dụ minh họa

Chương V: Kết luận

PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

III- NGÀY GIAO NHIỆM VUï: 07/07/2005

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VUï: 07/03/2006

V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS.BÙI CÔNG THÀNH

(Học hàm, học vị, họ tên và chữ ký) Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua Ngày …… tháng …… năm 2006

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã cung cấp cho em những kiến thức cơ bản phục vụ cho việc nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Đặc biệt, em xin cảm ơn thầy hướng dẫn PGS TS Bùi Công Thành đã tận tình giúp đỡ về mặt ý tưởng cũng như hướng dẫn cho em giải quyết những khó khăn, khúc mắc trong quá trình thực hiện đề tài

Xin cảm ơn bạn bè, gia đình – những người đã giúp đỡ và động viên tinh thần

em rất nhiều để có thể hoàn thành đề tài của mình

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các tác giả - những người đã có rất nhiều công sức trong việc nghiên cứu và cung cấp nhiều tài liệu mà em đã sử dụng tham khảo, cập nhập những thông tin cần thiết phục vụ cho quá trình thực hiện việc nghiên cứu đề tài

Tp.Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 03 năm 2006

Học viên thực hiện

HỒ PHÚ VINH

Trang 4

CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU 1

I Tổng Quan 1

II Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn 2

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

I Các lý thuyết cơ bản về bài toán cơ vật rắn biến dạng, bài toán phẳng, phần tử hữu hạn, mô hình hỗn hợp 3

1 Cơ sở lý thuyết của bài toán cơ vật rắn biến dạng 3

2 Cơ sở lý thuyết của bài toán phẳng 6

3 Cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn-mô hình hỗn hợp 12

II Nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner (đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính có biến dạng nhỏ) 12

III Thiết lập công thức liên hệ giữa ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể 13

1 Hàm nội suy chuyển vị 13

2 Hàm nội suy ứng suất 16

3 Thiết lập công thức liên hệ giữa ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể 18

4 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn dùng mô hình hỗn hợp 24

5 Phép tích phân số đối với phần tử tứ giác 25

CHƯƠNG III: CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN 27

I Giới thiệu chung về ngôn ngữ lập trình Matlab 27

II Lưu đồ thuật toán chương trình tính toán 29

III Thiết lập chương trình ứng dụng cụ thể 29

CHƯƠNG IV: THÍ DỤ MINH HỌA 30

I Tính toán bài toán phẳng cho một số ví dụ cụ thể [dùng mô hình hỗn hợp (chương trình thực hiện bằng ngôn ngữ Matlab), mô hình tương thích (Sap2000), lời giải lý huyết đàn hồi] 30

Trang 5

2 Kết quả tính toán, kết luận, nhận xét 112

CHƯƠNG V: KẾT LUẬN 114

1 Nhận xét và kết luận chung về ưu và nhược điểm 114

2 Đề ra hướng phát triển tiếp theo 115

PHỤ LỤC 116

TÀI LIỆU THAM KHẢO 135

Trang 6

Trên thế giới, mô hình hỗn hợp dựa trên các nguyên lý biến phân cũng được nghiên cứu từ sớm Trong đó, có 2 nguyên lý biến phân được sử dụng: Hellinger-Reissner, Hu-Washizu [14] Trong đó, nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner có các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng suất trong phần tử, nguyên lý biến phân Hu-Washizu có các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị, ứng suất và biến dạng trong phần tử Các tác giả đã từng nghiên cứu trong lĩnh vực này như: A.F Saleeb and T.Y Chang [1], C.K Lee and R.E Hobbs [2], D.S Malkus and T.J.R Huges [4], J.C Simo, J.G Kennedy and R.L Taylor [8], R.Casciaro and L.Cascini [11] ,R.L Spilker and N Munir [12], S.L Weissman [13] [14],

P Tong [15], T.H.H Pian [16] [17], …và đã thu được các kết quả đáng kể (kể cả vật liệu đàn hồi và dẻo) Trong các nghiên cứu đã được thực hiện, các cấu kiện dầm, bài toán phẳng, tấm chịu uốn được thực hiện bởi nhiều tác giả và thu được nhiều thành tựu Hiện nay, các tác giả khác cũng tiếp tục nghiên cứu và phát triển

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH THEO MHHH

Trang 7

Tại Việt Nam thì việc sử dụng phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu được chú ý từ những năm 70, riêng đối với mô hình hỗn hợp thì khá mới mẻ Hiện nay, ở nước ta có Đinh Sĩ Minh đã có đề tài đi theo hướng nghiên cứu này [5], tuy nhiên hướng nghiên cứu tập trung vào phần tử dầm

