Phân tích chuyển vị lớn khung thép phẳng dùng phương pháp phần tử hữu hạn

- Trong luận án, công thức cập nhật Lagrangian được nghiên cứu và sử dụng cho công thức của phương trình cân bằng ma trận gia tăng phần tử dầm – cột.. - Trong luận án, công thức cập nhật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- - - * *- - -

-TẠ VĂN KHOA

PHÂN TÍCH CHUYỂN VỊ LỚN KHUNG THÉP PHẲNG

DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

(PHẦN THUYẾT MINH)

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 10 năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : TẠ VĂN KHOA Phái : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 21-01-1977 Nơi sinh : Tp HCM Chuyên ngành : Xây dựng DD & CN Mã số học viên : 02103529

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích chuyển vị lớn khung thép phẳng dùng phương pháp phần tử hữu hạn

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu và sử dụng mô hình dầm – cột của giáo sư Morteza A.M Torkamani [21] Mô hình này dựa trên giả thuyết dầm Timoshenko, có giá trị phi tuyến hình học, phân tích chuyển vị lớn tạm gọi là mô hình dầm Timoshenko mở rộng (TM) Tác giả triển khai nghiên cứu mô hình dầm – cột theo lý thuyết dầm Bernoulli – Euler tạm gọi là mô hình dầm Bernoulli – Euler mở rộng (BM)

- Trong luận án, công thức cập nhật Lagrangian được nghiên cứu và sử dụng cho công thức của phương trình cân bằng ma trận gia tăng phần tử dầm – cột

- Xây dựng một chương trình ứng dụng bằng ngôn ngữ lập trình Delphiđể tự động hóa quá trình phân tích trên máy vi tính

- So sánh kết quả đạt được với các chương trình và các nghiên cứu trước

- Rút ra kết luận và nêu hướng phát triển tiếp theo của đề tài trong tương lai

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS BÙI CÔNG THÀNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS TS BÙI CÔNG THÀNH

CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng năm 2006

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS BÙI CÔNG THÀNH

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI DỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA,ngày………tháng……… năm 2006

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng và chân thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Bách khoa TPHCM, những người đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt các kiến thức quý báu cho tôi trong những năm học Đại học và Cao học Khối kiến thức của các thầy cô đã trang bị cho tôi một hành trang quý báu trong công việc, cuộc sống, để tôi có đủ nghị lực góp phần nhỏ công sức, năng lực xây dựng đất nước Việt Nam ngày càng giàu đẹp

Đặc biệt, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Bùi Công Thành, người thầy đã tận tình hướng dẫn, thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Ngoài ra, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những người đã cho tôi những lời khuyên hữu ích và luôn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian vừa qua

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

NỘI DUNG KÝ TỰ 5

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 7

I.1 MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI LUẬN ÁN 7

I.2 GIỚI THIỆU 8

I.3 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI 12

I.3.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới 12

I.3.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam 12

CHƯƠNG II: CÔNG THỨC CẬP NHẬT LAGRANGIAN 14

II.1 GIỚI THIỆU 14

II.2 CÔNG THỨC CẬP NHẬT LAGRANGIAN 15

II.3 PHƯƠNG TRÌNH CÔNG ẢO CHO PHẦN TỬ KHUNG PHẲNG 19

CHƯƠNG III: MÔ HÌNH DẦM – CỘT 20

III.1 MÔ HÌNH DẦM TIMOSHENKO MỞ RỘNG (TM) 20

III.1.1 Phần a 22

III.1.2 Phần b 27

III.1.3 Phương trình cân bằng ma trận gia tăng hoàn chỉnh cho mô hình dầm Timoshenko mở rộng 31

III.2 MÔ HÌNH DẦM BERNOULLI - EULER MỞ RỘNG (BM) 32

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG PHI TUYẾN 36

IV.1 GIỚI THIỆU 36

IV.3 PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON 39

IV.4 PHƯƠNG PHÁP GIA TẢI THUẦN TÚY KẾT HỢP ĐIỀU CHỈNH CÔNG 40

IV.5 TÓM TẮT 41

CHƯƠNG V: CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 42

V.1 GIỚI THIỆU 42

V.2 QUÁ TRÌNH PHÂN TÍCH 42

V.3 LƯU ĐỒ CHƯƠNG TRÌNH 44

V.4 CÁCH SỬ DỤNG 45

V.5 TÓM TẮT 53

CHƯƠNG VI: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 54

VI.1 BÀI TOÁN DẦM ĐÀN HỒI 54

VI.1.1 BÀI TOÁN 1 54

VI.1.2 BÀI TOÁN 2 57

VI.1.3 BÀI TOÁN 3 64

VI.1.4 BÀI TOÁN 4 68

VI.1.5 BÀI TOÁN 5 72

VI.1.6 KẾT LUẬN 76

VI.2 BÀI TOÁN KHUNG ĐÀN HỒI NHỊP LỚN 77

VI.2.1 BÀI TOÁN 6 77

VI.2.2 KẾT LUẬN 82

VI.3 BÀI TOÁN KHUNG 82

VI.3.1 BÀI TOÁN 7 82

VI.3.2 BÀI TOÁN 8 86

VI.3.3 BÀI TOÁN 9 92

VI.3.4 KẾT LUẬN 102

VI.4 TÓM TẮT 102

CHƯƠNG VII: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 104

VII.1 KẾT LUẬN 104

VII.2 KIẾN NGHỊ 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 108

NỘI DUNG CÁC KÝ TỰ

A Diện tích mặt cắt ngang phần tử dầm – cột

Ai Diện tích mặt cắt ngang phần tử thớ thứ i

C1 Cấu hình tính toán gần nhất đã biết

1Cijkl Tenxơ cấu thành qui chiếu đến C1

tuyến tính của 1εij)

