Ứng dụng phương pháp giải hữu hạn phân tích phản ứng dầm hộp

***** NGUYỄN AN BÌNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG DẦM HỘP Chuyên ngành: Cầu, tuynen và các công trình xây dựng khác trên đường ôtô và đường sắt LUẬN VĂN THẠC S

*****

NGUYỄN AN BÌNH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG DẦM HỘP

Chuyên ngành: Cầu, tuynen và các công trình xây dựng khác trên đường ôtô

và đường sắt

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HCM, tháng 10 năm 2005

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn lòng nhiệt tình của o2dẫn PGS TS Bùi Công Thành Ngoài ra đặc biệt cảm ơn tới người yêu Yến Ngọc, bạn bè và quý đồng nghiệp

cơ quan đã ủng hộ mặt tinh thần để vượt qua những khó khăn trong quá trình thực hiện Một lần nữa với lòng chân thành xin cảm ơn tất cả!

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VÀ MỤC TIÊU ĐỀ TÀI 1

1.2 Quá trình phát triển và ứng dụng của phương pháp dải hữu hạn 2 1.3 Ứng dụng dải hữu hạn trong phân tích cầu 6 1.4 Giới thiệu một số đề tài liên quan đến phương pháp dải hữu hạn 8

2.3.2 Thế năng biến dạng đàn hồi dải chịu uốn 18 2.3.3 Ma trận độ cứng và vector tải phần tử dải 22 2.3.4 Ghép nối và thiết lập phương trình cân bằng tổng thể 24 2.3.5 Dải hữu hạn với điều kiện biên tổng quát 28

2.4 Dải hữu hạn với bài toán biến dạng phẳng 32

2.4.2 Ma trận độ cứng và vector tải phần tử dải 33 2.4.3 Dải hữu hạn với điều kiện biên tổng quát 35

2.6.2 Dải chịu uốn bậc cao HO3 với đường nút phụ 43

2.7 Dải hữu hạn bậc cao HO3 trong bài toán biến dạng phẳng 49 2.8 Dao động tự do với dải hữu hạn- Bài toán trị riêng, xác định tần số

2.8.3 Ma trận khối lượng dải biến dạng phẳng 58 2.8.4 Ma trận khối lượng dải chịu uốn trong và ngoài mặt phẳng 59

2.9 Ứng dụng dải hữu hạn phân tích dầm hộp 60

2.9.2 Ma trận độ cứng và vector lực 61

CHƯƠNG 3 SƠ ĐỒ KHỐI CHƯƠNG TRÌNH VÀ ÁP DỤNG 66

3.2.1 Ví dụ 1: Bài toán khảo sát dầm bản nhịp giản đơn 67 3.2.2 Ví dụ 2: Bài toán khảo sát dầm hộp nhịp giản đơn 76 3.2.3 Ví dụ 3: Khảo sát dao động riêng của dầm bản và dầm hộp 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ PHỤ LỤC

diện tích miền con {a} vector chuyển vị nút

[B] ma trận biến dạng

D độ cứng đàm hồi

[D] ma trận độ cứng đàn hồi

EA đặc trưng độ cứng dầm

EI độ cứng chịu uốn dầm

G modul đàn hồi trượt

i chỉ số dưới nodal line i

I dải hữu hạn thứ i

j chỉ số dưới nodal line j

[k], [K] ma trận độ cứng

m số số hạng chuỗi hàm

M moment chịu uốn, xoắn

[M] ma trận khối lượng

p lực trong mặt phẳng

P lực tập trung

{p},{P} vector tải trọng

q vector tải trên đơn vị diện tích

r tổng số chuỗi cần lấy trong phân tích

[R] ma trận chuyển toạ độ

S tổng số dải trong kết cấu

t chiều dày bản chịu uốn

u, v, w các chuyển vị theo phương x, y, z

U năng lượng biến dạng

W công ngoại lực

Ym(y) hàm dạng dao động dầm ứng với trị riêng thứ m

ν hệ số poisson

Π thế năng biến dạng toàn phần

ω tần số tự nhiên

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VÀ MỤC TIÊU ĐỀ TÀI 1.1 Tổng quan

Hiện nay trong phân tích kết cấu có hai phương pháp chính, phương pháp giải tích và phương pháp số Riêng trong phương pháp số thì phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method-FEM), phát triển vào thập niên 50, mô hình tương thích phát triển mạnh cùng với sự tiến bộ của công nghệ thông tin Tuy nhiên, đối với những kết cấu phẳng, kích thước theo hai phương không đổi (Constant Geometric)và điều kiện biên đơn giản thì việc sử dụng FEM để nghiên cứu phản ứng của kết cấu một cách đầy đủ là không cần thiết Bởi vì chi phí cho việc phân tích rất cao do tốn nhiều thời gian tính toán và không gian lưu trữ, và thường tăng vọt khi có yêu cầu chính xác hơn trong bài toán nhiều chiều, đặc biệt trong bài toán phân tích phần tử khối hoặc kết cấu không gian [37]

Từ những vấn đề trên, một phương pháp ra đời vào thập niên 60 đó là phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method-FSM) Cách tiếp cận và giải quyết vấn đề gần giống nhau, thay vì ta tìm trực tiếp trường ứng suất hoặc trường chuyển vị của toàn kết cấu, ta đi tìm các chuyển vị đại diện của phần tử thông qua các bậc tự do (Degree Of Freedom - DOF) tại các nút phần tử hay của dải Có thể tóm tắt quá trình phân tích như sau [3]:

1 Rời rạc hóa kết cấu: Chia kết cấu thành nhiều miền con;

2 Chọn trước dạng hàm chuyển vị thích hợp và hàm chuyển vị được xác định bằng cách cực tiểu thế năng toàn phần, thành lập phương trình cân bằng ;