Theo đề tài này, tác giả tập trung nghiên cứu việc áp dụng mô hình hỗn hợp (cho phương pháp PTHH) dựa trên nguyên lý biến phân của Hellinger-Reissner đối với bài toán phẳng (đàn hồi tuyến tính và biến dạng nhỏ) và sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình tính toán cho bài toán này Do tại Việt Nam, mô hình hỗn hợp còn rất mới và việc nghiên cứu còn hạn chế nên việc tìm kiếm tài liệu cũng có nhiều khó khăn nhất định, hầu hết các tài liệu nghiên cứu đều phải thu thập từ nước ngoài Tuy nhiên, tác giả cũng đã cố gắng thu thập được những tài liệu đủ và cần thiết phục vụ cho việc thực hiện đề tài này

II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN

• Nghiên cứu lý thuyết bài toán phẳng bằng phương pháp PTHH theo mô hình hỗn hợp dựa trên nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner

• Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB

• Áp dụng chương trình để tính toán một số bài toán cụ thể

• So sánh kết quả tính toán của chương trình trên với phương pháp tính toán khác dựa trên mô hình tương thích như: ANSYS, SAP2000, FEAP,…và lý thuyết đàn hồi tuyến tính

• Đưa ra nhận xét và kết luận về đề tài cũng như hướng phát triển tiếp theo

Trang 8

Chương II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG, BÀI TOÁN PHẲNG, PHẦN TỬ HỮU HẠN, MÔ HÌNH HỖN HỢP

1 Cơ sở lý thuyết của bài toán cơ vật rắn biến dạng

a Các phương trình cân bằng

Xét một vật thể rắn thực có thể tích V, bề mặt S, có những liên kết cần thiết nào đó để đảm bảo khả năng chịu lực mà không bị biến hình Dưới tác dụng của tải trọng ngoài, vật thể biến dạng và bên trong nó sẽ xuất hiện các thành phần ứng suất trên một mặt phẳng bất kỳ cắt qua vật thể [3], [9]

Có hai loại ứng suất trên một mặt phẳng: ứng suất pháp (hướng theo phương vuông góc mặt phẳng) và ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng đó

Ứng suất tại các điểm khác nhau là khác nhau và được xác định bởi trạng thái ứng suất tại điểm đó Như đã biết trong sức bền vật liệu, trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp của tất cả các giá trị ứng suất tác dụng trên các mặt cắt qua điểm khảo sát Tuy nhiên, trong lý thuyết đàn hồi người ta đã chứng minh dược rằng trạng thái ứng suất tại một điểm hoàn toàn xác định được khi biết các thành phần ứng suất trên ba mặt vuông góc nhau tại điểm đó Cụ thể, trong một hệ tọa độ vuông góc thông thường xyz, thì trạng thái ứng suất tại một điểm hoàn toàn được xác định khi biết tập hợp 9 thành phần ứng suất tác dụng trên 3 mặt phẳng vuông góc nhau và song song với các mặt phẳng tọa độ σx, σy, σz, τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz

Nếu tách ra từ vật thể một phân tố vật thể, thì rõ ràng phân tố này phải ở trạng thái cân bằng bởi các nội lực (ứng suất) và ngoại lực (lực khối) tác dụng lên nó Ở đây ta chỉ vẽ các thành phần ứng suất tác dụng lên 2 mặt phẳng song song mặt phẳng yz và lực khối chỉ vẽ thành phần gx song song trục x (Hình 2.1)

gx

d x

d y

d z x

xy

xy ∂

∂+ ττ

dx x

xz xz

Trang 9

Sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao, cuối cùng ta có:

Từ 3 phương trình tổng momen với 3 trục tọa độ x, y, z ta có biểu thức định luật đối ứng của ứng suất tiếp Cụ thể:

τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy

Các biểu thức này cho thấy rằng: trạng thái ứng suất tại một điểm có thể hoàn toàn xác định thay vì 9 mà bằng 6 thành phần ứng suất sau đây và tập hợp của chúng là vectơ ứng suất σ :

zx yz xy z y

σ

σ =Từ 3 phương trình hình chiếu theo 3 trục x, y, z sẽ cho 3 phương trình vi phân cân bằng:

∂

∂+

∂

∂+

∂

x xz xy

z y x

ττσ

∂

∂+

∂

∂+

∂

y yz y xy

g z y x

τστ

∂

∂+

∂

∂+

∂

z z yz

z y x

στ

τTrong đó:

b Phương trình động học (liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị)

Dưới tác dụng của tải trọng, vật thể chịu lực bị biến dạng, các điểm trong vật thể chuyển dịch đến vị trí mới trong không gian Ta nói rằng các điểm có chuyển vị Như ta đã biết tại 1 đểm trong vật thể khi bị biến dạng sẽ phân ra thành 2 thành phần biến dạng: biến dạng dài và biến dạng góc [3], [9]

xy

z

M'

