Dao động tử có thống kê vô hạn

Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn

NGUYỄN ĐẠI NGHĨA

DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau

Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thấy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình học tập tại trường

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu để luận văn được hoàn thành

Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2014

Học viên

Nguyễn Đại Nghĩa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Các kết quả không trùng với các kết quả đã công bố

Học viên

Nguyễn Đại Nghĩa

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 8

Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA 8

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính 8

1.2 Biểu diễn mà trận của các toán tử sinh, hủy Boson 17

Chương 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON 21

2.1 Dao động tử boson 21

2.1.1 Dao động tử boson 21

2.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson 26

2.2 Thống kê Bose-Einstein 28

Chương 3: DAO ĐỘNG TỬ FERMION 32

3.1 Dao động tử Fermion 32

3.1.1 Dao động tử Fermion 32

3.1.2.Phân bố thống kê của dao động tử Fermion 33

3.2 Thống kê Fermi-Dirac 36

Chương 4: DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN 43

4.1 Dao động tử có thống kê vô hạn 43

4.2 Phân bố thống kê vô hạn 44

4.3 So sánh các phân bố thống kê lượng tử 46

KẾT LUẬN CHUNG 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các hạt cơ bản được phân loại theo nhiều tiêu chí Nếu xét trên vai trò cấu thành và liên kết của thế giới vật chất, thì chúng gồm hai loại: loại cấu thành nên thế giới vật chất và loại truyền tương tác liên kết giữa các hệ vật

chất Các hạt cấu thành vật chất đều có spin 1,

tử Tương tác yếu, gây nên đa số các hiện tượng phóng xạ, trong đó có phóng

xạ .Trừ tương tác hấp dẫn, tất cả các tương tác khác đều được truyền bằng

các hạt boson, có spin s=1 Pho ton  truyền tương tác điện từ, 8 hạt gluon



g truyền tương tác mạnh, 3 hạt W+ , W- và Z truyền tương tác yếu

Do ba tương tác mạnh, yếu, điện từ đều được truyền bằng các hạt boson, nên đã có nhiều thử nghiệm xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương tự như

ba loại kia Khi đó boson truyền tương tác hấp dẫn sẽ được gọi là graviton

Tuy nhiên, nếu tồn tại graviton phải có spin s=2 [1]

Một điểm khác biệt của các hạt vi mô là trong một hệ nhiều hạt đồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác Đó là một hiện thực khách quan của thế giới vi mô và được lí thuyết hóa dưới dạng một nguyên lý gọi là nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau: Các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt

Từ nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất ta đã biết rằng hàm sóng diễn tả hệ các hạt đồng nhất chỉ có thể thuộc một trong hai loại sau:

- Là hàm đối xứng với phép hoán vị bất kỳ hai hạt nào cho hệ các boson đồng nhất, là các hạt có spin nguyên (như photon, m on , es

Từ đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng

nhất không thể có hơn một hạt cùng ở một trạng thái hay, nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion

mà thôi Nguyên lý này cho phép giải thích được sự phân bố các điện tử theo

các trạng thái trong nguyên tử và thiết lập cơ sở lý thuyết của sự sắp xếp các nguyên tố trong bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev Cần lưu ý rằng trên thực tế, dựa trên các số liệu thực nghiệm về phổ của các nguyên tử, Pauli đã phát hiện ra nguyên lý này năm 1925, tức là trước cả khi Cơ học lượng tử ra đời, và Năm 1945 Wolfgang Pauli đã nhận giải Nobel Vật lí về nguyên lý của mình Điều tuyệt vời là nguyên lý loại trừ Pauli lại phù hợp hoàn toàn với Cơ học lượng tử như ta đã thấy ở trên, nó là hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất Trong lý thuyết lượng tử về vật rắn, nguyên lý loại trừ Pauli cũng đóng một vai trò quan trọng trong sự phân loại chất rắn thành các chất bán dẫn, kim loại và điện môi [2]

Trong biểu diễn số hạt, các dao động tử Boson được đặc trưng bởi các toán tử sinh, hủy hạt Boson a ,a tuân theo các hệ thức giao hoán,

â,â ââ â â 1

Đối với hệ các hạt fermion đồng nhất có spin bán nguyên, tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có hơn một hạt cùng ở một trạng thái lượng tử (n=0,1) Trạng thái của hệ được mô tả bởi hàm sóng phản đối xứng

Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh, hủy hạt fermion a ,a tuân theo các hệ thức phản giao hoán,

 â,â ââ â â 1

Dao động tử có thống kê vô hạn được O W Greenberg [8] đưa vào lý thuyết như sau: Từ các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy boson và fermion, đã dẫn đến ý tưởng tìm một hệ thức toán tử mới có đặc tính trung gian của thống kê Bose và thống kê Fermi, bằng cách lấy trung bình của hai

hệ thức

ˆ ˆ[a,a ] 1;   â,â 1

Và thu được hệ thức toán tử cho dao động tử có thống kê vô hạn là

ˆ ˆ

a a 1

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose-Einstein và thống kê Fermi-Dirac như thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn và các thống kê biến dạng ,… với tư cách là những thống kê mở rộng Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số lượng tử [3,4,5,6,7,9,10,11]

Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học hiện đại, em đã chọn đề

tài “Dao động tử có thống kê vô hạn” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng

dẫn khoa học của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu thống kê vô hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein

- Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac

- Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, thống kê vô hạn

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ các dao động tử có thống kê vô hạn

5 Những đóng góp mới của đề tài

- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường sư phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của học viên cao học

- Nghiên cứu được vấn đề mới theo hướng thống kê lượng tử

6 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lí thuyết: Phương pháp vật lí thống kê, phương pháp lí thuyết trường lượng tử, và các phương pháp giải tích khác

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của toán tử điều hòa một chiều [1],

   là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa p và

Ta đặt:

â â ;2

â +â 2

Ta đi chứng minh hệ thức giao hoán â,â   1 (1.7) Thật vậy:

Ta kí hiệu n là véc tơ riêng của toán tử  ứng với trị riêng n

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử  như sau:

Các trị riêng của toán tử  là các số không âm

Xét véc tơ trạng thái thu được â n bằng cách tác dụng toán tử â lên

véc tơ trạng thái n Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử  và sử dụng công thức (1.10) ta có:

Tương tự như vậy 2 3

â n ;â n cũng là véc tơ trạng thái của toán tử



 ứng với trị riêng (n – 2) , (n – 3)…

Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â n , tác dụng lên véc tơ trạng thái này

toán tử  , sử dụng công thức (1.11) ta có:

Tương tự như vậy 2 3

â n ;â n cũng là véc tơ trạng thái của toán tử



 ứng với trị riêng (n + 2) , (n + 3)…

Kết luận 2:

Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử  ứng với trị riêng n thì âp n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử  ứng với trị riêng n – p (p = 1,2,3…)

Từ hai kết luận trên ta thấy n là một trị riêng của toán tử  thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3 … cũng là trị riêng của toán tử 

Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

Mặt khác theo định nghĩa  nmin nmin nmin (1.18)

So sánh (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:

Kết luận 3:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử  là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của  được kí hiệu là 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện â 0

Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng

tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử n là trạng thái chứa n lượng tử

Toán tử  có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán

nhận là toán tử số năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng

thái tỉ lệ với n1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử  sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử â tác dụng lên n cho một trạng

thái tỉ lệ với n1 và toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ

1.2 Biểu diễn ma trận của toán tử sinh, hủy Boson

Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trên không gian Fock véc tơ cơ

sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử 

â â





 

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai

(ââ ) nm  n1 nm và (â â) nm nnm

Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â, hủy Boson â là:

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON

Trong đó: â : là toán tử hủy dao động,

â+ : là toán tử sinh dao động tử



, â+] = [ â+â, â+]

= â+ââ+ – â+ â+â (2.4) = â+ (ââ+ – â+â)

= â+ [ â, â+] = â+

Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện

Trạng thái n là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong không

gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

!0

!

Thế (2.1) vào (2.8) suy ra:

2â â + ââ â â2

2â â + â, â2

Nhận xét: Công thức (2.12) là công thức xác định năng lượng của dao động

tử điều hòa một chiều đã được cơ học lượng tử giải một cách chính xác

2 2

2 12

2.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson

Phân bố thống kê của toán tử F được định nghĩa qua công thức:

2.2 Thống kê Bose – Einstein

Để xây dựng thống kê Bose – Einstein ta xuất phát từ các biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử F

^ ^

^e

Z

F

(2.24) Trong đó Z là tổng thống kê đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ và có dạng:

Với   1

kT

k: là hằng số Boltzman, T: là nhiệt độ của hệ, H: là Hamiltonian của hệ

Với  là năng lượng của một dao động tử

Mặt khác ta lại có N n n n và điều kiện trực chuẩn: ,

Kết luận chương 2

Trong chương 2 tôi đã xây dựng dao động tử Boson, tìm được phân bố thống kê của dao động tử Boson và thống kê Bose – Einstein của hệ đồng nhất hạt Boson

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG TỬ FERMION

3.1 Dao động tử Fermion [1], [2], [7], [10], [11]

3.1.1 Dao động tử Fermion

Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức:

2 2

b là toán tử hủy dao động tử

Toán tử dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán : 

3.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion

Để tính phân bố thống kê ta đi tính N n muốn tính được điều này ta 

sử dụng (3.1) và (3.5) tính:

1

n

b n

Z

e 1



3.2 Thống kê Fermi – Dirac

Các hạt Fermion được đặc trưng bởi toán tử sinh hạt, hủy hạt Fermion

1

1

1

( )( )1

x

1 2

2

2

2

( )( )

( )( )

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái (0) ta được

Tương tự, cho toán tử b tác dụng lên hàm sóng k n n1, 2, ,n và dựa s

vào định nghĩa sau :

Với  n thỏa mãn điều kiện k n k  0 0

Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta

Trong chương 3 tôi đã xây dựng dao động tử Fermion, tìm được phân

bố thống kê của dao động tử Fermion và thống kê Fermi – Dirac Ta tính số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng

CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN

4.1 Dao động tử có thống kê vô hạn [3], [5], [8], [9]

Thống kê Bose và thống kê Fermi đặc trưng bởi các hệ thức giao hoán

và phản giao hoán tương ứng:

Trong trường hợp đa mode hệ các dao động tử có thống kê vô hạn được đặc trưng bởi các toán tử âivà âi thỏa mãn hệ thức sau:

4.2 Phân bố thống kê vô hạn [8]

Bây giờ, ta tìm phân bố thống kê của hệ dao động tử có thống kê vô hạn đơn mode tuân theo hệ thức (4.5) Bằng cách xuất phát từ biểu thức trung

bình thống kê theo tập hợp chính tắc lớn của một đại lượng vật lý F được biểu

hiện bởi toán tử F là

kT ,  là thế hoá học, H là Hamiltonian Thông thường khi

chọn gốc năng lượng ở giá trị 1

2 



o

E thì H  N với    là lượng tử năng lượng, Z là tổng trạng thái đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ [8]

Ở đây g  là trọng số thống kê (hay độ suy biến) của các trạng thái lượng tử có năng lượng khác nhau Sự khác nhau trong các hàm phân bố trên

là do bản chất và do các tính chất của các đối tượng vi mô diễn tả bởi một trong ba thống kê đó (xem hình 4.1)

Tuy nhiên, từ các công thức nêu ra ở trên, ta thấy rằng : khi thỏa mãn điều kiện

Như vậy thống kê Maxwell- Boltzmann mà ta tìm được dựa trên quan niệm cổ điển cũng như lượng tử, có thể coi là trường hợp giới hạn của hai thống kê lượng tử khác

Nhưng, khi tìm hàm phân bố Maxwell- Boltzmann ta đã giả thiết là các hạt khác nhau về phương diện hoán vị tọa độ Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, sự phân bố theo các mức năng lượng (4.17) không thể áp dụng cho các hạt thực, bởi vì sự thực là các hạt không khác biệt nhau (đồng nhất như nhau) Tuy nhiên, có tồn tại một loại các hệ lượng tử mà ta gọi là các hệ lượng tử

định xứ, trong đó các đối tượng vi mô lượng tử có thể xem như là định xứ tại các điểm không gian xác định Đối với các hệ như vậy nguyên lý về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô xem như không có hiệu lực, nghĩa là trong các hệ định xứ, các đòi hỏi về tính đối xứng của hàm sóng không làm giảm số các trạng thái vi mô khả hữu Thuộc loại hệ đó là các hệ cấu tạo từ các hạt mà vị trí của chúng là cố định Thí dụ, hệ các dao động tử điều hòa,

mà vị trí không gian của chúng là cố định, sẽ là một hệ định xứ Ta có thể xem mạng tinh thể của vật rắn như là hệ định xứ Hoặc là, khi khảo sát các nhiệt dung của các bậc tự do nội tại của các phân tử trong chất khí, chúng ta chỉ quan tâm tới các nội năng của các phân tử riêng lẻ và có thể không cần quan tâm tới sự phân bố không gian của chúng Nếu biết số phân tử toàn phần, ta có thể tìm năng lượng và nhiệt dung chất khí Khi đó, đối với chúng

ta, vấn đề : Các phân tử, xem như các đối tượng lượng tử trong thể tích, sẽ là khác biệt nhau (có thể phân biệt với nhau) hay không hoàn toàn không có ý nghĩa Với các đối tượng lượng tử như vậy được xem như là các hệ định xứ ta vẫn có thể áp dụng phân bố Maxwell- Boltzmann đối với các mức năng lượng rời rạc

Còn trong các trường hợp khác ta phải vận dụng hoặc phân bố Einstein đối với các hạt hay các hệ có spin nguyên, hoặc là phân bố Fermi– Dirac đối với các hạt hay các hệ có spin bán nguyên

Bose-Ta thấy rằng cả ba thống kê trùng nhau chỉ trong trường hợp khi mà điều kiện (4.21) được thực hiện Điều kiện đó tương đương với điều kiện sau đây

Nếu bất đẳng thức (4.22) được thực hiện thì đối với một hệ lượng tử bất

kì, ta có thể vận dụng phân bố Maxwell- Boltzmann Còn trong trường hợp