1Fx , 1Fy Các lực tại đầu phần tử theo trục x và trục y tại

C1{ }F Tải trọng tác dụng ngoài (ngoại lực)

{ }f i Vectơ lực của sợi gia tăng

hi Khoảng cách từ trục trung tâm dầm đến trung

tâm của sợi thứ i

[Ki

j] Ma trận độ cứng kết cấu trong hệ tọa độ tổng

thể [KFL] Ma trận độ cứng uốn dầm – cột

[KG] Ma trận độ cứng hình học dầm - cột

[KSH] Ma trận độ cứng cắt dầm – cột

[KT] Ma trận độ cứng tiếp tuyến

[ke] Ma trận độ cứng đàn hồi cho phần tử thớ thứ i [k1], [k2], [k3] Ma trận độ cứng bậc cao cho phần tử thớ thứ i

1M1, 1M2 Moment hai đầu phần tử dầm – cột tại C1

[Nu], [Nv], [Np] Hàm dạng chuyển vị dọc, đứng và uốn

[R] Ma trận chuyển đổi từ cấp phần tử thớ sang cấp

phần tử dầm – cột

1R, 2R Công ảo ngoại tại C1 và C2, qui chiếu đến C1

0S, 1S, 2S Diện tích bề mặt vật thể tại C0, C1, và C2

[T] Ma trận chuyển đổi từ tọa độ địa phương sang

tọa độ tổng thể

1 2

1t t i,1 i Lực bề mặt tại C1 và C2, gán tới C1

{ }U Vectơ chuyển vị của phần tử dầm – cột

U, V Chuyển vị dọc và bên trục phần tử dầm – cột ở

điểm tùy ý

U0, V0 Chuyển vị dọc và bên trục phần tử dầm cột tại

trung tâm dầm

{ }u Vectơ chuyển vị nút phần tử sợi

0V, 1V, 2V Thể tích bề mặt tại C0, C1, và C2

* Các ký tự La Mã:

1εij Chuyển vị Green - Lagrangian gia tăng

1

1εij , 21εij Chuyển vị Green - Lagrangian tại C1 và C2

1Π Gia tăng của năng lượng ẩn tàng toàn phần

θ Góc xoay trục x

α Góc

III)

* Các ký tự trên và dưới:

0, 1, 2 Chỉ số bên trên tay trái biểu thị cấu hình xảy ra

tại C0, C1, và C2

0, 1, 2 Chỉ số bên dưới tay trái biểu thị cấu hình qui

chiếu tại C0, C1, và C2

i, j Chỉ số bên dưới tay phải biểu thị chỉ số trục tọa

độ (chương III)

i Chỉ số bên trên tay phải biểu thị số bước gia

tăng (chương IV)

j Chỉ số bên dưới tay phải biểu thị số lần lặp

(chương IV)

x, y, z Chỉ số bên dưới tay phải biểu thị trục tọa độ

(chương III)

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

I.1 MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI LUẬN ÁN:

Khung kháng môment là hệ thống kết cấu thông dụng Khung được tạo thành bởi một số các phần tử thẳng liên kết với nhau Các cấu kiện thẳng này là thành phần chủ yếu của khung được gọi là các phần tử khung hoặc phần tử dầm – cột [21] Phần tử dầm – cột là phần tử khung vừa chịu uốn vừa chịu nén [16]

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và sử dụng một mô hình dầm – cột có giá trị phi tuyến hình học để phân tích bài toán khung chuyển vị lớn

Trong phân tích tuyến tính hình học, chuyển vị hình học của kết cấu chịu tải được giả thuyết có giá trị nhỏ, phương trình cân bằng và quan hệ động học được viết tương ứng với cấu hình không chuyển vị Nhưng trong thực tế, khi chuyển vị lớn xảy ra, kết cấu biểu lộ ứng xử phi tuyến rõ rệt, làm cho độ cứng kết cấu thay đổi ngay cả khi vật liệu cấu tạo kết cấu là đàn hồi tuyến tính tuyệt đối Do vậy, việc kể đến phi tuyến hình học khi phân tích kết cấu là điều rất cần thiết

Kể từ khi mô hình dầm Bernoulli – Euler và mô hình dầm Timoshenko ra đời cho đến nay vẫn còn nhiều bỏ ngỏ trong việc nghiên cứu hai mô hình dầm này Chẳng hạn, ta có thể nghiên cứu về tính phi tuyến của hai loại dầm này để phân tích chuyển vị lớn cho cấu kiện có chiều dài, nhịp khá lớn chịu tải trọng khá lớn, vv và việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích những vấn đề còn chưa khảo sát trên