M u

vw

Trang 10

Tập hợp các biến dạng dài và góc theo các phương bất kỳ qua một điểm được gọi là trạng thái biến dạng Tương tự như trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng tại 1 điểm được xác định bằng 6 thành phần biến dạng hay vectơ biến dạng εˆ:

zx yz xy z y

ε

εˆ= Trong đó:

x z

y z

x y

z y x

zx yz xy z y x

0 0

0

0 0

ˆ

γγγεεε

ε

Trong đó:

u,v,w: các thành phần chuyển vị theo phương x, y, z

c Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng (Định luật Hooke)

Theo trên, ta thấy rằng các đại lượng tĩnh học và động học độc lập với nhau trong bài toán cơ Hai đại lượng này liên hệ với nhau bằng các định luật ứng xử thể hiện mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng [3], [9]

Để đơn giản, ở đây chỉ xét vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và xem sự đàn hồi này là tuyến tính, tức mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính Khi đó quan hệ được tạo bởi định luật Hooke đã quen thuộc trong giáo trình sức bền vật liệu (bỏ qua thành phần biến dạng ban đầu ε0 )

Trang 11

zx yz xy z y x

E

τττσσσ

νν

ν

νν

τττεεε

ε

) 1 ( 2 0 0

0 0 0

0 ) 1 ( 2 0 0

0 0

) 1 ( 2 0 0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

1 ˆ

Trong đó:

E : mođun đàn hồi Young của vật liệu

ν : hệ số Poisson của vật liệu

2 Cở sơ lý thuyết của bài toán phẳng

a Bài toán ứng suất phẳng

Các tấm phẳng chịu tải trọng phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như: tấm tường, đĩa mỏng,…được xem là bài toán ứng suất phẳng [3], [9] Bài toán ứng suất phẳng phải đảm bảo những điều kiện sau:

• Biến dạng dài theo phương bề dày là tự do

• Mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng số theo bề dày Có thể viết lại điều kiện của bài toán ứng suất phẳng như sau:

σz = τzx = τzy = 0

εz ≠ 0

Hình 2.3 Sơ đồ bài toán ứng suất phẳng

Trang 12

Các phương trình chủ đạo của bài toán ứng suất phẳng

• Phương trình động học (liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị):

x y y x

xy y

x

0

0 ˆ

γε

εε

Trong đó:

εˆ: biến dạng của phần tử

: chuyển vị của phần tử (tại các nút phần tử)

D: ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị

x

0 (2.2a)

• Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng

xy y x

E

τσσνν

νγ

ε

εε

)1(200

01

1ˆ

: ứng suất của phần tử

τσ

σσ

S : ma trận liên hệ giữa biến dạng và ứng suất

Trang 13

0 1

1

νν

ν

E

• Phương trình cân bằng:

Các giá trị ứng suất trong bài toán phẳng được thể hiện như Hình 2.4

Các phương trình cân bằng của bài toán ứng suất phẳng [Hình 2.4] như sau:

0

=+

∂

∂+

∂

x xy x

g y x

τσ

0

=+

∂

∂+

∂

y y xy

g y x

στ

Trong đó:

gx : cường độ lực thể tích theo phương x

gy : cường độ lực thể tích theo phương y Bỏ qua lực thể tích (do tải trọng bản thân là chính), các phương trình cân bằng có thể được viết lại như sau:

0

=

∂

∂+

∂

y x

dy y

y y

yx yx

x x

xy xy

∂

∂+ ττ

Trang 14

=

∂

∂+

∂

y x

y

xy στ

• Điều kiện biên của bài toán:

Điều kiện biên tĩnh học:

u

u=

v

v=Trong đó:

x

σ , σ y, τxy: ứng suất tác dụng ở biên của phần tử

u, v : chuyển vị tại biên của phần tử

b Bài toán biến dạng phẳng

Các vật thể có dạng hình lăng trụ, có tải trọng lớn, chịu tải trọng không đổi theo chiều dài như: đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm,…thường khi tính toán ta chỉ xét một đoạn vật thể có chiều dài một đơn

vị và ta xem nó là bài toán biến dạng phẳng [3], [9] Bài toán biến dạng phẳng phải đảm bảo những điều kiện sau:

• Không có biến dạng dài theo phương bề dày z (phương hình lăng trụ)

• Mặt bên của tấm chịu áp lực pháp tuyến theo phương z

Có thể viết lại điều kiện của bài toán biến dạng phẳng như sau:

εz = γzy = γzx = 0

σz ≠ 0

Hình 2.5 Sơ đồ bài toán biến dạng phẳng

Trang 15

Các phương trình chủ đạo của bài toán biến dạng phẳng:

• Phương trình động học (liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị):

x y y x

xy y

x

0

0 ˆ

γε

εε

• Phương trình liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:

xy y x

E

τσσνν

νγ

ε

εε

)1(200

01

1ˆ

1 1

1

và σz =−ν(σx +σy)Trong đó:

: ứng suất của phần tử

τσ

σσ

1

νν

Trang 16

2 1

−

=1

1

• Phương trình cân bằng:

Các phương trình cân bằng của bài toán biến dạng phẳng [Hình 2.4] như sau:

