Luận văn dao động tử có thống kê vô hạn

• Một điểm khác biệt của các hạt vi mô là trong một hệ nhiều hạtđồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác.. • Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau:

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

NỘI 2

NGUYỄN ĐẠI NGHĨA

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

• • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng SauĐại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi để em hoàn thành khóa học của mình Qua đây em xin bày tỏ lòngbiết ơn tới toàn thể các thấy cô giáo trong nhà trường đã giảng dạy, hướng dẫntận tình cho em trong quá trình học tập tại trường

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS TS Lưu

suốt quá trình học tập và nghiên cứu để luận văn được hoàn thành

Hà Nội, ngày 10 tháng 6 năm 2014 Học viên

Nguyễn Đại Nghĩa

2

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Các kết quả không trùng vớicác kết quả đã công bố

Hoc viên

Nguyễn Đại Nghĩa3

• , , 1 chât Các hạt câu thành vật chât đêu có spin S =

— , tức là các fermion

• Cho đến nay có thể cho rằng, giữa thế giới của các hạt vật chất cóbốn loại tương tác cơ bản: Tương tác hấp dẫn liên kết tất cả các hạt có khối lượngtrong vũ trụ Tương tác điện từ, xẩy ra giữa các hạt mang điện tích, nhờ nó có cấutạo nguyên tử và phân tử Tương tác mạnh, liên kết các quark để tạo thành cáchadrron, trong đó có proton, neutron là các hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử.Tương tác yếu, gây nên đa số các hiện tượng phóng xạ, trong đó có phóng xạ

• Do ba tương tác mạnh, yếu, điện từ đều được truyền bằng các hạtboson, nên đã có nhiều thử nghiệm xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương tự như baloại kia Khi đó boson truyền tương tác hấp dẫn sẽ được gọi là graviton Tuynhiên, nếu tồn tại graviton phải có spin 5=2 [1]

• Một điểm khác biệt của các hạt vi mô là trong một hệ nhiều hạtđồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác Đó là một hiệnthực khách quan của thế giới vi mô và được lí thuyết hóa dưới dạng một nguyên

lý gọi là nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

4

• Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau: Các ừạng thái vật

lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phéphoán vị nào giữa các hạt

• Từ nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất ta đã biết rằnghàm sóng diễn tả hệ các hạt đồng nhất chỉ có thể thuộc một trong hai loại sau:

- Là hàm đối xứng với phép hoán vị bất kỳ hai hạt nào cho hệ các bosonđồng nhất, là các hạt có spin nguyên (như photon,;r-meson, K —

MESON , ;

- Là hàm phản đối xứng với phép hoán vị bất kỳ hai hạt nào cho hệ cácfermion đồng nhất, là các hạt có spin bán nguyên (như elecừon, proton,neutron, neutrino, )

• Từ đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: T RONG HỆ NHIỀU

tử ra đời, và Năm 1945 Wolfgang Pauli đã nhận giải Nobel Vật lí về nguyên lýcủa mình Điều tuyệt vời là nguyên lý loại trừ Pauli lại phù hợp hoàn toàn với Cơhọc lượng tử như ta đã thấy ở trên, nó là hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệtcác hạt đồng nhất Trong lý thuyết lượng tử về vật rắn, nguyên lý loại trừ Paulicũng đóng một vai trò quan trọng trong sự phân loại chất rắn thành các chất bándẫn, kim loại và điện môi [2]

• Trong biểu diễn số hạt, các dao động tử Boson được đặc trưng bởicác

5

• toán tử sinh, hủy hạt Boson : tuân theocác hệ thức giao hoán,

• [â,â+] = ââ+ -â+â = 1

• Đối với hệ các hạt fermion đồng nhất có spin bán nguyên, tuân theonguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có hơn mộthạt cùng ở một ừạng thái lượng tử (n=0,l) Trạng thái của hệ được mô tả bởi hàmsóng phản đối xứng

• Vậy, trong biểu diễn số hạt, các dao động tử fermion được đặc trưng

• bởi các toán tử sinh, hủy hạt fermion tuân theo các hệ thức phản giao hoán,

• â , â j = ââ + â â = l

• Dao động tử có thống kê vô hạn được o w Greenberg [8] đưa vào lýthuyết như sau: Từ các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy boson vàfermion, đã dẫn đến ý tưởng tìm một hệ thức toán tử mới có đặc tính trung giancủa thống kê Bose và thống kê Fermi, bằng cách lấy trung bình của hai hệ thức

tư cách là những thống kê mở rộng Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất

là trong khuôn khổ của đại số lượng tử [3,4,5,6,7,9,10,11]

6

• Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học hiện đại, em đã chọn

đề tài “Dao động tử có thống kê vô hạn” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướngdẫn khoa học của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

2 Mục đích nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu thống kê vô hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein

-Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac

-Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, thống kê vô hạn

4 Đối tượng nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ các dao động tử có thống kêvô

5 Những đóng góp mới của đề tài

- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học ừongnhà trường sư phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của học viêncao học

-Nghiên cứu được vấn đề mới theo hướng thống kê lượng tử

6 Phương pháp nghiên cứu

• Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lí thuyết: Phương pháp vật líthống kê, phương pháp lí thuyết trường lượng tử, và các phương pháp giải tíchkhác

7

• NỘI DUNG ■

• CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIÈU HÒA

• 1.1 Biểu diễn sổ hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

• Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m,chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đườngthẳng nào đó

- IH

• Tađặt:

â như sau:

• тлт

P

2

ТА

• H

=

— +

—

— 4

=

— i

2

'

— 2 m

• 2 m

•1* |r

.r)2r)2l

-(â-•

2 2 Lv' v 7

biểu diễn các toán

tử â và â+

và ngược lại qua P

i

V

iiiiiivvviviiviiiix

■)(â + â+ )-(â-â+ )(â-â )]+

ịirìh Л

V

2 ~ v '

f -

Ta đi chứng minh hệ thức giao hoán [â,â+ ] = 1 Thậtvậy:

[â,â*]= aa -a a =

xiiif *.-p

i I

m í

* ,-pÌ

xxvi =

N Ấ - Ấ N = Ấ

xxviixxviii

Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng:

Ta đưa vào toán tử mới: N = â+ â

Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử â và â+ là:

+<Ckââ+

1 7 Ạ +

1 T Ạ + Ạ +

» 7

^

^

^ +

^

^ + 1

xxxiii

N , Ẳ

= N Ẳ

-âiv

=

â â

â -â

â

â

=

â íâ

â -ââl

=

â 1

xxxiv

xxxv Ha

y Nâ+=â+7V+1 .(1.11)

xxxvi

V J

xxxvii Ta

kí hiệu |n)

là véc tơriêng củatoán tử Nứng vớitrị riêngn

xxxviiiKhi đó tacó

phươngtrình hàmriêng, trịriêng củatoán tử Nnhư sau:

\ n )

= Ị

<

P

( 1 . 12 )

(1.13)

„ ( r j

(

N

N

J

DR 'VJ

xlvii Kết luận 1:

xlviii

л

xlix Các tn riêng của

toán tử N là các sô không âm

—

l)|

w)

= { N

—

l)â|

w)(1-14)liv Hệ ứiức trên có nghĩa

là:

lv Véc tơ trạng thái â| N )

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n - 1)

lvi Tương tự như vậy

Â

lvii N ứng với trị riêng (n

-2), (n - 3) lviii Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â| n ) ,

tác dụnglên véc tơ trạng thái này

lix toán tử N, sử dụng công

thức (1.11) ta có:

lxi Hệ thức này có nghĩa là:

lxii Véc tơ trạng thái

â+ cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với tri riêng (n + 1)

lxiii Tương tự như vậy â+2|n);â+31n) cũng là véc

tơ trạng thái của toán tửlxiv N ứng với trị riêng (n +2) , (n + 3)

lxv Kết luận 2:

lxvi

' I \ A

I \

lxvii Nêu I N )

là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì âp I N )

cũng

là một véc tơ riêng của toán tử

N ứng với tri riêng n - p (p =

1,2,3 )

lxviii Từ hai kết luận trên ta thấy n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi

lxx các sô không âm n - 1, n

- 2, n - 3 cũng là tri riêngcủa toán tử N

lxxi Vì chuỗi này giảm dầnnên phải tồn tại một số không

âtâ|n1Â) = N|nmb) = 0(1.17)

lxxiv Mặt khác theo địnhnghĩa N|nlrnn) = íimII rtlrnn)

(1.18)

lxxv So sánh (1.17) và (1.18)

ta đi đến kết luận như sau:

lxxvi Kết luân 3:

lxxvii Tn riêng nhỏ nhấtcủa toán tử N là Пдщ có giá tri bằng 0 Véc tơ trạng

lxxviii

\

lxxix thái ứng với trị riêng

nhỏ nhât của N được kí hiệu là

0) Véc tơ ừạng thái này thỏa

mãn điều kiện â I o)

lâ+|0)

(**)lxxxv Từ (*) và (**) ta thấy:

lxxxvi |l) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng

là 1

lxxxviiâ+10) là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1

lxxxviii Vì vậy

â+10) phải tỉ lệ với véc tơ riêng

|l) của toán tử N ứng với trị riêng n = 1

của toán tử Nứng với tn

xciixciiixciv

\

xcv h

xcvi N|0> = "2 £„|0)

1xcviii Nên : |0) là véc tơ riêng của H ứng với trị

kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng ĨÌ

cvcvi 2 + -

thái |0) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |0) đượcgọi là trạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, |2) là trạng thái chứa hai lượng tử |n) là trạng thái chứa nlượng tử.

cxvi với In +1) Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ a n ,ß n ,y n trong các

Chúng ta có:

cxix Vì m = n nên <5L _ = 1cxx =>n = (n|N|w) = (w|â â|N )

cxxi Mặt khác (ra|â+ =a* n \n-l)

cxxxvii â|n) = YFN \ N —

l) ;(1-19)

(1.20)

(1.21)cxl•s/n!

1.2 Biểu diễn ma trận của toán tử sinh, hủy Boson

cxli Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt

cxlii fâ,â+l = l;

(L22)

cxliv [â,â] = [â+,â+] = 0

cxlv Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau:

(1-23)

(1.24)cxlviii Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trên không gian Fock véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N

cxlix W=Ær"|0>'

cl Tác dụng toán tử â,â+ lên các véc tơ trạng thái I N )

ta được:

cli â|n) =

*Jnịn — l) ; ầ + \n) -yỊn + l\n + l ).

clii Với toán tử số hạt N được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:

cliii Лcliv N = â âclv Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có spin nguyên thì nó có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

clvi Để ừả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt

ở hai trạng thái khác nhau V và ụ.:

(1.25)

(1.26)clix Trong đó I o) là trạng thái chân không không chứa hạt nào

đó ta suy ra

clxii xứng với phép hoán vị hai hạt

clxiii Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng lànhững hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson

clxiv Kết ỉuân 4:

clxv Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giaohoán:

clxvii [M„]=[O;]=0clxviii Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â+, hủyBoson â

clxix và toán tử số hạt N :

clxx Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.19) và (1.20) ta có các đẳng thứcsau:

V00 “01 02

+ + + 10 a il 12

+a

1

Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â + , hủy Boson â và toán tử

số hạt N có dạng:

30

4 I

0ccxii

0 ccxiii0 ccxiv42

ccxv

0 ccxvi0 ccxvii0ccxviiiccxix

ccxlv hạt.

ccxlvi Những kết quả trên sẽ là cơ sở tính toán ở các chương sau

32

ccxlvii CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON

(2.2)ccliiTrong đó: â : là toán tử hủy dao động,

ccliii â+ : là toán tử sinh dao động tử

ccliv Kết hợp (2.1) với (2.2) ta có:

cclv [ N, â] = [ â+â, â ]

(2.3)cclvii/ Ạ + Ạ Ạ Ạ + \ Ạ

a - ââ ) â ââ - a a) a = - [â,â+] â

cclx = - âcclxi [N,â+] = [â+â,â+]

(2.4)cclxiii = â+ (ââ+ - â+â)

cclxiv = â+ [ â, â+]cclxv = â+

33

cclxvi Xét không gian Fock với trạng tìiái chân không Ịo) thỏa mãn điều kiện

(2.5)cclxviii Trạng thái \ N )

là ừạng thái có n dao động tử có thể thực hiện ừong không gian Fock với cơ sở là các ừạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng:

cclxxiii Và

cclxxiv (â+)cclxxv r|n)=â Æ|0>

cclxxxiii Ta có toán tử tọa độ Q

ccxc _ỉh ~ 2 \ + Ạ „ Ạ Ạ + Ạ A Ạ + Ạ + Ạ + A „ А А + „ Ạ А \ / Л 0 4

v iâ + ââ -ââ-ââ -â â + ââ + ââj (2.8)

ccxci = ÌH

hâ] = ỈH

ccxcii Thế (2.1) vào (2.8) suy ra:

(2.9)ccxciv Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa được biểu diễn như sau:

- h \

2 (2-n)cccix Phổ năng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêngcccx và trị của toán tử H:

1-/ỉ

2

A I , h V , ,H|n) = 2 v_n _)|n)

2 v '

2

2.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson

cccxlviiPhân bố thống kê của toán

tử F đượcđịnh nghĩa quacông thức:

cccxlviii (F ) = —Tr(e fl *F

rong đó z làtổng trạngthái, xác địnhtính chấtnhiệt động

hm 2

N hm 2

của hệ, phảnánh trạng tháinội tại của

hệ, z còn gọi

là hàm trạngthái (hay hàmphân bố) và

có dạng:

ccclcccli (2.16)ccclii

SS

=

—

—,klàhăngsôBoltzmann

Q~

ß

Z=Tr

là nhiệt độ của

hệ,

ccclviiH

= ẳ<»N"'toíI»)

ccclxiii

n=0

ccclxxxix Lấy (2.20) trừ (2.21) ta được:

cccxcvi e ßßl 1

-Q~ ß “

cccxcvii -^ A = -i r

cccxcviii e/tocccxcix (e^-l)2'

cd Thế (2.18) và (2.20) vào (2.19) ta được:

cdi Л + v \ \ â â =

cdiicdiii

cdv (2.23)cdvi e^-l

2.2 Thống kê Bose - Einstein

cdvii Để xây dựng thống kê Bose - Einstein

ta xuất phát từ các biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử F

cdviii Tr F

= ^

cdix (2.24) zcdx Trong đó z là tổng thống kê đặc trưng chotính chất nhiệt động của hệ và có dạng:

cdxii Với /

3 = ^- kT

cdxiii k: là hằng số Boltzman,cdxiv T: là nhiệt độ của hệ,cdxv H: là Hamiltonian của hệ

= (â + â)

cdxliicdxliii Thay (2.26) và (2.28) vào (2.27) ta có:

-cdxlviicdxlviiicdxlixcdl Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở ừên cùng một mức nănglượng £

được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạtBoson

cdli Kết luận chương 2

cdlii Trong chương 2 tôi đã xây dựng dao động tử Boson, tìm đượcphân bố thống kê của dao động tử Boson và thống kê Bose - Einstein của hệđồng nhất hạt Boson

cdliii CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG TỬFERMION

cdlix Л

có dạngcdlxi л л Л

cdlxiv Toán tử dao động N

thỏa mãn hệ thức giao hoán

cdlxvi л Л л л л лcdlxvii = b+bb-bb ь

cdlxviiicdlxixcdlxxcdlxxicdlxxii

cdlxxiiiA A A A A Acdlxxiv N,b +

cdlxxxi N,b 4

cdlxxxiicdlxxxiii Đại số(3.1) có ứiể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở

là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:

V )

cdlxxxvi (n = 0,1

vì đây là hệ Fermionnên phải thỏa mãnnguyên lí loại trừPauli)

cdlxxxvii Khi ấytác dụng của toán tử

= b+

=

(3.5)

= 0

;

1 1 )

= 0 . 3.1.2 Phân bổ thống kê của dao động tử Fermion

cdxci Để tính phân bố thống

kê ta đi tính N\ N )

muốn tính được điều này ta sử dụng(3.1) và (3.5) tính:cdxciicdxciiicdxcivcdxcvcdxcvi

didiidiiidivdvdvidviidviiidixdxdxi

-Л / л V

лЛ

2^

и-Ь

í A V“1 í A V-1 ^

0) = |n-l) ; (nếu n lẻ)

b +

V y b- \ JVậy tổng quát: B

(3.7)

F

B

Fermion được đặc trưngbởi toán tử sinh hạt, hủyhạt Fermion

dlvi Hàm sóngcủa hệ hạt N hạt Fermionđồng nhất Ệ

K ỊK I K

[ X

■/

to

?

(3.10)

ệ ( 0 )

= ậ

k

( x )

5

6

(3.12)

dlxiii Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái ^(0)ta

dlxiv đượcdlxv к к rt°)=J=S(-1)">» 14 W4M

+

dlxxviii Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có Ũ! hạt ở trạng thái

kb n2 hạt ở trạng thái k 2 , n s hạt ở trạng thái ks Hàm sóng mô tả trạng tháicủa hệ N hạt Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

П ,,

khi "* о

/" л Л"»

к

V у

щ=°

щ =1,1 фк -к

dcviii Tương tự, cho toán tử B

dcix b k O(n ỉ ,n 2 , ,Ok,-,n s )=b k O(n ỉ ,n 2 , ,lk, ,n s )

dcx = ỡr[lẢ;]<D(n1,n2, ,0Ả:, ,nJ)

(3.19)dcxi Với A

dcxxi Suy ra: b k <ĩ>(n l ,n 2 , ,n k , ,n s ) = (-ìỴ k n^(i\,n 2 , ,(i-n k X ,n s ).

dcxxiv N k <&{n l ,n 2 , ,n k , ,n s ) = tfb k O(n 1 ,n 2 , ,n k , ,n s )

dcxxv = ( _1 Г п кК ф (i\,n 2 , ,(l-n k ), ,n s ) =

dcxxvidcxxviidcxxviiidcxxixdcxxxdcxxxidcxxxiidcxxxiiidcxxxivdcxxxvdcxxxvidcxxxviidcxxxviiidcxxxixdcxldcxlidcxliidcxliiidcxlivdcxlvdcxlvi

(3.23)

F )

'Mi

(3.24)

T R EXPl 1 \- SS V H- ỊI N

= (-l)V *wit(-l)Vt [l-(l-wit)] I>(n( 1,n2, ,[l-(l-nJ], ,ní)

= nl®(n l ,n 2 , ,n k , ,n s )

Vì nk = 0 ; 1 nên nl = n k

Suy ra: N k &(n l ,n 2 , ,n k , ,n Ị ) = n k &ịn l ,rt 2 , ,n k , ,n s ) (3.22)

Sử dụng công thức (3.20), (3.21) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử BL , B