Bài toán Cauchy cho phương trình Elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên

Tóm tắt: Luận văn gồm 5 chương. Chương 1: nêu một số kiến thức chuẩn bị như giới thiệu một số không gian hàm, khái niệm về tính chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard, một số phép biến đổi tích phân và các bất đẳng thức thường dùng trong luận văn. Chương 2: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với đạo hàm cấp không nguyên tuyến tính thuần nhất trường hợp hàm nguồn F = 0. Chương 3: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không thuần nhất với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t). Chương 4: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t,u(x,t)). Theo một số giả định cho trước về nghiệm, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự ổn định nghiệm bằng phương pháp chỉnh hóa chặt cụt. Chương 5: Trình bày ví dụ số minh họa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HUY TUAN

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS NGUYỄN MINH QUÂN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 20 tháng 7 năm 2019

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS.NGUYỄN TIEN DŨNG

3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

4 Phản biện 2: TS NGUYỄN MINH QUÂN

5 ủy viên: TS NGUYỄN MINH TÙNG

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRUỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS.TS.NGUYỄNĐÌNHHUYPGS.TS.TRUONG TÍCH THIỆN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 27/10/1983 Nơi sinh: Quảng Ngãi

I TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

ELLIPTIC TỰA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG

NGUYÊN

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Kiến thức nền tảng

- Nghiên cứu tính không chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình

elliptic tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên và chỉnh hóa nghiệm

trong C 2 ,H P băng phương pháp chặt cụt

- Nghiên cứu tính không chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình

elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không và chỉnh hóa nghiệm trong

£2 băng phương pháp chặt cụt

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 11 - 02 - 2019.

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 02 - 6 - 2019

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN

Tp HCM, Ngày .tháng năm

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG

TRƯỞNG KHOA

PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấp đề tài và nguồn tài liệu quí báu cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn Đồng thời định hướng và truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ những khó khăn trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu khi thực hiện luận văn Luận văn sẽ không thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành thời gian để đọc

kỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giá và bình luận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến quý Thầy cô bộ môn Toán ững dụng, Khoa Khoa học ững dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM, đã tổ chức lớp học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để

bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn

Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng 8 năm 2019

Hồ Duy Bình

Chúng tôi trình bày trong luận văn gồm 5 chương Chương 1: nêu một số kiến thức chuẩn bị như giới thiệu một số không gian hàm, khái niệm về tính chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard, một số phép biến đổi tích phân và các bất đẳng thức thường dùng trong luận văn Chương 2: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với đạo hàm cấp không nguyên tuyến tính thuần nhất trường hợp hàm

nguồn F = 0 Chương 3: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm

của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không thuần nhất với

đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t) Chương 4:

nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp

hàm nguồn F = F(x,t,u(x,t)) Theo một số giả định cho trước về nghiệm,

chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự ổn định nghiệm bằng phương pháp chỉnh hóa chặt cụt Chương 5: Trình bày ví dụ số minh họa

ABSTRACT

Thesis is divided into 5 chapters Chapter 1: we prepare some preliminaries including some needed function spaces, concepts of well-posedness, ill-posedness in the sense of Hadamard, some integral transformations and inequalities which will be used throughout the thesis Chapter 2: studying the well-posedness and constructing the regularized the solution of the Cauchy problem for a homogeneous linear fractional elliptic equations in the case of the source function F = 0 Chapter 3: studying the well- posedness and constructing the regularized solution of the Cauchy problem for a inhomogeneous linear fractional elliptic equations in the case of the source function F = F(x.t) Chapter 4: studying the well-posedness

semilinear fractional elliptic equations in the case of the general source function F = F(x.t,u(x,t)) Under an a-priori assumption on the solution, we introduce the regularized solution and propose the Fourier truncation method for stabilizing the solution Chapper 5: we provide a numerical example to illustrate the theoretical results

Tôi tên là Hồ Duy Bình, mã số học viên: 1770487, học viên cao học chuyên ngành Toán ững Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM, khóa 2017 -

2019 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các nội dung được trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực của đề tài nghiên cứu này