0

=+

∂

∂+

∂

x xy

y x

τσ

0

=+

∂

∂+

∂

y y xy

g y x

στ

Trong đó:

gx : cường độ lực thể tích theo phương x

gy : cường độ lực thể tích theo phương y Bỏ qua lực thể tích (do tải trọng bản thân là chính), các phương trình cân bằng có thể được viết lại như sau:

0

=

∂

∂+

∂

y x

∂

y x

y

xy στ

• Điều kiện biên của bài toán:

Điều kiện biên tĩnh học:

u

u=

v

v=Trong đó:

Trang 17

σ , σ y, τxy: ứng suất tác dụng ở biên của phần tử

u, v : chuyển vị tại biên của phần tử

3 Cở sơ lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn – mô hình hỗn hợp

Phương pháp PTHH là một phương pháp số để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên, phương pháp PTHH không tìm dạng cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve thuộc miền xác định V

Phương pháp phần tử hữu hạn có 3 mô hình [3] : mô hình tương thích, mô

hình cân bằng, mô hình hỗn hợp (sử dụng nguyên lý biến phân Reissner)

Hellinger-• Mô hình tương thích (mô hình chuyển vị): Chọn trước hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử nhằm thỏa mãn điều kiện tương thích bên trong và trên biên của phần tử thông qua các thông số ẩn số Các ẩn số này được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân chuyển vị của Lagrange

• Mô hình cân bằng: hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử nhằm thỏa mãn điều kiện cân bằng bên trong và trên biên của phần tử thông qua các thông số ẩn số Các ẩn số này được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng bù hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (nguyên lý Castigliano)

• Mô hình hỗn hợp (theo nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner): các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập

trên cơ sở của nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner Trong đó,

chuyển vị liên tục trên biên phần tử, ứng suất liên tục bên trong phần tử

II NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN HELLINGER-REISSNER (ĐỐI VỚI VẬT LIỆU ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH CÓ BIẾN DẠNG NHỎ)

• Nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner có được từ nguyên lý biến phân tổng

quát và áp dụng cho trường hợp vật liệu đàn hồi tuyến tính có biến dạng nhỏ [1], [15] được phát biểu như sau:

ds u u f uds f dv u q S

Seb T Sef

T T

Trang 18

σ : ứng suất của phần tử

u : chuyển vị trên biên động học của phần tử

u : chuyển vị của phần tử

f : lực tác dụng lên biên tĩnh học

f : phản lực tác dụng lên biên động học

q : lực bản thân

Sef : biên chịu tải trọng ngoài (biên tĩnh học)

Seb : biên động học

Ve : thể tích phần tử

εˆ : biến dạng của phần tử

• Nguyên lý biến phân Hellinger-Reissner áp dụng cho bài toán phẳng ở trên (bỏ qua trọng lượng bản thân) có thể được viết lại như sau:

ds u u f uds f dv S

Seb T Sef

T T

T Ve

Sef Seb

T Sef

(Bỏ qua trường hợp nội lực sinh ra do các chuyển vị cưỡng bức)

III THIẾT LẬP CÔNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ VÀ VECTƠ TẢI TỔNG THỂ

1 Hàm nội suy chuyển vị

• Phần tử xét cho bài toán phẳng là phần tử tứ giác có 4 nút Mỗi nút có 2 bậc tự

do là chuyển vị theo 2 phương của hệ trục tọa độ vuông góc tổng thể (x,y): phương ngang (chuyển vị: u) ứng với trục x, phương đứng (chuyển vị: v) ứng với trục y

• Chuyển vị tại một vị trí bất kỳ trên phần tử sẽ được biểu diễn thông qua chuyển vị tại các nút phần tử bằng cách xây dựng các hàm dạng chuyển vị Tuy nhiên, việc xây dựng các hàm dạng chuyển vị cho phần tử tứ giác trong hệ tọa độ (x,y) sẽ dẫn tới các biểu thức đại số rất phức tạp và việc kiểm tra rất

Trang 19

khó khăn Để giảm bớt sự phức tạp này người ta xét phần tử thông qua hệ trục tọa độ địa phương (ξ,η) của mỗi phần tử (hay hệ trục tọa độ tự nhiên)

• Hệ tọa độ tự nhiên cho các phần tử tứ giác là một hệ tọa độ địa phương sao cho các trục ξ, η của nó đi qua các điểm giữa của các cặp cạnh đối diện nhau Các cạnh này được xác định bởi phương trình ξ=±1, η=±1 Khi đó, một điểm P bất kỳ thuộc phần tử có tọa độ (x,y) trong hệ tọa độ vuông góc tổng thể sẽ có tọa độ (ξ,η) trong hệ tọa độ tự nhiên Các tọa độ tự nhiên này là không thứ nguyên và có giá trị trong khoảng từ -1 đến 1 Quan hệ giữa tọa độ vuông góc và tọa độ tự nhiên được xác định như sau [3], [13]:

4 3 2 1 4

1

),(

x x x x N N N N x N

4 3 2 1 4

1

),(

y y y y N N N N y N

4 3

2 1

4 3

2 1

00

y x y x y x y x

N N

y x

Trong đó:

(xi, yi) : tọa độ vuông góc của nút i (i=1, 2, 3, 4)

Ni(ξ,η): các hàm dạng chuyển vị (i=1, 2, 3, 4)

4

1),

2 ξ η = +ξ −η

N

Trang 20

(1 )(1 )

4

1),(

4 3

2 1

4 3

2 1

00

q q q q q q q q

N N

v u

q N

u =Trong đó:

2 1

4 3

2 1

0 0

N N

: vectơ chuyển vị của nút thứ hai của phần tử

: vectơ chuyển vị của nút thứ ba của phần tử

: vectơ chuyển vị của nút thứ tư của phần tử

Trang 21

ξ

η

Hình 2.6 Phần tử tứ giác, các hệ tọa độ tự nhiên (ξ,η) và tổng thể (x,y)

2 Hàm nội suy ứng suất

• Theo tài liệu [1], khi chọn lựa số các tham số ứng suất về cơ bản cần dựa trên 3 tiêu chí quan trọng sau:

- Tránh tất cả các loại biến dạng động học

- Trong mọi trường hợp, hàm ứng suất nên thỏa mãn điều kiện cân bằng tại mọi điểm bên trong

- Khả năng phần tử phải có được những ràng buộc đối với các phần tử mỏng và cong (ở đây muốn nói đến những phần tử mỏng và cong có khả năng biểu hiện hiện tượng membrane-shear locking)

• Theo tài liệu [13], [14], ứng suất của phần tử tứ giác trong hệ tọa độ tự nhiên là:

* 8

* 7

* 6

* 5

* 4

* 3

* 2

* 1

0000100

000

0010

0000

001)

,(

βββββββββ

ηξ

ξη

τσ

σηξσ

σ

ξη η ξ

Trang 22

• Ứng suất của phần tử xét trong hệ tọa độ tổng thể thông qua hệ tọa độ tự nhiên bằng cách sử dụng ma trận chuyển đổi [13], [14] được tính như sau:

στ

xy y

1

4 3 2

x x

4

14

1

4 3 2

x x

4

1)

(4

1

4 3 2

x x

4

14

1

4 3 2

y y

4

14

1

4 3 2

y y

4

1)

(4

1

4 3 2

y y

0 0 22 11 21 12 22 12 21 11

22 21 22

22 21 21

12 11 12

12 11 11

0 0 , , , , , , , ,

, , ,

22

ξ η ξ ξ η η η ξ ξ

η ξ η

η ξ ξ

η ξ η

η ξ ξ

J J J J J J J J

J J J

y x y x y x y x

y y y

x x x

x x x T

12 2 1

βββββββββ

τσστ

σ

xy y

x e

P

P β

σ = Trong đó:

J11=xs, J12=xt, J21=ys, J22=yt (tại: ξ=0, η=0)

Trang 23

(

3

* 2 2

* 1 2

[

3

* 2

* 1 0

=

ηξ

ξη

ηξ

ξη

ηξ

ξη

)(

100

22

010

22

001

2 2

xtys xsyt xtys

xsyt xtyt

xsys xtyt

xsys

ysyt ysyt

yt ys

xsxt xsxt

xt xs

Ve

e T

Ve

T e

T T

Ve

2

1]

2

1[

Ve

e e

e T e e Ve

e e T e e

W dv q N D P

dv P

S

(2

1

ββ

e eT eT Ve

e e eT eT

W dv q DN P dv

SP

β21

e eT eT Se

e e eT eT

W ds q DN P t

ds SP P

21

e Se

e eT eT

W q ds DN P t ds

SP P

(2

1

βββ

e e eT e eT

W Gq

ds DN P t G

ds=dxdy= ξ η

Trang 24

• Hàm năng lượng toàn phần của hệ kết cấu:

)2

1(

1 1

e e eT e NE

i

eT NE

=

−+

−

i e e

eT e NE

i

eT

W Gq

H

1 1

)2

−

i

e eT e

eT e NE

i

eT

q F Gq

H

1 1

)2

= +

=

i

e eT e

e e e

NE i

e T C

e e e

NE i

T Sef NE

i

W W

1 1

) (

f1 : tải trọng phân bố trên biên phần tử (với đề tài này tập trung áp dụng nghiên cứu cho trường hợp tải phân bố đều là chính)

Qe : tải tập trung tại nút phần tử

Fe : vectơ tải phần tử (ma trận có kích thước: 8x1)

ξξ

y x

y x J

Với:

4 3

2

4

1)1(4

1

x x

4

1)(

4

1

4 3 2 1 4

3 2

ξI x I ( )I x I

4

14

1

+

=

η)(xh

xs+

=

4 3

2

4

1)1(4

1

y y

y

ηη

∂

η)(

4

1)(

4

1

4 3 2 1 4

3 2

ξI y I ( )I y I

4

14

Trang 25

ys+

=

4 3

2

4

1)1(4

1

x x

4

1)(

4

1

4 3 2 1 4

3 2

ηI x I ( )I x I

4

14

1

+

=

ξ)(xh

xt+

=

4 3

2

4

1)1(4

1

y y

y

ξξ

∂

ξ)(

4

1)(

4

1

4 3 2 1 4

3 2

ηI y I ( )I y I

4

14

1

+

=

ξ)(yh

yt+

=

Do vậy định thức ma trận Jacobian được tính như sau:

ξηη

J = − J1 =xsyh−xhys, J2 =xhyt−xtyh

• Tính ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobian:

N

i i i

i

ηξ

η

ξ

i i i

i i

i

N N

y y

x x N

N J y N x N

1

Trang 26

+ +

b a yh

yt xh xt

yh ys xh xs y

x

y x J

1 1

1

) ( )

(

) ( )

(

ξξ

ηη

ξξ

])([

ξ

yh yt J x

ξ

xh xt J y

)(xsyt xtys xsyh xhys xhyt xtyh

y DN y

DN y

DN

x DN x

DN x

DN

DN e

4 4

3 3

2 2

1 1

4 0

3 0

2 0

1 0

0 4

0 3

0 2

0 1

Trong đó:

)]1(

*)1(

*[4

N x

)]1(

*)1(

*[4

N x

N x DN

)]

1(

*)1(

*[4

N x

N x DN

)]1(

*)1(

*[4

N x

N x DN

)]1(

*)1(

*[4

N y

N y DN

)]1(

*)1(

*[4

N y

N y DN

)]

1(

*)1(

*[4

N y

N y DN

)]1(

*)1(

*[4

N y

N y DN

Do vậy:

η

ξd d J DN P t

G ∫ ∫ eT e

− −

1 1

1

Trang 27

ξd d J SP P t

H ∫ ∫ eT e

− −

1 1

1

G, H: ma trận có kích thước lần lượt là: 9x8, 9x9 (các số hạng của G, H là các đa thức có bậc cao nhất bằng 3)

DNe: ma trận có kích thước 3x8

(các số hạng của DNe là các đa thức có bậc cao nhất bằng 1)

• Aùp dụng điều kiện dừng của phiếm hàm vào (2.9a) ta có:

i

e

Gq H

1 1

β

e e

Gq

H−1

=

(Với mọi phần tử)

• Thay (10) vào (9a) ta có:

−

=Π

=

i

e eT e

T e e

NE i

T e NE

i

1

1 1

)(

2

1[

T T eT e NE

i

T T eT

q F Gq

H G q Gq HH H G q

1

1 1

1

)2

1(

−

i

e eT e

T T eT e T

NE i

eT

q F Gq

H G q Gq H G q

1

1 1

1

)2

1(

−

i

e eT e

T eT e T

NE i

eT

q F q

G H G q q G H G q

1

1 1

1

])(

)(

2

1[

T NE

i

eT

q F q

G H G q

1 1

1

)(

21

e NE

i

eT

q F q

K q

1

1 21

e eT NE

i

T

q L F q L K L q

1

1 2

Trang 28

Trong đó:

H: ma trận đối xứng nên: H-1T=H-1

K e =G T H−1G: ma trận độ cứng phần tử và cũng đối xứng

(K e:ma trận có kích thước 8x8)

• Aùp dụng điều kiện dừng của phiếm hàm vào (2.11) ta có:

i

e e eT

F L q

L K L

1 1

)(

L K L K

F : vectơ tải tổng thể, ∑

=

= NE

i

e eT

F L F

1

q : vectơ chuyển vị của hệ kết cấu, qe=Leq

Le : ma trận định vị của phần tử Hệ kết cấu có NE phần tử, R điểm nút Mỗi nút có s=2 bậc tự do, số bậc tự do của cả hệ là n=Rxs

Mỗi phần tử tứ giác có r=4nút, số bậc tự do của mỗi phần tử làne=rxs=8 Như vậy:

Vectơ chuyển vị tổng thể q là một ma trận có kích thước (nx1)

Ma trận định vị Le có kích thước (nexn) Vectơ tải tổng thể F là ma trận có kích thước (nx1)

Ma trận độ cứng tổng thể K có kích thước (nxn) Trong lập trình tính toán bằng chương trình Matlab sử dụng ma trận chỉ

số (feeldof.m) giống mô hình tương thích để kết hợp các ma trận độ cứng

Trang 29

phần tử, vectơ tải phần tử, vectơ chuyển vị phần tử thành ma trận độ cứng tổng thể, vectơ tải tổng thể, vectơ chuyển vị tổng thể

4 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn dùng mô hình hỗn hợp

Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve, hay các phần tử có dạng tứ giác

