đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy chophương trình truyền nhiệt ngược thời gian Nguyễn Văn Đứca Tóm tắt.. Bài toán 1.1 thường xuyên bắt gặp trong ứng dụng xem [1], [2] và n
Trang 1đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho
phương trình truyền nhiệt ngược thời gian
Nguyễn Văn Đức(a)
Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra đánh giá ổn định dạng Hălder cho nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian dạng
∂u
∂t = a(t)
∂2u
∂x2, (x, t) ∈ (−∞; +∞) ì (0; 1), u(x, 1) = ϕ(x)
1 mở đầu Trong bài báo này chúng tôi đưa ra đánh giá ổn định dạng Hăolder đối với nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian
(1.1)
∂u
∂t = a(t)
∂2u
∂x2, (x, t) ∈ (−∞; +∞) ì (0; 1), u(x, 1) = ϕ(x)
Bài toán (1.1) thường xuyên bắt gặp trong ứng dụng (xem [1], [2]) và nó thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh; có nghĩa là một sai số dù nhỏ trong dữ kiện ϕ(x) cũng có thể dẫn đến một sai số rất lớn của nghiệm hoặc thậm chí làm cho phương trình trở nên vô nghiệm Chính vì vậy, vấn đề đầu tiên khi nghiên cứu các bài toán đặt không chỉnh là việc tìm các đánh giá tính ổn định của nghiệm Các đánh giá này cho ta biết được bài toán "xấu" đến mức nào, để từ đó có thể đưa ra các phương pháp số hữu hiệu Ngoài
ra, các đánh giá tính ổn định cũng rất quan trọng trong việc chứng minh sự hội tụ và các đánh giá sai số của các phương pháp chỉnh khi giải bài toán đặt không chỉnh Để
đánh giá tính ổn định nghiệm của bài toán đặt không chỉnh người ta thường bổ sung các thông tin có ý nghĩa về phương diện vật lý cho nghiệm, sau đó mới đánh giá tính
ổn định trong lớp nghiệm thu hẹp này Đối với phương trình vừa được đề cập ở trên, thông tin về nghiệm có thể chấp nhận được đó là tồn tại một hằng số dương E sao cho
ku(ã, 0)k :=
Z +∞
−∞
u2(x, 0)dx
1 2
6 E
Giả thiết này nói lên rằng nhiệt độ tại thời điểm ban đầu là giới nội
1 Nhận bài ngày 20/8/2008 Sửa chữa xong 17/10/2008.
Trang 2Định nghĩa 1 Một hàm u(x, t) được gọi là thuộc vào tập U nếu ku(ã, 0)k 6 E, với E
là một hằng số dương cho trước
Khi nghiệm của (1.1) được hạn chế trong tập U vừa được định nghĩa ở trên thì ta
có thể đánh giá tính ổn định nghiệm của nó Các đánh giá tính ổn định nghiệm cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian thường chỉ đạt được cho bài toán hỗn hợp với hệ số hằng số hoặc hệ số chỉ phụ thuộc vào biến không gian, rất ít kết quả cho bài toán Cauchy, đặc biệt trong trường hợp hệ số của phương trình phụ thuộc thời gian Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi đánh giá cho trường hợp hệ số của phương trình
có dạng a(t) phụ thuộc vào biến thời gian
2 Kết quả bổ trợ Trước hết, chúng tôi nêu ra các kết quả bổ trợ sau
Bổ đề 1 (Bất đẳng thức Hăolder) Giả sử p > 1, q > 1 là các số thực thỏa mãn 1
p+
1
q = 1 Nếu f ∈ Lp(R), g ∈ Lq(R)thì fg ∈ L1(R)và kfgk1 6 kf kpkgkq
Định nghĩa 2 (Định nghĩa biến đổi Fourier trong L1(R)) Nếu f ∈ L1(R), ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là
b
f (ξ) := √1
2π
Z +∞
−∞
e−ix.ξf (x)dx (y ∈ R)
Bổ đề 2 (Định lý Plancherel) Nếu f ∈ L1(R) ∩ L2(R)thì bf ∈ L2(R)và kfk = k bf ktrong
đó k ã k là kí hiệu chuẩn L2(R)
Định nghĩa 3 (Định nghĩa biến đổi Fourier trong L2(R)) Ta định nghĩa biến đổi Fourier bf của f ∈ L2(R)như sau
Cho một dãy {fk}∞k=1 ⊂ L1(R) ∩ L2(R) với fk → f trong L2(R) Theo Bổ đề 2,
k bfk− bfjk = k \fk− fjk = kfk− fjkvà vì thế { bfk}∞k=1 là một dãy Cauchy trong L2(R) Do
đó bfk → bf trong L2(R), ta gọi bf là biến đổi Fourier của f trong L2(R) Định nghĩa bf không phụ thuộc vào việc chọn dãy { bfk}∞k=1tương ứng
Bổ đề 3 (Vài tính chất của biến đổi Fourier) Giả thiết f, g ∈ L2(R) Khi đó
i) +∞R
−∞
f ¯gdx =
+∞
R
−∞
ˆ
f ˆgdξ, ii) [Dαf = (iξ)αfbvới mỗi chỉ số α nguyên dương sao cho Dαf ∈ L2(R)
Trang 33 Kết quả chính Trong phần này, chúng tôi sẽ ddwa ra đánh giá ổn định nghiệm của bài toán (1.1)
Định lý 1 (Đánh giá ổn định) Giả sử u(x, t) là nghiệm của bài toán
(3.1)
∂u
∂t = a(t)
∂2u
∂x2, (x, t) ∈ (−∞; +∞) ì (0; 1), ku(ã, 1)k 6 ,
ku(ã, 0)k 6 E, (0 < < E), với a(t) > B > 0, với mọi t ∈ [0; 1] là hàm liên tục trên [0;1] Khi đó, chúng ta có đánh giá ổn định ku(ã, t)k 6 à(t)E1−à(t), với mọi t ∈ [0; 1] trong đó
ku(ã, t)k =
Z +∞
−∞
u2(x, t)dx
1 2 , với mọi t ∈ [0, 1]
à(t) = A(t)
A(1), ∀t ∈ [0, 1],
A(t) =
Z t 0 a(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1]
Chứng minh Giả sử u(x, t) là một nghiệm của (3.1) Biến đổi Fourier hai vế của đẳng thức ∂u
∂t = a(t)
∂2u
∂x2 và sử dụng Bổ đề 3 ii) ta có
∂ub
∂t(ξ, t) = −ξ
2a(t)bu(ξ, t)
(3.2)
Giải phương trình vi phân (3.2), chúng ta thu được
b u(ξ, t) = eA(1)(1−à(t))ξ2u(ξ, 1), (ξ, t) ∈ R ì [0, 1].b (3.3)
Do ˆu(ã, t) ∈ L2(R), t ∈ [0, 1], nên ta có
|bu(ξ, t)|à(t)= eA(1)à(t)(1−à(t))ξ2|u(ξ, 1)|b à(t), (ξ, t) ∈ R ì [0, 1]
(3.4)
Mặt khác, ở (3.3) thay t = 0 ta có
b u(ξ, 0) = eA(1)ξ2u(ξ, 1), ξ ∈ R,b (3.5)
hay là
b u(ξ, 1) = e−A(1)ξ2u(ξ, 0), ξ ∈ R.b (3.6)
Thay (3.6) vào (3.3) ta nhận được
u(ξ, t) = e−A(1)à(t)ξ2u(ξ, 0), (ξ, t) ∈ R ì [0, 1]
(3.7)
Trang 4Từ đó, ta suy ra
|bu(ξ, t)|(1−à(t)) = e−A(1)à(t)(1−à(t))ξ2|u(ξ, 0)|b (1−à(t)), (ξ, t) ∈ R ì [0, 1]
(3.8)
Nhân (3.8) với (3.4) theo vế để đạt được
|u(ξ, t)| = |b u(ξ, 1)|b à(t)|bu(ξ, 0)|(1−à(t)), ξ ∈ R
Do đó |bu(ã, t)| = |u(ã, 1)|b à(t)|u(ã, 0)|b (1−à(t))
Rõ ràng khẳng định của định lý đúng với t = 0 và t = 1 Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp t ∈ (0, 1) Trong trường hợp này, ta áp dụng Bổ đề 1 với
f = |bu(ã, 1)|2à(t), g = |u(ã, 0)|b 2(1−à(t)), p = 1
à(t), q =
1
1 − à(t)
và áp dụng Bổ đề 3 i) ta nhận được
ku(ã, t)k2 = kbu(ã, t)k2=
Z +∞
−∞
|bu(ξ, 1)|2à(t)|u(ξ, 0)|b 2(1−à(t))dξ
=
Z +∞
−∞
f (ξ)g(ξ)dξ =
Z +∞
−∞
|f (ξ)g(ξ)|dξ = kf gk1
6 kf kpkgkq
=
Z +∞
−∞
|f (ξ)|pdξ
à(t)
Z +∞
−∞
|g(ξ)|qdξ
(1−à(t))
=
Z +∞
−∞ b
u2(ξ, 1)dξ
à(t)
Z +∞
−∞ b
u2(ξ, 0)dξ
(1−à(t))
= kbu(ã, 1)k2à(t).ku(ã, 0)kb 2(1−à(t))
= ku(ã, 1)k2à(t).ku(ã, 0)k2(1−à(t))
6 2à(t)E2(1−à(t))
Từ đó suy ra mệnh đề của định lý với t ∈ (0, 1) Vậy định lý đã được chứng minh Nhận xét 1 Định lý 1 vẫn đúng nếu hàm a(t) thỏa mãn ba điều kiện sau
1) a(t) > 0 h.k.n trên [0,1],
2) a(t) 6= 0 h.k.n trên [0,1],
3) a(t) ∈ L1(0, 1)
tài liệu tham khảo
[1] K A Ames and B Straughan, Non-Standard and Improperly Posed Problems, Aca-demic Press, San Diego, 1997
Trang 5[2] Dinh Nho Hao,A Mollification Method for a Noncharacteristic Cauchy Problem for
a Parabolic Equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 199, 1996, 873-909
summary
Estimating the Stability for solutions of cauchy problem
for a heat equation backward in time
In this paper, we give a stable estimate of Hăolder type for solutions to Cauchy problem for a heat equation backward in time
∂u
∂t = a(t)
∂2u
∂x2, (x, t) ∈ (−∞; +∞) ì (0; 1), u(x, 1) = ϕ(x)
(a) Khoa Toán, trường Đại Học Vinh.