Tp Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng 8 năm

2019 Học viên thực hiện

Hồ Duy Bình

Ký hiệu Ý nghĩa

C([0,T],£2(íì)) Không gian các hàm liên tục từ [0,T] vào £2(íi)

Hịm {v <E £2(íi) \j{v,ệj) 2 < +00 và V an = 0}

3=1

£P{Ũ) Không gian các hàm khả tích bậc p trên ft

C(c 2 m Không gian các hàm khả tích £2(íi) —> £2(íi)

Ơ{[ữ-,T\,X)

/ rp \ Vp j«:[0;T]—>x Ị / ||u(í)Hx dt 1 < 00 ; 1 < p < 001

w{ft) Không gian ịv e £r oo N 2(íi) 0j)2 < °°|

( v > Tích vô hương trong £2(íi)

\\'\\x Chuẩn trong không gian X

LỜI MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật ([5j) và hầu hết các nghiên cứu trước đây đã được dành cho phương trình khuếch tán và phương trình sóng (ỊH 14]) với đạo hàm cấp không nguyên Hơn nữa, gần đây phương trình elliptic với đạo hàm cấp không nguyên đã trở thành điểm đáng chú ý của một số nghiên cứu nổi tiếng ([4, 11]) và bài báo hiện tại nhằm đóng góp vào việc mở rộng hiểu biết tổng thể về bài toán ngược liên quan đến phương trình loại này Trong bài báo này, chúng tôi xem xét vấn đề giá trị biên cho phương trình elliptic tựa phi tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên

trong đó, 0 c Rd, (d = 1, 2,3) là một miền bị giới hạn với đường biên

trơn dft và một số T > 0 Trong phương trình (ỊTỊ), a E (1, 2) là cấp đạo hàm không nguyên và 0“ là đạo hàm Caputo cấp không nguyên đối với

t (xem [15, 6j), được định nghĩa bởi

t

d?u(x, t) := r^2 _ j (t - s)1_a^(®, s)ds, (x, t) e Q T , (3)

0

sự chỉnh hóa nào được giải quyết) của bài toán (ỊTỊ)-(Ị2Ị) trong trường hợp đơn

giản hơn đó là trường hợp tuyến tính thuần nhất F = 0 Theo hiểu biết tốt nhất

của các tác giả, không có ấn phẩm về bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên (Ịp cho hàm nguồn F tổng quát Luận văn trình bày dựa trên kết quả chính trong bài báo [10] là đưa ra công thức nghiệm, chứng minh tính không chinh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên Ngoài ra chúng tôi cụ thể hóa nội dung bài báo bằng cách chỉnh hóa nghiệm

Theo đó bố cục luận văn được trình bày gồm năm chương

Trình bày các kiến thức được sử dụng trong luận văn, gồm các kiến thức

về phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm, đạo hàm cấp không nguyên, bài toán chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard

Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH LIPTIC TUYẾN TÍNH THUẦN NHAT VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN

EL-2.1 Nghiệm của bài toán

2.2 Tính không chỉnh của bài toán

2.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

2.4 Chứng minh các kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

Chương 3 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH LIPTIC TUYẾN TÍNH KHÔNG THUAN NHAT VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN

EL-3.1 Nghiệm của bài toán

3.2 Tính không chỉnh của bài toán

3.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

3.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

Chương 4 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH LIPTIC TựA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CAP KHÔNG NGUYÊN

EL-4.1 Nghiệm của bài toán

4.2 Tính không chỉnh của bài toán

4.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

4.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

Chương 5 MINH HỌA KET QUẢ CHỈNH HÓA BANG VÍ DỤ SỐ

1.4 Các phép biến đỗi tích phân

1.5 Một số định nghĩa và kết quả cần biết

Chướng 2 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯỜNG TRÌNH

_ ĐẠO HẰM CẤP KHỔNG NGUYÊN

2.1 Nghiệm của bài toán

2.2 Tính không chỉnh của bài toán

2.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

2.3.1 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn L'?

