Giải tích Fourier hữu hạn khóa luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô

trong tô Giải Tích và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua để em có thê hoàn thành khóa luận

Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng

nhưng những vấn đề em trình bay trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo,

cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có

thể hoản thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian qua, đưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier

Hữu Hạn” không trùng với bất kì khóa luận tốt nghiệp nào khác

Nêu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xuân

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

MỤC LỤC

MO DAU

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Cấu trúc

NỘI DUNG

CHUONG 1: MOT SO KIEN THỨC CHUAN BỊ

1.1 Chuỗi FOurier 22222 22221111111115555551115555 551111 xeE 3 1.1.1 Định nghĩa - cà Sa 3 1.1.2.Sự hội fỤ CS n nh nhe 4

CHUONG 2: CHUOI FOURIER HUU HAN

2.1 Chudi Fourier trên (N) bee eeeedeeeeeenea tenses ea eeneseneaeeeenes 28 2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier - 2c <<<< 52 29 2.1.2 Công thức Fourler ngược - 30

2.1.3 Biến đổi Fourier nhanh - 22s 222x< 31 2.2 Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn 32

2.2.1 Đặc trưng HH nh nh se 32

2.2.2 Các quan hệ trực g1ao - «+ 33

2.2.3 Các đặc trưng như là một hệ đầy đủ 35

2.3 Chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn tổng quát - 38 2.3.1 Định nghĩa - che 38 2.3.2 Công thức ngược -c-c << se 38 2.3.3 Đẳng thức Plancherel s32 222 xs22 39

2.4 Một số bài tẬp 0002011111 n ng re na 39

Kết luận chung TT 2222221111111 1111222222111 1 11c re 46

Tài liệu tham khảo -. -<c<<<<<<<c + 47

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về biến đổi Fourier là một vấn đề lí thú của toán học, có rất

nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho nghiên cứu rất nhiều van dé

Trong quá trình học tập một số môn học và bài giảng chuyên đề em đã

được tiếp thu rất nhiều kiến thức về chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel,

đẳng thức Parseval, tích phân Fourier Những kiến thức đó đã tạo cho em niềm say mê, hứng thú với môn toán, đặc biệt là ngành Giải Tích Hơn nữa

em muốn có thêm kiến thức về chuỗi Fourier và biến đôi Fourier

Chính vì lí do trên em đã chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Bùi Kiên Cường đẻ nghiên cứu làm

khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy

logic, đặc thù môn học

Khắc sâu, tìm hiểu những kiến thức về Giải tích Fourier hữu hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn

Bước đầu tìm hiểu về chuỗi Fourier hữu hạn

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng: Chuỗi Fourier và các nhóm hữu hạn

+) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp đánh giá tông hợp

Phương pháp so sánh, phân tích

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận còn gồm hai chương là:

+) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

+) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn

Chương I: trình bày các vấn đề cơ bản về chuỗi Fourier trong trường hợp tổng quát và một số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm (N )

Chương 2: trình bày về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn

Từ đó, ta thấy được sự giống và khác nhau trong hai trường hợp

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.1 CHUOI FOURIER

1.1.1 Dinh nghia

Voi ham fel’ [-z, Z] f kha tích Lesbesgue trên [-z, Z] ta định nghĩa

chuôi Fourier của ƒ là chuỗi hàm lượng giác như sau:

(1.1) ot + (a, cosnx + b, sinnx)

và lưu ý rằng kí hiệu “ ~” không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi

trên, đơn giản nó chỉ mối liên hệ (1.1) — (1.2) mà thôi Nếu ƒ là hàm tuần

hoàn chu kì 2Z, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của ƒ tương tự như trên, trong đó các hệ số a,, ö, được tính trên một đoạn tùy ý [a, a+2z] Néu f n?

là hàm tuần hoàn chu kì 2/, bằng phép đổi biến =, ta đưa về trường

hợp tuần hoàn chu kì 2Z

Nếu V(ƒ) hữu hạn thì ta nói hàm ƒ có biến phân bị chặn

Bồ đề ( Tích phân Dirichle) Cho ƒ là hàm số thực hoặc phức xác định

trên khoảng (a, b) và thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet dưới đây:

() Tôn tại các giá trị f(a’) f(b) và ƒ có biến phân bị chặn trên [4 b| ( ta coi hàm ƒ xác định trên [a, b| với giá trị biên

f(a) = f(a’) và f(b) = f(b)

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

(i)_ Có hữu hạn điểm thuộc [a b| sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì ƒ có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của [a, bị, hơn nữa ƒ e L{a, b)

Khi đó:

a) Nếu 0<a<b thì lim | f(x)" ax = 0

a x How

b) Néu a= 0, a<b, ton tai /(0) và ƒ có biến phân bị chặn trên

>0 X

0, 5]c [a, b| với ổ >0 đủ lim [ /(x) 9x = Z/(6') } 2

Định li 1.1 Cho fe L[-2,2] Nếu ƒ thỏa mãn điều kiện Dirichlet

trong (—z Z) thì chuỗi Fourier của ƒ sẽ hội tụ về f(x) tại các điểm xe(-a, Z) mà tại đó hàm ƒ liên tục, hội tụ về sv) +/(x)] nếu

x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về si") +/(Z)] tại x=+Z nếu các giới hạn #(-z) và f(z) ton tai

Chứng mình

Đặt

S, (x) = + Sa, coskx + ö, sin ky)

17 [1+ 2(cos x'cos x + sin x’ sin x)

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

Với xe (—Zz, z) cô định, ta có các hàm theo biến ø là ƒ(x + 2ø) ( theo

biển @ ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng

Ũ =¬] và É z 3 *) Do đó, nếu #(x) và f(x) tồn tại, theo bổ đề

£ +—|[f( ƒ(2x - z)

0

trong đó, ta đổi biến x’ = z - ø ở tích phân thứ hai, áp dụng bổ đề về tích

phan Dirichlet, ta suy ra:

limS, ( = Z()+/(-z)]

e Với x=— Z, chứng minh tương tự Ta cũng có

voi F va G là các hàm bị chặn, không âm, don diéu tang Ngoai ra, F va

G lién tục tại các điểm mà ƒ liên tục

Đề chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số £ > 0 bất kì, ta sẽ tìm được số n, e N sao cho voi mỗi „ > ø„, bất đẳng thức

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x' = x + 2a trong tích phân thứ hai

và tính tuần hoàn chu kì 2z của f trong tích phân thứ ba

Do ƒ = Ƒ - G, tách cận tích phân và biến đổi ta được

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên về phải của (1.4) Ta có

ĩ sin(2n +1) da= i( +2 cos ka da= z

=~ [F(x + 2u) - F(x) sina penne ag

6 day p<r<q; ( tính toán trực tiếp ta có bất đẳng thức sau cùng) Áp

dụng điều nay vao (1.8) va chu y rang sin €' > sin yz, suy ra:

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

Ta cũng có kết quá đánh giá hoàn toàn tương tự cho các số hạng còn lại bên

về phải của (1.4), từ đó suy ra

cách chon nay không phụ thuộc vào x [a bị

Vậy định lí đã được chứng minh

1.1.4 Sự hội tụ trong = /(—z, z)

ƒÏ khả

° L(-a, 7) là không gian các hàm f xac định trên (-2, 7),

tich Lebesgue trên (—Z, Z)

L(-a, 2) ={ f xác định trên [-z, z] sao cho ƒ I/0)Ï dt < +o}

Chuẩn tương ứng với tích vô hướng là: | ƒ | = Jf f)-

Bắt đẳng thirc Schwarzt Với mọi f, g € L(-a, 1) ta co

Cho ham f e 7, với hệ trực chuẩn {ø, } ta đặt

với hệ trực chuẩn { Q, } Khi đó

Định nghĩa: Hệ trực chuẩn { Ợ, } được gọi là đầy đủ trong 7 nghĩa là:

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

Le = j6)

_#

Định lí 1.3 ( Parsewal) Trong l?(—z, 2) hệ vecto:

{ 1 Te Ue để hy dế nh cosx sinx cosmx sinnx }

là cơ sở trực chuẩn Hơn nữa với bắt kì hàm feL (—z 7) ta co

(1.10) f(x) = 3 + Š (a, cosnx + b, sin nx)

trên hai đoạn [-z —Z+ đ] và [x —Ổ, z] Suy ra ø cũng bị chặn bởi Ä⁄

và| ƒ — g| < 2M Ngoài ra, ta xem ø như hàm tuần hoàn chu ki 2Z và

liên tục trên , nên ta có một đa thức lượng giác (tổng Fejer — Cesaro của g) o, thoa man:

Như vậy hệ đã cho là một cơ sở trực chuẩn

Định lí 1.4 Chuỗi Fourier của hàm ƒ e [-z Z] sẽ hội tụ trung bình về hàm ƒ theo nghĩa:

lim J [1(s) — ($ +¥ (a, coskx + b, sinks) dx=0

1.1.5 Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval

Cho fe L’[-z, 7], ta đã biết hệ [(2z) ”e"*Ì — là một hệ trực

chuẩn đầy đủ trong không gian /[—z, Z] Đặt

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

jinx

là hội tụ và giá trị hội tụ cũng được kí hiệu là Yc, TE

Trong trường hợp chuỗi Fourier của ƒ (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)

hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau:

Cho tập hợp X # ©, (.) là một phép toán hai ngôi trên X, (X,.) là một

nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

() Tính kết hợp: Vx, y,z e X: (x.y ).z= x.( y.z)

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

(i) Phần tử đơn vị: lee X,VxeX:e.x=x.e=x;

Cấp của một nhóm X, kí hiệu |X „ là số phần tử của X nếu X có hữu hạn

phần tử, bằng vô cùng nếu X có vô hạn các phần tử

+) X là nhóm hữu hạn nếu | X | là hữu hạn

1.2.3 Nhém_ (NV)

Cho X là một số nguyên dương Một số phức z là cin bac N ctia don vi nếu zŸ= 1 Tập hợp các căn bậc M của đơn vị là:

{ em

Thật vậy, giả sử rằng zŸ = I với z = re” Thì chúng ta phải có rŸ e*“=],

và lấy giá trị tuyệt đối r=l Do đó e*”=I và điều này chỉ ra rằng

NØ=2zk, ở đây ke Vì vậy nêu ý = e”“*thì chúng ta tìm được đ” là nhóm đầy đủ tất cả các căn bậc W của đơn vị Tuy nhiên, chú ý rằng

€Ý =1, do đó nếu ø và múm khác nhau bởi một bội số nguyên của X thì

¢" = €" Trong thực tế dé dang thay:

C" = €", néu va chi néu n — m chia hét cho N

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các căn bậc M của đơn vị bởi (N)

Chú ý rằng tập hợp (N) thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Néuz,@e (N) thizwe (N) và z@=øz

(ii) le (N)

(ii Nếu ze (N), thi ziel/ze (N) va lu6n c6 zz" =1

Suy ra (V)là một nhóm Aben với phép nhân các số phức

Định nghĩa: Nhóm (N) là tập hợp tất cả các căn bậc N của đơn vị trên đường tròn

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

Chú ý: Từ £" = C”, với m và n khác nhau bởi một bội số nguyên của N

ta thấy việc lựa chọn lũy thừa với số mũ nguyên của £ để xác định các căn

của đơn vị không phải là duy nhất Thực tế, ta có thể lựa chọn các số

nguyên thỏa mãn 0 < ” < N-1

Sự lựa chọn này là hoàn toàn hợp lí trong các số hạng của tập hợp,

chúng ta hỏi rằng điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta nhân các căn của đơn vị Rõ ràng chúng ta phải cộng các số mũ một cách tuong tmg.Tir do 6" 6" = 6""" nhưng không có gì chắc chắn rằng 0 < ø + m < N —I Trong thực tế, nếu

€°é" =£',0<k<N-—I thì n+ m và k khác nhau bởi một bội số nguyên của W Để tìm được số nguyên trong [0 N- 1] tương ứng với tìm căn của đơn vị C" {” Chúng ta nhìn thấy rằng sau khi cộng các số nguyên ø và m chúng ta quy về modun X, để mà tìm được duy nhất số nguyên

0<k<N-I thỏa mãn (n + m) - & là một bội số nguyên của N Một cơ

sở tương đương để tiến tới vô cùng là sự kết hợp mỗi căn của đơn vị w với một lớp tương đương của ø để mà đ” = œ Để cộng hai lớp này, chọn bắt

kì một số nguyên trong mỗi nhóm của chúng, ta lấy lần lượt là n va m , va

xác định tổng của hai lớp này là lớp với số mũ là số nguyên mò + ø

Chúng ta hình thức hóa các khái niệm trên Hai số nguyên x, y cùng modun X nếu hiệu x-— y chia hết cho W, và chúng ta viết x= y mod N

Nói một cách khác, điều này nghĩa là x và y khác nhau bởi một bội số

nguyên của W Dễ dàng kiêm tra được ba tích chất dưới đây:

e x=x mod N, voi moi số nguyên x

e Nếu x= y mod N, thì y= x mod N

e Nếu x= y mod N và „=z mod, thì x=z mod N

Các tính chất trên là một quan hệ tương đương trên Lấy R(x) ki hiéu cho lớp tương đương hoặc lớp thặng dư các số nguyên x Bất kì số nguyên nào có công thức x+ #W với ke là một phần tử ( hoặc đại điện) của R(x) Trong thực tế có đúng M lớp tương đương, mỗi lớp có duy nhất một đại diện nằm giữa 0 và W —1 Bây giờ chúng ta có thể cộng các lớp tương đương bằng định nghĩa sau:

R(x) + R(y) = R(x + y)

Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện x và y bởi vì

nếu x'e#(x) và y'eR(y) thì dé dang kiểm tra được rằng x'+y'eR(x+ y) Tập hợp các lớp tương đương trở thành một nhóm Aben được gọi là nhóm các số nguyên modun W, cái mà thường được kí hiệu là /MN Sự liên hệ

R(k) © c2

cho một tương ứng giữa hai nhóm Aben /N_ và (N ) Từ đó, các phép toán được lưu tâm, trong ánh xạ chỉ ra rằng phép cộng các số nguyên modun X trở thành phép nhân của các số phức Chúng ta sẽ kí hiệu nhóm các số nguyên modun W bởi () Chú ý rằng0e /NW_ tương ứng với

1 nằm trên đường tròn đơn vị

Cho và W lần lượt kí hiệu cho không gian vecto của các hàm có giá trị phức trên nhóm các số nguyên modun và nhóm các căn bậc M của đơn vị Khi đó, tương ứng cho ở trên được mở rộng từ ƒ vào W như sau:

F(k) @ f(e’)