Bước 2: Chọn hàm nội suy chuyển vị thích hợp

Đối với bài toán cụ thể ở đây ta chọn ma trận hàm nội suy chuyển

vị có dạng Ne ở trên

Bước 3: Chọn hàm nội suy ứng suất thích hợp

Đối với bài toán cụ thể ở đây ta chọn ma trận hàm nội suy ứng suất có dạng Pe ở trên

Bước 4: Thiết lập phương trình phần tử , hay thiết lập ma trận độ cứng phần

tử Ke và vectơ tải phần tử Fe Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một phương trình phần tử:

F q

Bước 5: Ghép nối các phần tử giống như mô hình tương thích

Kết quả nhận được là hệ phương trình:

Kq=F Bước 6: Áp đặt điều kiện biên của bài toán

Kết quả nhận được là hệ phương trình:

F q

Bước 7: Giải hệ phương trình đại số

Bài toán khá phức tạp về mặt toán học do sử dụng các biểu thức tính tích phân có nhiều số hạng, cho nên việc giải bài toán sẽ được kết hợp với phương pháp tích phân số tại các điểm Gauss của nó Đề tài này, bài toán giải các đa thức có bậc cao nhất bằng 3 nên chỉ cần số điểm Gauss n=2 là đủ

Kết quả tìm được chính là chuyển vị tại các nút của hệ kết cấu cũng như của các phần tử

Bước 8: Hoàn thiện

Trang 30

Từ kết quả chuyển vị, tiếp tục tìm các giá trị về ứng suất, biến dạng,… theo các công thức ở trên

5 Phép tích phân số đối với phần tử tứ giác

Ta biết, với phần tử tứ giác 4 nút, các biểu thức tích phân xác định G, H là các tích phân xác định trên các cận là -1 và 1, nhưng rất khó nhận được kết quả tích phân ở dạng tường minh Do vậy, cần sử dụng các phép tích phân số (phương pháp gần đúng)

Có một vài phương pháp tích phân số để tính các tích phân xác định Đề tài này sẽ áp dụng phương pháp cầu phương Gauss để tính toán [3]

1 1 1

1 1

1

i n

i n j

i j

i w f w d

),(ξi ηi : tọa độ điểm Gauss i

wi : trọng số tương ứng )

,(ξ η

f : đa thức (hàm) cần tính tích phân

I : giá trị hàm tích phân

Trong phép cầu phương Gauss, vị trí các điểm Gauss được xác định sao cho với một số điểm n đã cho thì đạt độ chính xác lớn nhất Các điểm Gauss được đặt đối xứng với tâm của khoảng lấy tích phân Các trọng số là như nhau với các điểm Gauss đối xứng nhau

Bảng sau cho biết vị trí (tọa độ) và các trọng số tương ứng các điểm Gauss theo các sơ đồ có số điểm Gauss (n) khác nhau

Số điểm Gauss

4 ±0.861136311594053

±0.339981043584856

0.347854845137454 0.652145154862546

Trang 31

Bảng này xem các cận tích phân là ±1, đó là lý do của việc chuẩn hóa hệ tọa độ địa phương Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả là chính xác đối với hàm f(ξ,η) là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng (2n-1)

Thông thường chúng ta muốn tính tích phân trên phần tử hữu hạn một cách chính xác Tuy nhiên, trong một số trường hợp để đơn giản, có thể tính tích phân gần đúng sẽ làm giảm quá trình tính toán mà vẫn bảo đảm tính chính xác cần có

Với đề tài này sử dụng số điểm Gauss n=2

Trang 32

Chương III

CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH TOÁN

I GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

Matlab là một phần mềm mô phỏng được được ứng dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học hiện nay và đã trở thành một trong những công cụ tính toán kỹ thuật hàng đầu Chương trình Matlab có khả năng thực hiện rất nhiều loại bài toán đơn giản cho đến phức tạp như lấy logaric, lấy căn bậc 2, giải phương trình số phức, cho đến giải các phương trình đa thức bậc cao

Matlab có tính năng đồ họa, sử dụng Matlab có thể vẽ được các đường cong bất kỳ trên mặt phẳng hai chiều hoặc không gian ba chiều

Có thể sử dụng Matlab để lập trình như một ngôn ngữ thực sự

Trong thư viện Matlab có rất nhiều các hàm cơ bản và nhiều hàm tự tạo trong M-file đã làm cho ngôn ngữ này trở thành phần mềm đa năng, được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật khác nhau

Ưu điểm của chương trình Matlab là dễ lập trình và chỉnh sửa dễ dàng

Chính vì những công dụng và sự tiện lợi trên, trong luận văn này tác giả sử dụng ngôn ngữ Matlab làm công cụ chính để lập trình cho bài toán mình nghiên cứu

Chương trình được chia thành nhiều thủ tục hay các hàm riêng lẻ để thực hiện từng công việc rời rạc Thông tin được chuyển giao giữa các chương trình thông qua các đối số, mỗi chương trình con có thể có nhiều biến cục bộ hay toàn cục