2.3.2 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn Ị-i p

2.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

2.4.2 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn khống gian "H p 20

Chướng 3 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

ELLTPTTC TUYẾN TÍNH KHỔNG THUẦN

3.1 Nghiệm của bài toán 26

3.2 Tính khống chỉnh của bài toánỊ 28

3.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán 30

30 3.3.1 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn £2

3.3.2 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn T-t p 31 3.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán 32

3.4.1 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn £2 32

3.4.2 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn T-t p 35

Chướng 4 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

_ ELLIPTIC TựA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HẰM

_ CẤP KHỔNG NGUYÊN

4.1 Nghiệm của bài toán

4.2 Tính không chỉnh của bài toán

4.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn L'?

4.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn L'?

5.1 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e g tại t = 0.3

với ô E {0.1, 0.01, 0.001} 59 5.2 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e q tại t = 0.6

với ô E {0.1, 0.01, 0.001} 60 5.3 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e g tại t = 0.9

với ô E {0.1, 0.01, 0.001} 60

5.1 Đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa

tại các thời điểm ti e {0.3, 0.6, 0.9} với ố e {0.1, 0.01, 0.001}

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BI

1.1 Một số không gian hàm

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian c p ( f t ) , 1 < p < 00) Cho f t là một tập đo được

Lebesgue trên M d và / đo được Lebesgue trên íi với 1 < p < 00 Nếu |/|p khả

Định lí 1.1.2 Với ft đo được trong Rd, 1 < p < oo Không gian £ p (ft)

là không gian Banach Ta kí hiệu (.,.) và ||.|| tương ứng là tích và chuẩn trong £2(Q) Nghĩa là

\ 1 /p f(t) dt\ <00, Vp thỏa 1 < p < 00

(f,9) = Ị f{t)g{t)dt,

và

ll/ll = f f(t) dt

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian £ p([0 ;T],X)) Không gian £p ^[0 gồm tất cả

các hàm đo được u: [0 ; T] —> X với chuẩn

( } v/p

II W II TP ([0- T ]X ) =ị / || w (í)||jr°^ Ị <00, M p thỏa 1 < p < 00 Khi p —> 00

thì ta có

Định nghĩa 1.1.3 (Không gian ơm([0, T], £2(íi))) c m { [0, T] , £2(íi)) là không

gian các hàm liên tục u : [0, T] —> £2(íi) có đạo hàm đến cấp m, có nghĩa là u',

u", , uí 1 7 1 ) : [0, T] —>■ £2(íi) là các hàm liên tục Khi đó ơm( [0,T] , £2(íi))

là không gian Banach với chuẩn sau

771 IMIơm([ 0 ,T],£2(fi)) = ^ 2 S^P llw

Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert Scale H p (ft)) Với p > 0, không

gian Hilbert Scale H p (ft) là tập hợp các hàm u & £2(íi) thỏa

Định nghĩa 1.1.7 (Hàm liên tục tuyệt đối) Cho / : [a,b] —> M được gọi là

liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] nếu Ve > 0, 3Ố > 0 sao cho với họ {[afc,

bk]} k = 1 2 rời nhau từng đôi một thỏa mãn

- a k) < ỗ thì 1 fi b k) - f{dk)

Kí hiệu Aịa, b] = A l \a, b] là tập hợp các hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng [a, b] và

1.2 Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian X, Y là không gian

Hilbert 7Í với chuẩn ||-||^, tích vô hướng (•, •) và một toán tử A: X —> Y là

toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert nếu

a) A(/ + g) = Af + Ag V/, g e X ,

b) A(af) = aA/, V/ E X và \/a E M

Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử tuyến tính liên hợp) Cho X, Y là hai không gian

Hilbert và A : X —> Y là một toán tử tuyến tính, khi đó A* được gọi là toán tử tuyến tính liên hợp của A nếu A* : Y —> X và thỏa mãn

(A/,ỡ>y = (f,A*g)x-

Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A*

Định nghĩa 1.2.1 (Hệ trực giao) Cho không gian Hilbert H Tập hợp {ộj} gọi

là họ trực giao của ĩi nếu (ội, ệj) = 0 Vỉ Ỷ 3- Đặt

Vj = {01, 02, • • •, ệ j }

-Ta nói {ộj} là một cơ sở trực giao của ĩi nếu

« = Uu

3=1

Định nghĩa 1.2.2 (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert ĩi với tích vô hướng

