Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Hà Nội - 2014

Lời cảm ơn

Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối vớiPGS TS Hà Tiến Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫntác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viênKhoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang

bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học.Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề NinhThuận đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập vừa qua

Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình,tập thể lớp K16 Toán Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận và bạn bè

đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiêncứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Ngọc Hưng

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin camđoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toánCauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ sốhằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả,không trùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Ngọc Hưng

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG 4

1.1 Một số ký hiệu 4

1.2 Khái niệm sóng phẳng 5

1.3 Công thức biểu diễn hàm số 8

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng 8

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng 11

1.4 Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng 14

1.4.1 Đa thức hyperbolic 14

1.4.2 Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất 16

Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG 18

2.1 Toán tử hyperbolic chặt 18

2.2 Bài toán Cauchy 20

2.2.1 Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc 20

2.2.2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát 21

2.2.3 Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc 21

2.3 Bài toán Cauchy chính tắc 22

2.3.1 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng 22

2.3.3 Nhân của toán tử nghiệm 26

2.4 Việc biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt nghiệm đặc trưng 27

2.5 Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển 34

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với

hệ số hằng đã được các nhà toán học thiết lập công thức biểu diễnnghiệm trong trường hợp số chiều không gian n là 1, 2, 3 bởi các côngthức D’Alembert, Poisson và Kirchoff tương ứng Kết quả này đầu tiênđược mở rộng cho trường hợp n là số chẵn, sau đó bằng phương pháp

hạ bậc kết quả đã được thiết lập cho trường hợp số chiều n bất kỳ.Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho bài toánCauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằngbằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng Với mong muốn được nghiêncứu về vấn đề này tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phươngtrình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng"

Bố cục của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trình bày khái niệm sóng phẳng và một số tính chất.Phát biểu và chứng minh công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóngphẳng Ngoài ra luận văn nghiên cứu các tính chất của mặt đặc trưngđối với đa thức hyperbolic

Chương 2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát và bài toán Cauchychính tắc Luận văn chỉ ra có thể đưa bài toán Cauchy tổng quát về bàitoán Cauchy chính tắc Trình bày lời giải của bài toán Cauchy chính tắc

với dữ kiện là sóng phẳng Biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tíchphân trên mặt nghiệm đặc trưng, và áp dụng các kết quả thu được chophương trình truyền sóng cổ điển.

Luận văn được trình bày trên cơ sở chương 2 của cuốn sách: "FritzJohn (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag, NewYork Heidelberg Berlin"

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán Cauchyđối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằngviệc sử dụng khái niệm sóng phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất

kỳ qua sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm tườngminh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuầnnhất với hệ số hằng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm chobài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ

số hằng

6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài

Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đốivới phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ

• Độ dài (x.x)12 của vectơ x là |x|

• Phần tử thể tích dx1, , dxn được viết tắt là dx, trong khi dSx

được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong khônggian n chiều

• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong khônggian x được kí hiệu là Ωx, phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là dωx,diện tích mặt cầu đơn vị là ωn

• Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều là  1

Định lý 1.1 Giả sử n ≥ 2, g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng

có khoảng cách từ gốc là |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y| p) Phần giao(n − 1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)

ωn−1

n − 1(r

2 − p2)n−12

Chứng minh Với g(s) = const = 1 ta có h = 1, và từ (1.1) ta suy racông thức sau

1.3 Công thức biểu diễn hàm số

1.3.1 Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng

Định lý 1.3 Giả sử f (x) là một hàm thuộc lớp C1 và bằng không ngoàitập bị chặn nào đó Khi đó ta có công thức biểu diễn sau

(∆z)n+k2

Z



Z

Ω x

f (y) |(y − z).x|kdωx



dy = 4(2πi)n−1k!f (z) (1.8)với n lẻ và k = 1, 3, 5,

là toán tử Laplace theo biến z

Chứng minh Ta xét một hàm f (x) tùy ý thuộc lớp C1 và bằng khôngngoài tập bị chặn nào đó Khi đó

Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng 1

|y|=r

−y2 i

Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách

chi tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các

phép tính đạo hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng

việc đưa đến công thức này Công thức tương tự vẫn đúng nếu giả thiết

rằng f (x) thỏa mãn điều kiện H¨older

Bây giờ ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất

thức (1.3), thay y bằng y − z, nhân hai vế với f (y) và lấy tích phân theo

y (ta vẫn giả thiết rằng f là thuộc lớp C1 và bằng không ngoài tập bị

chặn nào đó) Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một

số chẵn, và áp dụng toán tử ∆z vào hai vế của đẳng thức cuối n + k

2 lần.

Ω x

f (y) |(y − z).x|kdωx



dy =4(2πi)n−1k!f (z)với n lẻ và k = 1, 3, 5,



Z

Công thức (1.8), (1.9) biểu diễn cho một nghiệm của bài toán thuđược một hàm f (z) như một tổ hợp tuyến tính của “sóng phẳng” hàmcủa z Các sóng phẳng ở đây có một trong hai dạng |(y − z).x|k hoặc[(y − z).x]klog |(y − z).x|

1.3.2 Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu

Chứng minh Theo công thức (1.15) J (x, p) = J (−x, −p) Sử dụngcông thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có

với k = 0 Ta chú ý ở đây đối với |x| = 1,

1.4 Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa

thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng

Định nghĩa 1.2 (Đa thức hyperbolic) Đa thức Q(η, λ) được gọi làhyperbolic đối với biến λ nếu ∀η ∈ Rn thì phương trình

chỉ có các nghiệm thực đối với biến λ

Định nghĩa 1.3 (Đa thức hyperbolic chặt) Giả sử (η, λ) ∈ Rn × R,khi đó đa thức Q(η, λ) được gọi là hyperbolic chặt đối với biến λ nếu nóthỏa mãn hai điều kiện sau

• Nó là hyperbolic đối với biến λ

• Khi η 6= 0 thì phương trình (1.19) có m nghiệm thực theo λ đôi mộtkhác nhau

Ví dụ 1.1 Đa thức thuần nhất bậc hai sau đây

1.4.2 Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần

nhất

Định nghĩa 1.4 Giả sử Q(η, λ) là một đa thức hyperbolic chặt thuầnnhất Khi đó tập hợp

Σ = {(η, λ) ∈ Rn × R; η 6= 0, Q(η, λ) = 0}

được gọi là mặt đặc trưng

Nhận xét 1.4 Ta thấy (η, λ) ∈ Σ khi và chỉ khi

2 với m chẵn.

(1.25)

Chứng minh Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặtphương trình đặc trưng (1.21) với η 6= 0 có đúng m nghiệm thực phânbiệt λ1, , λm Ta đánh số theo một dạng duy nhất sao cho

λ1 > λ2 > > λm (1.26)Cho η là vectơ đơn vị, khi đó λk bị chặn đều do hệ số của λm trong(1.21) có giá trị 1 và các hệ số khác bị chặn Vì các nghiệm phụ thuộc

liên tục vào các hệ số, và do (1.26) đúng với mọi η trên Ωη, nên λk(η) làcác hàm liên tục trên mặt cầu đơn vị.

Phương trình

Q(η, λ) = 0suy ra

Q(−η, −λ) = 0,nên

Q(−η, −λk(η)) = 0

Như vậy −λk(η) là các nghiệm phụ thuộc vectơ −η Vì

−λ1(η) < −λ2(η) < < −λm(η)nên ta có

− λk(η) = λm−k+1(−η) (1.27)với k = 1, , m

Từ (1.27) ta suy ra các công thức (1.24) và (1.25) Nhận xét 1.5 Trong trường hợp đặc biệt quan trọng, trong đó

với mọi η trên Ωη, thì không có λk có thể bằng 0 Từ sự liên tục của

λk(η) suy ra rằng các số dương λk là như nhau với mọi η Theo (1.27) sốdương λk(η) bằng số âm λk(−η) Từ đó theo giả thiết (1.28) số dương

và số âm λk là bằng nhau với mọi η Điều kiện (1.28) chỉ có thể đượcthỏa mãn với m chẵn

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

Định nghĩa 2.2 Toán tử Q(Dx, Dt) được gọi là hyperbolic chặt đối vớimặt phẳng t = 0 nếu đa thức Q(η, λ) là hyperbolic chặt đối với biến λ.

Ví dụ 2.1 Toán tử thuần nhất cấp hai sau đây

2.2 Bài toán Cauchy

2.2.1 Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc

Bài toán 2.1 Bài toán Cauchy chính tắc bao gồm tìm nghiệm u củaphương trình

L [u] = Q(Dx, Dt)u = 0 (2.5)với (x, t) ∈ Rn × R, thỏa mãn các điều kiện ban đầu với t = 0 và mọi

2.2.2 Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát

Bài toán 2.2 Bài toán Cauchy tổng quát bao gồm tìm nghiệm u củaphương trình

trong đó W (x, t, τ ) với mỗi τ (0 < τ < t), là nghiệm của L [W ] = 0 với

dữ kiện ban đầu

Hàm f (x) trong (2.6) được giả thiết là triệt tiêu bên ngoài là một tập

bị chặn và thuộc lớp Cs trong đó s là đủ lớn (chẳng hạn s ≥ 2 + m + n),

Cs là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp s Nghiệm u của bàitoán chính tắc sẽ tồn tại duy nhất nếu toán tử L là hyperbolic chặt đốivới mặt phẳng t = 0

Do mọi hàm f (x) đều có thể phân tích qua sóng phẳng, nên trongMục 2.3.1 dưới đây sẽ xét trường hợp khi dữ kiện ban đầu là sóng phẳng

2.3 Bài toán Cauchy chính tắc

2.3.1 Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng

phẳng

Bài toán 2.3 Bài toán Cauchy được xét ở đây bao gồm tìm nghiệm ucủa phương trình (2.5) với (x, t) ∈ Rn × R, thỏa mãn các điều kiện banđầu với t = 0 và mọi x ∈ Rn

trong đó g(s) là hàm số một biến đủ trơn nào đó

Định lý 2.1 Giả sử g(s) là một hàm tùy ý của lớp Cm Khi đó

Chứng minh Phương trình của dạng (2.5) trong đó tất cả các số hạngcùng cấp sẽ có các nghiệm tùy ý “dạng” của sóng phẳng Thật vậy, chog(s) là một hàm tùy ý của lớp Cm Khi đó

trong đó C là một đường cong đóng trong mặt phẳng phức λ chứa tất

cả các nghiệm λk Do g(s) thuộc lớp Cm, nên suy ra hàm số

Nhận xét 2.1 Ở đây đã sử dụng giả thiết λk là thực và đôi một khácnhau Khi đó λk(η) là các hàm liên tục của η trên mặt cầu đơn vị, ta có

iZ(x − y, t)dy (2.16)

là nghiệm của Bài toán 2.1, trong đó Z(x − y, t) được xác định bởi (2.14)

và hàm g(s) được chọn như sau

g(s) = s

m−1+qsigns4(m − 1 + q)!(2πi)n−1 (2.17)với n lẻ,

g(s) = s

m−1+qlog |s|

−(m − 1 + q)!(2πi)n (2.18)với n chẵn, trong đó q ≥ 2 là số tự nhiên sao cho q + n là số chẵn.Chứng minh Nếu f (y) là một hàm khả vi liên tục tùy ý bằng khôngngoài một tập bị chặn nào đó, khi đó

v(x, t) =

Z

f (y)Z(x − y, t)dy (2.19)

