Luận văn bài toán cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyến tính cấp một

Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyến tính cấp một” được hoàn thành b

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2018

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn Trong quá trìnhnghiên cứu và thực hiện luận văn thầy đã tận tình chỉ bảo tác giả hoànthiện rất nhiều về mặt kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu khoahọc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sự kính trọng sâu sắc nhất đối vớithầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đạihọc, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồngnghiệp và bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuậnlợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và luận văn tốt nghiệp.Xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Loan

Tôi xin cam đoan luận văn dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.

TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài

“Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

và hệ phương trình tuyến tính cấp một” được hoàn thành bởi sự nhậnthức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Loan

cấp hai và của hệ phương trình tuyến tính cấp một 71.2.1 Mặt cong trong không gian Rn 71.2.2 Mặt đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính cấp hai 81.2.3 Mặt đặc trưng của hệ phương trình tuyến tính cấp

một 101.3 Đặt bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyến tính cấp một 111.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính cấp hai 111.3.2 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình tuyến tính

cấp một 15

1.3.3 Đưa bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình

đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về bài toánCauchy chính tắc cho hệ phương trình tuyến tínhcấp một 18

2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 212.1 Định lý Cauchy–Kovalewski về sự tồn tại và duy nhất

nghiệm trong lớp hàm giải tích của bài toán Cauchy cho

hệ phương trình tuyến tính cấp một ([3]) 212.2 Định lý Holmgren về tính duy nhất nghiệm trong lớp hàm

không giải tích cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp hai 272.3 Bài toán Goursat cho phương trình loại hypecbolic ([2]) 28

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, bài toánCauchy là một trong các bài toán cơ bản, đồng thời thường xuất hiệntrong các vấn đề ứng dụng và thực tiễn Việc mô tả cách đặt bài toánCauchy, cũng như tổng quan các điều kiện về sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán này trong các lớp hàm khác nhau đối với phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyến tínhcấp một là cần thiết để tìm hiểu sâu hơn về môn học

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề trên, dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tôi đã chọn đề tài “Bài toán Cauchy chophương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyếntính cấp một” để thực hiện luận văn của mình

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là [1], [2] và [3]

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn sẽ mô tả cách đặt bài toán Cauchy không đặc trưng và định

lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán này trong lớp hàm giảitích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Bài toán Cauchy bao gồm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính vàtập hợp các dữ kiện ban đầu Luận văn sẽ mô tả các mặt cong khôngđặc trưng mà trên đó tập hợp các dữ kiện ban đầu được cho trước

4 Đối tượng và phạm vị nghiên cứu

Luận văn chủ yếu tập trung vào các vấn đề về sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán Cauchy

5 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn là tài liệu tham khảo về bài toán Cauchy

6 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phương pháp của lý thuyết phương trình đạohàm riêng tuyến tính, của Giải tích các hàm biến số thực

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

và hệ phương trình tính tuyến cấp một

1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω là miền nào đó trong không gian Rn (cóthể trùng với Rn), thì phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai códạng tổng quát là:

Giả sử ann(x) 6= 0, chia cả hai vế của phương trình (1.1) cho ann(x)

và đặt xn = t, với x = (x1, , xn−1) ta nhận được phương trình sau với

Ví dụ 1.1.1 Cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai códạng tổng quát:

+ 37

∂2u

∂x1∂x2 +

87

∂u

∂x1 +

37

∂2u

∂x2∂x1 +

97

với aij = δij và δij = 1 nếu i = j, δij = 0 nếu i 6= j, ai(x) = 0, a(x) = 0.Khi f (x) = 0, phương trình (1.3) được gọi là phương trình Laplace.2) Phương trình dao động:

3) Phương trình truyền nhiệt:

1.1.2 Hệ phương trình tuyến tính cấp một

Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình tuyến tính cấp một dạng vectơ là

hệ gồm N phương trình đối với N ẩn hàm có dạng

Ví dụ 1.1.3 1) Xét trường hợp n = 2, N = 2 Cho hệ phương trìnhtuyến tính cấp một có dạng đầy đủ là:



.2) Xét trường hợp n = 3, N = 2 Cho hệ phương trình có dạng vectơnhư sau:

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử An(x) là khả nghịch, tức là tồn tại A−1n (x).Nhân hai vế của phương trình (1.6) với A−1n (x) ta có

Phương trình (1.8) gọi là dạng chính tắc của hệ phương trình tuyến tínhcấp một

tuyến tính cấp hai và của hệ phương trình tuyến tính cấp một

1.2.1 Mặt cong trong không gian Rn

Định nghĩa 1.2.1 Mặt cong S (siêu mặt S) trong không gian Rn đượcxác định bởi

S = {x ∈Rn, ϕ(x) = 0, ϕx(x) 6= 0} (1.9)với phương trình ϕ(x) = ϕ(x1, x2, , xn) = 0, trong đó

Ví dụ 1.2.1 1) S = {x ∈ Rn; xn = 0}

Ta đặt ϕ(x) = xn

ϕx(x) = (0, 0, , 1) 6= 0

Vậy S = {x ∈ Rn, xn = 0} là siêu mặt trong không gian Rn thỏa mãn(1.9).

Ví dụ 1.2.2 1) Giả sử ann(x) 6= 0 Khi đó mặt phẳng xn = const = c làmặt không đặc trưng của phương trình (1.10) Thật vậy, phương trìnhcủa mặt cong là:

S là mặt nón với đỉnh là (x0, t0) Ta đặt hàm ϕ(x, t) là:

ϕ(x, t) = t − t0 − 1

α

vuut

S = {x ∈Rn; ϕ(x) = 0, ϕx(x) 6= 0}

Định nghĩa 1.2.3 Mặt cong S được gọi là mặt không đặc trưng của

hệ phương trình tuyến tính cấp một (1.13) nếu

1.3 Đặt bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm

riêng tuyến tính cấp hai và hệ phương trình tuyến tính cấp một

1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến

S = {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0, ϕx(x) 6= 0} Giả sử S là mặt không đặc trưng của phương trình (1.14)

Bài toán Cauchy: Tìm u(x) là nghiệm của phương trình (1.14) trong

Ω sao cho trên S thỏa mãn các điều kiện sau:

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử bài toán Cauchy (1.14), (1.15) là không đặctrưng Khi đó với mọi điểm x0 ∈ S luôn tồn tại một lân cận đủ nhỏ của

x0 mà ở đó bài toán được đưa về dạng chính tắc

Chứng minh Xét điểm x0 ∈ S Do ϕx(x0) 6= 0 nên tồn tại 1 ≤ j ≤ nsao cho ϕxj(x0) 6= 0 Chẳng hạn, ta giả thiết ϕxn(x0) 6= 0 Do đó, theoĐịnh lý hàm ẩn, từ phương trình

yn−1 = xn−1

yn = xn − ψ(x1, , xn−1)

Phép biến đổi ngược y → x được cho bởi

x1 = y1

X

i,j=1

aij(x)[vyjyi − vyjynψxi − vynyiψxj − vynψxjxi]+ 2

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên theo xj, 1 ≤ j ≤ n − 1, ta có

y n =0 sẽ được hoàn toànxác định Thật vậy,

y n =0 = (v|yn=0)y

j.Chứng tỏ ∂v (y

trong đó u0(x) là hàm cho trước trên S.

