Bài toán Cauchy cho phương trình Monge-ampère hyperbolic nhiều biến độc lập

Bài toán Cauchy cho phương trình Monge-ampère hyperbolic nhiều biến độc lập

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại:

Viện Toán học-Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam

vào hồi 14 giờ ngày 06 tháng 04 năm 2007

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư viện Viện Toán học

Mở đầuPhương trình Monge-Amp`ere được xuất hiện vào khoảng cuối thế kỷ XVIII, nó

đI và đang được rất nhiều nhà toán học có uy tín trên thế giới quan tâm Sở dĩphương trình Monge-Amp`ere được chú ý như vậy bởi mô hình của nó được hìnhthành nhiều trong các bài toán thủy động học, động lực học, khí tượng thủy văn vàquang học Bên cạnh những ý nghĩa thực tế thì phương trình Monge-Amp`ere ra đờicòn góp phần thúc đẩy sự phát triển của lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phituyến với sự liên quan của nó tới các bài toán trong hình học vi phân như bài toánnhúng Phương trình Monge-Amp`ere cổ điển là phương trình đạo hàm riêng cấp haivới hai biến độc lập có dạng:

Ar + Bs + Ct + D(rt ư s2) ư E = 0, (1)trong đó z = z(x, y) là ẩn hàm của (x, y) ∈ R2, các hệ số A, B, C, D và E là cáchàm thực khả vi liên tục theo các biến (x, y, z, p, q), p = ∂z

∂x, q = ∂z∂y, r = ∂∂x2z2, s = ∂x∂y∂2z

và t = ∂ 2

z

∂y 2 Nếu D = 0 thì phương trình (1) là á tuyến tính

Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng chúng ta biết rằng phương trình phituyến khó hơn so với phương trình tuyến tính và sẽ khó khăn hơn nhiều nếu phần phituyến chứa các đạo hàm cấp cao nhất của phương trình Phương trình Monge-Amp`erekhi D = 0 phần phi tuyến cũng chứa đạo hàm cấp cao nhất

Đặt ∆ = B2 ư 4(AC + DE) khi đó phương trình Monge-Amp`ere được phân loạinhư sau:

i) Nếu ∆ < 0 thì phương trình Monge-Amp`ere là loại eliptic

ii) Nếu ∆ > 0 thì phương trình Monge-Amp`ere là loại hyperbolic

iii) Nếu D = 0 và ∆
0 thì phương trình Monge-Amp`ere là loại hyperbolic yếu

Đối với phương trình Monge-Amp`ere loại eliptic đI có rất nhiều nhà toán họctrên thế giới tham gia nghiên cứu và các kết quả đI được đúc kết trong một số sáchchuyên khảo Song các kết quả về loại phương trình hyperbolic còn hạn chế vì loạinày khi nghiên cứu nó đòi hỏi phải có những phương pháp đặc biệt, có quan hệ chặtchẽ đến lí thuyết các mặt cong trong không gian R3 với độ cong Gauss âm

Từ cuối thế kỉ XIX khi nghiên cứu phương trình Monge-Amp`ere hyperbolic haibiến độc lập, hai nhà Toán học Pháp G Darboux và E Goursat đI đưa ra một phươngpháp nổi tiếng được gọi là phương pháp đặc trưng để giải bài toán Cauchy Sự kìdiệu của phương pháp này là ở chỗ có thể đưa việc giải bài toán Cauchy cho phươngtrình Monge-Amp`ere cấp hai về việc giải bài toán Cauchy cho một phương trình đạohàm riêng phi tuyến cấp một Song phương pháp đặc trưng Darboux- Goursat đòihỏi điều kiện khá chặt về sự tồn tại của hai tích phân đầu độc lập

Để khắc phục hạn chế về sự tồn tại hai tích phân đầu độc lập, M Tsuji đI tiếpcận nó bằng cách đưa việc giải bài toán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`erehyperbolic với hai biến độc lập về việc giải bài toán Cauchy cho một hệ phương trình

đạo hàm riêng cấp một á tuyến tính Tính tồn tại duy nhất nghiệm địa phương củabài toán Cauchy cho hệ này được chứng minh đầu tiên bởi H Lewy năm 1928 sau

đó là bởi Hadamard năm 1932 Như vậy tính tồn tại nghiệm địa phương của bài toánCauchy cho phương trình Monge-Amp`ere trong trường hợp ∆ > 0 không đòi hỏi giảthiết về sự tồn tại của hai tích phân đầu độc lập đI được giải quyết.