(.,.) và chuẩn ll-ll^ Hệ {ệj} c H được gọi là hệ trực chuẩn nếu

{<Ị>ùệj) n = < ^ với ỈJe z +

[ 0, nếu i Ỷ h

Định nghĩa 1.2.3 (Khai triển chuỗi Fourier) Cho {ộj} là hệ trực chuẩn trong

% Với mọi u E ĩỉ ta có khai triển u(t) dưới dạng chuỗi Fourier như sau

00

u{t) = Y^(u{t),ệj)ệj

3=1

Định lí 1.2.4 Cho {ộj} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

H Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

i) {ộj} là hệ trực chuẩn đầy đủ, nghĩa làx -L ộj(j = 1, 2, ) =>• X =

Định lí 1.2.5 (Xem [7J) Xét toán tử tuyến tính A: D(A) c % —* %, và

ộj & 'Hị{tì) sao cho

Chú ý 1.2.8 Một toán tử tuyến tính bị chặn thì liên tục

Định nghĩa 1.2.9 Cho Hi, H 2 là hai không gian Hilbert Toán tử tuyến tính

A: Hi —> H .2 được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(£?) của hình cầu đơn

vị B trong Hi là compact tương đối trong H .2 với

B = {x e Hi : llxll^ < 1}

Nếu A là toán tử compact thì

I|A||L(X,F) = sup ||Ax||y < sup{||y||^2 : y E A(£?)} < 00

Khi đó, ta suy ra A liên tục

1.3 Các hàm đặc biệt

Định nghĩa 1.3.1 (Hàm Gamma) Với z & c và Re(z) >0 thì hàm Gamma được

định nghĩa như sau

Tính chất

i) r(z +1) = zr(z),

ii) r(i) = 1 ,

iii) r(n + 1) = n\ với n e N.

Định nghĩa 1.3.2 (Hàm Mittag-leffler[5j) Cho z e c, a > 0, ft > 0, khi đó hàm

Mittag-leffler được kí hiệu và xác định như sau

1.4 Các phép biến đổi tích phân

Định nghĩa 1.4.1 (Hàm gốc) Cho hàm / thỏa các điều kiện sau

i) Hàm / là hàm đo được trên (0, oo),

ii) Hàm / không tăng nhanh hơn một hàm mũ khi t —> 00, nghĩa là

Số CKo = ỉnfa, với tất cả a thỏa (ỉỉ) được gọi là chỉ số tăng của / hay hoành

độ khả tổng của / Lưu ý rằng có thể (ỉỉ) không thỏa với CKo- Hàm / có các tính chất (i) — (ỉỉ) được gọi là hàm gốc

Định nghĩa 1.4.2 (Phép biến đổi Laplace) Cho hàm / là hàm gốc với chỉ số

tăng CKo- Hàm phức biến phức F xác định bởi

xác định trên miền Rep > 0, được gọi là phép biến đổi Laplace của f và kí hiệu

là F = £(/)

Định nghĩa 1.4.3 (Phép biến đổi Laplace ngược) Cho hàm gốc f trơn từng khúc

trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t > 0, chỉ số tăng là CUQ Khi đó

Tích phân trên được hiểu theo nghĩa giá trị chính và công thức này có tên là công thức Mellin

Định nghĩa 1.4.4 (Tích chập) Tích chập của hai hàm số phức biến thực / và g

trên (0, oo) là một hàm phức được kí hiệu và xác định như sau

1.5 Một số định nghĩa và kết quả cần biết

Định nghĩa 1.5.1 (Tich phânRiemann-Liouville) Cho X là một không gian

Banach, / £ L1(0,T, X) và a > 0 Toán tử tích phân Riemann -

Liouville được kí hiệu và xác định như sau

0

Định nghĩa 1.5.2 (Đạo hàm Caputo) Cho u e ^42 [0, T] và 1 < a < 2 Đạo hàm

Caputo được kí hiệu và xác định như sau

iii) I^d^u = u(x, t) — tu'(x, 0) — u(x, 0) với 1 < /3 < 2

Định nghĩa 1.5.3 (Tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard) Giả sử u,

