Luận văn bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng” được hoàn thàn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Tiến Ngoạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Nguyễn Ngọc Hưng

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với

sự trân trọng và biết ơn

Nguyễn Ngọc Hưng

Bài toán Cauchy

Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc

Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát

Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc

Bài toán Cauchy chính tắc

Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng

Chương 2.

1 8

18

2 0 2 0

2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với hệ số hằng đã được các nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn nghiệm trong trường hợp số chiều không gian N là 1,2,3 bởi các công thức D’Alembert, Poisson và Kirchoff tương ứng Kết quả này đầu tiên được mở rộng cho trường hợp N là số chẵn, sau đó bằng phương pháp hạ bậc kết quả đã được thiết lập cho trường hợp số chiều N bất kỳ

Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng Với mong muốn được nghiên cứu về vấn

đề này tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng".

Bố cục của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trình bày khái niệm sóng phẳng và một số tính chất Phát biểu

và chứng minh công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng phẳng Ngoài ra luận văn nghiên cứu các tính chất của mặt đặc trưng đối với đa thức hyperbolic

Chương 2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát và bài toán Cauchy chính tắc Luận văn chỉ ra có thể đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc Trình bày lời giải của bài toán Cauchy chính tắc

với dữ kiện là sóng phẳng Biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt nghiệm đặc trưng, và áp dụng các kết quả thu được cho phương trình truyền sóng cổ điển.

Luận văn được trình bày trên cơ sở chương 2 của cuốn sách: "Fritz John (1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S , Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin"

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

9

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán

Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

• Các chữ cái X , Y , Z , X , Y , Z , ^ , R } , C sẽ đ ư ợ c thay thế cho các vectơ

( X Ị , , X N ) , ( Y X , , Y N ) , , ( ( Ị , , ( N ) trong không gian N

chiều, trong đó 71 > 2 Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến

vô hướng

n

• Tích vô hướng của vectơ у và ж được kí hiệu là Y X = Y I X Ị

i=1

• Độ dài ( X X ) Z của vectơ X là |xỊ

• Phần tử thể tích D X 1 , , D X N được viết tắt là D X , trong khi D S X được

kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không gian N chiều

• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong không gian X được kí hiệu là Í Ì X , phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là D U J X ,

• Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian N chiều là ( — ị 0 J N

\nj

1

• Các phép tính tích phân được thực hiện trên toàn bộ miền biến thiên của biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra.

• Chứng minh hoàn thành đ ư ợ c kí hiệu là □

Định nghĩa 1 1 Cho G ( S ) là một hàm liên tục của biến vô hướng S , vectơ Y

= ( Y I , , Y N ) ^ 0 được cố định thuộc không gian Rn Hàm số G ( Y X ) là một hàm theo biến X = ( X I , , X n) và nhận giá trị hằng số trên các siêu phẳng mà vectơ Y là pháp tuyến Hàm G ( Y X ) được gọi là một sóng phẳng

Định lý 1.1 Giả sửn > 2, g(s ) là một hầm liên tục củ ã biến vô hướng

s Ta có công thức

+1

J g(y.x)duj x = w n _i Ị (1 -p 2 ) , í ^g{\y\p)dp = U) n h(\y\) ( 1.1)

Chứng minh Ta tính tích phân của G (Y X ) trong toàn hình cầu có bán kính

R

với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các phần thiết diện vuông góc với y-hướng Trên mặt phẳng Y X = IY \ P mà có khoảng cách từ gốc là \ P \ , hàm G (X Y ) có giá trị G ( \ Y \ P ) Phần giao ( N — 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)

U! n _ 1 2

71—1

1

g (y.x)duj x = u n _ 1 J (l-p 2 )^g(\y\p)dp = uj n h(\y\).

Định lý 1.2 Cho g(s ) là hàm liên tục và giả sử к > 0 Khi đ( các

công thức sau

2^ Г _1 (*±ỉ)r(*±±)

2v^ _ 1r(^)r(s±i)

(1.3)

Chứng minh Với G ( S ) = C O N S T = 1 ta có H = 1, và từ (1.1)

ta suy ra công thức sau

Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng

2y/ĩfĩ

“ ” ' ĩ ( ĩ ĩđối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian N chiều Cho G ( S ) = E I S

ta được

1

h(s ) = U } n ~ 1 í (1 — p 2 )^ e i s p dp =

^n J -1

trong đó J„ là hàm Bessel với chỉ số V =

Với g(s) = |sỊfc và #(s) = Ịs|fclogỊs|, từ (-L1 ) ta nhận được các kết quả tương

□

1.3 Công thức biểu diễn hàm số

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

Định lý 1.3 Giả sử f(x) ỉầ một hàm thuộc lớp c\ vầ bằng khồng ngoầi

ỉầ toẩn tử Lãpỉace theo biến z.

Chứng minh Ta xét một hàm F ( X ) tùy ý thuộc lớp C Ị và bằng không ngoài

tập bị chặn nào đó Khi đó

/I |2 —n

(2 ĩi)UJ n

là một hàm của 2 : thuộc lớp Ơ2 , thỏa mãn phương trình vi phân Poisson

trong đó là Laplace đối với các biến Z I , , Z N

u

1

Với N = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng — log I Y — Z \

Bây giờ ta chọn N chẵn cho đồng nhất thức (1.4), N lẻ cho đồng nhấtthức (1.3), thay Y bằng Y — Z , nhân hai vế với F ( Y ) và lấy tích phân theo

Y

(ta vẫn giả thiết rằng / là thuộc lớp C ị và bằng không ngoài tập bị chặn nào đó) Ta chọn một số nguyên K không âm sao cho N + K là một số chẵn, và áp dụng toán tử A vào hai vế của đẳng thức cuối N ^ lần

=2 n+fc ~ 2 r (***) r (*y) r (f) ^ _

với N chẵn

Từ công thức (|1.3|), (|1.4Ị), (|1.11|) ta có(A.)

với N lẻ và K = 1,3, 5 ,

f(y) [(y - z).x] k log I (y - z).x I duj x \dy=- (2ĩri) n k\f(z)

với N chẵn và K = 0 , 2 , 4 , (cho cả N = 2 ), trong đó

Nhận xét 1.2 Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho N chẵn và N lẻ thành công thức sau

Công thức (1.8), (1.9) biểu diễn cho một nghiệm của bài toán thu được một hàm

F ( Z ) như một tổ hợp tuyến tính của “sóng phẳng” hàm của Z Các sóng phẳng ở đây có một trong hai dạng \ { Y — Z ) X Ỷ hoặc [ ( Y - Z ) X F log I ( Y - Z ) X

|.

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng

Định lý 1.4 Giả sử f(x) là một hầm thuộc lớp C\ vầ bằng không ngoài tập bị chặn nao đó Với X G R n , Ị;cỊ = 1 và p € K ía đặt

7

r 1 1

R

(1.1

2(2 ?ĨỈỴ 1 f(z) = (A z ) n z 1 J J(x,x.z)du) 2

íĩ*

với n

p= + oc

(2ĩri) n f(z) = (A z ) r ^ Ẵ Jduj x Ị d J ^ p )

íĩ*P = - 00

Chứng minh Theo công thức (1.15) J ( X , P ) = Sử dụngcông thức (1 8 ) cho N lẻ với K = 1 ta có

+ 00

— với K = 0 Ta chú ý ở đây đối với \ X \ = 1,

— Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính

Cauchy Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là

1.4 Hình học các siều mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

— Định nghĩa 1.3 (Đa thức hyperbolic chặt) Giả sử (77 , A) € Rn X R, khi

đó đa thức Q ( Ĩ ] , X ) được gọi là hyperbolic chặt đối với biến À nếu nó thỏa

mãn hai điều kiện sau

• Nó là hyperbolic đối với biến À

• Khi 77 7 ^ 0 thì phương trình (|1.19|) có M nghiệm thực theo A đôi một

1.4.2 Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất

— Định nghĩa 1.4 Giả sử Q ( R ] , A) là một đa thức hyperbolic chặt thuần nhất Khi đó tập hợp

— E = {(77, A) e M n X M; 77^ 0, Q ( r ] , A) = 0}

— được gọi là mặt đặc trưng

— Nhận xét 1.4 Ta thấy ( Ĩ ) , X ) ẽ s khi và chỉ khi

— Chứng minh Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặt

— phương trình đặc trưng (1 21 ) với 7 ] Ỷ 0 có đúng M nghiệm thực phân

— biệt X Ị , , Am Ta đánh số theo một dạng duy nhất sao cho

(1.26)

— Cho 77 là vectơ đơn vị, khi đó Àfc bị chặn đềudo

hệ số của Am trongliên tục vào các hệ số, và do (1.26)

đúng với mọi 77 trên Í L Q , nên Afc (77 ) là các hàm liên tục trên mặt cầu đơn vị

— với mọi Ĩ ] trên Q Q , thì không có Afc có thể bằng 0 Từ sự liên tục của

— Ằ K ( Ĩ ] ) suy ra rằng các số dương Àjfc là như nhau với mọi R J Theo (1.27) số

— dương Afc(77 ) bằng số âm Afc(—Ĩ ] ) Từ đó theo giả thiết (1.28) số dương

(1.2

□

(1.2

— và số âm X K là bằng nhau với mọi Ĩ ] Điều kiện (1.28) chỉ có thể được thỏa mãn với M chẵn.

— Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ số

A) là hyperbolic đối với biến A.

— Định nghĩa 2.2 Toán tử Q { D X , D Ị ) được gọi là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng T = 0 nếu đa thức

Q ( Ĩ 7 , A) là hyperbolic chặt đối với biến A

— Ví dụ 2.1 Toán tử thuần nhất cấp hai sau đây

— n

— Q(D X : Dị ) — cijkD X j D X k + 2 Dị bjD X j — Dị (2-4)

— theo Ví dụ 1.2 là đa thức hyperbolic chặt

2.2.1 Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc

— Bài toán 2.1 Bài toán Cauchy chính tắc bao gồm tìm nghiệm U của phương trình

2.2.2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát

— Bài toán 2 2 Bài toán Cauchy tổng quát bao gồm tìm nghiệm U của

— Hàm F I X ) trong (2.6) được giả thiết là triệt tiêu bên ngoài là một tập bị chặn và thuộc lớp C S trong đó S là đủ lớn (chẳng hạn S > 2 + M + N ) , C S

là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp S Nghiệm U của bài toán chính tắc

sẽ tồn tại duy nhất nếu toán tử L là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng T = 0

— Do mọi hàm F I X ) đều có thể phân tích qua sóng phẳng, nên trong Mục 2.3.1 dưới đây sẽ xét trường hợp khi dữ kiện ban đầu là sóng phẳng

2.3 Bài toán Cauchy chính tắc

2.3.1 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng

— Bài toán 2.3 Bài toán Cauchy đ ư ợ c xét ở đây bao gồm tìm nghiệm U

— của phương trình (2.5) với (x,t) Ễ R" X I, thỏa mãn các điều kiện ban đ ầ u v ớ i

t = 0 v à m ọ i x G l "

— D R U I 0với0 < r < m— 2

— *={ (2-9) ớt y — y).ry) với r = m — 1

— trong đó G ( S ) là hàm số một biến đủ trơn nào đó

— u = t 9 ( ( z - y ị y + h t )

— Chứng minh Phương trình của dạng (2.5) trong đó tất cả

các số hạng cùng cấp sẽ có các nghiệm tùy ý “dạng” của

sẽ là nghiệm của (2.5) thuộc lớp C M , nếu các đại lượng 77 và A thỏa mãn

phương trình đặc trưng sau đây

Q(rj, X) =

Giả sử \RJ\ = 1 và nghiệm của (2.11) được cho bởi X K = Ằ K (Ĩ]) Ta sẽ sử dụng

thường xuyên cho trường hợp đa thức Q( À) bậc M với nghiệm đơn X K và hệ số cao nhất bằng 1 đồng nhất thức sau

1 với 0 < Q < M — 2

2 với Q = M — 1,

trong đó c là một đường cong đóng trong mặt phẳng phức A chứa tất

cả các nghiệm X K Do G(S ) thuộc lớp Cm, nên suy ra hàm số

— Nhận xét 2 1 ở đây đã sử dụng giả thiết X K là thực và đôi một khác nhau Khi đó (77 ) là các hàm liên tục của 77 trên mặt cầu đơn vị, ta có

2.3.2 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là hàm bất kỳ

— Định lý 2.2 Giả sử f(y ) lầ một hàm khả vi liên tục tùy ý bằng không ngoài một tập bị chặn nào đó, khi đó

9 Ì

— là nghiệm của phương

Bây giờ giả sử F(X ) là thực sự thuộc lớp C N + Q Ta có thể viết V dưới dạng

v{x,t) = Ị f{y + x)Z(-y, t)dy

í=0

2.3.3 Nhân của toán tử nghiệmGiải sử N < M —M+ ( 1 Từ (2.17), (2.18) ta có 4(m — N —„m— 1 — (log 1)! (27ã) |sỊ + c)sign n_1 với N với N lẻ chẵn

— (M — 71 — Ĩ ) \

( 2 ĩ ĩ i y trong đó c là một hằng số nào đó Đặt

— Định lý 2.3 Giả sử n < m — 1, f(y) lầ hầm bất kỳ v à b ằ n g 0 ngoài tập bị chặn, K(x — y, ì) được xác định bởi (2.26) Khi đó nghiệm u(x, ì) của Bài toán 2.1 được biểu diễn bởi công thức sau

(2.27)

— Hàm số K ( X — Y , T ) được gọi là nhân của toán tử nghiệm

phân trên mặt nghiệm đặc trưng

-DS (2.28)

ỊgradQ(£, 1)Ị

E _

(-1 ) N N E T T m — n lo

d

|grandQ(£, 1)1

Định lý 2.4 Giả sử n < m — 1 vầ nhẫn K(x — y, t ) được cho bởi (|2.26|)

Khi đó ta có công thức biểu diễn K(x — y , t ) qua tích phẫn trên mặt đặc trưng như sau

vị F Ỉ V mà Q ( Ĩ ) , 0 ) = 0 tạo thành một đa tạp có số chiều thấp hơn và do

đó sự đóng góp của các điểm Ĩ 1

— với Àfc(77 ) = 0 có thể bỏ qua trong việc hình thành các tích phân (2.26) cho K

— Cho 77 thay đổi trên Í Ì V với (77 ) Ỷ 0, điểm

V

— biến thiên trên phần bị chặn của

tập của mặt nghiệm đặc trưng

— Q(£, 1) = 0 theo tọa độ không

| =

|«Г1

Шч,А*(

ч))|

—Đặt

—

—

= { x- y) £

+ t-

—Afc(

rç)

£<3í,K,i)&

E

—