Khi D = 1 và ∆
0 phương trình (1) viết được dưới dạng tương đương sau đây:

Bài toán Cauchy cho phương trình (1.7) được phát biểu như sau:

Bài toán Cauchy đặt ra là tìm z(x) ∈ C2 thỏa mIn phương trình(1.7) sao cho

z(x)

x=X 0 (α
) = Z0(α),

zxj(x)

x=X0 (α
) = Pj0(α), j = 1, 2, , n, (1.10)

Do các nghiên cứu trong luận án về bài toán Cauchy mang tính địa phương nên ta

sẽ luôn giả thiết rằng tham số α = (α1, α2, , α(nư1)) biến thiên trong lân cận đủnhỏ Ω của gốc tọa độ trong Rnư1

α

Đối với phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập dạng (1.7) M Tsuji đIphát triển phương pháp đặc trưng một cách tương tự như trong trường hợp hai biến

độc lập Với giả thiết về sự tồn tại của n tích phân đầu độc lập và ma trận [aij] là

ma trận không đối xứng M Tsuji đI chứng minh tính giải được địa phương của bàitoán Cauchy (1.7), (1.10) cũng bằng cách đưa về việc giải bài toán Cauchy cho mộtphương trình phi tuyến cấp một

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu cách giải phương trình Monge-Amp`ere nhiềubiến độc lập (1.7) và tính giải được địa phương của bài toán Cauchy (1.7), (1.10)

mà không cần đòi hỏi giả thiết về sự tồn tại của n tích phân đầu độc lập, đồng thờikhông cần đòi hỏi ma trận [aij] là ma trận không đối xứng

Luận án gồm phần mở đầu và 3 chương

Phần mở đầu sơ lược lịch sử vấn đề, phát biểu nội dung nghiên cứu của luận án.Chương 1 trình bày một phương pháp tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phươngtrình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập (1.7) Nội dung của phương pháp này là: đểgiải bài toán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập, ta chỉ cầngiải bài toán Cauchy tương ứng cho một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyếncấp một dạng chuẩn tắc Nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ này cho phép ta xác

định nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độclập ban đầu

Chương 2 nghiên cứu tính hyperbolic của hệ phương trình chuẩn tắc đI được nhắc

đến trong Chương 1

Chương 3 nghiên cứu tính giải được của bài toán Cauchy cho hệ phương trìnhchuẩn tắc được đề cập đến trong Chương 1 khi n = 2 và áp dụng vào bài toán Cauchycho phương trình Monge-Amp`ere cổ điển hyperbolic yếu

Chương 1

Một phương pháp tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

Chương 1 nghiên cứu bài toán Cauchy cho một lớp phương trình Monge-Amp`erenhiều biến độc lập do M Tsuji đề xuất Từ việc nghiên cứu mối quan hệ của phươngtrình Monge-Amp`ere với các tích ngoài của một số dạng vi phân đặc biệt và dùngphương pháp đổi biến chương này đI đưa ra một phương pháp tìm nghiệm của bàitoán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập, bằng cách giải bàitoán Cauchy cho một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩntắc, mà từ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ này cho phép ta tìm được nghiệm củabài toán Cauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập ban đầu.

1.1 Một lớp phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

Mục này giới thiệu một lớp phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập vàbài toán Cauchy cho nó như trong phần mở đầu

1.2 Một số định lý về dạng vi phân, đổi biến đối với phương trình

Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

1.2.1 Một số định lý về dạng vi phân

Sau đây chúng ta sẽ xét một số dạng vi phân đặc biệt có liên quan tới phươngtrình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập Mệnh đề 1.2 và Mệnh đề 1.3 sau sẽ chochúng ta thấy mối quan hệ giữa phương trình Monge-Amp`ere và tích ngoài của cácdạng vi phân

trong đó ajk(x, z, p) là các hàm được cho trong phương trình (1.7) Các dạng vi phân

là các phiếm hàm tuyến tính tại mỗi điểm cố định (x0, z0, p0) trong R2n+1x,z,p

Mệnh đề 1.2 Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa m.n :

1) Tồn tại mặt cong trơn n-chiều M ⊂ R2n+1

x,z,p được cho bởi

z = ˜Z(x)

pj = ˜Pj(x), j = 1, 2, , n (1.14)

2) ω0 ≡ 0 trên M , có nghĩa là ω0 triệt tiêu trên mọi véc tơ thuộc mặt phẳng tiếp xúctại mỗi điểm (x0, z0, p0) của M

ω1 ∧ ω2ã ã ã ∧ ωn = det[ ˜Zxjxk(x) + ajk(x, ˜Z(x), ˜Zx(x))]dx1 ∧ dx2∧ ã ã ã ∧ dxn,

(1.19)trong đó phép tính ∧ là tích ngoài của các dạng vi phân

Nhận xét 1.1 Nhìn vào công thức (1.19) chúng ta thấy rằng để giải phương trình(1.7) chúng ta phải tìm mặt cong n-chiều M ⊂ R2n+1x,z,p được cho bởi (1.14), sao chotrên đó



ω0 = 0

ω1 ∧ ω2ã ã ã ∧ ωn = 0 (1.21)Khi đó hàm z(x) = ˜Z(x) là nghiệm của phương trình (1.7) Hơn nữa zx(x) = ˜P(x)

Để làm được điều đó chúng ta sẽ dùng phương pháp đổi biến sau

1.2.2 Đổi biến đối với phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

Trong phương trình (1.7) biến x = (x1, x2, , xn) được đổi thành biến mới

α = (α1, α2, , αn) và giả sử

xj = Xj(α), j = 1, 2, , n (1.22)sao cho

D(X1 ,X 2 , ,X n ) D(α 1 ,α 2 , ,α n )

ở đây Ω là một lân cận của gốc tọa độ trong Rn

α.Giả sử điều kiện (1.23) được thỏa mIn Khi đó hệ phương trình

x,z,p thuộc lớp C2 được cho bởi phương trìnhtham số

x,z,p thuộc lớp C2 và được cho bởi(1.26) trong đó Xj(α), Z(α), Pj(α) thỏa m.n hệ phương trình

Từ các mệnh đề 1.4, 1.5 và Nhận xét 1.1 suy ra rằng muốn tìm nghiệm của bàitoán Cauchy (1.7), (1.10) ta xét bài toán Cauchy sau đây:

Bài toán Cauchy : Tìm (X(α), Z(α), P (α)) thuộc lớp C2 thỏa mIn hệ

có zx(x) = P (ϕ(x)) ở đây ϕ(x) = (ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕn(x)) được cho bởi (1.25).Hệ(1.33) là hệ gồm có 2n phương trình và 2n + 1 ẩn hàm và chưa ở dạng chuẩntắc Do đó Mục 1.3 sau sẽ tiếp tục biến đổi để đưa hệ (1.33) về dạng chuẩn tắc màviệc nghiên cứu bài toán Cauchy cho hệ mới là đơn giản hơn.

1.3 Một phương pháp tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho

phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

Vì hệ (1.33) chưa ở dạng chuẩn tắc nên rất khó giải Nội dung chính của mụcnày là chỉ ra rằng khi giải bài toán (1.33)-(1.34) có thể thay thế hệ (1.33) bởi một

hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩn tắc

Các bổ đề sau là các bổ đề quan trọng trong việc chứng minh nghiệm của bàitoán Cauchy cho hệ chuẩn tắc cũng là nghiệm của bài toán Cauchy (1.33), (1.34)

Bổ đề 1.1 Giả sử (X(α), Z(α), P (α)) là một nghiệm thuộc lớp C2 của hệ (1.33).Nếu chúng ta đặt

Bổ đề 1.2 Giả sử (X(α), Z(α), P (α)) thuộc lớp C2 là một nghiệm của hệ(1.33) vàthỏa m.n các điều kiện (1.35), (1.36) Khi đó ta có

ở đây #e1, #e2, , #en là các véc tơ đơn vị trên các trục tọa độ Ox1, Ox2, , Oxn Vớicách chọn này điều kiện (1.50) luôn được thỏa mIn.

Định lý sau khẳng định hệ(1.33) được đưa tiếp về hệ phương trình chuẩn tắc

Định lý 1.2 Giả sử X(α), Z(α), P (α) là nghiệm của hệ (1.33) và thoả m.n điềukiện (1.35), (1.53) Khi đó X(α), Z(α), P (α) là nghiệm của hệ chuẩn tắc sau

=1

∂Pi

∂α = ư nk=1aik(X(α), Z(α), P (α))gk(α), i = 1, 2, , n,

(1.55)

Một kêt quả quan trọng của chương này là định lý sau

Định lý 1.3 Giả sử véc tơ #g(α) ≡ (g1(α), g2(α), , gn(α)) được cho bởi (1.53).Nếu (X(α), Z(α), P (α)) thuộc lớp C2 là nghiệm của bài toán Cauchy (1.55), (1.34)thì (X(α), Z(α), P (α)) cũng là nghiệm của bài toán Cauchy (1.33), (1.34)

Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau:

Bổ đề 1.4 Nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy

 n k=1 ∂α∂uk = F (α)

1.4 Điều kiện không đặc trưng của bài toán Cauchy cho phương

trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập

Chúng ta biết rằng phép đổi biến là không suy biến địa phương nếu

det D(X1,X2, ,Xn)D(α1, α2, , αn)

α n =0 = 0, ∀α ∈ Ω (1.82)Vậy khi nào điều kiện này được thỏa mIn Từ (1.53) ta đặt

trong đó véc tơ #g0(α) = (g10(α), g20(α), , gn0(α)) được định nghĩa bởi(1.83) Khi

đó điều kiện (1.82) được thỏa m.n

Từ Mệnh đề 1.6 chúng ta đi đến định nghĩa điều kiện không đặc trưng của bàitoán Cauchy (1.7), (1.10)

Định nghĩa 1.2 Chúng ta nói rằng bài toán Cauchy (1.7), (1.10) là không đặctrưng nếu điều kiện sau được thỏa m.n

trong đó các hàm X0(α) = (X10(α), X20(α), , Xn0(α)) được cho trong điều kiệnban đầu (1.10) và véc tơ #g0(α) = (g10(α), g20(α), , gn0(α)) xác định bởi(1.83).

Từ Định lý 1.1 và Định lý 1.3 ta phát biểu kết quả chính của chương này bằng

định lý sau:

Định lý 1.4 Giả sử các điều kiện (1.11), (1.87) được thỏa m.n và (X(α), Z(α), P (α)) ∈

C2 là nghiệm của bài toán Cauchy (1.55), (1.34) Khi đó điều kiện (1.82) được thỏam.n và

z(x) = Z(ϕ(x)) = Z(ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕn(x))thuộc C2 là nghiệm của bài toán Cauchy không đặc trưng (1.7), (1.10) Hơn nữa

zxj(x) = Pj(ϕ(x)), ở đây ϕ(x) là hàm xác định bởi (1.25)

1.5 Tính giải được của bài toán Cauchy cho phương trình

Monge-Amp`ere trong một số trường hợp đặc biệt.

1.5.1 Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy cho phương trình

Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập trong lớp hàm giải tích

áp dụng định lý Cauchy-Kovalevski cho bài toán Cauchy (1.55), (1.34) chúng tasuy ra tính giải được địa phương của bài toán Cauchy (1.7), (1.10) cho phương trìnhMonge-Amp`ere trong lớp hàm giải tích

Định lý 1.5 Giả sử các hàm aij(x, z, p), Xj0(α), Z0(α), Pj0(α), j = 1, n là giảitích và thỏa m.n điều kiện (1.11) và (1.87) Khi đó tồn tại nghiệm địa phương giảitích z(x) của bài toán Cauchy (1.7), (1.10)

1.5.2 Trường hợp n = 2

Tính hyperbolic và tính giải được của bài toán Cauchy cho một lớp phương trìnhMonge-Amp`ere với hai biến độc lập sẽ được trình bày chi tiết tương ứng trong Chương

2 và Chương 3 Trong mục này luận án chỉ viết cụ thể hệ chuẩn tắc được đưa đến

từ phương trình Monge-Amp`ere dạng (1.7) khi n = 2 và khi đó hệ nhận được chính

là hệ (3.1) trong Chương 3

Dựa vào điều kiện không đặc trưng tổng quát (1.87) mục này đưa ra điều kiệnkhông đặc trưng của bài toán Cauchy (1.7), (1.10) trong trường hợp hai biến độclập (x, y) Điều kiện không đặc trưng này trùng với điều kiện không đặc trưng màtrước đây M.Tsuji và Hà Tiến Ngoạn đI đưa ra cho bài toán Cauchy (1.7), (1.10)trong trường hợp hai biến độc lập (x, y) bằng phương pháp khác

1.5.3 Tính giải được của bài toán Cauchy (1.7), (1.10) trong trường hợp aij là

hằng số

Trong trường hợp các hệ số aij là hằng số và ma trận [aij] là không đối xứng.M.Tsuji đI chỉ ra rằng phương trình (1.7) luôn có n biến độc lập, và vì vậy bài toánCauchy (1.7), (1.10) trong trường hợp này luôn là giải được Để mở rộng kết quả,luận án xét ví dụ về hệ (1.55) cho trường hợp ma trận B = [bij]nìn = (AT ư A) là

ma trận mà phía bên trên đường chéo chính có nhiều nhất một phần tử khác không,tức là bao gồm cả trường hợp ma trận [aij] là ma trận đối xứng Khi n = 2 thì matrận B luôn thỏa mIn điều kiện này

Các kết quả trong Chương 1 được viết dựa trên bài báo: Ha Tien Ngoan andNguyen Thi Nga (2004), ” On the Cauchy problem for multidimesional Monge-Ampere equations”, Acta Mathematca Vietnamica, Vol 29, pp 281-298

Chương 2

Tính hyperbolic của một lớp hệ phương trình phi tuyến cấp một

Trong Chương 1 luận án đI đưa ra một phương pháp tìm nghiệm của bài toánCauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập (1.7) bằng cách giải bàitoán Cauchy cho một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một dạng chuẩntắc (1.55) Tuy nhiên tính giải được của bài toán Cauchy cho hệ chuẩn tắc (1.55)trong trường hợp tổng quát, nói chung, phụ thuộc rất mạnh vào tính hyperbolic của

hệ này Do đó Chương 2 luận án nghiên cứu tính hyperbolic của hệ (1.55) và kếtquả chính đạt được trong chương này là Định lý 2.2

(1.53), aij(X, Z, P ) là các hàm tương ứng với các hàm aij(x, y, z) được cho trong

phương trình (1.7) qua phép đổi biến

ma trận vuông cấp (2n + 1) Ta có định nghĩa sau về tính hyperbolic

Định nghĩa 2.1 1) Hệ (2.4) được gọi là hệ hyperbolic yếu nếu với mỗi (X(α), Z(α), P (α))

cố định thuộc lớp C2 và với mọi ξ = (ξ1, , ξnư1) ∈ Rnư1, tất cả các giá trị riêng

là thực.

2) Hệ (2.4) được gọi là hệ hyperbolic nếu nó là hệ hyperbolic yếu và với mỗi(X(α), Z(α), P (α)) cố định ∈ C2, với mọi ξ = (ξ1, , ξnư1) ∈ Rnư1 tồn tại mộtcơ sở của không gian R2n+1 gồm các véc tơ riêng trái tương ứng với các các giá trịriêng của ma trận A

Định nghĩa 2.1 được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo: Jeffrey A (1980) silinear hyperbolic system and waves, Pitman Publishing, London San Francisco-Melbourne.” và B L Rodgestvenski, N N Yanenko (1978), Quasilinear hyperbolicsystems, Nauka, Moscow

”Qua-Từ định nghĩa ta suy ra rằng muốn xét tính hyperbolic yếu và tính hyperbolic của

hệ (2.4) trước tiên ta phải tính được các giá trị riêng của ma trận A Vì ma trận A

là ma trận cấp (2n + 1) nên việc tìm giá trị riêng là không dễ dàng nếu chúng takhông tìm được các qui luật của các phần tử trong ma trận A Các Mệnh đề sau sẽgiúp chúng ta đưa được ma trận A về dạng đơn giản hơn và từ đó thuận lợi cho việctìm các giá trị riêng

vkư1,1 vkư1,iư1 vkư1,i+1 vkư1,n

vk1 vk,iư1 vk,i+1 vk,n

vk+1,1 vk+1,iư1 vk+1,i+1 vk+1,n

Trong Chương luận án đI đưa phương pháp tìm nghiệm tốnCauchy cho phương trình Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập (1.7) cách giải bàitốn Cauchy cho hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp... tốn Cauchy cho phương trình

Monge-Amp`ere số trường hợp đặc biệt.

1.5.1 Tính giải địa phương tốn Cauchy cho phương trình

Monge-Amp`ere nhiều biến độc lập lớp... nghiệm địa phương giảitích z(x) tốn Cauchy (1.7), (1.10)

1.5.2 Trường hợp n =

Tính hyperbolic tính giải toán Cauchy cho lớp phương trìnhMonge-Amp`ere với hai biến độc lập trình bày