Do đó, tác giả đề xuất nội dung của luận án này như sau:

- Nghiên cứu và sử dụng mô hình dầm – cột của giáo sư Morteza A.M Torkamani [21] Mô hình này dựa trên giả thuyết dầm Timoshenko, có giá trị phi tuyến hình học, phân tích chuyển vị lớn tạm gọi là mô hình dầm Timoshenko mở rộng (TM) Tác giả triển khai nghiên cứu mô hình dầm – cột theo lý thuyết dầm Bernoulli – Euler tạm gọi là mô hình dầm Bernoulli – Euler mở rộng (BM)

- Trong luận án, công thức cập nhật Lagrangian được nghiên cứu và sử dụng cho công thức của phương trình cân bằng ma trận gia tăng phần tử dầm – cột

- Xây dựng một chương trình ứng dụng bằng ngôn ngữ lập trình Delphiđể tự động hóa quá trình phân tích trên máy vi tính

- So sánh kết quả đạt được với các chương trình và các nghiên cứu trước

- Rút ra kết luận và nêu hướng phát triển tiếp theo của đề tài trong tương lai

I.2 GIỚI THIỆU:

+ Mô hình dầm Timoshenko và mô hình dầm Bernoulli-Euler:

Năm 1921, Timoshenko đã cho ra một mô hình dầm mà cho đến bây giờ nó lại mang tên của ông Nó được xem như là một sự cải tiến của mô hình dầm cổ điển Bernoulli – Euler Điểm chính yếu của hai mô hình dầm này như sau:

- Lý thuyết dầm Bernoulli – Euler: dựa trên thừa nhận rằng mặt phẳng vuông góc với trục trung tâm trước biến dạng vẫn vuông góc với trục trung tâm sau biến dạng (Hình 1)

Hình 1 Dầm Bernoulli – Euler

Trong đó: - x: trục tọa độ dọc theo trục dầm (trục trung tâm)

- w: chuyển vị ngang (độ võng) của dầm

- θ: góc xoay, được định nghĩa là đạo hàm bậc nhất của độ võng theo biến x, có nghĩa là θ=dw/dx

- Lý thuyết dầm Timoshenko: kể đến biến dạng ngang do ảnh hưởng của lực cắt Điều này có nghĩa là một tiết diện vuông góc với trục trung tâm trước biến dạng sẽ không còn vuông góc với trục trung tâm nữa sau biến dạng (Hình 2)

Trong đó: - x: trục tọa độ dọc theo trục dầm (trục trung tâm)

- y: trục tọa độ đứng vuông góc với trục trung tâm

- u: chuyển vị dọc trục của dầm

- w: chuyển vị ngang (độ võng) của dầm

- γ: biến dạng cắt ngang của dầm

- θ: góc xoay Vì biến dạng ngang do lực cắt, góc xoay của dầm không còn là dw/dx nữa, mà phải là: dw/dx - γ

Trong lý thuyết Timoshenko tiết diện ngang vẫn giữ là phẳng và xoay xung quanh trục trung hòa như mô hình Bernoulli-Euler nhưng nó không vuông góc với biến dạng dọc trục Cả hai mô hình đều bỏ qua sự thay đổi kích thước của tiết diện ngang như dầm thực tế biến dạng

Xét bài toán dầm chịu tải trọng giữa dầm và đầu dầm như sau:

đầu dầm Nhưng thực tế, khi có thêm lực ngang tại đầu dầm, thì chuyển vị đứng v tại giữa dầm sẽ tăng lên so với khi không có lực ngang tại đầu dầm Đồng thời lúc này chuyển vị ngang u tại giữa dầm là lớn Do có sự phối hợp tác dụng lực đứng tại giữa dầm và lực ngang tại đầu dầm, chứ hai lực này không tác dụng riêng lẽ nữa Vấn đề này sẽ rõ ràng hơn khi dầm có chiều dài (nhịp) khá lớn, chịu tải trọng khá lớn (nên sẽ có chuyển vị lớn)) Đây mới chính là ứng xử đúng và thực tế của cấu kiện khi có chuyển vị lớn (Hình 4)

+ Phi tuyến hình học:

Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và các nội lực ban đầu trong cấu kiện và do vậy, ma trận độ cứng nhận được khác hẳn với ma trận bình thường vì có thêm các ẩn số chuyển vị Khác với phân tích tuyến tính mà lời giải có thể tìm được một cách thật đơn giản và trực tiếp, phân tích phi tuyến hình học thường cần đến một thủ tục lặp theo cách gia tải từng bước do sự thay đổi hình học của kết cấu không được biết khi thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học

Thực chất của phân tích phi tuyến là tuyến tính hóa từng bước gia tải đủ nhỏ Biến dạng trong từng bước tải là nhỏ trong khi chuyển vị tổng cộng có thể lớn Vì vậy, độ biến thiên của ma trận cứng phần tử trong từng bước là nhỏ có thể bỏ qua và xem là hằng số trong một bước tải Các bài toán đòi hỏi mô hình chuyển vị lớn này có thể được giải dễ dàng bằng cách xét từng bước tải gia tăng đủ nhỏ và tính toán chuyển vị, với việc sử dụng hình học và đặc trưng vật liệu mới sau mỗi bước gia tải Ma trận độ cứng cũng được cập nhật lại sau mỗi bước tải Phương pháp này gọi là công thức cập nhật Lagrangian và rất chính xác nhưng mất nhiều thời gian Tuy nhiên điều này được khắc phục bởi công nghệ máy tính hiện nay là khá cao Trong luận án, tác giả sử dụng công thức cập nhật Lagrangian để thiết lập phương trình công ảo gia tăng

+ Phương pháp phần tử hữu hạn: được mô phỏng bởi sự phát triển mạnh

mẽ của máy tính điện tử và mạnh hơn vị trí của nó trong cơ học có sử dụng máy tính, từ những cơ bản về phân tích tuyến tính cho đến những bài toán khó hơn như phân tích phi tuyến, phân tích không đàn hồi, phân tích động học, vv… hay những bài toán tồn tại hàng mười, trăm hoặc nghìn năm Hiện nay, nhiều người có khuynh hướng xem phần tử hữu hạn như một công cụ tốt mà nó có thể được ứng

dụng trong việc giải quyết những bài toán phi tuyến khác nhau Mặt khác, với thuật toán của phương pháp này cho phép tránh được mọi khó khăn nảy sinh do cách qui luật biến dạng phức tạp của vật liệu, do lịch sử phát triển của tải trọng,

do hình dạng hình học phức tạp của đối tượng nghiên cứu

I.3 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:

I.3.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

+ Về phi tuyến hình học: [4, 13, 15, 21, 22, 25]: lần đầu tiên Tumer, Dill,

Martin, và Melosh (1960) đã nhận được ma trận độ cứng hình học của phần tử thanh liên kết khớp và phần tử ứng suất phẳng tam giác bằng công thức Lagrangian theo phương pháp phần tử hữu hạn Arrguis (1964) cũng đạt được cùng ma trận độ cứng hình học cho phần tử thanh liên kết bằng công thức đồng - xoay Tiếp đó, Gallagher và Padlog (1963) đã đề xuất một ma trận độ cứng cho phần tử dầm-cột đàn hồi bằng công thức Lagrangian Mallett và Marcal (1968) đã cải tiến công thức của Gallagher và Padlog và trình bày 02 ma trận độ cứng mới là những hàm tuyến tính và bậc hai của chuyển vị Chajes và Churchill (1987) đã thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến, ma trận độ cứng hình học có kể đến ứng suất ban đầu và trình bày thuật toán lặp gia tăng tuyến tính, phi tuyến và thuật toán lặp trực tiếp để giải bài toán phi tuyến Một nhóm nghiên cứu khác, gồm Bathe và các cộng sự (1978), Gattasa và Abel (1987), Yang và Kuo (1994) thành lập ma trận độ cứng hình học dựa trên nguyên lý cơ học liên tục trong đó tất cả các ảnh hưởng phi tuyến được kể đến Rõ ràng, họ đã đề xuất một ma trận độ cứng hình học khác biệt mà những số hạng của nó là những hàm không chỉ của lực dọc mà còn độ uốn cong Họ đã dùng thủ tục được đề xuất bởi Jennings (1968) trong thủ tục phục hồi lực thay vì dùng ma trận độ cứng của những hàm tuyến tính và bậc hai của chuyển vị.v.v…

+ Về mô hình dầm Timoshenko, dầm Bernoulli-Euler: [19]: Gen-Qi

Xu, De-Xing Feng đã nghiên cứu về những lý thuyết cơ bản của Riesz về mô hình dầm Timoshenko với điều kiện biên động và ứng dụng Trong nghiên cứu này, họ đã giới thiệu hệ thống vectơ riêng của dầm Timoshenko ở trạng thái không gian tương ứng với điều kiện biên động T Kaneko nghiên cứu thực nghiệm về hệ số lực cắt của Timoshenko cho dầm bị rung động Ở đây, ông đã đề nghị 2 hệ số lực cắt thực nghiệm đối với dầm hình chữ nhật và hình trụ, hai hệ số này phụ thuộc vào mỗi hệ số Poisson mô tả đúng ảnh hưởng của lực cắt đối

với dầm Timoshenko bị rung động.v.v

I.3.2 Tình hình nghiên cứu tại Việt Nam:

+ Về phi tuyến hình học: [14, 15, 17, 23, 24]: Tô Chiêu Cường (2001) đã

thành lập ma trận độ cứng hình học của phần tử dàn theo mô hình biến dạng dọc trục - chuyển vị của Yang và Kuo, phần tử dầm - cột theo mô hình Mallett và Marcal, mô hình bổ sung và mô hình mở rộng, sử dụng thuật toán lặp trực tiếp để giải bài toán phi tuyến Nguyễn Văn Phát sử dụng mô hình dầm Timoshenko để thiết lập ma trận độ cứng phần tử, sử dụng thuật toán lặp trực tiếp để giải bài toán phi tuyến Nguyễn Đình Kiến (2000) sử dụng phương pháp năng lượng (phương pháp phần tử hữu hạn) và kỹ thuật toạ độ đồng xoay kết hợp với lý thuyết dầm cổ điển có kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục để thành lập công thức tính ma trận độ cứng tiếp tuyến của kết cấu Trần Tuấn Kiệt (2002) nghiên cứu phân tích không đàn hồi khung thép phẳng dùng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh đề xuất bởi Liew (1991) và Kim và Chen (1996a,b) Nguyễn Trung (2003) phát triển luận văn của Trần Tuấn Kiệt cho khung không gian Ngô Hữu Cường (2003) mô hình phần tử hữu hạn theo phương pháp Rayleigh - Ritz để thành lập các phương trình cân bằng gia tăng cho phần tử nhằm mô phỏng sự chảy dẻo trên toàn chiều dài phần tử (phương pháp vùng dẻo) và sử dụng thuật toán giải phi tuyến là thuật toán Euler đơn giản với việc điều chỉnh tải trọng gia tăng bằng kỹ thuật công hằng để giải hệ phương trình phi tuyến.v.v…

+ Về mô hình dầm Timoshenko, dầm Bernoulli-Euler: [19]: Nguyễn

Văn Phát sử dụng mô hình dầm Timoshenko, công thức Lagrangian tổng để thiết lập ma trận độ cứng phần tử dầm Timoshenko kể đến ảnh hưởng phi tuyến hình học, sử dụng thuật toán lặp trực tiếp để giải bài toán phi tuyến

CHƯƠNG II: CÔNG THỨC CẬP NHẬT LAGRANGIAN

Công thức phương trình công ảo được trình bày trong chương này Phương pháp công ảo được trình bày sẽ là nền tảng của công thức phần tử hữu hạn của

ma trận độ cứng phần tử dầm – cột được trình bày trong chương tiếp theo

II.1 GIỚI THIỆU:

Các nhà nghiên cứu đã thiết lập phần tử hữu hạn dầm – cột trong cấu hình quy chiếu (cấu hình ban đầu) theo 3 cách như sau:

- Hình học ban đầu (Total Lagrangian), tất cả các giá trị như: chuyển vị, ứng suất… được dựa từ cấu hình chưa biến dạng ban đầu C0 (Hình 5)

- Hình học biến dạng (Updated Lagrangian), tất cả các giá trị như: chuyển

vị, ứng suất… dựa từ cấu hình biến dạng gần nhất đã biết C1 (Hình 5)

- Cấu hình đồng – xoay (co-rotational hoặc Eulerian), hệ tọa độ địa phương Cartesian được gắn vào mỗi phần tử Hệ tọa độ này dịch chuyển và xoay tới phần tử dầm – cột trong quá trình biến dạng

Bathe [1,2] dã cho thấy công thức Updated Lagrangian (cập nhật Lagrangian) là tổng quát hơn và có hiệu quả tính toán hơn Từ khi tất cả các biến không biết tham chiếu đến cấu hình biến dạng gần nhất đã biết C1, chuyển vị giữa cấu hình ban đầu và cấu hình biến dạng gần nhất đã biết sẽ không ảnh hưởng phép tính các biến cho bước gia tải tiếp theo Thậm chí ngay cả độ võng tổng cộng lớn, công thức cập nhật Lagrangian sẽ không gặp khó khăn nào, bởi vì chuyển vị từ cấu hình ban đầu đến cấu hình biến dạng gần nhất đã biết là không được bao gồm trong công thức Chuyển vị nhỏ giữa cấu hình biến dạng gần nhất và cấu hình biến dạng hiện tại có thể xấp xỉ như tuyến tính Công thức cập nhật Lagrangian dùng trong công thức phương trình cân bằng gia tăng được mô tả trong chương này

Xem xét biến dạng gia tăng của một vật thể đặc trong hệ tọa độ cố định (Hình 5) Ba cấu hình khác nhau: cấu hình C0 là ở trạng thái chưa biến dạng nguyên mẫu (ban đầu); cấu hình C1 là ở trạng thái cân bằng biến dạng gần nhất đã biết và cấu hình C2 là ở trạng thái cân bằng hiện tại chưa biết Các con số 0, 1,

2 được viết ở bên trên phía tay trái và viết bên dưới tay trái biểu thị cho các cấu hình, chẳng hạn 2

1σ là ứng suất tại C2 dựa vào C1, 1σ là ứng suất gia tăng cho C1

Hệ tọa độ tổng thể Cartesian là x, y và z Khái niệm dùng ở đây được Yang, Kuo [25] và Bathe [2] trình bày

Hình 5 Sự chuyển vị của một vật thể trong không gian ba chiều

II.2 CÔNG THỨC CẬP NHẬT LAGRANGIAN [21, 25]:

Để một môi trường đặc liên tục cân bằng tại cấu hình C1 Bằng cách gia tăng ngoại lực, môi trường liên tục sẽ có một chuyển vị và biến dạng từ C1 đến

