Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

Phương pháp xác suất rất quan trọng trong lý thuyết tổ hợp cộng tính, trong đó cấu trúc cộng của một đối tượng ngẫu nhiên được hiểu thông qua việc tính toán các giá trị trung bình hoặc c

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tâm của TS Trần Văn Vuông

được sự định hướng của thầy mà tác giả thực hiện đề tài "Phương

pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính" Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến người thầy quá cố của mình Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trần Văn Bằng người đã giúp tác giả hoàn thành luận văn Cảm ơn các thầy

cô giáo đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác giả nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm

kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và

còn những thiếu sót nhất định Tác giả mong được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng

tôi dưới sự định hướng của TS Trần Văn Vuông và được hoàn

thành dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bang

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết

ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

1.23 Ký hiệu tiệm cận Landau 14

2.4 Phổ của tập hợp cộng tính 52

2.55 Cấp cộng trong các tập tổng 59

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Tổ hợp cộng tính là một trong những lĩnh vực nghiên cứu về cấu trúc cộng tính của các tập hợp, đã và đang rất phát triển Nó có liên hệ chặt chẽ với nhiều ngành như: giải tích điều hòa, hình học

lồi, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, hình học đại số, lý thuyết

egodic Các bài toán của Tổ hợp cộng tính đòi hỏi phải sử dụng

các công cụ của một hoặc một số ngành nói trên, thậm chí là của

các ngành khác nữa (xem [3]-[6]) Phương pháp xác suất rất quan trọng trong lý thuyết tổ hợp cộng tính, trong đó cấu trúc cộng của một đối tượng ngẫu nhiên được hiểu thông qua việc tính toán các

giá trị trung bình hoặc các moment của đối tượng đó Luận văn

này tìm hiểu về một công cụ khác có tầm quan trọng không kém,

đó là giải tích Fourier Dây là một cách khác để tính các giá trị trung bình và các moment của các đối tượng có cấu trúc cộng Nó tương tự như phương pháp xác suất nhưng với một thành phần mới

quan trọng, đó là các đại lượng được tính giá trị trung bình sẽ được

"xoắn" hoặc "được biến điệu" bởi một số hàm pha giá trị phức, gọi

là đặc trưng Diều này dẫn tới khái niệm hệ số Fourier của một tập hoặc của một hàm- là cái đo độ lệch của đối tượng đó với một đặc

trưng Các hệ số Fourier cho phép ta đạt được 2 mục đích:

Thứ nhất, ta khai thác tính trực giao giữa các đặc trưng khác

nhan để nhận được các cận (không tầm thường) của các hệ số đó; tính trực giao này có vai trò tương tự như tính độc lập trong lý thuyết xác suất

Thứ hai, các hệ số Fourier rất tốt để điều khiển tích chập của các hàm, tương tự như phép toán tổng các tập hợp

Vì thế, giải tích Fourier là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các đại lượng số học, đáng chú ý nhất là năng lượng cộng tính

Sử dụng giải tích Fourier, ta có thể phân chia các tập hợp cộng

tính A theo hai thái cực:

Thái cực thứ nhất, bao gồm các tập hợp giả ngẫu nhiên, là các tập có biến đổi Fourier rất nhỏ (trừ ra tại điểm 0) Với các tập này

chúng ta sẽ cần tới khái niệm độ lệch tuyến tính ||A||„ và các A(p)-

hằng số để đo tính giả ngẫu nhiên Các tập hợp như vậy rất "lộn xộn" đối với phép cộng tập hợp (cũng như việc xác định các cấp cộng có độ dài 3) và các thuật ngữ trên cũng cho thấy, ít nhiều chúng giống như các tập hợp ngẫu nhiên

Thái cực thứ hai, bao gồm các tập hầu tuần hoàn, gồm các cấp cộng, các tập hợp Bohr và các tập hợp khác có hằng số kép nhỏ hoặc có năng lượng cộng tính lớn Dáng điệu của các tập hợp này đối với phép cộng và các cấp số có độ dài 3 được mô tả hầu đầy

đủ bởi một phổ nhỏ Øpec„(4)- là tập hợp các tần số, ở đó biến đổi Fourier cia ham đặc trưng 1¡ là lớn

Giải tích Eourier có thể được thực hiện trên một nhóm cộng tính

Z bất kỳ (thậm chí cả với các nhóm không giao hoán) Tuy nhiên, luận văn này chỉ xét trên các nhóm hữu hạn, ở đó lý thuyết đơn

giản hơn một chút về mặt kỹ thuật Các trường hợp Z = Zy,Z =

R/Z,Z = R cũng rất quan trọng trong tổ hợp cộng tính (đặc biệt

là để dẫn đến phương pháp vòng Hardy-Littlewood trong lý thuyết

số giải tích), nhưng ta cũng chỉ ra rằng lý thuyết Fourier trên các nhóm hữu hạn có thể được thay cho lý thuyết Fourier trên các nhóm

vô hạn trong các ứng dụng của chúng ta

Bước đầu tìm hiểu về Giải tích tổ hợp, được sự định hướng của thầy

TS Trần Văn Vuông, em chọn đề tài

“Phương pháp giải tích Eourier trong tổ hợp cộng tính” Đây là một trong ba công cụ cơ bản để nghiên cứu Tổ hợp cộng tính đã được trình bày trong cuốn sách Additive Combinatorie của

Terence Tao va Vi Ha Van.

Nghiên cứu một số vấn đề của tổ hợp cộng tính bằng phương pháp giải tích Fourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

e Nghiên cứu một số khái niệm trong tổ hợp cộng tính

e Nghiên cứu một số khái niệm trong giải tích Fourier

e Vận dụng phép biến đổi Fourier để giải quyết một số vấn dé trong tổ hợp cộng tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ứng dụng phép biến đổi Fourier trong nghiên cứu tổ hợp cộng tính

5 Phương pháp nghiên cứu

e Nghiên cứu tài liệu tham khảo

e Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

e Hỏi ý kiến chuyên gia

6 Những đóng góp của đề tài

Một cách ứng dụng phép biến đổi Fourier trong tổ hợp cộng tính

Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp cộng tính là một cặp (A,Z), trong đó

A z 0 là một tập con hữu hạn của Z Ta thường ký hiệu đơn giản (A, Z) 1a A

Nếu 4, là các tập hợp cộng tính trong Z thì fập tổng

tập hiệu

A-B:=ta-b:a€CA,bcĐ}, tập tổng lặp kA,k € Z* :

Ví dụ 1.1.4 Một ví dụ điển hình về tập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng ít” là các tập con được chọn một cách ngẫu nhiên của một nhóm cộng hữu hạn với lực lượng đã cho

Ví dụ 1.1.5 Dối lập với tập hợp cộng tính có cấu trúc cộng ít là tập hợp cộng tính có “cấu trúc cộng cao” là “cấp cộng”

a+ [0,N)-r:= {a,a+r, ,a+(N — 1)r},

trong đó ø,r € Z và N € Z*; hoặc các “cấp cộng tổng quát d- chiều” a+[0,N)-ø:= {a + mm + + nguy: 0 Sn; S Nj,VI <S j < d}, trong d6 a € Z,v = (w, ,va) € Z4,N = (M, , Na) € (Z*)%; hoặc các “hộp lập phương d- chiều”

a+ {0,1}: := {a+eimi + + egÐa:ei, ,ea€ {0,11};

hoặc tập "các tổng- tập con"

FS5(A) := {Eo :ĐC a}

acB của mot tap hitu han A

Một trong những nhiệm vu cơ bản của Tổ hợp cộng tính là tìm

ra những cách đo (định lượng) về cấu trúc cộng của một tập hợp và nghiên cứu xem đối với những đối tượng nào thì những kết quả định lượng đó tương đương với nhau Chẳng hạn một trong các khẳng

định sau đây đều là một cách khẳng định “A có cấu trúc cộng”:

Tich chap 1, * 1, tập trung cao;

Tap cdc tong- tap con FS(A) := {> a: B C A} c6 tinh boi

acB

cao;

Biến ddi Fourier 1, tap trung cao;

Bién déi Fourier 14 tập trung cao trong một hộp lập phương;

A có một giao lớn với một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh

được với 4;

e A chứa trong một cấp cộng suy rộng có cỡ so sánh được với 4;

e A (hoặc A— A hoặc 2A— 24) chứa một cấp cộng suy rộng lớn

Sau đây ta nghiên cứu một kiểu đặc biệt của nhóm cộng trong không gian Euelide:

Định nghĩa 1.1.6 [Dàn] Một đàn T' trong R*“ là một nhóm con cộng tính trong R'°, trong đó T' là rời rạc (nghĩa là mọi điểm thuộc

T đều là điểm cô lập)

Nếu không gian tuyến tính sinh bởi dàn T` có số chiều bằng k thì ta

nói E có hạng È, do vậy U < k < d

Nếu k = đ ta nói Ï' có hạng đầu đả

Néu I’ 1A mot dàn khác trong R*“ được chứa trong F thì ta nói I” là đàn con của Ï

Ví dụ 1.1.7 Z*“ là dàn có hạng đầy đủ trong R“ Tổng quát hơn, ví

dụ điển hình về một dàn hạng k là: Z:, trong đó 0 = (0,, , 0g)

là một họ k vectơ độc lập tuyến tính trong IR* với 0 < k < d Khang

định này là một phần của định lý sau:

Định lý 1.1.8 [Định lý cơ bản về dàn] Nếu T` là một dàn có hạng

k trong R° thì tồn tại các vectơ độc lập tuyến tính 0ị, ,y trong

R' sao cho Ù = Z* -u Nói riêng, mọi dần hạng k đều hữu han sinh

và đẳng cầu (qua một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch hạng k

từ không gian tuyến tính sinh bởi T tới R°) với dàn Z“ Hơn nữa, nếu œ là một vectơ bất khả quy trong T ta chọn phép biểu diễn trên

Định lý 1.1.10 [Định lý cơ bản về nhóm cộng hữu hạn] Mọi nhóm

cộng hữu hạn Œ đều đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclc 2y = 2N”

Ta phải có k = đ vì nếu không thì Z“ ⁄ø~1{0) là vô hạn và do đó Œ vô hạn Ta có thể viết ó~!(0) là một dàn được sinh bởi Nịei, , Nạex

với một bộ số nguyên Àì, , Nạ > 1 Do vậy

GeZ/NZ® 0Z/N,Z

Ta có điều phải chứng minh

1.2 Một số ký hiệu

1.2.1 Về tập hợp va ham

Với một tập 4 bất kỳ, ta sử dụng các kí hiệu:

A:= Ax Ax x A= {(ai, ,da):ứi, ,dạC A}

là tích đề các d lần của A, chang hạn Z* là dàn số nguyên đ- chiều Đôi khi ta ký hiệu 4* bởi A®° để phân biệt với tập các lũy thừa

24:={B:BC A}- họ tất cả các tập con của4;

|| lực lượng của tậpA

0 nếu trái lại

chang han 14(x) = I(x € A)

1.2.2 Về hệ thống số

Ta thường xuyên làm việc với tập các số nguyên Z và các tập con của nó như:

Z* := {1,2, },N:= Zso = {0,1,2, }:

tập số thuc R va cac tap con cia R nhu:

Rt :={ceER:2>0},Rxy:= {te ER: > 0};

tap các số phức C và nhóm đường tròn

R⁄Z:={z+Z:zc€ R}

Với số tự nhiên ý €Ñ, ta kí hiệu Z„ := Z⁄⁄4NZ là nhóm xyclic cap

N va stt dung kí hiệu n ++ n mod N cho phép chiéu chinh tac tit

Z len Zn

Nếu q là một lũy thừa nguyên tố thì #, là trường hữu hạn cap q Nói riêng nếu ø là số nguyên tố thì Ƒ„ có thể được đồng nhất với

7y

Với z € R thì [z] là phần nguyên của z

1.2.3 ký hiệu tiệm cận Landau

Cho ø là biến dương (thường lấy giá trị trên Ñ,Z*,I:ọ hoặc R*

và thường được giả thiết là lớn) và gọi ƒ(ø), ø(m) là các hàm giá trị của ø Khi đó

® g(n) = O(ƒ(n)) nghĩa là ƒ không âm và 3Œ > 0 sao cho

|ø(»)| < Cf(n), Vn.

e g(n) = Q(f(n)) nghia la f,g khong 4m va dc > 0 sao cho

Néu cac hing sé c,C hoac ham suy gidm a(n) phụ thuộc vào tham

số khác thì ta sẽ chỉ ra sự phụ thuộc đó bởi chỉ số dưới Chẳng hạn

ø(n) = O¿(ƒ(n)) nghĩa là tồn tại hằng số dương Œy phụ thuộc vào

k sao cho g(n) < Œyƒ(n),Vn,

1.2.4 Về cấp cộng

Trong mục thứ nhất ta đã nhắc đến khái niệm cấp cộng và cấp

cộng suy rộng O đây ta sẽ đề cập một cách chỉ tiết hơn Với các số

nguyên ø < Ð ta gọi đoạn [ø, b| là khoảng đóng rời rạc

[a,b] :-= {ne Z:a<n< bd}

[a,b) = {(m, ,ma) € Z“: ai <Sny < bị, VI < 7 < đ}, Định nghĩa 1.2.2 [Cấp cộng] Nếu Z là một nhóm cộng, thì ta định nghĩa cấp công suy rộng (gọi tắt là cấp cộng) là tập hợp bất

Định nghĩa 1.2.3 [Cấp cộng proper] Ta nói cấp cộng P 1a proper

nếu ánh xạ ø —> 0w : là đơn ánh trên [0, ý] hay nếu lực lượng của

P bằng thể tích của P Trường hợp P không là proper xảy ra khi các vectơ cơ sở của nó phụ thuộc tuyến tính trên Z

Ta nói P là đối xứng nếu —P = P, chẳng hạn

[-N,N]-v=—-N-v+[0,2N]-v

là một cấp cộng đối xứng

Định nghĩa 1.2.4 [Năng lượng cộng tính] Nếu A, là các tập cộng tính trong cùng một nhóm Z, ta định nghĩa năng lượng cộng tính E(A, B) là lượng

E(A,Đ) := |{(a,a,b,b)€AxAxBxP:a+b=a+DPỊ Dinh ly 1.2.5 [Bat dang thttc Cauchy- Schwarz] Cho A, B là các tập cộng tính Ta có

E(A, B) < E(A, A)!? E(B, By”.

1.3 Biến đổi Fourier

Cho Z là nhóm cộng hữu hạn (ví dụ như nhóm xyclie Z„) Trong mục này ta nhắc lại lý thuyết cơ bản của biến đổi Fourier trên các nhóm hữu hạn đó Giải tích Fourier dựa trên tính đối ngẫu giữa một nhóm Z và đối ngẫu Pontryagin Z cha nó, Zlà không gian tất

cả các đồng cấu từ Z vào nhóm lR/Z Trong trường hợp Z là nhóm hữu hạn, thì ta sẽ chỉ ra rằng Z và Z luôn đẳng cấu, do đó ta sẽ đồng nhất hai nhóm này với nhau Điều này được thực hiện nhờ

dạng song tuyến tính không suy biến

Định nghĩa 1.3.1 [Dạng song tuyến tính] Một dạng song tuyến tính trong nhóm cộng Z là một ánh xạ (€,#) —> €-#+ từ Z x Z vào R/Z sao cho nó là một đồng cấu theo từng biến €, z

Dạng song tuyến tính đó gọi là không suy biến nêu Về # 0 ánh xạ

œ —> ÿ-z không đồng nhất bằng 0 và với Vz # 0 ánh xạ £ —— £-# không đồng nhất bằng 0; là đối zứng nếu € - z = 2- €

Ví dụ 1.3.2 Nếu Z là một nhóm xyclie Z„ thì dạng song tuyến tinh r€ = oe là đối xứng và không suy biến Nếu Z là một không gian vectơ F"" trên trường hữu hạn #' thì dạng song tuyến tính

(i,#s, ,„) ' ((,Êa, ,Éu) = Ó(miệt + + #uế„)

là đối xứng và không suy biến khi ¿ : F —> R/Z là đồng cấu

không tầm thường từ #' vào R/Z (ví dụ nếu F = Z, ta c6 thé lay

(ez) =),

Với sự lựa chọn cu thé nay ta cdn c6 a€-a = €-ar,Va € F;2,€ € Z

Bồ đề 1.3.3 [Sự tồn tại dạng song tuyến tính] Mỗi nhóm cộng hữu hạn Z có ít nhất một dạng song tuyến tính đối xứng không suy

biến.

Chứng mành Từ Định lý cơ bản của nhóm cộng hữu hạn 1.1.10 ta

có mỗi nhóm cộng hữu hạn là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic Trong ví dụ 1.3.2 ta lại có mỗi nhóm xyclie đều có một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến Hơn nữa, nếu Z¡ và Z; có dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến thì tổng trực tiếp Z¡ ® Za cũng có dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, được định nghĩa bởi

(É¡, 62) - (đi, #2) = ết cớ + Ếy ca

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.3.4 Mỗi nhóm cộng tính Z thường có nhiều dạng song tuyến tính nhưng theo giải tích Fourier thì chúng đều tương đương nhau Tính đối xứng có một vài ưu thế nhưng không phải là nhất

thiết đối với lý thuyết Fourier Vì biến không gian và biến tần số

nói chung có vai trò rất khác nhan

Từ nay trở đi, ta cố định một nhóm cộng hữu hạn Z, cùng với

một dạng song tuyến tính không suy biến £ : z

Để trình bày về giải tích Fourier, sẽ thuận lợi hơn khi ta dùng ký hiệu của lý thuyết "ergodie"

Gọi CÝ là không gian các hàm giá trị phức ƒ : Z —> Œ Nếu

ƒ€Œ/, ta định nghĩa giá trị trung bình hay ky vong của ƒ bởi

Ta cũng có thể sử dụng các ký hiệu này đối với một tập hữu hạn, khác rỗng bất kỳ, chẳng han

E,cauesƒ(.9)'“ mi S) Fle): IAlLPI , 4 -;

Ký hiệu này không chỉ gợi ý đến mối liên hệ giữa giải tích Fourier,

lý thuyết ergodic và xác suất mà nó còn rất gọn vì ngoài việc lấy tổng nó còn bao gồm các thủ tục chuẩn hóa (chia cho |Z|) Nói chung, ta sẽ sử dụng ký hiệu ergodie cho các biến không gian và sử dụng ký hiệu rời rạc Ð)._„ ƒ(€) và |A| (không có chuẩn hóa theo

|Z|) cho biến tần số Ta cũng sẽ thường xuyên sử dụng hàm số mũ

e:]R/Z —> C được định nghĩa bởi

Vì e(£ - z)e(£ - z) = e(( — £) -#) nên ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp €’ = 0, nghĩa là chứng minh B„-ze(€ - z) = I(€ = 0) Điều này đúng trong trường hợp £ = 0 Nếu £ # 0 thì do tính không suy biến, 3h € Z sao cho e(£ - h) # 1 Thay z bởi z + h ta có:

E,czc(€-#) = Eucze(€ : (œ + h)) = c(€-h)B,cze(& - x)

nên Єeze(€ : z) = 0 = I(€ = 0) như mong muốn Với mỗi £ € Z ta

có thể định nghĩa một đặc trưng liên kết c¿ € CZ bởi e¿() = e(€:#)

Bổ đề trên chứng tỏ rằng e¿ là một hệ trực chuẩn trong CZ, với cấu trúc không gian Hilbert phức

(f, đ)cz — Bz(9) = E, ez f(x)g(2)

Vì số các đặc trưng |Z| bằng với số chiều của không gian, nên ta

thấy hệ đó là một hệ trực chuẩn đầy đủ Từ đây ta có:

Định nghĩa 1.3.6 [Biến đổi Fourier) Nếu ƒ € CZ, thì ta định nghĩa biến đổi Fourier fe CZ bởi công thức

ƒ():= (freelez = Erez f(a)e(§- 2)

Ta goi f(© là hệ số Fourier của ƒ tại tần số €

Vì œ¿ là cơ sở trực chuẩn đầy đủ nên ta có đồng nhất thức Parseval

của chúng bằng nhan tại mọi tần số

Nói cách khác: biến đổi Fourier là một song ánh từ CZ vào CZ

Từ Bổ đề 1.3.5 ta thấy các hệ số Fourier của đặc trưng e; chính là ham delta Kronecker: é¢(&') = I(€ = €)

Trường hợp đặc biệt 1(€) = I(€ = 0) Một vai trò đặc biệt trong

lý thuyết cộng tính của biến đổi Fourier được thực hiện bởi tần số

với mọi nhóm con Œ của Z

Bây giờ ta đưa ra khái niệm cơ bản là tích chập, là khái niệm liên kết biến đổi Fourier với lý thuyết về các tập tổng

Định nghĩa 1.3.7 [Tích chập] Nếu f,g € L?(Z) là các biến ngẫu

nhiên, ta định nghĩa fích chập của chúng là biến ngẫu nhiên f * g

ƒ*ø() = B,ezƒ(+ — y)g(y) = Eyez f(y)g(a — 9):

Ta cũng định nghĩa gid supp(f) của ƒ là tập hợp

supp(ƒ) = {ƒ # 0} = {x © Z: f(a) A Of

Ý nghĩa của tích chập đối với các tập tổng nằm trong phép nhúng

+2 on

hiên nhiên sau

supp(ƒ * g) © supp(f) + supp(g)

kỳ vọng bằng không Như một hệ quả của (1.8), ta thấy rằng tích chập là song tuyến tính, đối xứng và kết hợp 'Ta cũng có công thức

ƒ+*ø(€) = Ð ` ftn)9(€ — n)

nEeZ

Công thức này chuyển tích từng điểm thành tích chập

Định lý 1.3.8 [Markov] Cho X là biến không âm Khi đó với mọi

số thực dương À,

Hệ quả 1.3.9 Cho HH là nhóm nhân con của F, thoa man

|HỊ>p`,V0< ô<1

Khi đó tồn tại e = e(ð) > 0 chỉ phụ thuộc vào ỗ, sao cho

E(A,H) < p°|A||H,VA C€ F,,1<|A|< p3

nếu p đủ lớn và phụ thuộc ð

1.4 Không gian Ƒ",1 < p< oo trong tổ hợp cộng

tính

Chúng ta quay trở lại lý thuyết giải tích về biến đổi Fourier và

tích chập, bắt đầu với lý thuyết Ƒ và sau đó ứng dụng nó vào bài

Định nghĩa 1.4.4 Nếu ƒ € CZ và 0 < p < œ, ta định nghĩa

LP(Z)- chuẩn của ƒ là giá trị

IIflloz) = (Bz fl’)? = (Evezl f(a)?’

Chẳng hạn ||[ƒl|¿z¿z) là độ dài trong không gian Hilbert của ƒ

Ta cũng định nghĩa

Il fllz~(z) = sup [f(2)]- „cZ

ở đĩ số mũ đối ngẫu p' của p được định nghĩa bởi „+ „ =1

Hơn nữa, với bất cứ 1 < p,q,r < œ thộ mãn at h =z+lfa cĩ

bat đẳng thức Young

If * gllozy S Willey li gllnezy

Từ khái niệm năng lượng cộng tính F(A, B) giữa hai tập hợp cong tinh A,B trong Z ta thấy:

E(A,8) = |ZJ|l|La*1z l2) Theo đồng nhất thức Parseval (1.5) và mối liên hệ giữa biến đổi Fourier va tich chap, ta cĩ đồng nhất thức cơ bản

E(A, B) = |Z|E(14, 18) = Z2 „la ?\tp(€)|?

Cơng thức này cĩ thể làm sáng tỏ một vài thuộc tính của năng lượng cộng tính, thí dụ như tính đối xứng

E(A, B) = E(B, A) = E(A,—B)

và bất đẳng thức Cauchy- Schwarz

Với mục đích của tổ hợp cộng tính, biến đổi Fourier là hữu ích nhất khi áp dụng vào các hàm đặc trưng ƒ = lạ, và trong trường hợp này ta có thể nói về biến đổi Fourier và quan hệ của nó với năng lượng cộng tinh E(A, A)

Bổ đề 1.4.6 Cho A là một tập con của nhóm cộng hữu hạn Z, và

goi 14: Z —> € là biến đổi Fourier của hàm đặc trưng của A khi đó, ta có

lĩili-ø; = sp[f(9|= Ẵa(0)= Pz(A — (A0)

Cho ƒ: #' —> R là hàm không âm xác định bởi ƒ = B„caAla.A

Chú ý rằng supp(ƒ) = A: A và (0) = B;ƒ = P¿(A) Lấy biến đổi

Fourier ta nhận được ƒ(€) = E,ca1a(Ê), VỆ € F Nếu £ z 0 thì các tần số $ luôn khác nhau khi a biến thiên

vi P;(A) > |F|* theo gid thuyết

Do supp(ƒ * ƒ *x ƒ) = 3(A: A) và z bất kỳ nên ta có điều phải chứng

minh

Nhận xét 1.4.8 Hệ quả 1.4.7 là ví dụ đơn giản về đánh giá của tổng- các tích Nó định rằng một tổ hợp của tổng và tích của một

tập A lớn hơn tập A rất nhiều Nó có thể được xem như một phản

ánh định lượng của hiện tượng: một tập A có lực lượng lón hơn |

có khó khăn trong việc xử lý như một trường con của F'

Fourier của tập hợp đó (còn gọi là độ lệch tuyến tính hoặc tính giả

ngẫu nhiên) Nói một cách sơ lược, khái niệm này chia các tập hợp theo hai thái cực: các tập khá chính quy (có dáng điệu như các tập ngẫu nhiên, đặc biệt là các tập tổng lặp) và các tập không thật chính quy (có dáng điệu như các cấp số)

Định nghĩa 2.1.1 [Độ lệch Fourier| Cho Z là một nhóm cộng hữu hạn Nếu 4A là một tập con của Z, thì ta định nghĩa độ lệch Fourier

|| Al ctia A là số:

I4ll,:= sup [Ïa(6) €cZ\{0}

Đại lượng này không âm, ||A||„ = 0 nếu và chỉ nếu A = Z hoặc

A =Ũ Nó tuân theo luật đối xứng

I4, = |] — Allu = |A + Ally = 112 \ Alla, VA € Z

Chú ý rằng || - || là không đơn điệu, tức là 4 C không suy

ra được ||A||, < ||P|l Tuy nhiên, độ lệch Fourier tuân theo bất đẳng thức tam giác Độ lệch Fourier ||A||„ có thể lớn bằng mật độ Pz(1), nhưng thường là nhỏ Các tap A có độ lệch Fourier nhỏ hơn

œ, thường được gọi là tập œ- đều hoặc tập a- giả ngẫu nhiên; các

tập với độ lệch Fourier nhỏ được gọi là đều tuyến tính, đều Gowers cấp 1, hoặc giả ngẫu nhiên

Múi liên quan giữa độ lệch Fourier và các tập tổng được mô tả trong

\| Ay Ì sae | An—allu < Pz(4j) Pz(An—-2)Pz(An-1)?Pz(An)

Tat nhiên, một kết quả tương tự là đúng nếu ta hoán đổi thứ tự

Ai, , A„ Chú ý rằng đại lượng Pz(44) Pz(4„) là giá trị mong

đợi của

1

Ppt las 2st) € Ar XX Anta = a + + On}

nếu các sự kiện a; € Aj, ,a, € 4„ là độc lập từng đôi với điều

kiện # = ai + +ø„ Điều này giải thích tại sao tính đều còn được

gọi là tính giả ngẫu nhiên

Chứng mình

Theo (1.13), ham 14, * * 14, c6 bién doi Fourier Ta, ` TA,

Áp dụng công thức Fourier ngược (1.7), (1.10), Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz va (1.11) ta cé:

> Pz(4¡) Pz(4A¿) — |lAillu - An—allullta, (Ollewllta, (Elle

= P;(A,) Pz(An) — ||Aillu - || An—2lluPz(An-1)?Pz(An)?-

Tương tự ta có

la, *x *% 14, (x) < Pz(4j) .Pz(A,)

+ | Aa lla | An—2|luPz(An-1)?Pz(An) NIK

Theo định nghĩa của tích chập

lạ * % 14 (x) 1

= |ZI! *|{(ai, as, , Qn) € A, x XA, @ =a, + +a,}|

và do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2.1.3 [Đánh giá tổng Gauss] Cho F' là trường hữu hạn với cấp lễ và A = F^? = {a?:ac€ F} là tập các bình phương của các phan tit trong F Khi đó:

|All uSaat 2|F | 2|F |p T°

Chứng mình Lấy € € F \ {0} Do mọi phần tử khác 0 trong A déu

có đúng hai cách biểu diễn dưới dạng a”, nên ta có:

và ta có điều phải chứng minh

Kết hợp Bổ đề này với Bổ đề 2.1.2, ta đạt được:

Hệ qua 2.1.4 Cho F là trường hữu hạn với cấp lẻ và A = F32

Hệ quả này chứng tỏ rằng các tập tổng kA ít nhiều được phân

bố đều với k > 3 Chú ý khi k = 2 ta vẫn chứng minh được rằng

2A = F, nhưng các tập tổng có thể rất không đều, ví dụ, nếu —1 không là bình phương của phần tử nào trong #', thì 0 chỉ có một cách biểu diễn thành tổng của hai phần tit trong F

Tiếp theo là mot Bo dé cho thấy: Nếu Ö là một tập con được chọn

“1I|.A|l„; do đó độ lệch Eourier

ngẫu nhiên của 4, thì ||P||„ xấp xỉ với tal

giảm một cách tương xứng khi chuyển qua các tập con ngẫu nhiên

Bồ đề 2.1.5 Cho A là tập hợp cộng tính trong nhóm cộng, hữu hạn Z và 0 < r < 1 Cho B là tập con ngẫu nhiên của A được xác

định bằng cách lấy các sự kiện a € B một cách độc lập với xác suất

thì ta có

P(|\„ = r||All, + O(ơlog*|Zl)) =1— O(|Z| 1")

Đặc biệt, néu A = Z thi

IBllu=rZ+O (ra _ 25)

với xác suất cao; vì vậy các tập con ngẫu nhiên của Z có khả năng

là rất đều Chú ý rằng Pz(B) r với xác suất cao Ứng dụng chủ

yếu của độ lệch Fourier là để nghiên cứu về cấp cộng với độ dài 3

2.2 Tập hợp Bohr

Trong nhiều ứng dụng của phương pháp giải tích Fourier, ta đều

xuất phát với một tập hợp cộng tính A và kết thúc với một số thông tin về biến đổi Fourier Tạ của A (chẳng hạn, ta có thể nhận được

độ lệch Fourier ||A||„) Khi đó, ta muốn có được một vài thông tin

tổ hợp mới về tập 4 Với một vài nhóm đặc biệt (chẳng hạn, trường hữu hạn #”") ta có thể làm điều đó một cách trực tiếp Tuy nhiên,

để đảo ngược từ các thông tin Fourier trong các nhóm nói chung

thành các thông tin tổ hợp, ta cần có khái niệm tập Bohr (còn được

gọi là lân cận Bohr) Dầu tiên ta định nghĩa chuẩn ||Ø||z/z trong nhóm đường tròn bằng cách đặt ||Ø + Z||g/z = |Ø| khi —š < Ø < š Nói cách khác ||Ø||z/„ là khoảng cách từ Ø (hoặc chính xác hơn, là

từ một biểu diễn bất kỳ của lớp tương đương 6) tới các số nguyên

Dã thấy các cận (đánh giá) cơ bản sau:

4||Ø|lz/z < |e(0) — 1| < 2=||||s,z (2.1)

từ các công thức lượng giác cơ bản và do ham sinc(x) = | oO ° œ 1 ®

trị giữa I và Š khi |z| < §

Định nghĩa 2.2.1 [Tập hợp Bohr] Cho $ c Z là tập hợp các tần

số, và ø > 0 Ta định nghĩa tập hợp Bohr: Bohr(S, p) = Bohrz(S, p) bởi

Bohr(S, p) := {= € Z: sup ||£ - #l[s/z < "

EES

Ta gọi Š là tập hợp tần số của tập hợp Bohr, p 1a ban kính, |5| là hạng của tập hợp Bohr

Nhận xét 2.2.2 Chú ý rằng nếu Z là không gian voctơ trên trường

hữu hạn P` thì mỗi không gian con của Z có thể được coi là tập hợp