Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với hamiltonian lồi

Lý do chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đềhết sức cần thiết của Giải tích hiện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ HUYỀN

CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TOÀN CỤC

CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON – JACOBI VỚI HAMILTONIAN LỒI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin được gửi lờicảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS NguyễnHữu Thọ, đồng thời tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớicác Thầy, Cô đã tham gia giảng dạy Cao học chuyên ngành Toán giảitích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại họcTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Phùng Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và chưa được sử dụng

Mở đầu 1

1.1 Tập đóng, tập mở 5

1.2 Hàm lồi 6

1.3 Hàm liên tục Lipchitz 7

1.4 Liên hợp Fenchel 8

1.5 Công thức Hopf trong trường hợp Hamiltonian lồi 9

1.6 Kết luận 10

2 Đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một 11 2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 11

2.2 Một số ví dụ 14

2.3 Điều kiện biên 23

2.4 Nghiệm địa phương 28

3 Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục trong

iii

3.1 Hệ phương trình vi phân đặc trưng 343.2 Công thức dạng Hopf và các đặc trưng 353.3 Dải khả vi của nghiệm được xác định qua công thức dạng

Hopf 44

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

k.k Chuẩn trong không gian

domf Miền hữu hiệu của f

epif Trên đồ thị của f

Ux Lân cận mở của x

f|Ux Thu hẹp của f trên Ux

|x| Giá trị tuyệt đối của x

hx, yi Tích vô hướng x và y

f∗ Liên hợp Fenchel của f

Lip(Ω) Tập hợp các hàm số liên tục Lipchitz

địa phương trên Ω

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung và phương trình

vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đã và đang là một vấn đềhết sức cần thiết của Giải tích hiện đại: chỉ trong lĩnh vực Phương trìnhđạo hàm riêng phi tuyến cấp một thôi chúng ta có thể thấy hàng loạtcác công trình của rất nhiều các nhà Toán học trên thế giới, trong đóPhương trình Hamilton-Jacobi đã và đang được quan tâm nhiều

Phương trình Hamilton-Jacobi là phương trình đạo hàm riêng phituyến cấp một có dạng như sau:

Ut + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn (1)trong đó H được gọi là Hamiltonian

Những nghiên cứu về Phương trình Hamilton-Jacobi xuất hiện từ rấtlâu, có lẽ từ việc khảo sát các bài toán biến phân với đầu mút động

Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương củaphương trình này Định lý Cauchy-Kovalevskaya là một trong nhữngđịnh lý đầu tiên nói về sự tồn tại, duy nhất nghiệm địa phương với các

dữ kiện được đặt ra là những hàm giải tích Các phương pháp tách biến,biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy,biến phân, đồng dạng đã góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu

về phương trình Hamilton-Jacobi

Tuy nhiên, trong nhiều bài toán vật lý và ứng dụng, nghiệm cổ điểnđịa phương của phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng được yêu

cầu thực tế vì chúng ta mong muốn nhận được thông tin tổng thể vàđầy đủ hơn Nhìn chung, các nghiên cứu cổ điển trước đây hoặc chưaquan tâm đến vấn đề nghiệm toàn cục, hoặc vì chưa có cách hiểu nghiệmmột cách mềm dẻo (do bản chất phi tuyến của phương trình Hamilton-Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục của bài toán Cauchy đối với phươngtrình Hamilton-Jacobi nói chung chỉ tồn tại trong một số lớp khá đặcbiệt) Bắt đầu từ những năm 1950-1951, với sự ra đời của các bài báo của

E Hopf và J D Cole về phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệmtoàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi được đặt nền móng và đượccác nhà Toán học quan tâm, và ngay sau đó đã có rất nhiều những kếtquả kinh điển ra đời tạo ra những định hướng quan trọng

Do tính phi tuyến của Hamiltonian nên miền xác định của nghiệmnói chung bị hạn chế nghiêm ngặt Để đạt được sự tồn tại toàn cục chonghiệm cổ điển đối với bài toán Cauchy đòi hỏi phải có điều kiện nghiêmngặt đặt trên Hamiltonian và dữ kiện ban đầu Đây cũng là nguyên nhânthúc đẩy sự phát triển các phương pháp tìm nghiệm toàn cục, nghĩa làtìm nghiệm trong toàn bộ miền đã cho Để nhận được điều này chúng

ta không hy vọng đạt được độ trơn cao của nghiệm mà nhất thiết phảigiảm yêu cầu đó Một lớp hàm được quan tâm trước hết trong việc mởrộng khái niệm nghiệm toàn cục đó là lớp hàm liên tục Lipschitz TheoĐịnh lý Rademacher: "Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả

vi hầu khắp nơi trong miền xác định của nó", chúng ta thấy lớp hàmnày là một lớp con không quá rộng của lớp hàm liên tục và chứa lớp cáchàm khả vi, và từ đó gợi ý cho những nghiên cứu về những lớp nghiệmsuy rộng

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về nghiệm suy rộng của

Bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton-Jacobi, được sự hướngdẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi quyết định chọn đề tài:

"Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của Bài

toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi

với Hamiltonian lồi"

2 Mục đích nghiên cứu

Mô tả cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trong trường hợp Hamiltonian lồi

và xét tính chính quy của nghiệm toàn cục

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận vănlà:

- Tổng quan về phương pháp đặc trưng đối với phương trình đạo hàmriêng phi tuyến cấp một

- Mô tả nghiệm toàn cục cho bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi thông qua nghiệmcủa nghiệm của hệ phương trình vi phân đặc trưng

-Khảo sát tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchycho phương trình Hamilton-Jacobi khi Hamiltonian lồi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợpHamiltonian lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạngHopf-Lax cho nghiệm toàn cục

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để nhận được một nghiên cứu về cấu trúc nghiệm toàn cục của bài toánCauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamilto-nian lồi

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống về cấu trúc nghiệm toàn cục mô tảbởi công thức dạng Hopf-Lax đối với bài toán Cauchy cho phương trìnhHamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian lồi

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính ε.

Định nghĩa 1.1.2 [4] Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu ∀x0 ∈ U, ∃ε > 0 saocho B(x0, ε) ⊂ U

Tập F gọi là bao đóng của A, kí hiệu là ¯A

Định nghĩa 1.1.4 [4] Tập B trong Rn gọi là bị chặn nếu tồn tại m > 0sao cho kxk ≤ m với mọi x ∈ B

5

Cho U ⊂ Rn là một tập mở và giả sử f : U → Rn thuộc lớp C1,

f = (f1, f2, , fn) Giả thiết x0 ∈ U, z0 = f (x0) Khi đó

∂(f1, , fn)

∂(x1, , xn)

Nếu xét U ⊂ Rn+m là một tập mở và giả sử f : U → Rm thuộc lớp

C1, f = (f1, , fm) Giả thiết (x0, y0) ∈ U, z0 = f (x0, y0) Khi đó:

Định nghĩa 1.1.6 [1] Jyf = |det Dyf | =

∂(f1, , fm)

∂(y1, , ym)

... khái niệm liên hợp Fenchel vàcơng thức Hopf cho nghiệm tốn Cauchy phương trìnhHamilton -Jacobi trường hợp Hamiltonian hàm lồi Đây nhữngkiến thức nhằm hỗ trợ cho kết trình bày chươngsau