là nghiệm của phương trình

−sq(log |s| + c)q!(2πi)n với n chẵn

Các hằng số c chỉ đóng góp một đa thức x bậc q ở vế phải của (2.21)

mà triệt tiêu bởi các toán tử ∆

Bây giờ giả sử f (x) là thực sự thuộc lớp Cn+q Ta có thể viết v dướidạng

v(x, t) =

Z

f (y + x)Z(−y, t)dy

và dạng

u(x, t) = (∆x)n+q2 v(x, t) =

Z h(∆y)n+q2 f (y)

iZ(x − y, t)dy

Vì (∆y)n+q2 f (y) là liên tục, u là nghiệm của (2.5) thuộc lớp Cm Hơnnữa đầu tiên u và các đạo hàm của nó ≤ m − 2 triệt tiêu

Ta có

∂m−1u

∂tm−1 =

Z h(∆y)n+q2 f (x + y)

2.3.3 Nhân của toán tử nghiệm

sm−1−n(log |s| + c)

−(m − n − 1)!(2πi)n với n chẵntrong đó c là một hằng số nào đó Đặt

K(x − y, t) = (∆x)n+q2 Z(x − y, t) (2.24)

Fk = (x − y).η + tλk(η) , với k = 1, , m (2.25)

u(x, t) =

Z

f (y)K(x − y, t)dy (2.27)Hàm số K(x − y, t) được gọi là nhân của toán tử nghiệm

2.4 Việc biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích

phân trên mặt nghiệm đặc trưng

Định lý 2.4 Giả sử n < m − 1 và nhân K(x − y, t) được cho bởi (2.26).Khi đó ta có công thức biểu diễn K(x − y, t) qua tích phân trên mặt đặctrưng như sau

E

E0

|grandQ(ξ, 1)| dS

(2.29)

với n < m − 1 và chẵn, trong đó

E = (x − y).ξ + t và E0 = (x − y).ξ

Chứng minh Ta có thể biến đổi biểu thức (2.26) đối với K thành mộttích phân trên mặt nghiệm đặc trưng Với mục đích này ta cho thêm giảthiết rằng toán tử Q không chứa ∂

∂t như một thừa số Điều này có nghĩa

là không có hàm λk(η) triệt tiêu đồng nhất hoặc mặt phẳng ở vô cựckhông tạo thành một tập của mặt nghiệm đặc trưng Trong trường hợpnày tập hợp các điểm trên mặt cầu đơn vị Ωη mà Q(η, 0) = 0 tạo thànhmột đa tạp có số chiều thấp hơn và do đó sự đóng góp của các điểm ηvới λk(η) = 0 có thể bỏ qua trong việc hình thành các tích phân (2.26)cho K

Cho η thay đổi trên Ωη với λk(η) 6= 0, điểm

ξ = η

λk(η)biến thiên trên phần bị chặn của tập Σk của mặt nghiệm đặc trưngQ(ξ, 1) = 0 theo tọa độ không đồng nhất Góc khối dωη phụ thuộc cácyếu tố tương ứng của mặt dS của Σk bởi phương trình (xem Hình 2.1)

dS = |ξ|n|gradQ(ξ, 1)|

P

i

Qξi(ξ, 1)ξi

... Q(η, 0) = tạo thànhmột đa tạp có số chiều thấp đóng góp điểm ? ?với λk(η) = bỏ qua việc hình thành tích phân (2.26 )cho K

Cho η thay đổi Ωη với λk(η) 6= 0, điểm... data-page="34">

với n < m − chẵn, đó

E = (x − y).ξ + t E0 = (x − y).ξ

Chứng minh Ta biến đổi biểu thức (2.26) K thành mộttích phân mặt nghiệm đặc trưng Với mục đích ta cho. .. phân

Ta chia miền lấy tích phân thành miền với E > E < 0,

ta cho biến phép tính tích phân giá trị phức thuđược biểu thức cho F

Bây ta chuyển sang xét trường hợp n