3 Xây dựng phương trình cân bằng phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử;

4 Ghép nối các phần tử trên cơ sở tương thích chuyển vị;

5 Giải phương trình đại số

Trong phương pháp FSM, kết cấu được chia thành nhiều dải chạy suốt chiều dài kết cấu l và có chiều rộng b, chuyển vị của dải được đại diện bởi hai đường nút (Nodal line) i và j ở biên chạy suốt phần tử Dạng chuyển vị theo đứng theo chiều dọc của đường nút biết trước chính là nghiệm của phương trình dao động của dầm giản đơn đối với phương pháp dải hữu hạn bán giải tích (Semi-analysis Finite Strip Method) Như vậy, vấn đề còn lại là tìm chuyển vị theo phương bề rộng b của phần tử hay nói khác hơn là giảm kích thức bài toán từ 2D thành 1D Ngoài ra, do đặc điểm của phương pháp nên số ẩn số cần tìm ít hơn so với FEM trong cùng một loại phần tử Mặc khác, tận dụng được tính trực giao (sẽ nói ở phần sau) nên ma trận độ cứng có dạng băng hẹp Riêng trong bài toán chịu uốn điều kiện biên gối tựa giản đơn thì các hệ số phụ của ma trận độ cứng dải bằng 0 nên ma trận độ cứng chính là

ma trận đường chéo, vì vậy khối lượng tính toán giảm

1.2 Quá trình phát triển và ứng dụng của FSM

Cách nay khoảng 37 năm, phương pháp dải hữu hạn (FSM) được giới thiệu và ứng dụng đầu tiên cho bài toán phân tích tĩnh, mất ổn định và dao động Quá trình phát triển của phương pháp bắt đầu từ mốc thời gian năm 1968

Năm 1968, Wittrick đã thiết lập được ma trận độ cứng của bản trực hướng chịu uốn trong và ngoài mặt phẳng Trạng thái ứng suất trong mặt phẳng chịu uốn theo một phương là biết trước và giả định dạng mode shape mất ổn định theo chiều dài tấm Theo như phương pháp Kantorovich, giả thiết trên cho phép giảm phương trình vi phân chủ đạo thành phương trình vi phân thông thường Trong lời giải của Wittrick, không đưa ra dạng tường minh hàm chuyển vị theo phương ngang, lực và các thành phần chuyển vị của bản được biểu diễn rất phức tạp, cả lực cắt và tải trọng theo hai phương cũng được quan tâm Sau này có sự tham gia của Wiliam bài toán được mở rộng giải bài toán kết cấu không đối xứng và vật liệu không đồng nhất [29]

Cũng vào thời điểm năm 1968, Y.K Cheung lần đầu tiên công bố phương pháp giải hữu hạn nửa giải tích (Semi-Analysis Finite Strip Method), trường chuyển

vị theo phương dọc được xấp xỉ bởi những hàm giải tích (sin, cos, sinh, cosh) chính là nghiệm của phương trình dao động riêng dầm chịu uốn, thỏa điều kiện biên tại hai đầu dải Giống như phương pháp phần tử hữu hạn, dạng trường chuyển vị theo phương ngang được xấp xỉ bằng hàm đa thức đơn giản Sau khi giả định trước dạng những hàm chuyển vị, thiết lập phương trình năng lượng và cực tiểu thế năng toàn phần, từ đó thiết lập các phương trình cân bằng dải, thực hiện kết nối các phần tử dải ta thiết lập được phương trình cân bằng tổng thể của kết cấu và từ đó tìm được trường chuyển vị đại diện Về cơ bản, FSM giảm kích thước bài toán từ 2D thành 1D Trong một vài trường hợp thì khối lượng tính toán giảm 10 lần hoặc hơn so với phương pháp FEM (Cheung and Tham, 1998) [37]

Theo thời gian, FSM được cải tiến để ứng dụng cho nhiều dạng kết cấu khác Đến năm 1969, Cheung đã ứng dụng đầu tiên cho cầu dầm hộp đẳng hướng, và ông cũng đề nghị rằng FSM cũng áp dụng cho kết cấu dầm bản liên hợp (Composite slab beam) Theo phương pháp cải tiến này, độ cứng theo phương dọc dầm có được cộng vào độ cứng kết cấu, và đó là một cải tiến để tăng khả năng ứng dụng của phương pháp [36]

Hai cải tiến tiếp theo đáng ghi nhận làm gia tăng độ chính xác cũng như sự hội tụ của phương pháp FSM nhanh hơn cho bài toán biến dạng phẳng đã được phát triển bởi Loo và Cusens (1970) [36]:

ƒ Cải tiến đầu tiên bảo đảm sự tương thích độ cong bằng cách đưa thêm

bậc tự do diễn tả độ cong của dải đường nút Tuy nhiên cải tiến này chỉ giới hạn cho bản có đặt trưng vật liệu đẳng hướng theo cắt ngang;

ƒ Cải tiến tiếp theo đó đưa đường nút phụ vào trong dải Tuy nhiên nó có

một hạn chế là làm tăng kích thước ma trận độ cứng lên 50%

Ngoài ra, nhiều nhà nghiên cứu đưa ra nhiều phương thức khác làm tăng độ chính xác của phương pháp như: Brown và Ghali giới thiệu vào năm 1978, dùng

thông số phụ cho phân tích bản chữ nhật; Bucco (1979) đệ trình phương pháp đường đồng chuyển vị, phương pháp này mở rộng cho FSM cho bản có kích thước và tải trọng bất kỳ nếu biết trước đường đồng chuyển vị [29]

Xét riêng bài toán ổn định, wittrick (1968) đã giải bài toán ổn định tấm chịu lực trong mặt phẳng bằng cách giả định dạng mode dao động là hình sin theo chiều dài tấm Theo như phương pháp Kantorovich, giả định định này cho phép giảm phương trình vi phân chủ đạo thành phương trình vi phân thông thường Trong lời giải của Wittrick không đưa ra dạng tường minh hàm chuyển vị theo phương ngang Phương pháp của Wittrick, sau này có sự tham gia của Wiliam, đôi khi được gọi là phương pháp dải hữu hạn giải tích hay dải hữu hạn “chính xác” Sau đó năm 1971, Cheung giải tiếp các bài toán ổn định cho tấm có sườn và biên bất kỳ [29]

Năm 1973, Przemieniecki đã phát triển phương pháp tương tự như của Cheung để khảo sát ổn định cục bộ kết cấu tấm lăng trụ Phương trình chủ đạo mô tả ứng xử của dải dựa trên phương pháp công ảo và kết hợp với các kỷ thuật của phương pháp phần tử hữu hạn Trong phương pháp của Cheung, trường chuyển vị theo chiều dọc của kết cấu là hàm lượng giác và theo phương ngang là đa thức Tương phản với phương pháp của Wittrick và William, cả phương pháp của Cheung và Przemienieki thường sử dụng nhiều dải để mô phỏng một kết cấu, bởi vì trường chuyển vị theo phương ngang là các đa thức và khi muốn đạt kết quả có độ chính xác cao thi ta chia thành nhiều dải đối với kết cấu phức tạp Kết quả là ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu lớn hơn so với trong phương pháp của Wittrick và William [29]

Nghiên cứu của Przemieniecki được triển khai tiếp trong năm 1974 bởi Plank và Wittrick Lý thuyết tấm kể đến biến dạng do lực cắt giải bằng phương pháp dải hữu hạn được Manewa và Davies giới thiệu để phân tích kết cấu trong giai đoạn đàn hồi chịu tải trọng tĩnh Sau đó, Benson và Hinton (1976) sử dụng lý thuyết tấm có kể đến biến dạng cắt kết hợp với dải hữu hạn để giải bài toán dao động và ổn định [29]

Điểm nhấn quan trọng trong quá trình phát triên của FSM dùng hàm Spline cho phép mở rộng ứng dụng tìm trạng thái ứng suất của dải cho bản chịu uốn có kích thước hình học và điều kiện biên khác nhau cũng như cho bài toán ổn định, được Yang và Chong nghiên cứu vào các năm 1982, 1984 và 1986 Vào năm 1982, Cheung sử dụng hàm B3-spline để mô tả trường chuyển vị dọc phần tử và ứng dụng cho bản chịu uốn nén đồng thời và cho kết cấu dầm hộp (Cheung and Fan, 1986), hàm B3-Spline mở rộng ứng dụng cho bản xiên (Tham, 1986) cũng như cong (Cheung, 1986) bản chịu uốn có kích thước bất kỳ (Li, 1986) [36]

B-Năm 1986, Lau và Hancock sử dụng phương pháp dải hữu hạn Spline phân tích ứng xử kết cấu tấm thành mỏng Thay hàm chuỗi lượng giác dùng để xấp xỉ trường chuyển vị theo phương dọc bằng một hằng số B3-Spline, có tâm phân bố theo dọc theo chiều dài của dải Thật ra, kỹ thuật này đầu tiên được Cheung và Fan đưa ra giải quyết bài toán tĩnh Ưu điểm của phương pháp cho phép xử lý các điều kiện biên khác nhau tại các nút Knot dải bằng cách hiệu chỉnh một vài hàm Spline cục bộ bằng phương pháp hàm phạt (Penalty function) Sự hội tụ của nghiệm tăng nhanh khi tăng số điểm nút theo phương dọc Mặc dù dải hữu hạn B3-Spline linh hoạt và đa năng hơn phương pháp giải hữu hạn nữa giải tích nhưng nó lại có nhược điểm là khối lượng tính toán lớn hơn nhiều khi cho cùng độ chính xác Năm 1989, Lau và Hancock tiếp tục phát triển nghiên cứu ổn định kết cấu trong giai đoạn vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi Tiếp tục phát triển những nghiên cứu của mình, Dawe, Morris và Mohd sử dụng phưong pháp giải hữu hạn để phân tích ổn định và dao động cho bài toán vỏ, dựa trên lý thuyết vỏ mỏng của Koiter và Sanders phân tích thành bài toán tấm nhiều lớp, điều kiện biên bất kỳ ở hai đầu dải (tựa đơn ngàm hoặc tự do) và dùng nhiều thừa số Đặc biệt cho bài toán gối tựa đơn, nhiều các tác giả đã nghiên cứu giải bài toán kể đến biến dạng cắt, phân tích phi tuyến hình học, rất thích hợp cho nhiều kết cấu tấm lăng trụ thành mỏng [36]

Phương pháp dải hữu hạn kết hợp (The Compound Strip Method) làm tăng thêm khả năng ứng dụng của phương pháp FSM hơn nữa, được trình bài bởi Puckett

và Gutkowski (1986) Trong phương pháp này độ cứng dầm ngang và dầm dọc cũng như cột được cộng vào độ cứng của dải để ứng dụng cho phân tích tĩnh và động cho cả kết cấu cong (Puckett and Lang, 1986) [16]

Năm 1991, Gutkowski mở rộng ứng dụng phương pháp B3-Spline FSM phân tích tấm dày Để tăng độ chính xác, các điểm đặt lực tập trung và tải trọng khác nên đặt trùng khớp với các nút vì vậy các điểm nút được chia thành các đoạn không bằng nhau [16]

Cũng vào thời điểm 1991, Cheung nghiên cứu phản ứng của kết cấu tấm lăng trụ có đường sinh dạng cong Ngoài ra việc sử dụng phương pháp đẳng tham số ma trận biến hình Jacobian cho phép mở rộng cho bài kết cấu phi tuyến hình học Và gần đây nhất (2000) Cheung đã sử dụng FSM phân tích dao động tự do và ổn định của tấm trên nền đàn hồi Winkler [16]

1.3 Ứng dụng dải hữu hạn trong phân tích cầu [16]

Phương pháp dải hữu hạn lần đầu tiên được giới thiệu bởi Y.K Cheung ( 1968) cho phân tích bản có nhịp gối tựa giản đơn Đến năm 1969, FMS được ứng dụng phân tích cầu bản dạng chữ nhật được Powell và Ordein giới thiệu Từ thời điểm này, FSM được nhiều nhà nghiên cứu kết cấu của nhiều nước quan tâm Vào những năm của thập niên 60s đến thập niên 70s, FSM đựoc mở rộng nghiên cứu cho nhiều loại kết cấu và điều kiện tải trọng khác nhau, cụ thể:

ƒ Bản chử nhật và điều kiện biên tổng quát (Y K Cheung, 1968);

ƒ Cầu dầm hộp (Y K Cheung, 1969);

ƒ Cầu dầm bản cong và cầu dầm hộp (Y.K Cheung, 1971);

ƒ Cầu bản xiên và cầu dầm hộp xiên (Brown and Ghali, 1972 và 1975);

ƒ Cầu dầm bản nhịp liên tục và phương pháp ma trận độ mềm (M.S Cheung,

Y K Cheung and Ghali, 1970);

ƒ Dầm hộp nhịp liên tục và vách ngăn kết hợp ma trận độ mềm (Loo, 1975);

ƒ Dầm bản liên tục và dầm hộp (Wu and Cheung, 1974; Delcout and Cheung,

1978);

ƒ Phân tích dao động tự do (M.S Cheung and Y K Cheung, 1971);

ƒ Phản ứng của cầu bản dưới tác dụng của tải trọng động (Smith, 1973);

ƒ Phân tích ổn định (Przemieniecki,1973; Witrick and Plank, 1974);

Những sách xuất bản 1976 được viết bởi Y.K Cheung và Loo cũng như Cuens (1978) tổng hợp lý thuyết của phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng trong phân tích cầu và những kết quả trong thời gian nghiên cứu trước đây Vào giữa thập niên 1970, nhờ những nổ lực lớn của các nhà nghiên cứu, FSM được mở rộng ứng dụng hơn nữa, cụ thể:

ƒ Phân tích dầm tổng quát (Bucco, Mazumdar and Sved, 1979);

ƒ Phân tích dầm Composite dạng cong có trụ chống trung gian (Arizumiet,

1982);

ƒ Ứng xử của dầm hộïp thép có bản BTCT liên hợp trong quá trình xây dựng

(Branco and Green, 1985);

ƒ Phương pháp siêu dải cho dầm cao chiều dày thay đổi theo phương ngang

(Asbabi and Li, 1991);

ƒ Phương pháp dải hữu hạn kết hợp để phân tích dầm bản và cầu dầm hộp và

trụ trung gian (Puckett, 1983; Malcki, 1987; Wisoman and Pukett, 1991);

ƒ Phân tích dầm bản liên tục, dầm hộp liên tục có cắt ngang bất kỳ (M.S

Cheung and Li ,1988B và 1989A);

ƒ Dải hữu hạn kết hợp với phần tử hữu hạn và phần tử biên để phân tích cầu

dầm bản bất kỳ (M.S Cheung and Li , 1991 and 1992; M.S Cheung, Akhras and Li, 1994);

ƒ Phân tích ổn định và kết cấu bản có hình dạng phi tuyến (M.S Cheung and

Li, 1991 và 1992; M.S Cheung, Akhras and Li, 1994);

ƒ Phân tích kết cấu thép với vật liệu phi tuyến (Olawale and Plank, 1988; M.S

.Cheung, Ng and Zhong, 1998; Ng et, 1991);

ƒ Phân tích cầu bản BTCT xét đêùn phi tuyến vật liệu (Guo…,1998; M.S

Cheung and Li, 1990A);

ƒ Phân tích kết cấu bản vật liệu làm việc ở trạng thái đàn hồi dẻo và chuyển vị

lớn (Abayakoon…,1989);

ƒ Phân tích cầu dây văng (M.S Cheung, Li and Jaeger, 1988 và 1989);

Vào những năm 1982, hàm B3_Sphine được giới thiệu mô tả chuyển vị dọc dải và được áp dụng cho bất kỳ điều kiện biên cũng như dể dàng tính toán giá trị moment tại vị trí gối trung gian Bằng phương pháp chuyển tọa độ, FSM được áp dụng cho kết cấu cầu dầm bản cong bất kỳ Do đó, FSM được áp dụng phổ biến hơn FSM bán giải tích

Những năm sau đó, hàm B3-Spline trong FSM được mở rộng áp dụng cho cầu dầm hộp (Y.K Cheung and Fan, 1983), cầu bản xiên (Chen, Tham and Cheung, 1984), cầu dầm bản cong bất kỳ (Y K Cheung, 1986), phân tích cầu dầm bản, dầm hộp cong bất kỳ (Li, Tham and Cheung, 1980), và phương pháp dải kết hợp (Chen, Gutkowski and Puckett, 1990, 1991), phân tích ổn định và dao động (Cheung, 1987)

1.4 Giới thiệu một số đề tài liên quan đến FSM

1.4.1 Trên thới giới

M.S Cheung, Ứng dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích cầu dầm bản, đề tài thạc sĩ, 1969; M.S Cheung, Phân tích kết cấu bằng dải hữu hạn, đề tài tiến sĩ, 1971; Y.C Loo, Ứng dụng FSM để phân tích bản mặt cầu, đề tài tiến sĩ, 1972; Zhen Tung, Phân tích dầm hộp bằng FSM, luận văn thạc sĩ, 2003 và rất nhiều đề tài khác

1.4.1 Tại Việt Nam

Phương pháp này rất mới ở Việt Nam, riêng tại trường ĐHBK đến nay có 03 đề tài nghiên cứu FSM:

ƒ Lê Văn Bình, Sử dụng dải hữu hạn bậc cao để giải bài toán lý thuyết đàn hồi,

luận văn thạc sĩ, 2003;

ƒ Lê Hiền Anh, Nghiên cứu dải hữu hạn và ứng dụng để khảo sát dải có sườn,

luận văn thạc sĩ, 2003;

ƒ Phạm Sanh, Phân tích một số kết cấu cầu bằng FSM, luận văn thạc sĩ, 2003

Nói riêng về đề tài của Phạm Sanh, tác giả đã nghiên cứu ứng dụng dải hữu hạn để phân tích cầu dầm hộp nhịp giản đơn chịu tải trọng tĩnh Để tiếp nối nghiên

cứu trước, học viên muốn nghiê n cứu sâu hơn đó là “Phân tích tĩnh và động cầu dầm hộp”, và đó là mục đích của đề tài

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD - FSM)

2.1 Giới thiệu chung

Đối với kết cấu có cắt ngang không thay đổi và điều kiện biên đơn giản như hình minh hoạ H2.1, thay vì dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để phân tích các trạng thái ứng suất và biến dạng của kết cấu, ta sử dụng phương pháp dải hữu hạn (FSM) để phân tích vì tính ưu việt của phương pháp Trong mỗi dải, chuyển vị các điểm

Dải hữu hạn ( Finite strip)

Dải đường nút Nodal line)

H 2.1 Kết cấu hộp với dải hữu hạn

thuộc dải được biểu diễn qua các bậc tự do của dải đường nút (nodal line) dọc theo biên của phần tử dải thông qua đa thức nội suy theo phương ngang và chuyển vị đứng theo chiều dài của dải đường nút được chọn trước sao cho thoả mãn kiện biên ở đầu dải

Bậc tự do của dải đường nút được xác định dựa trên mối quan hệ Ứng suất- Biến dạng Như trong phương pháp phần tử hữu hạn, các bậc tự do này được xác định từ việc

giải hệ phương trình cân bằng, hệ phương trình cân bằng thu được từ cực tiểu hóa thế

năng toàn phần của hệ

2.2 Phương pháp năng lượng cho dầm đơn giản

Phương pháp dải hữu hạn liên quan đến phương pháp năng lượng, và để đơn giản

hoá ta chọn dầm đơn giản làm ví dụ Xét dầm chịu tác dụng của lực tập trung P đặt ở

giữa nhịp, theo điều kiện biên của kết cấu theo như hình vẽ H 2.2, tại y=0 và y=l ta có:

Trong đó: w và M lần lượt là chuyển vị và moment uốn; EI là độ cứng chịu uốn

Chuyển vị của dầm được xấp xỉ bởi ½ sóng hình sin

W = 0

Y P

X

Hình 2.2 Dầm đơn giản chịu tác dụng lực tập trung giữa nhịp

l

y y

sin.)

Trong đó δ là hệ số chưa biết

Giả sử hàm chuyển vị trong công thức (2.2) thoả mãn điều kiện biên trong (2.1),

ta tìm giá trị của δ sao cho thế năng toàn phần của dầm là cực tiểu Khi ấy thế năng

biến dạng toàn phần của dầm được viết như sau:

Π= U + W = ∫ −∫

l l

dy l

y P

dy dy

w d EI

0 2 0

2

2

sin )

( 2

π

Trong đó: U, W lần lượt là công nội và ngoại lực Vậy để tìm cực trị của hàm

(2.3), đạo hàm bậc nhất của Π theo δ bằng không

0

=

Πδ

dy l

y P

dy l

y l

EI

0 0

2 4

2 4

sin sin

2

πδπ

δ

l 2

EI

3

2 4

= δ

− δ

EI

Pl 2

Pl 2 ) y (

w

π sin

22 2

2

Chuyển vị và moment lớn nhất tại giữa nhịp có giá trị wmax = 0.02053Pl3/EI, M =

0.2026Pl Nghiệm giải theo phương pháp chính xác wmax = 0.02083Pl3/EI, M =

0.2500Pl Như vậy so với phương pháp chính xác, ta thấy chuyển vị giữa nhịp là hội tụ

rất tốt, tuy nhiên giá trị moment vẫn còn sai số

Để tăng độ chính xác của nghiệm, trường chuyển vị được biểu diễn qua chuỗi

hàm sin có dạng tổng quát sau:

l

y m y

r m

π

δ sin)

Trong đó δm là hệ số chưa biết của số hạng thứ m của chuỗi hàm và r số số hạng

yêu cầu trong tính toán Bằng phương pháp năng lượng trình bài như trên ta có kết qủa

sau:

l

y m m

m EI

Pl y

w

r m

ππ

12

)

1 4

m

Pl r m

π

π

12

2 1

2 ∑

=

(2.11)

Giá trị chuyển vị và moment tại giữa nhịp

m w max =aPl 3 /EI M max =b.Pl

Theo bảng trên ta thấy chuyển vị giữa nhịp hội tụ rất nhanh, ngược lại giá trị

moment hội tụ rất chậm Tuy nhiên sai số là 4% khi lấy năm số hạng của chuỗi hàm

2.3 FSM với bài toán tấm chịu uốn (Plate- Bending)

Xét bản chữ nhật chịu tải và điều kiện biên như hình vẽ (H2.3), hiện nay có rất nhiều phương pháp để tìm trạng thái ứng suất biến dạng của bản, tuy vậy rất khó có thể tìm được hàm để mô tả được chuyển vị của toàn kết cấu dưới tác dụng của tải trọng kết hợp và điều kiện ràng buộc khác nhau Nếu chia kết cấu thành nhiều dải theo chiều dọc kết cấu thì việc mô tả trường chuyển vị của kết cấu đơn giản hơn, tất cả các dải liên kết với nhau thông qua dải đường nút

Hình 2.3 Bản chữ nhật chịu uốn

X X-X

Y-Y X

X

Y

Y Y

++

++

=

π

1 m

n n 3

3 2 2 1 o r

1 m m

l

ymsin)xa

xaxaxaa(l

ymsin)x(f)y

,

x

(

Trong đó a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n là các hệ số chưa biết, r tổng các số hạng cần lấy

trong phân tích bài toán

Thay vì tìm trực tiếp các giá trị hằng số a0, a1, a2, a3,…, an , ta biểu diễn các hệ số

này thông qua các chuyển vị của đường nút hay gọi là bậc tự do của dải Độ lớn wim và

wjm của hai đường nút i, j của dải được chọn làm thông số chuyển vị

l

ymsin.w)

y(

r

1 m i

y

r m j

πsin.)

Hình 2.4 Rời rạc hóa bản chịu uốn

Dải đường nút

X

S+1

X-X

j i

1 2

Hình 2.5 Các bậc tự do của đường nút

Điều này ngụ ý rằng hai dải liền kề có cùng chuyển vị theo dọc đường nút

chung Để đảm bảo chuyển vị liên tục trong kết cấu, ta đưa thêm bậc tự do mô tả độ

dốc theo phương ngang tại hai đường nút i, j là θimvà θjm:

l

y m dx

m im i

i

πθ

m jm j

j

πθ

Như vậy, tổng số bậc tự do của mỗi phần tử dải là 4, trong đó mỗi dải đường nút

có 2 bậc tự do Do đó, trường chuyển vị theo phương ngang (theo bề rộng dải) được nội

suy theo đa thức bậc 3 Khi ấy,

(2.15)

{ }a)]

x(P[

aaaa

xxx1

xaxaxaa)x(f

m

3 2 1 0 3 2

3 3 2 2 1

o m

+

=

và fm(x) phải thoả mãn các điều kiện biên hình học sau:

[ ]A{ }a a

a a a

b b

b b b w

w

jm jm im im

3

3 2

3 2 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

θθ

m

w w

b b

b b b A

a

θ

θδ

1

3

3 2 1

32101

0010

0001

][

0010

0001

b b

b b b A

3

2 2

1

121

2

13

23

00

10

00

01

b b b

b

b b

b b

A

Thế (2.17) và (2.15) ta được

{ }

jm jm im im jm jm im im jm jm im im

m m

m

N w

w N N N N

w w

b b b

b

b b

b b

x x x

w w

b b

b b b x

P a x P x f

δθ

θθθθθ

][

121

2

13

23

00

10

00

01

1

32101

0010

0001)]

([)]

([)(

4 3 2 1

2 3 2

3

2 2

3 2

1

3

3 2

w N N N N l

y m x f y

x

W

jm jm im

im r

m m

r m

πθ

θπ

sinsin

)()

N w x N x

N w x

r m

πθ

)()

1 )

3 2

2 1

b

x b

x x

(2.20)

; 2

)

3 2 2

b

x b

x x x

; 2 3

)

3 2

2 3

b

x b

x x

3 2

4 ( )

b

x b

x x

l

y m w

w N N N N l

y m x f y

x

r m jm

jm im

im r

m m

r

m

πδ

πθ

θπ

sin ]

[ sin

sin ) ( )

,

(

1 4

3 2 1 1

2.3.2 Thế năng biến dạng đàn hồi dải chịu uốn

Các giả thuyết lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff [3]:

1 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian tấm vẫn còn thẳng và vuông góc

với mặt trung bình khi chịu uốn

2 Khi tấm chịu uốn, mặt trung bình không bị kéo hay trượt

3 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Trên cơ sở giả thuyết trên, xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc mặt phẳng

tấm với hệ trục toạ độ XYZ sao cho mặt phẳng toạ độ XY trùng với mặt trung gian

tấm Các thành phần chuyển vị u, v của tấm được biểu diễn theo các góc xoay của mặt

trung gian

y

w z z

Trong đó: w = w(x,y) là hàm độ võng theo phương z

Các thành phần biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm:

x

x

w z x

y

w z y

w z y

v x

D

D D

D D

D

D D

D D D

xy y x

xy y x

xy y x

xy y x

2 2 2 2 2

1 1 1

1

2

0 0

0 0

0 0

0

0 ]

[

γε

εε

τσ

D

D D

D D D

0 0

0

0

1 1

;)1

(12

3

y x

x x

t E D

υυ

−

=

; ) 1

( 12

3

y x

y y

t E D

υυ

−

=

12

;)1

(12)1

(123

3 3

1

Gt D

t E t

E D

xy

y x

y y y

x

x x

υυ

υυ

Các thành phần nội lực (là hợp lực của ứng suất) tương ứng:

∫

−

=

2 /

2 /

t t x

2 /

t t y

2 /

t t xy

b xy

y x

xy y

x

B D k D

y x w y w x w

D

D D

D D

M M

M M

1 2

2 2 2 2

1

1

] [

2

0 0

τ+εσ+εσ

=εσ

=

l

0 b

0

2 t

2 t

xy xy y y x x v

vol x

2

1d2

1U

=

∂

∂

∂ +

w M y

w M x

w

l b x

2 2

{ } dxdy { }{ }M k dxdy

y x w y w x w

M M M

l b

l b

xy y

2 1 2

2 1

m

l

y m N

y x w y w x w

k

1 1

2 2 2 2 2

sin

2

δδ

π

b xy

y x

xy y

x

B D

k D

y x w y w x w

D

D D

D D

M M

M M

1 2

2 2 2 2

1

1

] [

2

0 0

−+

−

−+

−

−

+

−+

' 2 '

2 '

"

2

"

3 2

2 2

)23(2)66(

2)

341(2)

66(

2

)(

)23()

21()

231

(

)13(

2)

21(

6)

32(

2)

21(6

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m

Y x x Y

x x b Y x x Y

x x b

Y x x x Y

x x Y

x x x Y x x

Y x b Y x b

Y x b

Y x b

Khi ấy thế năng của hệ được viết lại dưới dạng sau:

{ }{ }M k dxdy D [ ]B { } [ ]B { } dxdy d

U

l b r

m

n n r

m

T m T m t

l b v

vol x

12

12

{ } l b[ ]T [ ]n { }n

m r

m

r n

y m l

y m l

y m

2 cos

cos sin

sin

n m nếu

0 n m nếu

ππ

] [ 2

1

(2.30)

Nếu hệ chịu tải phân bố thì công ngoại lực được viết như sau:

l

y m y x q N dxdy

w y x q W

l b T r

m m

0 0

sin ) , ( )

,

2.3.3 Ma trận độ cứng và Vector tải phần tử dải

Theo (2.30) và (2.31), thế năng toàn phần của phần tử dải được biểu diễn theo

công thức sau

{ } [ ] { } r { } { }m

m m r

m

m m

=Π

1 1

2

Trong đó: [k]m (kích thước 4x4) là ma trận độ cứng; {P}m (kích thước 4x1) là

vector tải trọng

[k] [ ]B D [ ]B dxdy

l b

m

T m

m =∫∫

0 0

][

l

y m y x q N P

l b T

m =∫∫

0 0

sin ) ,

a Ma trận độ cứng của dải

Ma trận độ cứng [k] được viết dưới dạng tường minh như sau

24 23 22

14 13 12 11

k sym

k k

k k k

k k k k k

k

k k

K

b jj b ji

b ij b ii m

.

; 30

15 280

; 3 5

3 5

420 11

; 6 5

6 5

12 70

13

; 30

15 280

];

3 10

5 840

13 [

; 2 15

2 15

4 210

];

3 10

5 840

13 [

; 6 5

6 5

12 140

9

; 3 5

3 5

420 11

; 5

5 70

1 2 2

4 3 24

44

2 1 2 2

4 2 12

43 34

3 1 2 2

4 11

33

1 2 2

4 3 42

24

3 1 2 2

4 32

23

1 2 2

4 3 22

3 1 2 2

4 41

14

3 1 2 2

4 31

13

2 1 2 2

4 2 21

12

3 1 2 2

4 11

6 6

12 13

l

m k

D b

l D k

lb D k

lb D k

lb k

k

D b

l D k

l D k

l D k

lb k

k k

D b

l D k b

l D k b

l D k

lb k k

D b

l D k

lb D k

lb D k

lb k

k

D b

l D k

l D k

l D k

lb k

k

D b

l D k

lb D

k

lb D k

lb k

D b

l D k

l D k

l D k

lb k

k

D b

l D k b

l D k b

l D k

lb k

k

D b

l D k

l D k

l D k

lb k

k

D b D k b D k b D k k

m

x m

xy m y

m

x m

xy m y m

x m

xy m y

m

x m

xy m y

m

x m

xy m y m

x m

xy m y

m

x m

xy m y m

x m

xy m y

m

x m

xy m y

m

x m

xy m y

=

=

+ +

+

=

=

+ +

+

=

Với

l l

l lb

b Vector tải trọng của dải

b.1 Dải chịu tải tập trung P o tại (x o , y o )

4 3 2 1

sin ) (

) (

) (

) (

y k P x N

x N

x N

x N

M Z M Z

jm jm im im m

{ }

π

m

l Q

b b b b

M Z M Z

jm jm im im

12 2 12 2

1

;

432

43

22

2

2 1

1 2

2

4 3 3 4 2 3

2

4 3 3 4 2 3

y k y

k k

C x x

C Q

b

x b x b

x b x

b

x b

x x

b

x b

x x

M Z M Z P

m m

m m n n

m o jm

jm im im m

(2.35)

2.3.4 Ghép nối và thiết lập phương trình cân bằng tổng thể

Khi xét cho toàn kết cấu, năng lượng biến dạng cũng như công do ngoại lực bằng

tổng của các dải thành phần Ta có:

{ } [ ]Im{ }Im

1

Im 1

P W

r m S I

Trong đó S là tổng số dải thành phần, I là dải thứ i trong tổng số dải S, và chỉ số

t đại diện cho toàn kết cấu Thay đổi thứ tự của các thành phần trong công thức trên, ta

được

{ } [ ]Im{ }Im

1

Im 1

{ } { }Im

1 Im 1

P W

S I r m

Ma trận độ cứng của dải thứ I là [k]Im và vector tải {P}Im trong hệ toạ độ tổng

thể theo hình ảnh minh hoạ sau

T tm S

I T r

m

U

1 Im

Im 1

Im

12

{ } { } r { } { }tm

m tm S

I r m

Im 1

δ

Trong đó [K]tm và {P}tm lần lượt là ma trận độ cứng và vector tải tổng thể

Ma trận độ cứng dải có tính đối xứng nên ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu

cũng có tính đối xứng Năng lượng biến dạng là không âm, và ma trận độ cứng tổng

thể là xác định dương Tổng thế năng của hệ được viết như sau:

{ } [ ] { } r { } { }tm

m tm r

m

tm tm

T tm t

=Π

1 1

2

Để năng lượng của hệ là cực tiểu thì đạo hàm bậc nhất theo các biến số (bậc tự

do của hệ) phải bằng không,

',1

;0

0

N i d

d dw d

im

im

=

=Π

=Π

θ

Trong đó N’ là tổng số dải đường nút ( N’= S + 1)

hay ta viết ở dạng rút gọn hơn

m

l

y m N

y x w y w x w

k

1 1

2 2 2 2 2

sin

2

δδ

−

−+

−

−

+

−+

' 2 '

2 '

"

2

"

3 2

2 2

)23(2)66(

2)

341(2)

66(2

)(

)23()

21()

231(

)13(

2)

21(

6)

32(

2)

21(6

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m

Y x x Y

x x b Y x x Y

x x b

Y x x x Y

x x Y

x x x Y x x

Y x b Y x b

Y x b

Y x b

t xy

y

x

B D

k D

y x w y w x w

D M

M

M M

1 2

2 2 2 2

][

22

100

01

01

δυ

m

r n

1

{ } [ ]N q x y Y y dxdy dxdy

w y x q W

l b

m T

r m m

0 0

) ( ) , ( )

δ ; { }P [ ]N q x y Y y dxdy (2.48)

l b

m T

m =∫∫

0 0

) ( ) , (

Sau khi cực tiểu thế năng toàn phần hệ, ta được phương trình cân bằng:

2.3.5 Dải hữu hạn với điều kiện biên tổng quát

2.3.5.1 Hàm chuyển vị

Trong trường hợp điều kiện biên tổng quát, hàm chuyển vị mô tả chuyển vị của

dải chịu uốn có dạng sau

r

m

m

m x Y y N Y y f

y x w

1 1

)()

()()

,

Trong đó [N] là ma trận các hàm dạng của x, và Ym(y) chuỗi hàm lượng giác

thoả mãn các điều kiện biên hình học

Một phương pháp chung nhất của việc tìm nghiệm Y(y) là giải phương trình dao

động dầm giản đơn

y dy

Y

4

4μ

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng sau

)cosh(

)sinh(

)cos(

)sin(

)

a Cả hai đầu tựa đơn:Y(0) = Y’’(0) = 0 và Y(l) = Y’’(l) = 0;

Ym(y) = sin(μmy); với μm =

)sinh(

)sin(

)

Y m = μm + μm −αm μm − μm

)cosh(

)cos(

)sinh(

)sin(

l l

l l

m m

m m

μμ

α

−

−

=Hệ số μml là nghiệm của phương trình 1- cos(μml) cosh(μml) = 0, và giá trị μml =

(m + 0.5)π

c Một đầu ngàm, một gối tựa đơn: Y(0) = Y’’(0) = 0 và Y(l) = Y’(l) = 0

)sinh(

)sin(

)

Y m = μm −αm μm

)sinh(

)sin(

l

l m

)cosh(

)cos(

)sinh(

)sin(

l l

l l

m m

m m

μμ

α

−

−

=Hệ số μm (m≥ 3 ) bằng với μm-2 trong trường hợp 2

e Một đầu ngàm, một đầu tự do: Y(0) = Y’(0) = 0 và Y’’(l) = Y’’’(l) = 0

)]

cosh(

)[cos(

)sinh(

)sin(

)

)cosh(

)cos(

)sinh(

)sin(

l l

l l

m m

m m

μμ

)sin(

)

)sinh(

)sin(

l

l m

μ

Hệ số μm (m≥ 2 ) bằng với μm-1 trong trường hợp 3

Người ta chứng minh được rằng:

l

n m

n m y

Y y Y

n m y

Y y Y

0

'' '' 0

; 0 ) ( ) (

; 0 ) ( ) (

mn =∫∫

0 0

][

r T T

dv B B B D B B

B] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] ]

ol dv

B D B B

D B B

D B

B D B B

D B B

D B

B D B B

D B B

D B

vol

tr T

tr t

T tr t

T tr

tr T

t t

T t t

T t

tr t

t t

t t

[][

]][

[][]

][

[][

]][

[]

.]][

[]]

][

[]

]][

[][

]][

[][]

][

[][

2 1

2 22

2 1

2

1 2

1 1

1

T T

2520 b DxI1-462b 3 D 1 I 2 -42b 3 D1I322b 5 D y I 4 168b 3 DxyI5

-5040 DxI1504b 2 D 1 I 2 504b 2 D1I354b 4 D y I 4 -2016b 2 DxyI5

2520 b DxI1-42b 3 D 1 I 2 -42b 3 D1I3-13b 5 D y I 4 168b 3 DxyI5

2520 b DxI1-462b 3 D 1 I 2 -42b 3 D1I322b 5 D y I 4 168b 3 DxyI5

1680 b 2 DxI1-56b 4 D 1 I 2 -56b 4 D1I34b 6 D y I 4 224b 4 DxyI5

-2520 b DxI142b 3 D 1 I 2 42b 3 D1I313b 5 D y I 4 -168b 3 DxyI5

840 b 2 DxI114b 4 D 1 I 2 14b 4 D1I3-3b 6 D y I 4 -56b 4 DxyI5-5040 D x I 1

504b 2 D1I2 504b 2 D 1 I 3 54b 4 DyI4 -2016b 2 D xy I 5

-2520 b D x I 1 42b 3 D1I2 42b 3 D 1 I 3 13b 5 DyI4 -168b 3 D xy I 5

5040 D x I 1 -504b 2 D1I2 -504b 2 D 1 I 3 156b 4 DyI4 2016b 2 D xy I 5

-2520 b D x I 1 462b 3 D1I2 42b 3 D 1 I 3 -22b 5 DyI4 -168b 3 D xy I 5

2520 b DxI1-42b 3 D 1 I 2 -42b 3 D1I3-13b 5 D y I 4 168b 3 DxyI5

840 b 2 DxI114b 4 D 1 I 2 14b 4 D1I3-3b 6 D y I 4 -56b 4 DxyI5

-2520 b DxI1462b 3 D 1 I 2 42b 3 D1I3-22b 5 D y I 4 -168b 3 DxyI5

1680 b 2 DxI1-56b 4 D 1 I 2 -56b 4 D1I34b 6 D y I 4 224b 4 DxyI5

Trong đó: I Y Y dy I Y Y dy I Y Y dy I Y Y dy I Y Y n dy

l m n

l m n

l m n

l m n

l m

' 0

' 5 '' 0

'' 4 ''

0 3 0

'' 2 0

2.4 FSM với bài toán biến dạng phẳng

2.4.1 Hàm chuyển vị dải

Cho một bản chịu tác dụng của lực nằm trong mặt phẳng, bỏ qua thành phần

ứng suất theo phương đứng, mặt phẳng trung gian vẫn giữ nguyên sau khi biến dạng

Dựa theo lý thuyết cổ điển (Timoshenco và Goodier, 1970), mối quan hệ giữa chuyển

vị và biến dạng được biểu diễn theo công thức sau

xy y x

γε

ε

Trong đó u, v là các chuyển vị đại diện của tấm theo phương x và phương y

Mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng được xác định theo công thức sau:

γεε

υυυ

υυ

υτ

σ

σ

xy y x

xy y x

y y y

x x x

y x xy

y

x

D E

E E

E E

( 0 0

0 0 1

Trong đó [Dp] ma trận tính đàn hồi hệ làm việc trạng thái biến dạng phẳng

Đối với bản chữ nhật hai đầu là các gối tựa giản đơn, khi ấy điều kiện biện là

u = 0 và σy = 0 tại vị trí y = 0 và y = L Trong trường hợp này, ta sử dụng dải làm việc trạng thái biến dạng phẳng để

giải bài toán Chuyển vị taị một điểm bất kỳ thuộc dải được biểu diễn qua

+ + +

m n n

y k x

d x

d d

y k x c x

c c v

u

1 0

cos )

(

sin )

Trong đó km = mπ/l và c0, c1,…cn; d0, d1,… , dn là các hệ số chưa biết

Trình tự thực hiện như dải chịu uốn, các hệ số trên được biểu diển thông qua

chuyển vị của hai đường nút của dải

m m jm

jm im im

m m

m m

N v

u v u

y k x y

k x

y k x y

k x v

u

0 sin

0 sin

) 1

v u v

u

δ

2.4.2 Ma trận độ cứng và Vector tải của dải

Năng lượng chịu uốn của kết cấu làm việc ở trạng thái biến dạng phẳng

(Timoshenko và Goodier, 1970)

{ } { }dxdy t

dxdy

t dA

t U

T

l b

l b

xy xy y y x x area

x x

σε

γτεσεσε

2 2

1

δγ

ε

εε

p xy

y

x

B D D

1δε

τσ

σσ

Trong đó [B] là ma trận tính ứng suất

k b y

k k x

y k k x

y k x y k k x

y k b B

m m

m m

m m m

m m m

m

cos0

cos

1cos

)1(

sin)

00

sinsin

)1(

0

0

sin1

(2.64)