C2 Sự chuyển động của môi trường đặc có thể được thiết lặp bằng việc dùng nguyên lý giá trị nhỏ nhất năng lượng ẩn tàng tổng cộng được chọn để thiết lập phương trình cân bằng gia tăng Phương trình cân bằng thu được bằng cách đặt sự biến thiên đầu tiên của năng lượng ẩn tàng tổng cộng gia tăng ∏ bằng 0

1 1U 1W 0

1U là năng lượng chuyển vị gia tăng

1W là công thực hiện bởi ngoại lực gia tăng

Hình 6 Năng lượng biến dạnggia tăng

Để xác định sự gia tăng của năng lượng biến dạng, coi ứng suất ban đầu là 1

1σij và ứng suất phụ cộng thêm (nguyên nhân tạo ra biến dạng gia tăng 1εij) là

1σij Năng lượng biến dạng là vùng đen trong Hình 6 được biểu thị toán học như sau:

Trong đó: 1σij là ứng suất Piola-Kirchhoff phụ gia tăng

1εij là biến dạng gia tăng Green- Lagrangian Nó được phân tích thành 2 phần: tuyến tính và phi tuyến theo phương trình:

u u

Số hạng thứ hai của năng lượng ẩn tàng tổng cộng trong công thức (2-1) là công thực hiện bởi lực gia tăng như ngoại lực t và nội lực của vật thể f Công thực hiện bởi các lực này được viết như sau:

Thay thế phương trình (2-15) vào phương trình (2-14) được:

bởi vì bước gia tăng là nhỏ

Sau đó thế từ phương trình (2-17) đến phương trình (2-19) vào phương trình (2-16) ta được:

Chú ý phương trình (2-20) tương đương phương trình được giới thiệu bởi Gattass và Abel [13] và Bathe [1] người đã thiết lập phương trình công ảo gia tăng dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo

II.3 PHƯƠNG TRÌNH CÔNG ẢO PHẦN TỬ KHUNG PHẲNG [21, 25]:

Phương trình công ảo gia tăng tại phương trình (2-20) cho môi trường liên tục ba chiều Phương trình công ảo của phần tử dầm – cột phẳng là một trường hợp đặc biệt tại phương trình (2-20) Để thiết lập phương trình công ảo cho phần tử khung phẳng, ứng suất, biến dạng và tenxơ cấu thành liên hệ giữa ứng suất và biến dạng phải được thiết lập dựa trên giả thuyết phần tử khung Đặt hệ tọa độ Cartesian trực giao có trục x trùng với trục trung tâm của phần tử khung Các ký hiệu theo dưới được dùng cho vectơ ứng suất và biến dạng:

ijkl

E C

E

dV G

CHƯƠNG III: MÔ HÌNH DẦM CỘT

Chương này trình bày 02 mô hình dầm – cột cho cấu kiện khung phẳng Trong cả hai mô hình, sự chảy dẻo trên mặt cắt phần tử dầm – cột và phi tuyến hình học được xem xét

Một cấu kiện khung (phần tử dầm – cột) là một phần tử kết cấu có thể chịu kết hợp các lực sau: lực bên, lực dọc, môment uốn

Chương này trình bày hai mô hình dầm – cột cho kết cấu khung phẳng Trong công thức của hai mô hình dầm – cột này sử dụng các giả thuyết khác nhau Mô hình dầm – cột đầu tiên dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, là lý thuyết có kể đến biến dạng ngang do ảnh hưởng của lực cắt, có nghĩa là “một tiết diện vuông góc với trục dầm trước biến dạng sẽ không còn vuông góc với trục dầm nữa sau khi biến dạng [16]” Mô hình dầm – cột thứ hai dựa trên lý thuyết dầm Bernoulli – Euler, là lý thuyết thừa nhận rằng: ”mặt phẳng vuông góc với trục dầm trước biến dạng vuông góc với trục dầm sau biến dạng [16]” Vì vậy, mô hình dầm đầu tiên tạm gọi là mô hình dầm Timoshenko mở rộng (gọi tắt là mô hình TM), mô hình dầm thứ hai tạm gọi là mô hình dầm Bernoulli – Euler mở rộng (gọi tắt là mô hình BM)

Trong công thức của hai mô hình dầm – cột này, các giả thiết sau được dùng [21]:

- Cấu kiện thẳng

- Oằn cục bộ, oằn xoắn và oằn ngoài mặt phẳng không xét đến

- Mặt cắt ngang của cấu kiện không biến dạng

III.1 MÔ HÌNH DẦM TIMOSHENKO MỞ RỘNG (TM): [21]:

Mục đích của mô hình dầm thứ nhất này là giả thiết mỗi phần tử dầm – cột bao gồm một số thớ (sợi) song song và các thớ đó được liên kết bởi 2 tấm cứng tại 02 đầu (Hình 7, Hình 8)

Mỗi một phần tử thớ sau đó được mô hình như là một phần tử dàn 2 nút Hơn nữa, phương pháp này giả thiết không có sự tác dụng tương hỗ giữa lực cắt và môment uốn hoặc lực cắt và lực dọc trục, và ứng xử biến dạng cắt được xem như đàn hồi

