Căn nguyên của giải tích Fourier khóa luận tốt nghiệp

LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Trong giải tích cô điển và phương trình đạo hàm riêng, sinh viên đã được tiếp cận giải tích Fourier và những ứng dụng của nó.. 2.Mục đích nghiên cứu Qua

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều

sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên Em xin chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSPHà Nội 2, các

thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện

giúp đỡ em hoàn thành thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin bày tở lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình

thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Do còn hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những

thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các

bạn đề đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là công trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này

em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo)

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU -222-22222+222 L2 re 1

PÄ 00119001300 4 Chương 1: Phương Trình Truyền Sóng 2252 5¿+2<55255+2 6 1.1 Một vài khái niệm mở đầu -cccvccrtrrrtkerrrrrrtrirrrrrrrirrrrree 6

1.1.1 Chuyên động của hàm điều hòa đơn giản . -5¿ 575552 c5s2 6

1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyền . - 2-22 ©+2+zE+£xc2EEerxrerxrrrrrs 9 1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm 2- 2 ©cz+c++2zz+rxevrserseee 10

1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng ¿s¿©+z©c+e+cs2 11 1.2.1 Bai toan 11 1.2.2 Gidi ch 11

1.3 Nghiệm phương trình truyền sOng .ccccesssesseessesssesseessessesssecsesssesseesseeses 14 1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng -2- 2 2+cs+ce+cs+zesrxee 14 1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng -©+:sccsestsetretreerrerrrerere 18

VA VE GU 22

Chuong 2: Phuong trinh truyén mbit .0 0 c.ccccccccsccscessesssecsesssesseesseeees 24 2.1 Nguồn gốc của phương trình truyén nhiét cece eceeceseseeseseeseeeees 24 2.2 Trạng thái ôn định của phương trình truyền nhiệt trong đĩa 26

Kết luận - St 2nntrtererrrrrrrrrrrerrrrrerrrrrrrrrrrrirrrrrrrrrre 35 I8 00/0 1n 36

LỜI MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Trong giải tích cô điển và phương trình đạo hàm riêng, sinh viên đã được

tiếp cận giải tích Fourier và những ứng dụng của nó Qua tìm hiểu ta thấy rằng, bản chất của giải tích Fourier được bắt nguồn từ các hiện tượng vật lý bên ngoài thực tiễn Để làm sáng tỏ bản chất này và cũng làm tài liệu cho khóa sau, em đã chọn đề tài “ Căn nguyên của giải tich Fourier” dé lam tài

liệu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Qua đề tài nghiên cứu này ta co thé làm rõ được:

Co so vat ly cua giai tich Fourier

Ban chat vat ly cua phuong phap tach bién

Ban chat vật lý của phương pháp D°Alembert

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra

4.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier

Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt 5.Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá

6.Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Phương trình truyền sóng

Chương 2: Phương trình truyền nhiệt

Trong suốt quá trình nghiên cứu ẹm đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của

các thầy cô trong tô giải tích khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là

thầy giáo Bùi Kiên Cường Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và

các bạn sinh viên đề đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn!

Chương 1 Phương Trình Truyền Sóng

1.1 Một vài khái niệm mở đầu

1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn gián

Chuyên động của hàm điều hòa đơn giản được mô tả có trạng thái là hệ

thống dao động đơn giản nhất (gọi là dao động của hàm điều hòa đơn gián),

và đó chính là một cơ sở tự nhiên dé bắt đầu nghiên cứu về dao động Xét vật khối lượng {ø} được gắn vào một lò xo nằm ngang Một đầu được gắn vào

bức tường, và giả thiết rằng hệ nằm trong một bề mặt không có ma sắt

Chọn trục tọa độ có gốc trùng với trọng tâm của vật khi vật ở trạng thái

nghỉ (khi đó lò xo không bi kéo hay nén), như trong hình 1 Kéo vật rời khỏi

vị trí cân bằng ban đầu

Hình 1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản

và thả ra, nó sẽ chuyển động như một hàm điều hòa đơn giản Chuyển động này có thể mô tá bằng toán học khi ta sử dụng phương trình vi phân để thể

hiện sự thay đối chuyên động của vật

Gọi y(z)là vị trí của vật ở thời điểm ¿ Ta giả sử rằng, lò xo ở trạng

thái lý tưởng để định luật Hooke's được thỏa mãn: Lực phản hồi F tac dung

bởi lò xo lên vat cho boi F =—ky(r) Ở đây & >0là đại lượng vật lý được gọi

là hằng số của lò xo Áp dụng định luật Newton”s (lực = khối lượng x gia tốc), ta có:

voi a, b 1a hang số Tất cả các hàm số có công thức trên đều thỏa mãn phương

trình (1), và cũng rõ ràng, chỉ các hàm này là nghiệm của phương trình đã cho

Trong biểu y(¿)ở trên, với đại lượng c đã cho, ava bod thé đồng thời

là số thực Đề xác định nghiệm riêng của phương trình, ta phải đặt điều kiện

ban đầu cho hai hằng số chưa biết a và b Chang hạn, nếu đã cho y(0) và

y’(0)la vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật thì nghiệm của bài toán vật

lý được cho bởi công thức:

y(t) = y(0)cosct + YO) sin ct

c

Đơn giản ta có thể kiếm tra được rằng: tồn tại hằng số 4>0và øc R sao cho:

acosct + bsinct = Acos(ct- 9)

Theo cách lý giải vật lý trên, gọi 4= 4a” +ø” là biên độ của dao động,

clà tần số tự nhiên, ølà pha (xác định duy nhất từ bội số nguyên của 2Z) và

2Zz/c là chu kỳ của chuyên động

Đồ thị tiêu biểu của hàm số 4= (coset — g)dugc minh hga trong hình

2, hình đại diện là một đường lượn sóng, nó thu được khi tinh tién va dan ra

(hoặc co lại) của đồ thị hàm số cos/

Ta quan sát hai chú ý trong phần ví dụ chuyển động của hàm điều hòa

đơn giản Chú ý một là sự diễn tả toán học của phần lớn các hệ dao động cơ

bản, gọi là dao động điều hòa đơn giản, bao gồm các hàm lượng giác cơ sở

vận tốc (ví dụ, tại thời điểm ¢= 0) Nhiều hệ dao động tong quát hơn cũng có

chung tính chất này, như chúng ta sẽ thấy ở bên dưới

1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển

Như ta thấy, đao động của sợi dây có thể xem là chuyển động của sóng

một chiều Bây giờ, ta sẽ mô tả hai loại chuyển động có biểu diễn là đồ thị

đơn giản

Loại thứ nhất, ta khảo sát sóng đứng Đó là những chuyên động được

mô tả bằng đồ thị y= u(x,t) theo biến thời gian ¿, sao cho y= (x,:)như

tồn tại hình dạng ban đầu F{x)sao cho w(x,/) bằng F{zx)khi ¿=0 Khi

¿ tăng, biên dịch chuyên sang phải một đoạn ct, với c là một hằng sé duong,

hay:

u(x,t) = F(x-ct)

Về đồ thị, các vị trí này được mô tả trong hình 4

Hình 4 Sóng dịch chuyên tại hai thời điểm khác nhau / =0 và ¿ = t,

Vì sóng dịch chuyên theo thời gian ¿ với tốc độ c, nên vận tốc của sóng

là hằng số Hàm #(x- c/)là sóng dịch chuyển một chiều chuyên động sang

bên phải Tương tự, u(x,r)= # (x + c¿) là sóng dịch chuyển một chiều chuyển

động sang bên trái

1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm

Hiện tượng vật lý cuối cùng mà ta muốn đề cập đến (không đi vào chỉ

tiếu) là hiện tượng mà các nhạc công đã phát hiện ra từ rất lâu Đó là hòa âm

Âm nghe được là hợp âm bằng cách kết hợp các âm bội được sinh ra tương ứng từ âm sắc của nhạc cụ Ý tưởng kết hợp hay chồng chất của các âm được thực hiện ngay trong toán học dựa trên khái niệm cơ bản về sự tuyến tính, như ta sẽ thấy ở bên dưới