V là các không gian định chuẩn và một ánh xạ K: u —> V (tuyến tính hoặc phi tuyến) Bài toán Ku = V gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất sau

i) Tính tồn tại (existence): Với mọi V E V tồn tại u E u sao cho Ku = V ,

ii) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi V E V tồn tại duy nhất u E u sao cho Ku = V ,

iii) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào V, nghĩa là với mọi dãy {un} c u và Ku n —> V thì u n —> u

Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì bài toán

đó được gọi là không chỉnh (ill-posed)

Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (ứng với dữ liệu chính xác) và nghiệm chỉnh hóa (ứng với dữ liệu "nhiễu") Một sự chỉnh hóa được gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ

Định nghĩa 1.5.4 (Hàm Lipschitz)

a) Hàm /: M X H —> H được gọi là Lipschitz toàn cục (Globally Lipschitz), nếu thỏa

\\f{t,w) - f{t,v)II < K\\w - u II, trong đó, K là hằng

số không phụ thuộc vào w, V E ĩỉ và t E M

b) Hàm /: M X % —> % được gọi là Lipschitz địa phương (Locally Lipschitz), nếu thỏa

\\f{t,w) - f{t,v)II < K M \\ W - uII, trong đó, K M là hằng số phụ thuộc vào M với ||it;||, ||u|| < M và t ẽ M

Định nghĩa 1.5.5 (Điểm bất động và ánh xạ co)

• Cho ánh xạ F : X —> X Ánh xạ F được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại Xo thuộc X sao cho F ( X Q ) = Xo-

• Cho (X,d) là không gian metric Anh xạ F: A —> X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k E [0 ; 1) sao cho d(F(x ),F(y)) < kd(x,y), với mọi X, y

E X

Định lí 1.5.1 (Nguyên l ý ánh xạ C O Banach) Cho ( x , d ) là không gian metric đầy đủ và F là một ánh xạ co trong X Khi đó tồn tại duy nhất Xo £ X thỏa F(xũ) = Xo- Hơn nữa, với mọi x' E X thì F n (x') = Xo khi n —> +oo

1.6 Một số bất đẳng thường dùng

Định lí 1.6.1 (Bất đẳng thức Gronwall)

i) Giả sử u(t), a(t) là hàm không ãm, liên tục với mọi í G [0 ;T] và b

là một hằng số thực dương Khi đó, nếu

thì

u

t (t) < a(t) + b Ị u(s)ds,

0

t (í) < a(t) + b Ị a(s)e b ^~ s ^ds

0

ũ) Giả sử u(t) là hàm không âm, liên tục với mọi í G [0 ; T] và a, b là các hằng số thực dương (tức là ta thay hàm a(t ) ở bất đẳng thức (i) bởi hằng số a) Nếu

t u(t) < a + b Ị u(s)ds, 0

(Ají“)

< C+ 1=3 A7“ exp

Chương 2

BÀI TOÁN CAUCHY CHO

PHƯỢNG TRÌNH ELLIPTIC

TUYẾN TÍNH THUẦN NHAT

VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG

Iu ( x , t ) =0, ( x , t ) £ d f t X (0, T),

u(x,0) = f( x ) , x e Ũ , (2.2) Uí(x,0) = g ( x ) , x e f t ,

trong đó 0 c R d với (d = 1,2,3) là một miền có biên đủ trơn dft, /, g là dữ liệu đầu vào được xác định trong từng trường hợp cụ thể và T > 0

cho trước Trong (2.1), a e (1,2) là cấp đạo hàm không nguyên và dị là đạo hàm

cấp không nguyên Caputo đối với i(xem [15, 6j), được định nghĩa bởi

Bài toán đặt ra là xác định u ( x , t) từ các dữ liệu đầu vào (/, g ) Nhiệm vụ chính của chương này là

1 Xác định nghiệm của phương trình (2.1) với các điều kiện của (2.2),

2 Chứng minh tính không chỉnh của bài toán,

3 Đưa ra kết quả chỉnh hóa trong £ 2 và trong Hp ,

4 Chứng minh các kết quả chỉnh hóa

2.1 Nghiệm của bài toán

Giả sử rằng bài toán (2T) có một nghiệm u có dạng

Lấy tích phân hai Riemann - Liouville 2 vế cấp Q; từ phương trình chính

của bài toán (2.3), ta được

I f d f u j - I ? \ j U j { t ) = 0, trong đó

2.2 Tính không chỉnh của bài toán

Để chứng minh tính không chỉnh của bài toán, ta xét một mô hình

quan sát cụ thể và chỉ ra tính không ổn định nghiệm của bài toán trong

2.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

2.3.1 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trên c2

Gọi N E N* là một số nguyên dương, mà sau này sẽ đóng vai trò của tham

số chuẩn hóa, và kí hiệu

Chú ý 2.3.2 Ta chọn N = N ( ỗ ) sao cho Ajv < ^^ln Q)^ với p >

—Ctp

0; 0 < k < 1 thì sai số ||WẠT(-,t ) — «(•, í) II có bậc In G) 2

£ 2 ( 0 ) Mỉ)

2.3.2 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trên W

Cho / và g E 1-L p (ft), giả sử (/, g) bị nhiễu bởi dữ liệu quan sát ( f 5 , g 5 ) £

< — exp (A^X^Ố^^I + V ) + exp ( - Aị(T - Í))A/A (2.18)

Chú ý 2.3.4 Ta chọn N = N(ô) sao cho AN < ^^^ln Q)^ với p >

— Otp

0;0 < k < 1 thì sai số ||w^(-,í) — w(-,t)\ W > { S Ì ) có bậc lnG)

2.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán

2.4.1 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trên c ?

\ \ S N (í) f \ \ c * { í i ) < — exp^A^í) ||/|Ua(n), t e [0 ,T] (2.19) Tương tự, từ (2.12) và bất đẳng thức của bổ đề (1.6.3), ta có được

Bước 1 Đánh giá ||uJr(-,í) - ^(•,í)||z.2^ Sử dụng(|2.14Ị), (Ị2.21Ị), và bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có đánh giá sau

Do đó ta CÓ được

|wiv(->^) w (

-’ I I T 2(ÍÌ)

C +

Khi đó sai số trong đánh giá ||u^(-,í) — u(-, í)||£2(Q) có bậc In Q)

Vậy ta đã chứng minh xong định lí 2.3.1

2.4.2 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trên không gian VP

Do đó ta CÓ được

Dẫn đến

(^r) exp(2v)ZÌA^’^>2-

exp (A^í)||/||W(n) (2.25)Lập luận tương tự ta cũng có

Áp dụng điều kiện (2.17) ta có được

exp ( ^ X ị T ^ 0 ^ 2 ( 1 + + exp ( - Aị ( T - s)) A/A (2.29)

= N ( ỗ ) sao cho khi ỗ — > 0 thì

í exp^A^T^ố —> 0,

< C+

a

Chọn N = N (ô ) sao cho khi ô

Cho exp ^A^x^ố < ỗ k , khi đó ta tính được AN < (^ln Q)^ Do đó, ta

Chương 3

BÀI TOÁN CAUCHY CHO

PHƯỢNG TRÌNH ELLIPTIC ^

TUỴẾN TÍNH KHÔNG THUAN

NHẤT VỚI ĐẠO HÀM CAP

Iu ( x , t ) =0, ( x , t ) £ d ũ X (0, T),

Wí(x,0) = g ( x ) , x e Ũ , trong đó 0 c R d với ( d = 1,2,3) là một miền có biên đủ trơn ÔQ,

f , g là dữ liệu đầu vào, F là làm nguồn và T > 0 cho trước Trong

, a e (1,2) là cấp đạo hàm không nguyên và d ị là đạo hàm cấp

không nguyên Caputo đối với t , (xem [15, 6j) được định nghĩa bởi