Hình 7.Bậc tự do và lực tại 02 đầu thớ thứ i và phần tử dầm - cột

Hình 8 Mặt cắt ngang phần tử và thớ

Phương trình công ảo gia tăng của phần tử dầm – cột hai chiều được thiết lập dùng nguyên lý gia tăng năng lượng ẩn tàng toàn phần và công thức cập nhật Lagrangian trong chương trước tại phương trình (2-28):

Biến dạng Green- Lagrangian là tuyến tính bởi giả thiết εxx= exxvà εxy = exydo bước gia tăng được xem là nhỏ Trong công thức mô hình dầm TM các giả thiết tương tự, ngoại trừ thành phần biến dạng dọc trục phi tuyến không bỏ ηxx Do đó, biến

dạng dọc trục εxx =e xx + ηxxvà εxy =e xyđược dùng Phương trình (3-1) được phân tích thành 02 phần: phần a và phần b Phần a là hàm môđun Young và biến dạng dọc trục Vì vậy, phần a được thiết lập tại cấp phần tử thớ Mặt khác, phần b là một hàm của lực ban đầu và lực cắt Phần này không ảnh hưởng bởi sự thay đổi trong môđun Young Do đó, phần b được thiết lập cho cấp phần tử dầm – cột

III.1.1 PHẦN A [21]:

Phần a được viết cho bất kỳ phần tử dầm – cột hai chiều nào Mô hình dầm cột Timoshenko mở rộng (TM) coi mỗi phần dầm – cột gồm một số các thớ Biến dạng dọc trục εi xx được viết cho phần tử thớ thứ i và sự gộp tất cả các thớ được xem xét tính toán sau khi chúng được biến đổi đến trục trung tâm của phần tử dầm Biến dạng dọc trục εxx i cho bất kỳ phần tử thớ thứ i được biểu thị trong trường chuyển vị nút thớ Một phần tử thớ có 02 bậc tự do tại mỗi nút Dùng hàm nội suy cho hàm chuyển vị dọc trục ui và bên trục vi trên trục của thớ Hàm nội suy được giả thiết một phương trình tuyến tính:

u u V

i i i e

e

A E k

i i L

L

L L

A E

dx L

i i L

2 1

i i i

A E k

A E k

+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

k k L

Trong đó Ai là diện tích mặt cắt ngang của phần tử thớ thứ i Các ma trận độ cứng phần tử thớ [kei], [k1i], [k2i] và [k3i] cho trong (3-18) được trình bày trong Phụ lục A Ma trận đầu tiên [kei] là ma trận độ cứng đàn hồi tuyến tính cơ bản (truyền thống) cho ứng xử trục và là hằng số Ma trận [k1i] và [k2i] là các hàm bậc nhất của chuyển vị thớ gia tăng, [k3i] là hàm bậc 2 của chuyển vị thớ.

Phương trình (3-18) thu được cho bất kỳ phần tử thớ thứ i trong trường bậc tự do của nó Bậc tự do của phần tử thớ sau đó được biến đổi thành bậc tự do của phần tử dầm – cột Nếu hi là khoảng cách từ trục trung tâm phần tử thớ đến trục trung tâm mặt cắt ngang của dầm (Hình 8), vectơ chuyển vị tại đầu của thớ { }u i và vectơ chuyển vị tại đầu của dầm – cột { } U có liên quan thông qua ma trận chuyển đổi thớ [Ri] cho phần tử thớ như sau:

{ } { U T = U V1, , , , ,1 θ1 U V2 2 θ2} (3-25) Thay (3-23) vào (3-18) được:

0

1 2

Trong công thức phần tử hữu hạn, chuyển vị dọc trục U0, chuyển vị đứng

V0 và tỷ số uốn β liên quan đến chuyển vị nút { } U bởi hàm dạng tuyến tính sau:

Hình 9 Chuyển vị của điểm P tùy ý và điểm C trung tâm

Phương trình công ảo gia tăng cho trong (3-1) gồm ứng suất trục ban đầu

σ

1

xx và ứng suất cắt ban đầu 1σ

mặt cắt ngang của phần tử dầm – cột, chúng được xác định như sau:

Trong đó: 1F xx( ), 1F xy( ) và 1M x ( ) là lực dọc trục, lực bên và môment uốn tác động lên phần tử lúc bắt đầu gia tăng Hơn nữa, dựa trên điều kiện cân bằng, các lực tại bất kỳ mặt cắt ngang ,x, từ nút 1 ở trạng thái C1 phải liên quan đến các lực tại 2 đầu như Hình 10

dọc trục và môment uốn ban đầu xuất hiện khi bắt đầu bước tải gia tăng

III.1.3 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG MA TRẬN GIA TĂNG HOÀN CHỈNH CHO MÔ HÌNH DẦM TIMOSHENKO MỞ RỘNG [21]:

Thế (3-26) và (3-46) vào (3-1) và khử số hạng chuyển vị ảo { } δU được phương trình cân bằng ma trận gia tăng hoàn chỉnh như sau:

III.2 MÔ HÌNH DẦM BERNOULLI - EULER MỞ RỘNG (BM):

