Luận văn bài toán cauchy neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolỉc cấp hai trong trụ vổri đáy không tr o n .... Các bài toán biên đối vói phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tr

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • •

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC• • •

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

HÀ NỘI, 2015

Tác giả cũng xin được gửi lòi cảm ơn chân thành tói Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thày cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích đã tạo điều kiện thuận lọi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, thảng 12 năm 2015

Vũ Thị Hoài Phương

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học vói sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, thảng 12 năm 2015

Lời cam đoan

Vũ Thị Hoài Phương

Mục lục

Mở đầu 1

Nội d u n g 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn b ị 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Đạo hàm suy rộ n g 6

1.3 Không gian Sobolev 8

1.4 Một số bất đẳng thức cơ b ả n 10

1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy với £ 10

1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 10

1.4.3 Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng .11

Chương 2 Bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolỉc cấp hai trong trụ vổri đáy không tr o n 14

2.1 Đặt bài toán 14

2.2 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 16

2.2.1 Bất đẳng thức năng lượ ng 16

2.2.2 Định lý duy nhất nghiệm .18

2.3 Sự tồn tại của nghiệm suy rộng 25

2.4 Ví d ụ 35

Kết lu ậ n 38

Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

1 L ý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một bộ phận quan trọng của toán học, nó được nghiên cứu làn đàu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, Dalembert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Các bài toán biên đối vói phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính trong các miền trơn

đã được nghiên cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỷ XX Tuy nhiên các kết quả này chỉ dừng lại là các bài toán được xét trong các miền với biên trơn.Một vấn đề đặt ra cần nghiên cứu các bài toán trong các miền không trơn, tức

là biên của miền chứa điểm kì dị Các phương pháp nghiên cứu truyền thống nhờ phép biến đổi Fourier hoặc Laplace để đưa bài toán không dừng về bài toán dừng chỉ thu được kết quả đối với phương trình và hệ phương trình có các hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian

Khi đó một vấn đề cơ bản cần giải quyết: nghiên cứu được bài toán với hệ số của phương trình phụ thuộc vào cả biến thời gian không những cho miền với biến không ừơn mà cho cả miền với biến trơn Các vấn đề này đến nay vẫn đang tiếp tục được nghiên cứu

Với mong muốn được hiểu sâu hơn về các bài toán trong miền không trơn, nhờ sự giúp đõ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài:

HYPERBOLIC CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 M ục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu về tính giải được của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, đó là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trên trong trụ với đáy không trơn

3 N hiệm yụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các kiến thức liên quan Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đ ối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy-Neumann đối với phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ vói đáy không trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng ữong luận văn là phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm Sobolev

6 Đ óng góp m ới của đề tài

Các kết quả của luận văn góp phàn hoàn thiện lí thuyết một cách hệ thống các trường hợp đặc biệt của những bài toán tổng quát đã được giải ữong miền không trơn

7 N ội dung

Luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức bổ trợ.

Chương 2: Trình bày cách đặt bài toán Cauchy-Neumann đối với

phương trình hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán

Chương 1 Kiến thức chuẩn bỉ

1.1 Các kí hỉêu

Mn là một không gian Euclide n- chiều, x={x± , x 2, , xn) E Mn.

Xét fì là một miền bị chặn trong Mn , n > 2 với s = díì là biên của

u = (ul f u 2, Un) và Dp = - — là đạo hàm suy rộng câp p theo

biến X = {x1 ., x n ), u t k = d ku / d t k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t.

Ở đây p = (p1, ,pn) là kí hiệu đa chỉ số với Pi là các số nguyên không âm,

c° (fl) = c (íl) và t k (íl) = Ể(íl) n ck (fl),

ở đó Ể k là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong íì và có giá compact thuộc n Định nghĩa không gian Lp (íì): Cho fì là một miền trong không gian Mn và cho 0 < p <+ 00 Khi đó Lp (fí) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) khả tổng cấp p theo Lebesgue trong với chuẩn:

IMlLrm = Ị Ịu(x,t)Ị 2 dxdt

ĨI

Một hàm số / đo được trên Mn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một

số k sao cho 1 /0 0 1 < k hầu khắp nơi trên Mn Cận dưới lớn nhất các hằng số k được gọi là essentỉal supremun của l/l trên Mn.

Kí hiệu:

ess s u p |/(x )|

Định nghĩa không gian L°° (fì): là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo

được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên n vói chuẩn :

IN Il^ íì) = esssup|w (x)|

xe a

Cho X là không gian Banach với chuẩn II \\ỵ K í hiệu ư° (0, T, JQlà không gian bao gồm tất cả các hàm и (.,t) nhận giá tri ữong không gian X , xác định

trên(0, Г) sao cho:

IMIL°°(0/r,jf) = ess sup|u(X)|

xe n Điều kiện Lipschitz :

Hàm и : и -» IR (ơ là tập mở ừong R n ) là liên tục Lipschitz nếu V x , y E

и, С là hằng số :

\ u ( x ) - u ( ỳ ) \ < c \ x — y\

Ta viết:

1 _ „ \ u ( x ) - u ( ỳ ) \ Lip[u\ := sup j -j

X , y € U , x * y \x y\

Ta sử dụng các kí hiệu sau :

I v(x, t)<p(x)dx а

I v(x, t)w(x, t)d x а

{v,w)aT = Ị v ( x , t ) w ( x , t ) d x d t

h

1.2 Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử fì là một miền trong không gian IRn Một

hàm V (x) 6 Lx (П) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u{ x) G

ьг (П) nếu:

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông

thường Ví dụ xét u ( x ) = I X I , X E (—1,1) Dễ kiểm ừa được hàm u(x) có

đạo hàm suy rộng trong khoảng (—1,1) Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm

thông thường tại điểm có X = 0.

Giả sử v(pc) là đạo hàm suy rộng của u(x) = I X I , X e (—1,1) Khi đó

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền íì thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp p ừong miền íì' с íì Thật vậy, giả sử It(x) có đạo hàm suy rộng ừong miền П là hàm v(x) và (p{x) là một hàm bất kỳ thuộc с 00 ựì'), íì' là miền con của íl Khi coi <р(х) = 0 với X e fì\fì' ta nhận được (Ọ e t 00 ( ứ )

Từ đó ta nhận được u(x) có đạo hàm suy rộng trong miền íl' cũng chính

là hàm v(x) Đạo hàm suy rộng trong miền íì' được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong íì vào ũ '

các hằng số tùy ý

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường Tuy nhiên,

không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp p không suy

ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn p.

1.3 Không gian Sobolev

•Không gian w l(fì)

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử П là một miền trong không gian Mn Ta định nghĩa w l(fì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x ) 6 L2 (fì), x E Í Ì với

chuẩn:

INIw l{a) = ( / \DĨ>u\2dx

Không gian W1 (fì)

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử fí là một miền trong không gian Mn Ta định

nghĩa w 1 (fì) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) e L2 (fi), x G í l với

• Không gian w l'k (e~yt, ÍÌT)

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử fí là một miền ừong không gian Mn Ta định nghĩa

w l,k(e~Yt, n T) là không gian bao gồm tất cả các hầmu(x, t) e L2(/2T) sao

»Không gian IV1'1 (e n , Ĩ2T)

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử íl là một miền trong không gian Mn Ta định

nghĩa w 1,1 (e ỵt, Í1T) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t)e L2 (n), sao cho Dpu ( , t), u tj ( , t) 6 L2 (fì), với mỗi t 6 (0, T) và

= / ( I \D’ u\>+ ỵ \ u

ắ T \ 0 < | p | < l 0<;'<1

\\u\\2 wi,iie-ytnT) = [ ( y \ ° Pu\2 + y M * )e 2ytd x d t < 00

Đặt L2(e~Yt, ÍÌT) = W 0fi( e - yt, ũ T)

1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho u , v e Mn Khi đó, ta có:

u ( t ) < <p(t) + L [ ei(t S)<jơ(s)ds, v t 6 [t 0, T ).

•'to

Hơn nữa, nếu <p(t) có đạo hàm cp'(t ) khả tích trên [t0, T) ứiì

li(t) < <j9(t0)e L(í_to) + L [ e L<'t~s)<p'(s)ds, v t € [t0, r )

Ta nhận thấy rằng nếu (Ọ= c = const trên [t0, r ) thì từ bất đẳng thức

trên ta suy ra bất đẳng thức Gronwall-Belman thông thường, tức là:

Chương 2 Bài toán Cauchỵ - Neumann đối với phương trình heyperpoỉic cấp hai trong trụ với đáy không trơn

Trong chương này luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy - Neumann đối với phương trình heyperpolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán trong trụ với đáy không trơn

ở đây aỊj=aịj (x,t) là hàm phức khả vi YÔ hạn trên n r

CLịj = a Ểj (i,j = 1 , , n ) v à o = a(x, t) là hàm thực khả vi vô hạn ữên

ÍÌT Hơn nữa giả sử rằng a Ểy (i,j = 1 , , n) là liên tục đều với X 6 ũ theo biến

t e (0,70

Ký hiệu:

N(x, t,d) = 2 , a i j (x > 0 cos(%£, v)

ở đây V là vector pháp tuyến ngoài của mặt ST

Xét trong miền trụ fìT phương trình:

Bài toán ta đang xét là Hypebolic mạnh, tức là với { 6 Mn \ {0}

và (X, t) e íloo , tồn tại ữong jUi= const >0, ta luôn có đẳng thức sau :

i j = 1

Định nghĩa nghiệm suy rộng :

Cho / G L2(íì) Khi đó hàm u(x, t ) được gọi là nghiệm suy rộng của bài

toán (2.1) - (2.3) trong không gian w u (e-yt, ŨT ) nếu u(x, t ) G

W 1,1 (e~Yt, fìT ) , u(x, 0) = 0 với mỗi T > 0 thỏa mãn đẳng thức sau:

Với mọi hàm thử ĨỊ = ĩ](x, t) G W 1,1 (e yt, fìT) sao cho ĩị{x, t) = 0

2.2 Tính duy nhất của nghỉệm suy rộng

Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.4) thỏa mãn Khi đó tồn tại 2 hằng số

Ho >0, Ảo >0 sao cho với mọi hàm cố định и = u(x,t) 6 w 1,1(e~yt, n T )ta có

Bởi vì П là miền có tính chất đoạn nên từ bất đẳng thức nội suy ra ta có

INI V СП) =S£i l N I V m + c (£i)llu ll2i 2(a)Với mọi 0<£i<l

Thay vào (2.7) ta nhận được :

Giả sử bài toán (2.1) - (2.3) có hai nghiệm suy rộng U - L và u 2 trong

l/K1’1(e _yt, n T) với Y > 0.

TacóĩỊ^x, t) G M^1’1(e_ytJíl7.), thật vậy

Vì u(x, t) G IV1'1 (e~yt, fìT) nên tồn t ạ i , { x ty } ° ° c C" (fìT)

IIUj - u\\w i.í(Qt) ->0, khi j-»0 Đ ặ t:

TJb

lo

Uj(x, s)ds, 0 < t < b

, b < t < T

Vì b tùy ý nên ta có Ui (x, t) = u 2 (x, t )

Định lý được chứng minh

2.3 Sư tồn taỉ của nghỉêm suy rông• • o • V • o

Mục này dành cho trình bày phát biểu và chứng minh sự tồn tại của nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy- Neumann đối với phương trình Hyperbolic cấp hai trong trụ với đáy không trơn Sự tồn tại của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lý sau :

Khi đó tồn tại số Yo cố định sao cho với mọi ỵ > Yo bài toán (2.1)- (2.3) có nghiệm suy rộng u(pc, t) G w 1’1 (e-yt, fír ) thỏa mãn:

tuyến tính của nó chính là w m(fì) Hơn nữa ta có thể giả thiết {(pk (*)}”=! trực

chuẩn ữong không gian Lz (fì)

Cộng vào đẳng thức ưên với liên họp phức của nó ta nhận được :

—2Re ^ ( а ^ , и ^ ) Пт + 2Re (auN,u?)nT - 2Re (uft,u f )n T

l|w ^(.,0)||2, ,n = 0, ||w".||2 = 0 ,1 < i < n ,

11 t к > ; II L z ( n ) Il X i II L z ( í i )

Từ đó suy ra ||uw(.,0 )||2^ 1(íỉ) = 0 ,yầB (uN, u N) (0) = 0

Vì atj = ÕJ[, lấy tích phân từng phân ứiành phần thứ nhất của đẳng thức (2.14)

ta được :

B (u N, un X t ) + 2Re (auN,u?)aT - 2Re\\u” ( , t ) ||2l (ад

+ 2 ((.atjOtUxj^xi)ÍIT i,j= 1

I K ( ^ T ) | | 2 (n) + r^ -\\u N { x , t )\\2 < C e yT 11/ 11*00 (0,r,i2(ii))

Do đó ta CÓ

I K ( X - O i l m e n ) + llwJVf r T) I I V ( i i ) < CeyT 11/11*00(0,T,L2(Í1))

Vói c = const > 0 chỉ phụ thuộc vào Ho n và y.

Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức trên với ẽ 2ỵz rồi lấy tích phân 2 vế theo X

từ 0 đến T ta nhận được:

W ^ W w ^ e - y ^ i i T ) - c I I / I I Ỉ ° ° ( o , t , l 2 0 2 ) )

Với c = const > 0 chỉ phụ thuộc vào |io, ỊẦ và ỵ.

Vì {UN} bị chặn ữong không gian W 1,1 (e~yt, Í2T) nên ta ưích ra một dãy con của dãy {uN (pc, t)} hội tụ yếu tới (x, t) e W 1'1 (e~ỵt, Í2T).

Ta sẽ chứng minh u(x, t) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)-(2.3).

Do {UN (X, t)} hội tụ yếu ưong W 1'1 (e~ỵt, ÍỈT) tới hàm u(pc, t) đều theo

t E [0,T] nên [uN (x, 0)} hội tụ yếu đến u(x, 0) Mặt khác UN (x, 0) = 0 nên u(x, 0) = 0.

Ta còn phải chứng minh u(x, i) thỏa mãn đồng nhất thức tích phân (2.5) Nhân cả 2 vế (2.12) với dị (t ) 6 W 1 (0, T), di ( r ) = 0, rồi lấy tổng theo l từ 1 đến N, rồi lấy tích phân theo t từ 0 đến T, ta thu được:

- ^ <aỂX ;.,u " ) nT + (auN,ĩi)aT - « ,r})aT = (f,ĩ})aT

ij = 1

với

Thật vậy, bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, từ {(pk (X) } ” =1 ta

có tìiể xây dựng một hệ trực chuẩn {ĩị)k 0 0 } “=! trong 'Wì (12) mà bao tuyến

Lấy tùy ý v(x t) e W 1,1 (e~Yt, /2T) Do c°°ựÌT) trù mật ttong

W 1,1 (e-yt,/3T) nên V£ > 0 ,3wE(%, t) 6 C°°(Í2T) ) sao cho:

II v(*, t) - we(x, Ollwi.i(e-yt^T) < I Khai triển Fourier hàm w£ (x, t) ứieo hệ {iỊjk (*)}”= 1 ta có:

dwE (pc, t) dsn

dw£ (x, t) dt

£

||we(x, t) - s n (x, t ) ||wi,i(e-ytяг) < —, V n > N

Vậy:

||v (* ,t) - s n(*,011^1,1^-1*^ <

Với я đủ lớn và 5n (x, t) ẼM* Tức là M* trù mật trong không gian

W 1'1 (e~ỵt, ÍỈT) Ta có đẳng thức tích phân đúng với mọi hàm thử thuộc tập trù

mật trong không gian W 1д (e~Yt, ÍÌT) nên nó cũng đúng cho mọi hàm thử

thuộc W1,1(e -yt,/37.)

Tức là ta sẽ nhận được:

71

- 1 J w “** + Ị “ĩ** + Ị =Ị

^ {Q-iịHxị!Vxì^íìT "I- ”1" ^■Vt^íỈT ( f tV^íìT

ij=1

Do đó u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)-(2.3) trong không gian

ì/ự1,1 (e~Yt, ÍÌT) hơn nữa:

Hàm u(x, t) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (2.20)-(2.22) trong không gian vv1,1 (e-yt, í l j ) nếu và chỉ nếu

u(x, t ) 6 vv1'1 (e_yt, íì-p), u(x, 0) = 0 và thỏa mãn đồng nhất thức tích phân :

Với mọi hàm thử ĩ](x, i) E w 1,1(^e Yt, n TXv(.x > 0 = 0

với t £ ( r j ) , 0 < T< T.

Nghiệm u(x, t) như thế sẽ thỏa mãn phương trình (2.20), điều kiện ban đầu

(2.21), điều kiện biên (2.22) ừong đồng nhất thức tích phân (2.23) và điều kiện

u ( x , t ) e W 1-1(e~Yt,ŨT).

Thật vậy, nếu u(x, t ) là nghiệm của bài toán thì từ phương trình (2.20) ta có:

Áp dụng công thức tích phân từng phần đối với thành phần thứ nhất của vế trái,