Định nghĩa 1.3.2 Khi mặt cong không đặc trưng S được cho bởi

x0 mà ở đó bài toán được đưa về dạng chính tắc

Chứng minh Xét điểm x0 ∈ S Do ϕx(x0) 6= 0 nên tồn tại 1 ≤ j ≤ nsao cho ϕxj(x0) 6= 0 Chẳng hạn, ta giả thiết ϕxn(x0) 6= 0 Do đó, theoĐịnh lý hàm ẩn, từ phương trình

1.3.3 Đưa bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo

hàm riêng tuyến tính cấp hai về bài toán Cauchy chínhtắc cho hệ phương trình tuyến tính cấp một

Xét bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyếntính cấp hai:

ann(x) ≡ 1,

ux |x =0 = v1(x) (1.22)

Để đưa bài toán trên về bài toán Cauchy chính tắc cho hệ phương trìnhtuyến tính cấp một ta xét các ẩn hàm mới bằng cách đặt

u1 = u

u2 = ux1

un = uxn−1

un+1 = uxn.Khi đó ta có uxixj = (uxi)xj = (ui+1)xj, uxnxj = (uxn)xj = (un+1)xj,

Ta nhận được hệ phương trình tuyến tính cấp một đối với u1, u2, , un+1.

Ta sẽ chỉ ra rằng các điều kiện ban đầu đối với u1, , un+1 sẽ hoàn toànxác định Thật vậy, từ (1.21)

Xét bài toán Cauchy chính tắc cho hệ phương trình tuyến tính cấpmột trong lân cận của gốc tọa độ

Khi ta xác định được tất cả các đạo hàm của u(x) tại x = 0, nếu u

là giải tích, u được xác định một cách duy nhất và được cho bởi chuỗiTaylor Bây giờ dễ dàng xác định được u từ (2.3) và (2.4) Thật vậy,(2.3) cho phép ta biểu diễn tất cả các đạo hàm Dαu theo các đạo hàm

Dβu với βn = 0 Đầu tiên, theo (2.3), Dnuj được biểu diễn theo x, u, Diu

với i 6= n; sau đó DγDnu cũng được biểu diễn, với γn = 0, bằng cách

áp dụng Dγu vào (2.3) Tiếp theo, lấy đạo hàm (2.3) theo xn, ta tìmđược Dn2u theo x, u, Diu, Dnu, DiDku, DiDnu, với i, k 6= n, và do đó theo

x, u, Diu, DiDku và theo DγD2nu với γn = 0 Tiếp tục theo cách này, ta

có thể tìm được một phép biểu diễn cho bất kì Dαu theo x, u, Dβu với

βn = 0 Chính xác hơn, biểu diễn này là đa thức của Dβu và của các đạohàm của aijk(x, u) và bj(x, u) theo xi và ur với hệ số là các số nguyênkhông âm Cho x = 0, mọi Dβu với βn = 0 triệt tiêu và ta được tại gốctọa độ

Dαum = Pα,m(Dγδβbj), (2.5)trong đó Dγ phép đạo hàm theo x và δβ chỉ đạo hàm theo u, tất cả cácđạo hàm lấy tại gốc tọa độ, và Pα,m là đa thức với hệ số không âm Ta

có thể thấy rõ hơn từ mô hình phương trình vi phân

u0 = b(x)ucủa hàm vô hướng u(x) của biến x với điều kiện ban đầu u(0) = 0 Với

với Dαuj thu được từ (2.5) Ta vẫn phải chứng minh rằng chuỗi hìnhthức hội tụ với |x| đủ nhỏ và nó thực sự là nghiệm của (2.3), (2.4) Sựhội tụ trong (2.6) phụ thuộc vào việc lấy đánh giá thích hợp cho biểudiễn (2.5) của Dαuj Điều là khó khăn do cấu trúc phức tạp của đa thức

và có thể tránh được bằng cách sử dụng đặc số dương của hệ số Các đối

số của Pα,j là các đạo hàm của aijk và bj theo xk tại x = 0 Chúng chỉsai khác các hệ số của chuỗi lũy thừaa của aijk và bj theo x một nhân

tử dương Ta thay phương trình vi phân (2.3) bằng

|(Dγaijk)x=0| ≤ (Dγa0ijk)x=0,

|(Dγbj)x=0| ≤ (Dγb0j)x=0

với mọi β and γ Khi đó trong (2.5), (2.9),

|Pα,m(Draijk, Drbj)| ≤ Pα,m(Dra0ijk, Drb0j) (2.10)

(với đạo hàm lấy tại x = 0) Cho nên, từ chuỗi

X

α

1α!(D

Ở đây r đo kích thước của lân cận phức |xk| < r, k = 1, 2, , n của 0

mà F (x) giải tích, và M điều khiển độ lớn của F trong lân cận phức đó

Do vậy tồn tại các hằng số M, r thích hợp sao cho

Bài toán này có thể được giải một cách tường minh và ta dễ dàng kiếmchứng rằng nghiệm của nó là giải tích tại gốc tọa độ

Ta có thể kiểm tra véctơ giải tích u xây dựng từ (2.5), (2.6) thực sựthỏa mãn (2.1).

Do đó kết thúc chứng minh định lý Cauchy-Kovalewski 

trong lớp hàm không giải tích cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Từ trong lập luận sử dụng trong chứng minh của định lý Cauchy–Kovalewski suy ra rằng bài toán Cauchy giải tích với dữ liệu cho trướctrên siêu mặt không đặc trưng S có nhiều nhất một nghiệm giải tích u,

vì hệ số của chuỗi lũy thừa được xác định một cách duy nhất Điều nàykhông ngoại trừ khả năng nghiệm không giải tích của cùng bài toán cóthể tồn tại Tuy nhiên, ta có thể chứng minh tính duy nhất của bài toánCauchy phương trình tuyến tính với hệ số giải tích và với dữ liệu (khôngnhất thiết giải tích) cho trước trên mặt không đặc trưng giải tích Taxét định lý Holmgren

Khi đó tồn tại ε0 > 0, ε0 < ε1 sao cho với mọi ε thỏa mãn 0 < ε < ε0

và nếu u(x, t) ∈ C2(Dε) thỏa mãn phương trình (2.25) và điều kiện ban

(

u(x, 0) = 0

ut(x, 0) = 0thì u(x, t) ≡ 0 trong Dε

Chú ý 2.2.1 Tính duy nhất nghiệm vẫn đúng trong trường hợp nửakhông gian Trong trường hợp này, ta giả thiết u(x, t) xác định trên

D0ε = Dε ∩ {t ≥ 0} và khả vi liên tục 2 lần kể cả trên biên

Chứng minh của định lý Holmgren được trình bày trong [3] bằng cách

x1 = x, x2 = y,1

ϕ(x, y) = y + c2 ⇒ ∂ϕ

∂x = 0,

x + c1 = 0 ⇒ x = −c1,

y + c2 = 0 ⇒ y = −c2

Nó gồm hai họ các đường thẳng song song với các trục tọa độ

Bài toán Goursat của phương trình (2.26) hay là bài toán với dữ kiệncho trên các đường đặc trưng được phát biểu như sau:

Bài toán 2.3.1 Tìm nghiệm của phương trình (2.26) sao cho trên cácđoạn đường đặc trưng x = x0, y0 ≤ y ≤ β và y = y0, x0 ≤ x ≤ α nghiệmnói trên lấy các giá trị cho trước

u|x=x0 = ϕ1(y), y0 ≤ y ≤ β (2.27)u|y=y0 = ϕ2(y), x0 ≤ x ≤ α (2.28)

Ta giả thiết ϕ1(y), ϕ2(y) là những hàm khả vi liên tục và

ϕ1(y0) = ϕ2(x0) (2.29)Bài toán Goursat nói trên có nghiệm duy nhất, hoàn toàn được xácđịnh trong hình chữ nhật x0 ≤ x ≤ α, y0 ≤ y ≤ β Thực vậy, ta hãy đặt

v = ∂u

∂x, w =

∂u

Phương trình (2.26) có thể viết được dưới dạng

x 0

[f (x, y) − a(x, y)v − b(x, y)w − c(x, y)u]dx

(2.33)Chú ý (2.27), (2.28), (2.30), (2.33) ta được hệ phương trình sau

thứ hai của (2.34), chú ý điều kiện (2.29) ta suy ra

Để tìm nghiệm của hệ phương trình (2.34) ta dùng phương pháp xấp

xỉ liên tiếp Phương pháp này, như ta đã biết cũng được dùng để chứngminh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân thường y0 = f (x, y)(phương pháp Picard)

Hàm xấp xỉ đầu tiên được đặt là

trong đó K là hằng số sao cho

|a(x, y)| + |b(x, y)| + |c(x, y)| ≤ K (2.39)

và A là một hằng số sao nào đó không phụ thuộc n Hằng số K tồntại do giả thiết liên tục của a, b, c trong hình chữ nhật kín x0 ≤ x ≤

α, y0 ≤ y ≤ β Từ (2.36), cho n = 1, rõ ràng giả thiết liên tục của

a, b, c, f, ϕ1, ϕ2, ϕ01, ϕ02, ta có

|v1| ≤ A, |w1| ≤ A, |u1| ≤ Anếu A chọn đủ lớn Như vậy (2.38) được thỏa mãn với n = 1 Trongtrường hợp chung ta chứng minh bằng quy nạp Ta chứng minh các bất

đẳng thức (2.38) vẫn còn đúng khi n thay bởi n + 1 Thực vậy từ phươngtrình đầu của (2.37), chú ý (2.38), (2.39), ta được

Từ đó suy ra các dãy {vn}, {wn}, {un} hội tụ đều trong hình chữ nhật

để kể trên tới các hàm giới hạn v, w, u nào đó Do tính hội tụ đều của cácdãy vừa nói, ta có thể chuyển hệ thức (2.36) qua giới hạn khi n → ∞, và

từ đó ta thấy ngay được các hàm giới hạn v, w, u là những hàm liên tụctrong hình chữ nhật và thỏa mãn hệ thức (2.34) Nói khác đi bài toán(2.26), (2.27), (2.28) có nghiệm

Bây giờ ta chứng minh bài toán (2.26)–(2.27)–(2.28) hay là hệ (2.34)tương đương với nó, có nghiệm duy nhất Thực vậy, nếu hệ (2.34) có haingiệm (v, w, u) và (v∗, w∗, u∗) thì ta ký hiệu của chúng là

V = v − v∗, W = w − w∗, U = u − u∗.Viết (2.34) cho (v, w, u) và (v∗, w∗, u∗) sau đó trừ các hệ thức thu đượclần lượt cho nhau, ta có

Bài toán Goursat đối với phương trình dao động của dây Đối với phươngtrình dao động của dây:

OA của đường đặc trưng x + at = 0 và đoạn OB của đường đặc trưng

x − at = 0

Nghiệm u(x, t) được giả thiết là liên tục trong hình bình hành kín OACB,

do đó ϕ(P ) và ψ(Q) phải thỏa mãn điều kiện

ϕ(O) = ψ(O) (= u(O))

Ta hãy xét một điểm M bất kỳ trong hình hành OACB và dựng hìnhbình hành OP M Q với P, Q lần lượt nằm trên OA và OB

Hình 2.1:

Gọi D(M ) là hình bình hành vừa dựng Lấy tích phân hai lớp của hai(2.43) trong D(M ), và đổi ra tích phân đường lấy theo chu vi nhờ côngthức Green, ta có

Nhưng trên OQ và M P , x − at = const, ta có dx = adt Tương tự trên

QM và P O, x + at = const, ta có dx = −adt Từ đó, trên OQ và M P

hàm riêng tuyến tính cấp hai tốn Cauchy chínhtắc cho hệ phương trình tuyến tính cấp

Xét tốn Cauchy tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyếntính cấp. .. lý Cauchy- Kovalewski 

trong lớp hàm không giải tích cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai< /h3>

Từ lập luận sử dụng chứng minh định lý Cauchy? ??Kovalewski suy toán Cauchy. .. Cauchy tắc cho hệ phương trình tuyến tính cấpmột lân cận gốc tọa độ

Khi ta xác định tất đạo