Lý thuyết dầm Timoshenko được dùng cho công thức của mô hình TM trong khi đó lý thuyết Bernoulli – Euler được sử dụng cho công thức phương trình cân bằng gia tăng trong mô hình BM Có nghĩa là γ = 0 (Hình 7) Vì vậy, một điểm P bất kỳ tùy ý nào tại một mặt cắt ngang của phần tử dầm – cột được biểu thị trong trường chuyển vị U0, V0 trên trục tham chiếu phần tử như sau:

xx e x x

Vì vậy, thành phần tuyến tính và phi tuyến của tenxơ biến dạng Lagrangian phần tử dầm – cột được viết dựa vào lý thuyết dầm Bernoulli – Euler theo như sau:

xx

e cho mỗi thớ được tính toán từ biến dạng dọc và biến dạng uốn (Hình 11) Cho nên, biến dạng dọc trục cho mỗi thớ được biểu thị toán học như sau:

được biểu thị bởi hàm dạng bậc 3 Vì vậy, trường chuyển vị được biểu thị như sau:

Hình 11 Mặt cắt ngang và các thớ

Thay thế phương trình (3-58) và (3-59) vào (3-53) đến (3-56) thu được các biến dạng trong trường chuyển vị, sau đó thế các biến dạng đó vào trong (3-1) được:

A i là diện tích mặt cắt ngang của thớ thứ i

Phương trình (3-63) là một hàm ứng suất ban đầu 1

1σxxvà 1

1σxy Định nghĩa ứng suất ban đầu đã trình bày cho mô hình dầm Timoshenko mở rộng cũng được dùng cho mô hình dầm Bernoulli – Euler mở rộng Thay thế phương trình (3-43) đến (3-45) vào (3-63) và lấy tích phân được:

trong đó: A là diện tích mặt cắt ngang và I là môment quán tính [ ] KFL

trong (3-64) là ma trận độ cứng uốn Trước khi mặt cắt ngang phần tử dầm – cột chảy, [ ] KFL là ma trận cứng đàn hồi thông thường,

1

nf

i i i

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN

BẰNG PHI TUYẾN

Chương này cung cấp các phương pháp giải phân tích phi tuyến Từ đó, lựa

chọn phương pháp để áp dụng cho luận án này

IV.1 GIỚI THIỆU:

Khi ma trận độ cứng tổng thể được hình thành bởi việc dùng các ma trận độ cứng phần tử, phương trình cân bằng tổng thể thu được:

Trong đó:

[ ] K là ma trận độ cứng tổng thể

{ } U là vectơ chuyển vị nút

{ } P là vectơ tải trọng Trong phân tích đàn hồi đơn giản, ma trận độ cứng tổng thể [ ] K là hằng số Sau khi tác dụng một vectơ tải, chuyển vị tương ứng { } U được tính dễ dàng trong một bước Nếu ma trận độ cứng tổng thể của phần tử [ ] K phụ thuộc các lực phần tử ban đầu và các chuyển vị của các cấu kiện, mối liên hệ lực – chuyển

vị trong (4-1) trở thành phi tuyến và chuyển vị không thể được xác định dễ dàng trong một bước

Đối với các bài toán chuyển vị lớn, ứng xử giả thiết tuyến tính của kết cấu không đúng [6,25] Sai số giữa chuyển vị thật và chuyển vị xấp xỉ bằng giả thiết

tuyến tính có thể lớn khi càng đến gần điểm giới hạn của kết cấu

IV.2 PHƯƠNG PHÁP GIA TẢI THUẦN TÚY [6, 25]:

Với phương pháp Lagrangian, công thức lý thuyết gia tải cho phân tích phi tuyến bắt đầu bằng cách chia đường tải trọng của vật thể thành một số cấu hình cân bằng Như biểu diễn trong Hình 12, ba cấu hình diễn tả trong hệ toạ độ Đề - cac: cấu hình chưa biến dạng ban đầu C0 , cấu hình biến dạng gần nhất đã biết C1

và cấu hình biến dạng hiện thời C2 Giả thiết rằng chúng ta đã biết tất cả các biến trạng thái như ứng suất, biến dạng và chuyển vị cũng như cùng với lịch sử tải trọng đến cấu hình C1 Bàitoán bây giờ là thiết lập các công thức gia tăng để xác định tất cả các biến trạng thái trong cấu hình hiện thời C2 khi ngoại lực tác động trên vật thể ở C1 tăng lên bởi một lượng nhỏ Bước mô tả quá trình biến dạng của vật thể từ cấu hình C1 sang cấu hình C2 được gọi là bước gia tải Trong khi biến dạng giữa bước gia tải từ C1 đến C2 được xem như nhỏ, biến dạng chồng

Hình 12 Sự chuyển vị của một vật thể trong không gian ba chiều

Dựa trên công thức cập nhật Lagrangian, phương trình cân bằng kết cấu tại cấu hình hiện thời C2 đượcviết tham chiếu theo cấu hình gần nhất đã biết C1 Vậy theo bước gia tải từ Ci-1 đến Ci , phương trình cân bằng có thể được lập cho kết cấu tại cấu hình cần biết Ci theo cấu hình vừa biết trước đó Ci-1 Vì vậy, ta có phương trình [6, 25]: