Luận văn bài toán cauchy neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Lý do chọn đề tài Phương trìn h đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Eul

BỌ GIÀO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y

BÀI TOÁN cA U C H Y -N E U M AN N Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S ĩ T O Á N H Ọ C

Hà Nội, 2015

BỌ GIÀO DỤ C VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y

BÀI TOÁN cA U C H Y -N E U M AN N Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S ĩ T O Á N H Ọ C

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2015

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân th àn h tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tậ p và nghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người th ân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn th àn h bản luận văn này

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Minh Thủy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn được tôi hoàn th àn h dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừ a th àn h quả khoa học của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ 5

Nguyễn Thị Minh Thủy

6

8

10 10

11 11

B à i to á n C a u ch y -N eu m a n n đối với phương trìn h

p arab olic cấp hai tr o n g trụ với đáy k h ôn g trơn

36 37

M ở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trìn h đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace, như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Phương trìn h đạo hàm riêng tuyến tính thường được chia th àn h 3 loại: phương trình loại elliptic, phương trìn h loại parabolic, phương trình loại hyperbolic Các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng elliptic, parabolic, hay hyperbolic trong miền có biên trơn đã được nghiên cứu và đạt được những kết quả tương đối hoàn chỉnh Lý thuyết các bài toán biên trong miền không trơn là một trong những lĩnh vực quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại, mới được nghiên cứu và phát triển một cách hệ thống từ những năm 60 của thế kỷ 20 Các bài toán biên đối với phương trình, hệ phương trình không dừng trong miền có biên không trơn cũng

đã được nghiên cứu trong nhiều công trìn h với các loại phương trình khác nhau, trên các loại miền không trơn khác nhau và các cách tiếp cận khác nhau Trong các công trình này đã nhận được các kết quả về

sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và các kết quả về tính trơn cũng như biểu diễn tiệm cận của nghiệm

Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không

1

trơn, nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên

p arab olic cấp hai tr o n g trụ với đáy k h ôn g trơn".

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải được của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên trong trụ với đáy không trơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các b ất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không

2

gian hàm Sobolev.

6 Đóng góp mới của đề tài

Các kết quả của luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết m ột cách hệ thống các trường hợp đặc biệt của những bài toán tổng quát đã được giải trong miền không trơn

7 Nội dung

Luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 : Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.

Chương 2: Trình bày cách đ ặt bài toán Cauchy-Neumann đối với

phương trìn h parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán

3

Chương 1

K iến thứ c chuẩn bị

1.1 Các kí hiệu

Xét Q, là một miền bị chặn trong R n, n > 2 với dQ, là biên của nó và

Với u là hàm véc tơ phức với các th àn h phần Uị, u2, u n Ta kí hiệu:

X = (íCi, :rn), utk = d ku / d t k là đạo hàm suy rộng cấp Ả; theo biến t,

âm, |p| = Pi + + p n.

n.

4

Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tấ t cả các điểm m à hàm

đó khác không và kí hiệu là supp Kí hiệu C k(Q) là tập hợp tấ t cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Q, 0 < k < 00,

CQ (n) = c ( í ì ) , v à c k ( í ì ) = c ( í ì ) n c k ( í ì ) ,

o

thuộc Q

Khi đó Lp (Q) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (X) khả tổng cấp

p theo Lebesgue trong Q với chuẩn:

Một hàm số / đo được trên R n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại

một số k sao cho I/ (x)\ < k hầu khắp nơi trên R n Cận dưới lớn nhất các hằng số k được gọi là essential supremun của l/l trên R n.

Kí hiệu esssup I/ (rr)Ị.

Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Q với chuẩn :

I M L ( f i ) = e s s s u P M * ) l

-x e ũ

Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.||x Kí hiệu Loo (0 ,T ; X ) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian

X , xác định trên (0 , T) sao cho

0 <t<T

Diều kiện Lipschitz :

Hàm u : u —> R ( u là tập mở trong R n)là liên tục Lipschitz nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Giả sử Q, là một miền trong không gian R n Một hàm

V (X) e Li (fì) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (X) e Li (Q)

nếu:

I u ( x ) D p(f ( z ) dx = ( — 1 ) ^ J V (x) (p ( z ) d x,

với mọi (fi e c°° (O).

Chú ý :

Công thức Green suy ra một hàm u ( x ) có đạo hàm thông thường liên tục cấp p thì nó có đạo hàm suy rộng cấp p Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u ( x ) có không quá một đạo hàm suy rộng.

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa

thông thường Ví dụ xét u ( x ) = \x\ , x £ (—1,1)- Dễ kiểm tra được hàm

Vậy V (X) = sỉgnx là đạo hàm suy rộng của u{x) = \x\ , x G (—1,1).

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Q thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền í ì ' c í l T h ật vậy, giả sử u ( x ) có

đạo hàm suy rộng trong miền о là hàm v(x) và (fi (X) là một hàm b ất kì

hằng số tùy ý

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường Tuy nhiên, không phải là tấ t cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo

hàm suy rộng cấp p không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn p.

1.3 Không gian Sobolev

• K h ô n g gian w l (fì)

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Giả sử Q, là một miền trong không gian R n Ta định nghĩa w l (fì) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm и (X) G L 2 ( f ì ) , X G Q

với chuẩn :

• K h ô n g gian w 1 (Q)

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.2 Giả sử Q, là m ột miền trong không gian R n Ta định

nghĩa W ĩ (Q) là không gian bao gồm tấ t cả các hàm u (X) £ L 2 (íì),

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.4 Giả sử Q, là một miền trong không gian R n.Ta định

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.5 Giả sử Q là một miền trong không gian Mn.Ta định

\uv\ < llull \\v\\

1.4.3 B ấ t đ ẳn g th ứ c G ronw all - B elm a n m ở rộng

Giả sử u và (fi là các hàm khả tích, không âm trên đoạn ịto,T),

L = const > 0 thoả mãn:

u (t) < ự>(t) + L í u (t ) dt , Ví e [to,T)

Jto

11

Khi đó:

u ( t ) < ip(t) + L f e1^ 8^(fi (s) d s , Vi £ [to.T) •

J t o

Hơn nữa, nếu tp (t ) có đạo hàm ự/ (í) khả tích trên [ÍO)^1) thì

to

12

Nếu ip (t ) có đạo hàm <// (t ) khả tích trên [í0, T ) th ì bằng tích phân từng

thức trên ta suy ra bất đẳng thức Groirvvall- Belman thông thường, tức

to

13

Chương 2

B ài toán C auchy-N eum ann đối với phương trình parabolic cấp hai tron g trụ với đáy không trơn

Trong chương này luận văn trìn h bày về sự tồn tạ i và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán trong trụ với đáy không trơn

ở đây (X, t ) là hàm phức khả vi vô hạn trên QT,

ở đây ỉ/ là vector pháp tuyến ngoài của m ặt S T.

Xét trong miền trụ £ìT phương trình:

Bài toán ta đang xét là Parabolic mạnh, tức là với £ e R n \ {0} và

w 1,1(e 7Í, 0 T) , u (X, 0) = 0, với mỗi T > 0 và thỏa mãn đẳng thức sau:

B ổ đ ề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.4) thoả mãn Khi đó tồn tại 2 hằng

— в (и , и) (t ) + с (е) + £■ 'У ] н^а; Ilx,2(íỉ) 5

г= 1với 0 < £ < / i , C ' ( £ ) > 0 Từ b ất đẳng thức này ta nhận được

Bởi vì Q, là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ta

có:

IMIw°(fi) — £1 IMIw^fi) + С (£l) IMI.L2(n) 5

với mọi 0 < E\ < 1.

Thay vào (2.7) ta nhận được:

IMIw^fi) — {U1u) {t) + (£ 2 ) £1 IMIwi(f2) + C2C (£l) IMIl,2(íì) •

Đ ịn h lý 2.2 2 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (X, t, d ) thoả mẫn điều

Sử dụng giả thiết và tích phân từng phần ta sẽ nhận được

ta được:

77 (X, t) = V (X, b) — V (X, í )

TỊ (x, 0) = V (x, b) ĩ]x (z, í) = Vi (x, b) - Vị (x, t ) , 1 < i < n

ở đây Ci = const > 0 chỉ phụ thuộc vào ịiQ, [1 và A0 Do đó theo bất

đẳng thức Gronwall-Bellman ta suy ra J (ò) = 0 với mọi b G [0, ỊẤo/ẩC]

Vì vậy u (X, ò) = 0 với mỗi b £ [0, ịấo/4C].

Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được u (x, b) = 0 với mọi

b e [ịiữ/2C, ịiữ/C] Tương tự, sau một số bước hữu hạn ta th u được

u ( x, b) = 0, với b e [0, r] Vì b tuỳ ý nên ta có U\ (x, t) = u 2 ( x, t)

Định lý được chứng minh

2.3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng

Mục này dành cho trình bày việc p hát biểu và chứng minh sự tồn tại của nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình parabolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn Sự tồn tại của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau:

Đ ịn h lý 2.3 1 Giả sử rằng

fij / e I " (0, t , l 2 (fi))

(X ji) €= ÍĨt1

(2.3) có nghiệm suy rộng u ( x , t ) e w 1,1(e_7í ,Q T) thoả mãn:

Giả sử {</?£ (a: ) } ^ 1 là một hệ hàm trong không gian w m(Q) sao cho

bao đóng tuyến tính của nó chính là w m (fĩ) Hơn nữa ta có thể giả thiết

(x) } ^ =1 trực chuẩn trong không gian L 2 (£ì).

= 2 R e { f , u ? ) n r

Từ điều kiện ban đầu (2.13) cho ta:

(2.14)

К (-.0)111(0) = °> uxу L2(iì) = 0, 1 < i < n,

từ đó suy ra ịịuN ( ч 0)||^Г1(П) = 0 và Б (uN ,UN) (0) = 0.

Vì d i j = ã j i, lấy tích phân từng phần th àn h phần thứ nhất của đẳng thức (2.14) ta được:

Do đó ta có:

к (Ж >Т)|1^(П) + IK (Ж >Т)И^(П) - C e 'ỴT Mi “ (0 , t , l 2(ü))

28

với с = const > 0 chỉ phụ thuộc vào ịiữ,ịi và 7.

Nhân cả hai về của b ất đẳng thức trên với e 27T, rồi lấy tích phân 2

vế theo T từ 0 đến T, ta nhận được:

II _jV||2

14 IW1.1(e-7*)nT) - С 11/11ь“ (0,Т,Ьа(П))

với с = const > 0 chỉ phụ thuộc vào Ho, ịi và 7

dãy con của dãy {UN (z ,í)} hội tụ yếu tới u ( x , t ) G W 1’1 (e_7í ,f lr )

Ta sẽ chứng minh и (x, t) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)- (2.3)

Do {UN (x, t )} hội tụ yếu trong W 1’1 (e_7í, fiT) tới hàm и (X, t ) đều theo

t G [0, T ] nên ị u N (X, 0)} hội tụ yếu đến и (я, 0) M ặt khác UN (X, 0) = 0

nên и {x, 0) = 0

T a c ò n p h ả i c h ứ n g m i n h u ( x , t ) t h ỏ a m ã n đ ồ n g n h ấ t t h ứ c t í c h p h â n

(2.5)

Nhân cả 2 vế (2.12) với dị (t ) £ w 1 (0,T ) ,di (T) = 0, rồi lấy tổng

theo 1 từ 1 đến N, và lấy tích phân theo t từ 0 đến T, ta thu được:

Cho iV —>■ 00 ta sẽ được đồng nhất thức tích phân đúng V77 £ M n ,

T h ật vậy, bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, từ

việc c h ứ n g minh M* trù m ật trong W 1,1 (e_7í, ÍXr).

Lấy tùy ý V (x, t ) G W1’1 (e-7 í, fiT) Do (7°° (í^t) trù m ật trong

w 1,1 (e_7í, fìT) nên Ve > 0, (z, í) G c°° (Ũ t ) sao cho:

Do Gn (í) ->• 0, khi TL ^ 00, IGn (í) I < 2 \ịue ( M ) I L i( íì) ,

IỊÍŨ£ ( x , t ) llw^n) là hàm bình phương khả tích, nên theo định lí Lebesgue

||i; (x, t) — S n (x, í) HĩV'1* 1(e-ft,ũT) < £ 1

v ớ i n đủ lớn và Sn (x , t ) e M* Tức là M* trù m ậ t t r o n g không gian

W 1,1 (e_7í, fiT) Ta có đẳng thức tích phân đúng với mọi hàm thử thuộc

tập trù m ật trong không gian w 1'1 (e_7í, QT) nên nó cũng đúng cho mọi hàm thử thuộc w 1,1 (e_7í, QT).

Do đó u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1) — (2.3) trong không

gian W 1,1 (e-7í ,f lr ) Hơn nữa:

12

— c l l / I L “ (0,T,I,2(n))

32

-Hàm u (x , t ) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (2.20) — (2.22)

trong không gian w 1,1(e-7 í, f i T ) nếu và chỉ nếu u {x, t) G w 1,1(e_7í, f i T ) ,

Nghiệm w( x, í ) như thế sẽ thỏa m ãn phương trình (2.20), điều kiện

(2.23) và đ i ề u k i ệ n u (x, t ) e w 1,1(e-7 í, QT).

33

T h ật yậy, nếu u ( x , t ) là nghiêm của bài toán th ì từ phương trình

Từ đây ta thấy do các điều kiện (2.21), (2.22) và do điều kiện

TỊ e w ljl (e-7 í, fìT) , TỊ ( x, T ) = 0 nên dễ dàng suy ra đồng n hất thức

( 2 2 3 )

Á p d ụ n g các k ế t q u ả ở t r ê n t a c ó các k ế t l u ậ n s a u :

34