Luận văn bài toán cauchy cho hệ phương trình hyperbolic cấp một

Lí do chọn đề tài Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô tả các quá trình truyền sóng khá

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ

vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, thắng 6 năm 2015

T ác giả

P h ạ m T h ị H ư ơ ng

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Hà

Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "B à i to á n

C a u c h y cho h ệ p h ư ơ n g tr ì n h hyperbolic cấp m ộ t " được hoàn

thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, thắng 6 năm 2015

T ác giả

P h ạ m T h ị H ư ơ ng

1.1.3 Không gian Sobolev w<

1.1.4 Không gian cm([a, b], E )

1.1.5 Không gian ó? và y

, / , 9 , .

1.2 Biến đối Fourier

1.2.1 Biến đối Fourier trong không gian Schwartz 5?

1.2.2 Biến đỗi Fourier trong khống gian ư

1.2.3 Biến đối Fourier trong khống gian 5?'

1.3 Toán tử làm trơn

1.4 Toán tử giả vi phân và toán tử tích phân kì dị

1.5 Khái niệm nửa nhóm

1.5.1 Nửa nhổm

1.5.2 Toán tử sinh của nửa nhổm

1.5.3 Phương trình vi phân trong khống gian Banach

1.5.4 Định lý Hille-Yosida

3333

4 4455

6

77

2 H ệ phư ơng trìn h h y p erb o lic với hệ số biến th iê n và không

2.1 Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một 152.1.1 Đinh nghĩa 152.1.2 Điều kiện cần cho tính hyperbolic mạnh 172.1.3 Các điều kiện đủ cho tính hyperbolic mạnh . 192.2 Bất đẳng thức năng lượng trong L 2 đối với hệ đối xứng 23

2.2.2 Trường hợp đạo hàm theo tcủa nghiệm khống bình

2.3 Bài toán Caưchỵ cho hệ phương trình đối xứng vổi đạo

hàm theo t của nghiệm thuộc cữ([0, T ] , L 2) 282.3.1 Các tính chất của toán tử A 28

2.3.2 Bất đẳng thức năng lương trong L 2 312.3.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc C Q ([0, T ], L 2) 312.4 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng với đạo

hàm theo t của nghiệm thuộc c° ([0, T1] , wỉ) 322.4.1 Các tính chất của toán tử Ả 322.4.2 Bất đẳng thức năng lương trong W2 362.4.3 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm với đạo hàm theo

t của nghiệm thuộc c° ([0,T ] , W j) 37

K ế t lu ậ n

T ài liệu th a m k h ảo

3940

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một là một trong các hệ phương trình cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vì nó mô

tả các quá trình truyền sóng khác nhau Song bài toán Cauchy đối với

hệ phương trình loại này thường chỉ được xét trong trường hợp với hai biến độc lập Trường hợp với số biến bất kỳ, bài toán Cauchy thường được xét với giả thiết hệ là đối xứng và các hệ số của hệ phương trình là

hằng số hoặc không phụ thuộc biến thời gian t Việc tổng quan lý thuyết

trên là cần thiết để có thể có cách tiếp cận thống nhất giữa các trường hợp khác nhau

Bố cục luận văn gồm hai chương

Trong chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị: một số không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử làm trơn, toán tử tích phân kì dị, khái niệm nửa nhóm và toán tử sinh của nó, bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân trong không gian Banach

Trong chương 2 trình bày các nội dung chủ yếu là: hệ phương trình hyperbolic đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian, bài toán Cauchy cho hệ này, các bất đẳng thức năng lượng, phát biểu

và chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [2]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nêu được các bước giải bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyper­bolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng

Hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp đối xứng với hệ số biến thiên và không phụ thuộc thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

6 Đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán Cauchy cho hệ phương trình hyperbolic tuyến tính cấp một trong trường hợp hệ đối xứng và hyperbolic mạnh

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Không gian ẩẽm (hay ẩẽm (Rn)) là không gian bao gồm

tấ t cả các hàm u(x) thỏa mãn D au (x ), \a\ < m liên tục và bị chặn trên

1.1.3 K h ô n g g ian S obolev w 2m

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Không gian w 2™ (hay W2m (Mn)) là không gian bao

gồm tấ t cả các hàm u (x) € í/2, sao cho D au (z) G L 2 với mọi \a\ < m

và được trang bị bởi chuẩn

N h ậ n x é t 1.2 Không gian w 2m là không gian Hilbert với tích vô hướng

(u (x) , V (x))Wm = ^ 2 j D au D avdx.

0<\a\<m-^n Không gian \W™Ỵ là không gian đối ngẫu của w 2m.

1.1.4 K h ô n g g ian c m ([a, 6], E)

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 Giả sử E là không gian Banach Không gian c m ([ữ, 0], E ) gồm các hàm u (t ) xác định trên [a, 6], nhận giá trị trong E, khả vi liên tục đến cấp m trong tô pô của E theo chuẩn sau

771

ll“ (í )llc»(Ml,E) = sup S I K M L

-«<<<4 t _0

1.1.5 K h ô n g g ian y và SP'

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Không gian s? (hay 5? (Mn)) là không gian véc tơ gồm

tấ t cả các hàm u (x) xác định trên khả vi vô hạn và thỏa mãn

sup \x^ (D au (x))| < 00Rn

với mọi đa chỉ số a,ị3 G Nn, trong đó Xp = x ^ x ị 2 x^n.

Dãy (x)}^°=1 c ổ? được gọi là hội tụ về 0 trong không gian 5? nếu dãy { x aD a(pk (x)}^=1 hội tụ đều về 0 trên

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 Không gian y (hay y (Rn) là không gian vec tơ gồm tấ t cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên SP.

Mỗi phần tử của không gian 5?' được gọi là một hàm suy rộng tăng

chậm

1.2 Biến đổi Fourier

1.2.1 B iến đổi F o u rie r tr o n g k h ô n g g ian S ch w artz s?

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho u e 5? Biến đổi Fourier của hàm u , kí hiệu là hay ủ (£), là hàm được xác định bởi

ii) & [D%u\ (£) = {ỉ£)a& [lí] (£) với mọi đa chỉ số a.

Ui) D£ [u] (£) = (—i ỷ a\& [x au] (£) với mọi đa chỉ số a.

iv) & [u * v] (£) = -/» J [w] (£) L J vsy • ^ LƯJ v s y ; [ĩ;] (£), trong đó u' ^,v3

('u * V) (rr) = J u { x — y)v (y ) dy

R"

9 1 V _ V

(1.4)

được gọi là tích chập của hàm u và V.

Đ ịn h lý 1.2 p/ỉép òáến đới Fourier & là một đẳng cấu tuyến tính trên ó? với ánh xạ ngược chính là phép biến đổi Fourier ngược

Đ ịn h lý 1.3 Đối vói mỗi u ,v G y , ta có các đẳng thức sau:

N h ậ n x é t 1.3 Từ Định lí 1.3, chọn u = V ta nhận được

với mọi u € y Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.

1.2.2 B iến đổi F o u rie r tr o n g k h ô n g g ian L 2

Từ đẳng thức Parseval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ

không gian Schwartz y lên không gian rộng hơn L 2.

Giả sử u (X) G L 2 Do s? trù mật trong không gian L2, vì vậy tồn tại

dãy { U j (x)}°l1 c y sao cho

IIUj (X) — u (x)||L2 —¥ 0 khi j —>■ 00.

Vậy dãy {Uj (x)}°l 1 là dãy Cauchy trong L 2 Từ đây và do đẳng thức Parseval suy ra dãy {ủj (a ;)}0!=1 cũng là dãy Cauchy trong L 2 Do L 2 là đầy đủ, nên dãy {ủj (z)}0^ hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu

là & u hay ù (£) và được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u (X).

Đ ịn h lý 1.4 Cho u, V £ L 2, khỉ đó ta có

j u{x)v{x)dx = J &u{£) &v {Qd^. (1-8)

Công thức (1.8) được gọi là đẳng thức Parseval trong L 2.

Khi cho u = V ta suy ra & u G L 2 Tương tự ta định nghĩa được phép biến đổi Fourier ngược của các hàm thuộc L 2.

Giả sử u{£) G L 2 và {Uj (£)}°li c ^ hội tụ đến u(£) trong L 2 Nhờ đẳng thức Parseval, dãy phép biến đổi Fourier ngược của dãy {Uj (£)}°li

là dãy {Uj (£)}°liJ đây là dãy Cauchy trong L 2 Do đó {Uj (rr)} hội tụ đến một hàm nào đó thuộc I/2, kí hiệu hàm này là u (x) và được gọi là phép biến đổi Fourier ngược của hàm u(Ệ).

Các tính chất của biến đổi Fourier trong L 2 tương tự như các tính chất của biến đổi Fourier trong y

1.2.3 B iến đổi F o u rie r tr o n g k h ô n g g ian 5?'

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 Cho и € у Biến đổi Fourier của hàm и , kí hiệu là hay Û (£), là hàm được xác định bởi

Mục này mô tả phép toán xấp xỉ các hàm cho trước bởi hàm trơn

Giả sử ip (X) là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

i) ip (x) > 0, ip G ỉ&, giá của (f (x) nằm trong hình cầu đơn vị: |x| < 1 , trong đó giá của hàm ip (X) kí hiệu là suppy?, là tập hợp

-nghĩa toán tử làm trơn bởi tích chập của (fe vhu

(b) Giá của ựĩ£ * u nằm trong miền e-ỉẫn cận của giá của u.

(c) Khi u £ cm và £ —y 0, ta có (p£ * u —ì u trong cm.

(d) Khi u £ Lp,p > 1, ta có ip£ * u —¥ u trong Ư

Từ trên ta thấy rằng (p£* được xem như phép xấp xỉ các hàm bởi các

hàm trơn trong các không gian hàm khác nhau Tích chập này được đưa

vào đầu tiên bởi Priedrichs Ông gọi là toán tử làm trơn <pe*.

Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng p (X, D) được cho bởi công

thức

| a | < r a

ở đó a là đa chỉ số, aa là các hàm số trơn xác định trên Rn.

Nếu thay thế D a ở công thức (1.10) bằng đơn thức (£a = £ ^£22■■•£«")thì ta được đa thức tương ứng sau

P ( x , 0 = £ a„ (*)«"■ (1 1 1 )

| a | < r a

Đa thức p (x,£) được gọi là biểu trưng của toán tử p (x, D)

Từ các tính chất của biến đổi Fourier ta có:

p (x, D ) u{x) = ^ 2 a<x (x ) (DC*U) (x )

Hàm số p (x,£) được gọi là biểu trưng của toán tử giả vi phân p (X, D ).

V í d ụ 1.1 Khi p (£, £) = |£| thì toán tử giả vi phân tương ứng được kí

V í d ụ 1.2 Giả sử j G N, 1 < j < n là cố định và biểu trưng p (x,£)

Đ ịn h n g h ĩa 1.11 Cho E là một không gian Banach, Tt, ( t > 0) là họ

các toán tử tuyến tính bị chặn trên E Khi đó họ Tt được gọi là nửa

Cho toán tử Ả có miền xác định @ (A) là tập hợp D trong (1.17)

Toán tử A cho bởi

Au = lim — -и (1-18)

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm Tị.

N h ậ n x é t 1.4 Toán tử sinh A là toán tử đóng có miền xác định @ (A)

là trù mật trong E, nhưng nói chung Ả không là toán tử bị chặn.

1.5.3 P h ư ơ n g tr ìn h vi p h â n tro n g k h ô n g g ian B a n a c h

Ta xét bài toán Cauchy sau

d^ - = A u ( t ) , t > 0, (1.19)

trong đó U q £ E, ả là toán tử sinh của nửa nhóm Tt nào đó trên E.

Đ ịn h lý 1.6 Bài toán Cauchy (|1.19|), (|1.20[) có nghiệm duy nhất u (t ) được cho bởi công thức

Phần bù của tập phổ được gọi là tập chính quy của toán tử A Nếu A thuộc tập chính quy của toán tử A thì (XI — A Ỵ l được gọi là giải thức của A.

Đ ịn h lý 1.7 (Hille-Yosida) Cho A là toán tử đóng và có miền xác định trù mật trong E Giả sử tồn tại số thực ß sao cho với mọi X > ß, tồn tại giải thức (XI — A Ỵ l của Ả thỏa mẫn

| | ( A / - A r " | | < _c , A > ß , m = 1,2, (1.22)

Khỉ đó tồn tại một nửa nhóm Tị mà có toán tử sinh là A.

Chứng minh Cho Ay — A — /31 Từ (1.22) ta có

ỵ x i - A , ) - c

< , À > 0

Mặt khác, nếu ta có thể chứng minh tồn tại một nửa nhóm stcó toán

tử sinh là Aị, và nếu \\st \\ < c , khi đó Tị = e ^ S ị thỏa mãn điều kiện

Vì vậy từ II J\ịị < c, @ (A) trù mật, do đó (|1.27|) đúng

Nói chung, khi A là toán tử bị chặn thì ta định nghĩa

3=0 J

Trong trường hợp này ta có

||exp(i4)|| < exp \\A\\

Nếu A và B là bị chặn và giao hoán ta có

exp (A + B) = exp (A) exp (B )

— exp (tA ) = A exp (t A ) = exp (t A ) A.

Mặt khác, A J \ = A (Ja — I) là toán tử bị chặn Vì vậy, từ

exp (tAJ\) = exp {tx (Jx — I)}

= exp (í A Ja) exp (—txi)

= exp (tA J \ ) J\A

Chú ý là bất đẳng thức trước đó vẫn đúng với X € (A)

Ta có J\ , Jß (Л, Ị 1 > 0) là giao hoán, vì thế A J ß (= Ị 1 (Jß — /)) và exp (t A J \ )

Cuối cùng ta chứng minh A là toán tử sinh của Tị Để làm được, ta gọi A' là toán tử sinh của Tị và chỉ ra A' D A.

Thật vậy, cho A > 0, (XI — A') là một song ánh từ @ (A ' ) lên E Do

đó, (XI — A ) cũng là một song ánh từ @ (Ả ') lên E Vậy @ (^4)= @ {A1)-

Để chứng m i n h A' D A ta làm như sau Với X e @ (A ) ta có

Chứng minh tính duy nhất Cho Tt là một nửa nhóm bất kì có toán tử sinh cực tiểu A Trong trường hợp này ta giả sử Tt chưa là một toán tử tuyến tính thỏa mãn lỊTíll < Ceßt Ta có

Ttx — exp (tAJ\) x = Tt-S exp (sAJ\) (A — A J \) xds (x e @ (A)),

C hương 2

H ệ phương trìn h h yp erb olic với hệ

số biến th iê n và kh ông phụ th u ộ c thời gian

Xét các nghiệm đặc trưng Àj (£) của

p (A; í) = det ị x i - ị A & ' j = 0, (2.4)

ở đó Àj (£) là các hàm thuần nhất bậc một

Đ ịn h n g h ĩa 2.1 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic nếu

tồn tại một hằng số c > 0, sao cho V£ e Rn thì

Phương trình có nghiệm Ai 2 (£i) = ỉti 1 ±

ỉ£i\/2-Do đó ReAx 2 (£i) = 0, tức là thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.5)

Vậy hệ phương trình (2.6) là hệ hyperbolic

P (A ,& ) = det [A7 — i£iAi\ =

Vậy hệ phương trình (2.7) không là hệ hyperbolic

Đ ịnh nghĩa 2.2 Hệ phương trình (2.3) được gọi là hệ hyperbolic mạnh

Đ ịnh lý 2.1 Diều kiện cần để (Ị2.3Ị) là hệ hyperbolic mạnh đó là các

n nghiệm Aj (£) của (2.4) đều là thực, và với £ £ Mn bất kì, Ỵ2 ỉà ma

k= 1

trận chéo hóa được.

Chứng minh Trước hết, ta chỉ ra rằng với £* và Aj nào đó (ở đây ta giả

sử đó là Ai), nếu ImÀi (£*) 7^ 0, tính liên tục của nghiệm với giá trị ban đầu không còn đúng Thật vậy, ta giả sử

—ImAi (£*) = c > 0

Với ma trận B bất kì thì (2.2) tương đương với

\v\+j<m — í

(2.8)

(2.9)

Cho À* (£) là nghiệm của fl2.9p Ta xét

UỊ (x, t) = exp (A* (£) t) exp (i£x), £x = tiX 2 + + £nXn- (2.10)