Chương trình phân tích kết cấu bao gồm một chương trình chính và các chương trình con (chương trình phụ)

1 Chương trình chính: Main

• Nhập các số liệu về phần tử: loại bài toán (ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng), cách nhập tọa độ nút, kết nối phần tử,…

• Các số liệu về đặc trưng hình học: E, ν, t,…

• Khai báo bậc tự do tại các nút liên kết

• Nhập số liệu về tải trọng

• Các chương trình phụ kết nối

• Giải hệ phương trình tìm chuyển vị tại các nút

Trang 33

• Tính nội lực,… và xuất kết quả

2 Các chương trình con (chương trình phụ)

• Coordinate: khai báo tọa độ của các nút phần tử và hệ kết cấu

• Connection: khai báo các kết nối phần tử

• feglqd1: Xác định điểm tích phân và trọng số của phép cầu phương Gauss

cho tích phân một chiều

• feglqd2: Xác định điểm tích phân và trọng số của phép cầu phương Gauss

cho tích phân hai chiều

• matranke, matranke1: thiết lập ma trận độ cứng phần tử cho bài toán

ứng suất phẳng, biến dạng phẳng

• feasmbl1, feasmbl2: ghép nối các ma trận độ cứng phần tử thành ma trận

độ cứng tổng thể

• feaplyc1, feaplyc2 : áp đặt điều kiện biên cho bài toán

• stress, stress1: xác định ứng suất cho mỗi phần tư.û

• feeldof: xác định vectơ chỉ số bậc tự do của mỗi phần tử và hệ kết cấu

Trang 34

II LƯU ĐỒ THUẬT TOÁN CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN

Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [K]

Nhập điều kiện biên và tải trọng

Thiết lập vectơ tải tổng thể [F]

i=1:n

Thiết lập

ma trận chỉ số [b] độ cứng phần tử [K]Thiết lập ma trận e

Giải hệ phương trình [K]{q}=[F]

Xác định chuyển vị nút và nội lực của phần tử Hiển thị kết quả i=1:n

KẾT THÚC

Nhập dữ liệu về hình học và vật liệu BẮT ĐẦU

III THIẾT LẬP CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG (XEM PHẦN PHỤ LỤC)

Trang 35

Chương IV

THÍ DỤ MINH HỌA

I TÍNH TOÁN BÀI TOÁN PHẲNG CHO MỘT SỐ VÍ DỤ CỤ THỂ

BÀI TOÁN 4.1: Cho bài toán phẳng liên kết ngàm với với các số liệu sau:

• Bề dày tính toán t=1mm

• Vật liệu cấu tạo có mođun đàn hồi E=1500N/mm2

• Hệ số Poisson ν=0.25

• Tải trọng phân bố đều q=10N/mm dọc biên như hình vẽ

• Các kích thước hình học xem hình vẽ (đơn vị chiều dài: mm)

Sử dụng chương trình Matlab đã thiết lập ở trên (mô hình hỗn hợp) để

tính toán và so sánh với chương trình mô phỏng Sap2000 (mô hình tương thích) về chuyển vị tại điểm A theo số lượng phần tử, chuyển vị tại các điểm dọc theo trục x và y=240mm, ứng suất tại điểm x=90mm và y=120mm theo số lượng phần tử, ứng suất tại các điểm dọc trục x và

Trang 36

y=165mm (xét cho cả bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng) Tham khảo và kiểm chứng kết quả tài liệu [2]

4.1.1: BÀI TOÁN ỨNG SUẤT PHẲNG

KẾT QUẢ CHUYỂN VỊ TẠI ĐIỂM A THEO SỐ LƯỢNG PHẦN TỬ

MHHH (MATLAB) (KẾT QUẢ LẬP TRÌNH) MHTT(SAP2000)

Sự hội tụ chuyển vị ngang (u) tại điểm A

Trang 37

KẾT QUẢ CHUYỂN VỊ 16 64 128 THEO TRỤC x TẠI y = 240mm 256 512 1024

Sự hội tụ chuyển vị đứng (v) tại điểm A

KẾT QUẢ CHUYỂN VỊ THEO TRỤC x TẠI y = 240mm

Trang 38

MHHH MHTT

Chuyển vị ngang (u) theo trục x tại y = 240mm

Chuyển vị đứng (v) theo trục x tại y = 240mm

Trang 39

KẾT QUẢ ỨNG SUẤT TẠI x=90mm, y=120mm THEO SỐ LƯỢNG PHẦN TỬ

Trang 40

Sự hội tụ ứng suất σy tại điểm tại x=90mm, y=120mm

-6.5

-6 -5.5

-5 -4.5

Sự hội tụ ứng suất τxy tại điểm tại x=90mm, y=120mm

-10.5

-10 -9.5

-9 -8.5

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	3,34 MB

Phân tích bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình hỗn hợp

BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG

BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG ẽ