Bây giờ chúng ta quay trở lại vấn đề chính, đó là mô tả chuyển động của một sợi dây dao động Đầu tiên, chúng ta rút ra phương trình sóng, đó là phương trình đạo hàm riêng mô tả chuyên động của dây

1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng

1.2.1 Bài toán

Tưởng tượng một sợi dây đồng nhất được đặt trên mặt phẳng Oxy, va

bị kéo theo hung truc Oxttr x =0 dén x=L Bang cach nao do lam cho soi

dây dao động trong mặt phẳng đứng, dé đơn giản ta coi mỗi điểm của sợi day dịch chuyên thắng góc với trục Óx và trong cùng mặt phẳng Khi đó,độ dịch

chuyển của nó y =u(x,) là hàm số theo biến x và ¿, và mục tiêu là rút ra

được phương trình đạo hàm riêng biểu diễn hàm này

1.2.2 Giải bài toán

Ta xem sợi dây bị chia thành hữu hạn M chất điểm (và xem mỗi chất điểm là những hạt độc lập) phân phối đồng đều dọc theo trục Óx, hạt thứ ø có

hoành độ x, =ø/N Do đó, chúng ta có thể hình dung sợi đây dao động như một hệ gồm hạt, mỗi hạt chỉ dao động theo phương thắng đứng; tuy nhiên, khác với dao động điều hòa đơn giản mà chúng ta đã xét ở trên, mỗi hạt sẽ dao động như những mắt xích liên kết với các phần tử liền kề bởi độ căng của sợi dây

Hình 5 Dao động của sợi dây như một hệ các khối lượng

Ta đặt v,(¡)= w(x.f), và kí hiệu ¥,.-¥, =4, với h= LỊN Nếu ta giá

sử sợi dây có hằng mật độ là ø > 0thì ta có thể coi khối lượng của mỗi hạt là

ph Theo định luật Newton, øñy,(z) bằng lực tác dụng nên hạt thứ ø Ta

đưa ra giả sử đơn giản rằng lực này chịu ánh hưởng của hai hạt lân cận, tức là

của hạt có hoành độ x„, và x„., (xem Hình 5) Ta giả sử thêm rằng lực (hay

độ căng) tác động từ bên phải của hạt thứ ø tỉ lệ với (y„„— y„)/ñ, trong đó h

là khoảng cách giữa x,., và x,; do đó ta có thé viết độ căng dây như sau:

Elo —,),

trong đó z > 0 là hằng số bằng hệ số căng của đây

Tương tự cũng có một lực như thế tác động từ bên trái, và nó là

(Elo -y,)

Téng hợp lực ta có, 2 lực này tác động chiều ngược nhau và tạo ra mối liên hệ

với sự dao động y„(/) , cụ thể là

(2) pl(t) = y.u()+3,.()- 29, (1)

Một mặt:

va(t)t+y,,(t)- 2y, (t)=u(x, + h,t)+ u(x, T— h,£)— 2u(x,„„£)

Mặt khác, với bất kỳ hàm thích hop F(x) (ham cé đạo hàm cắp hai liên tục)

Do đó sau khi chia (2) cho h va cho h tién dần về 0 ( tiến ra vô cùng), ta

có thể kết luận:

Ou =7——, Ou Poe ae

Để có sự liên quan tới phương trình đạo hàm riêng, chúng ta có một

nhận xét toán học quan trọng Ta phải làm điều này với thang tỉ lệ, hay theo

ngôn ngữ của vật lý là “sự thay đổi đơn vị” Đó là, ta coi tọa độ x bằng x=a# trong đó a là một số dương thích hợp Bây giờ nhờ hệ tọa độ X mới, đoạn 0<x<L trở thành 0< x< //a Tương tự, ta có thể thay thế tọa độ thời gian /bởi /=ð7, với b là một số dương khác Nếu ta đặt U(X,T)=u(x,t)thi khi do:

tương tự với đạo hàm theo biến thời gian ¢ Vi vay néu ta chon a và b một cách phù hợp, chúng ta có thể biến đối phương trình sóng một chiều thành

U _#@U

oT? ax’

điều này có tác dụng làm vận tốc e=1 Hơn nữa, ta có thê tùy ý thay đổi đoạn

0<x<7 thành 0<x< 7z Những điều này được thực hiện bằng cách cách đặt

a=Lj/Zz, và b=Lj/cz Sau khi giải được phương trình mới, ta quay lại giải

phương trình ban đầu bằng cách đổi ngược lại biến Vì vậy, ta không làm giảm tính tổng quát nếu xem phương trình sóng được cho trên đoạn [0,7] VỚI

van t6c c=1

1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng

Sau khi tìm được phương trình sóng của dây dao động, bây giờ chúng

ta trình bày hai cách đề giải nó:

e_ sử dụng sóng dịch chuyền,

e_ sử dụng sự chồng chất của sóng đứng

1.3.1 Nghiệm cúa phương trình truyền sóng

Để đơn giản hóa bài toán, ta giả sử e=lvà L= Z, khi đó phương trình

cân giải có dạng:

BP oe trên đoạn 0< x<Z, với £>0

í x”

Ta có các nhận xét quan trong: néu F là hàm khả vi cấp hai thì

u(x,f)= F(x+£)và u(x,f?)= F(+x —¿) là nghiệm của phương trình sóng Thật

Chú ý, đồ thị của z(x,)= Ƒ(x—¿) tại thời điểm ¿=0 đơn giản chỉ là

đồ thị của #, tại thời điểm /=l nó là đồ thị của # dịch sang phái một khoảng bằng 1 Do đó, ta thấy rằng #(x-¿)là sóng dịch chuyển sang phải

với tốc độ bằng 1 Tương tự, z(x,£)= Ƒ (x +z) là một sóng dịch chuyển sang

trái với tốc độ là 1 Các chuyên động này được miêu tả trong Hình 6

Hình 6 Sóng dịch chuyền theo cả hai hướng

Sự thảo luận của ta về âm và cách kết hợp của chúng giúp ta đưa đến nhận xét rằng phương trình sóng là tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu

u(x,t) và v(x,/) là nghiệm riêng, thì œw(x,/)+ /Øv(x,:) cũng là nghiệm, với

hang sé a và / bất kỳ Do đó, ta có thê chồng chất hai sóng chạy theo những hướng ngược chiều nhau đề thấy rằng bất cứ khi nào # va G là hàm khả vi cấp hai thì:

u(x,t)= F(x+t)+G(x-12)

là một nghiệm của phương trình sóng Thật ra, ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các

nghiệm của phương trình sóng đều có dạng như công thức này

Ta tam thoi giả sử 0< x<Z và >0 và giả sử w là hàm khá vi cấp hai

là nghiệm của phương trình sóng với mọi số thực x và / Đặt £=x+¿,

?„=x—(, định nghĩa v(é,7)=u(x,r) Voi cách đặt biến như này, v thỏa mãn

u(x,t)= F(x+t)+ G(x-¿),

với một vài hàm F va G

Bây giờ ta kết hợp kết quả này với bài toán ban đầu, đó là, chuyên động

vật lí của sợi dây Ở đó, ta đã đặt điều kiện 0< x< Z, hình dáng ban đầu của

sợi day u(x,t)= f(x), va hai đầu của sợi dây cố định, tức là 0< x<Z, với

>0, Đề sử dụng được kết quả đơn giản bên trên, đầu tiên ta thác triển ƒ trên toàn bộ # bằng cách biến nó thành hàm lẻ trên [—z,Z], tiếp theo biến nó tuần

hoàn theo x với chu kỳ 2Z, và tương tự với nghiệm của bài toán „(x,/) Cuối cùng, đặt w(x,f)=u(x,—r),khi <0 Sự mở rộng của „ là nghiệm của bài toán trên toàn bộ và zø(x,0)= /(x) với mọi xe#R Do đó,

u(x,t)=F(x+t)+G(x-2) „ đặt /=0 ta thu được:

F(x)+ G(x)= f(x)

Bởi vì có nhiều lựa chọn của # và G thỏa mãn đồng nhất thức này,

điều này gợi ý ta có thể áp đặt thêm một điều kiện ban đầu khác của wu (tương

tự như hai điều kiện ban đầu của hàm điều hòa đơn giản), cụ thể là vận tốc

ban đầu của sợi day, ta kí hiệu là 8 (x)

Ou

hién nhién g(0)= g(z)=0 Lap lai, ta mé rong gtrén R bang cach làm cho

nó lẻ trên [—z,z] và tuần hoàn với chu kỳ 2Z Hai điều kiện ban đầu của vị

trí và vận tốc chuyền thành hệ phương trình:

roy G(x)= f(x), F'(x)-G'(x) = g(x)

Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình hai, ta được:

2F'{x)= f'(x)+9(x)

Tuong tu

va

6(s)=4] 16)-fe0)6 fre

Boi vi F(x)+G(x)=f(x)ta kết luận rằng €+C, =0, và vì vậy,

nghiệm cuối cùng của phương trình sóng với hai điều kiện ban đầu có dạng

x⁄)=2[/( (x+?) )+/(x- aes Je (vay

Dạng của nghiệm này được gọi là công thức D° Alambert Ta thay rằng

việc thác triển ƒ và g đảm bảo sợi dây luôn luôn có một đầu có định, đó là: u(0,t)=u(z,t)= 0 với mọi /

Ta thấy, việc chuyên từ >0 đến /e # và sau đó trở lại / >0, mà ta đã

làm ở trên thể hiện tính chất đáo chiều thời gian của phương trình truyền sóng

dẫn đến một nghiệm „ của phương trình truyền sóng với ¿ >0, chuyển thành nghiệm được định nghĩa với thời gian ¢<0, thiết lập đơn giản bằng cách

đặt w (x,t)=w(x,—:) sự kiện này được sinh ra từ tính bất biến của phương

trình truyền sóng dưới phép biến đối ¿ › —¿

1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng

Ta chuyển sang phương pháp thứ hai dé giải phương trình truyền sóng

dựa trên hai kết luận cơ bản từ những quan sát vật lý thu được ở trên Xét hiện

tượng sóng đứng, ta thấy nghiệm đặc biệt của phương trình sóng có dạng ø(x)w(£) Phương pháp này cũng áp dụng được với các trường hợp khác (ví

dụ như phương trình nhiệt), được gọi là phương pháp tách biến Khi đó đo tính tuyến tính của phương trình sóng, chúng ta mong muốn có thể kết hợp những sóng thuần khiết thành tổ hợp âm phức tạp hơn của âm thanh Tiếp tục

ý tưởng này, chúng ta mong rằng có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình sóng dưới dạng tổng các nghiệm riêng

Chú ý, một vế của phương trình sóng chỉ liên quan đến vi phân theo

x còn về còn lại chỉ liên đến vi phân theo ¿ Nhận xét này đưa ra thêm lý do

đề tìm nghiệm của phương trình bằng công thức u(x,t) = ø(x)w(£) (đó chính

là phép tách biến), với hy vọng đưa một phương trình đạo riêng khó thành một hệ các phương trình vi phân thường đơn giản hơn Trong trường hợp phương trình truyền sóng, với „ có dạng như ở trên, ta có: