Luận văn cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀNỘI 2 • • • • ĐỖ THI HỒNG THẮM CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN cục CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

NỘI 2

• • • •

ĐỖ THI HỒNG THẮM

CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN cục

CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIÊN BAN ĐẨU LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VÃN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chânthành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tácgiả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô đã tham giagiảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giảhọc tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ

Trong khi hoàn thiện luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Ánh xạ đa trị 5

1.2 Tập đóng, tập mở 6

1.3 Hàm lồi 8

1.4 Hàm liên tục Lipchitz 9

1.5 Liên hợp Fenchel 9

1.6 Công thức Hopf trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi 10

1.7 Kết luận 11

2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 13 2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 13

2.2 Một số ví dụ 17

2.3 Điều kiện biên 25

2.4 Nghiệm địa phương 30

3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục với dữ kiện ban đầu lồi 35 3.1 Hệ phương trình vi phân đặc trưng 36

3.2 Công thức dạng Hopf vàcác đặc trưng 37

3.3 Dải khả vi của nghiệm được xác định qua công thức dạng Hopf 45

||.|| Chuẩn trong không gian

dom/ Miền hữu hiệu của f

epi/ Trên đồ thị của f

ư x Lân cận mở của X

fịự Thu hẹp của f trên U x

\x\ Giá trị tuyệt đ ố i của X

/* Liên hợp Fenchel của f

Lip(O) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz

địa phương trên rỉ C k (U ) Tập hợp các hàm số khả

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi phânđạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đề hết sức cần thiếtcủa Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyếncấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạt các công trình của rất nhiều các nhàToán học trên thế giới, trong đó Phương trình Hamilton-Jacobi đã và đang đượcquan tâm nhiều

Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp

một có dạng như sau: ỡu

-7 + H(t, X, и, Du) = 0, t > о, X €

dt

ở đây H được gọi là Hamiltonian.

Những nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rất lâu, có

lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động Có nhiều phươngpháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương của phương trình này Định

lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong những định lý đầu tiên nói về sự tồn tại,duy nhất nghiệm địa phương với các dữ kiện được đặt ra là những hàm giảitích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lýthuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng đã góp phần làm phong phúlĩnh vực nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điển địaphương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu

Cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể và đầy đủ hơn.Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưa quan tâm đến vấn đềnghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệm một cách mềm dẻo (do bảnchất phi tuyến của phương trình Hamilton- Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục củabài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trongmột số lớp khá đặc biệt) Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của cácbài báo của E Hopf và J.D Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứunghiệm toàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và đượccác nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kết quả kinhđiển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng

Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệm nói chung bịhạn chế nghiêm ngặt Để đạt được sự tồn tại toàn cục cho nghiệm cổ điển đối vớibài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện ngặt đặt trên Hamiltonian và dữ kiệnban đầu Đây cũng là nguyên nhân thúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìmnghiệm toàn cục, nghĩa là tìm nghiệm trong toàn bộ miền đã cho Để nhận đượcđiều này chúng ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiếtphải giảm yêu cầu đó Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mở rộngkhái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz Theo Định lýRademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơitrong miền xác định của nó”, chúng ta thấy lớp hàm này là một lớp con không quárộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp các hàm khả vi, và từ đó gợi ý cho nhữngnghiên cứu về những lớp nghiệm suy rộng

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của

Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi đã chọn đề tài về:

Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của Bài toán Cauchy cho

phương trình Hamilton - Jacobi với dữ kiện ban đầu lồi "

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi vàxét tính chính quy của nghiệm toàn cục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàm riêngphi tuyến cấp 1

Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm của hệ phương trình vi phân đặc trưng

Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy chophương trình Hamilton-Jacobi khi dữ kiện ban đầu lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban

đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng

Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để nhậnđược một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy chophương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tả bởi côngthức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobitrong trường hợp dữ kiện ban đầu lồi

Ta nói rằng ánh xạ đa trị F là proper nếu tồn tại X £ Xsao cho F{x) ^ 0 Trong trường hợp này ta gọi tập con

dom(F ) := {a; € X\F(x ) Ỷ 0}

là miền hữu hiệu (miền xác định) của F.

Một ánh xạ đa trị được đặc trưng bởi một tập con của I x ĩ , gọi là GraphF (đồ

thị của F ) và xác định bởi

Graph(F) := {(x,y) : y € F(x),x e dom(F)}

Ánh xạ đa trị F : X —> Y được gọi là đóng nếu và chỉ nếuđồ thịcủa nó là đóng

Ánh xạ đa trị F : X —> Y được gọi là bị chặn địa phương nếu và

chỉ nếu tại mỗi X G X : có một lân cận V x của X trong X sao cho thu hẹp F |v của

F lên V x là bị chặn

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 2 [ 5 ] Ánh xạ đa trị F : X—> Y

tục trên tại X € dom(F ) nếu với mỗi ỉân cận 1Ầ của F{x), tồn tại một

số dương r sao cho

Mx' e B x {x,r) , F ự) С и trong đó Bx(x,r) ký hiệu hình cầu trong X với tâm X, bán kính r.

F được gọi là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm X € dom(F).

D ỉ =

tạim > 0 sao cho | | r r | | < m với mọi X € B.

Cho u c M n là một tập mở và giả sử f : u —> M n thuộc lớp c 1 , f = (/\

Hàm f được gọi là proper nếu domf Ф 0 và f(x) > — 00 với \/x G

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 2 [ 4 ] Hàm f được gọi ỉà hàm ỉồỉ (t.ư., đóng) nếu tập hợp epi là tập lồi (t.ưđóng) trong không gian R "x R ,

Đối với các hàm lồi, proper (chẳng hạn hàm lồi từ R71 vào R) tính lồi của nó tương đương với điều kiện:

f(Ằx + (1 - Л)y) < Лf{x) + (1 - Л)f{y) (1.1)

với Ух, у € К71 và Л G [о, 1]

Hàm / : —> к được gọi là lồi ngặt nếu trong bất đẳng thức (1.1),

khi X Ỷ y, dấu = xảy ra nếu л = 0 hoặc Л = 1.

Đ ị n h l ý 1 3 1 [ 4 ] Mọi hàm lồi xác định trên K n và chỉ nhận giá trị trong К đều liên tục.

Định nghĩa 1.3.3 [4] Hàm lồi, proper f được gọi là đối hữu hạn nếu

lim -r^rf- = +0 0.1ЫИ+00 llz/ll

Đ ị n h l ý 1 3 2 [ 4 ] Giả sử f ỉà hàm ỉồi, hữu hạn trên một tập lồi ;

mở С Khi đó, nếu f khả vi trên с thì f củng khả vi liên tục trên с.

1.4 Hàm liên tục Lipchitz

Đ ị n h n g h ĩ a 1 4 1 [ 4 ] Giả sử f là một hàm xác định trong một tập

X С M 7 1 Khi đó f được gọi là hàm Lipchitz (liên tục Lipchitz) trên X

nếu tồn tại một số thực к > 0 sao cho:

\f(x) - f{y)\ < K.\\x - y\\- \/x,yeX ( 1 2 )

К được gọi là hằng số Lipchitz của f trên X.

Dễ thấy điều kiện (1.2) suy ra / là hàm liên tục đều trong X.

Hàm / được gọi là Lipchitz địa phương trên X nếu với mỗi X e X tồn tại lân cận

mở U x của X sao cho thu hẹp f\ụ là Lipchitz trên U x

Đ ị n h l ý 1 4 1 ( Đ ị n h l ý R a d e m a c h e r ) [ 4 ] Một hàm liên tục Lipschitz địa phương thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó.

Cho / : —> К là một hàm lồi, hữu hạn, khi đó / liên tục đều và

hơn nữa liên tục Lipschitz trên mỗi tập con bị chặn của dom /

Đ ị n h l ý 1 4 2 [ 4 ] Cho / là hàm lồi, proper trên X Khi đó domf*

sẽ bị chặn khi và chỉ khi f hữu hạn và liên tục Lipschitz toàn cục trên X.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 5 1 [ 4 ] Cho hàm f :—> K ; ta định nghĩa hàm

1 0

f* : K n — » Ẽ như sau:

f*(y) := s u p {(у, X) - f(x)} , у e W 1 ( 1 3 )

IẼI"

và gọi f* là hàm liên hợp (hay liên hợp Fenchel) của hàm f.

Đ ị n h l ý 1 5 1 [ 4 ] Giả sử f : M n — * M là hàm lồi, proper và đóng Khỉ đó hàm liên hợp f* cũng là hàm lồi, proper và đóng Ngoài ra:

V a : e r , f(x) = f**(x):=sup{{x,y)-f*(y)} ( 1 4 )

y£R n

Với mọi hàm / :—> R, hàm liên hợp /* luôn luôn lồi và đóng.

Hơn nữa, khi / lồi, trong (1.3) (t.ư., (1.4)) sup được thay thế bằng max nếu y (t.ư.,

X ) là điểm trong của domf* (t.ư., domf ).

Đ ị n h l ý 1 5 2 [ 4 ] Giả sử f là một hàm lồi, đóng và xác định trên

M 7 1 Khi đó f* hữu hạn (và do đó domf* = khi và chỉ khi f đối hữu hạn.

Chúng ta xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi dạng:

u t + H(t,Du) = 0, (t,x) e Q = (0,T) X R n (1.5)

w(0, x ) = cr(x), ĩ G M " (1-6)

trong đó u = u(t,x ) là ẩn hàm, Haminltonian H và hàm dữ kiện ban đầu ơ được cho trước, Du = D x u = (u X l ĩ U X 2 1 u x )

a Trường hợp Hamiltonian chỉ phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm:[3]

Giả sử Hamiltonian H = H(p) là hàm liên tục và dữ kiện ban đầu ơ = ơ(x) là hàm lồi và liên tụcLipschitz trênkhi đó hàm u = u(t, X)

xấc định bởi công thức Hopf :

u(t : x) = m a x{(x,q) — ơ *(q) — tH(q) } ( 1 - 7 )

là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán (1.5)-(1.6)

b Trường hợp Hamiltonian phụ thuộc vào gradient của ẩn hàm và biến thời gian:[5]

Cho dữ kiện ban đầu ơ = ơ(x) ỉà hàm ỉồi trên Hamiltonian H €

ơ ( [ 0 ; T ] X M 7 1 ) Hơn nữa, với mỗi ( t 0 ,x 0 ) G [ 0 ; T ) X M 7 1 tồn tại số các hằng số dương r và N sao cho

(x,p) - ơ*(p) - í H(r,p)dT<max ị(x,q) - ơ*(q) - íH(T,q)dr\,

ở đây (t, x) € [0; T) X M 71 , 11 — t ữ \ + \ \x — 11 < r và IIpII > N Khi đó

hàm u = u(t,x) được xác định bởi công thức dạng Hopf-Lax

u(t, x) = m a x i (x, q) — ơ*(q) — / H(T,q)dr>,

là một nghiệm toàn cục Lipschitz của bài toán Cauchy (1.5)-(1.6).

1 2

Trong Chương này, tác giả đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi, hàmliên tục Lipschitz, khái niệm về liên hợp Fenchel và công thức Hopf - Lax chonghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình

Hamilton-Jacobi trong trường hợp dữ kiện ban đầu là hàm lồi Đây là những kiếnthức nhằm hỗ trợ cho các kết quả sẽ được trình bày trong các chương sau

Chương 2

Đặc trưng của phương trình đạo hàm

riêng phi tuyến cấp một

(Các kết quả trong Chương này được trích dẫn từ tài liệu [1])

Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

với điều kiện biên:

giả sử F, g là những hàm trơn.

Để nghiên cứu bài toán (2.1), (2.2) ta dùng phương pháp đặc trưng , đây là

phương pháp biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành một hệ phương trình viphân thường tương ứng Ý tưởng chủ yếu như sau

Giả sử U thỏa mãn (2.1), (2.2) và X là điểm cố định nào đó thuộc U Ta sẽ tìm một

đường cong nằm trong u nối X với x ữ E r Theo (2.2) ta có

и = g trên Г, vì thế ta biết giá trị của и tại điểm mút x ũ của đường

cong: u(x °) = g(x ữ ) Nếu и là hằng số dọc theo đườngcong, ta tìm được

giá trị của и tại X

Cách tìm phương trình vi phân thường đặc trưng

Giả sử đường cong được tham số hóa bởi hàm

x(s) = (x1(s),rr2(s), ,яп(з))

trong đó s nằm trong khoảng con nào đó của M.

Giả thiết и là c 2 - nghiệm của (2.1), ta đặt:

có nghĩa là: p(s) = (^(s),p2(s),pn(s)) và

Như vậy z{.) cho giá trị của и dọc đường congvà p(.) là giá trị của

gradient Du.Ta phải chọn x(.) sao cho có thể tính đượcz{.) và

p(.)-Để làm được điều này, trước hết ta đạo hàm (2.5) để được

1 4

p(

s ) = ( s ) (■ = (2-6) Biểu thức này khá rườm rà vì nó có chứa đạo

hàm cấp hai của u Mặt khác, ta đạo hàm phương trình đạo hàm riêng (2.1) theo Xi

° P j

(ở đây ta dùng (2.5) và (2.8) để nhận được đẳng thức thứ hai) Ta viết lại các

phương trình (2.8) — (2.10) theo ký hiệu véc tơ

(a) p ( s ) = -D x F(x(s),z{s),p(s)) - D z F(x(s), z{s), p ( s ) ) p ( s )

\ (b) *(s) = D p F(x.(s), z(s), p(s)).p(s)

1 (c) x(s) = ^P^(x(s),2;(s),p(s))

Hệ (2n+1) phương trình vi phân cấp một này gọi là các phương trình đặc

trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (2.1).

Các hàm x(.) = (a;1^), x 2 { zn(.)); *(.); p(.) = {p 1 {.),p 2 {.), .,p n {.)) được

gọi là những đặc trưng Ta còn gọi x(.) gọi là đặc trưng gốc , nó là hình chiếu của toàn bộ đặc trưng (x(.), z(.), p(.)) c M2rì+1 lên miền

u c R".

Như vậy ta đã hoàn thiện chứng minh định lý sau đây:

Định lý 2.1.1 [1] (Cấu trúc của phương trình vi phân thường đặc trưng) Cho u

€ C 2 (U ) là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

(2.1) trong u Giả thiết rằng x ( ) thỏa mẫn phương trình vi phân

thường ( 2 1 1 ) ( c ) ; với p ( ) = D « ( x ( ) ) , z{.) = w ( x ( ) ) Khi đó p ( ) là nghiệm của phương trình vi phân thường ( 2 1 1 ) ( a ) và z(.) thỏa mãn phương trình vi phân thường ( 2 1 1 ) ( ò ) với những s sao cho x ( s ) G u.

Ta còn cần phải tìm điều kiện ban đầu tương ứng cho hệ phương trình vi phânthường (2.11) để hệ này sẽ thực sự có ích

Giả sử u là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một

(2.1), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một hệ đóng đối với

x(.), z{.) = w(x(.)), và p(.) = Díi(x(.)) Bước quan trọng mang tính quyết định ở đây là việc đặt X = DpF, tức là đẳng thức

(2.8) , do đó, như đã nói ở trên, khi đó các số hạng chứa đạo hàm cấp hai bịloại bỏ

1 6

Trước khi tiếp tục xét về các phương trình đặc trưng (2.11) ta sẽ dừng lại để xétmột số trường hợp đặc biệt mà trong đó cấu trúc của các phương trình đặc trưng códạng đơn giản

a Trường hợp F tuyến tính

Xét phương trình đạo hàm riêng (2.1) tuyến tính và thuần nhất có dạng

F(x, u, Du) = b(x)Du(x) + c(x)u(x) = 0 , (xEiU) ( 2 - 1 2 )

Đây là phương trình vi phân tuyến tính đối với z(.), nếu ta tìm được x(.) thông qua

việc giải (2.13) Kết hợp lại ta nhận được hệ phương trình

Ị (a) x(s) = b ( x ( S ) ) (2 1 5 )

[ (b) ^(S) =

Cố định điểm (xi,

x 2 ) £ u Ta cần chọn

được s > 0, x ữ > 0

-Từ đó

đặc trưng đối với

phương trình đạo hàmriêng tựa tuyến tính

cấp một (2.17) Ta lại thấy, trong trường

hợp này phương trình đối với p(.) là không

tr

ở đây u là nửa không

°j

—

>

1 - 8

* 0

1

s

-g ( x

« Y

= (x°

+ s, s) ,

u(x'(s),z(s)) = *(.)

= ĩ^i) =

Chú ý rằng, nghiệmcủa bài toán chỉ xác

định nếu 1 — x 2 g{x 1

— x 2) ^ 0

x ( s )

=

P F

=

( 2 p

u 2 p

2 )

z ( s )

=

( D p

F ) p

=

2

p ( s )

=

D

-X F

-( D

z

Giải hệ ta nhận được

(2.19)

) p

=

( 0 ,

0 )

hay là

i 1 ( s ) = 2p 1 (s) x 2 (s)

= 2 p 2 (s) z(s) = 2 p(s) = 0

p 2 (s) = 0

= 2 CịS +

Cị x 2 { s ) = 2C 5 s +

C 2 2 ; ( s ) = 2 s