Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

NGUYỄN THỊ THẢO

DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG VÀ SỰ GIÁN

ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA

Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2014

người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này Cô đã cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi Đối với tôi, cô luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ

Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Thảo

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Dao động tử biến dạng

và sự gián đoạn của không gian pha, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành là do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây là đề tài không trùng với các

đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 8 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Thảo

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG

Chương 1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ 3

1.1 Dao động lượng tử Boson 3

1.1.1.Dao động tử Boson 3

1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng- q 7

1.1.3.Dao động tử Boson biến dạng – Q 8

1.2 Dao động lượng tử Fermion 10

1.2.1 Dao động tử Fermion 10

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng- q 11

1.3 Thống kê của dao động lượng tử 14

Chương 2 KHÔNG GIAN PHA 17

2.1.Khái niệm không gian pha 17

2.1.1 Định nghĩa không gian pha 17

2.1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha 17

2.2 Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha 20

Chương 3 SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA 21

3.1 Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị 21

3.1.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 21 3.1.2 Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng

3.2.1 Biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng 24

3.2.2 Biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng 27

3.3 Sự gián đoạn của không gian pha 29

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Dao động tử biến dạng có ưu điểm hơn so với dao động tử chưa biến dạng Đại số lượng tử dựa trên hình thức luận dao động lượng tử Từ hình thức luận dao động lượng tử ta xây dựng đại số lượng tử Đại số lượng tử tỏ

ra hiệu quả khi nghiên cứu sự rung động hạt nhân, giải các phương trình phi tuyến,…Như vậy, việc nghiên cứu đại số lượng tử là rất cần thiết [1], [2], [4],[5],[6],[8] Khi thông số biến dạng tiến tới một giá trị nào đó thì đại số biến dạng trở về đại số thông thường Khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị thì biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng được tách thành biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô hạn chiều của đại số chưa biến dạng [3],[11],[12] Đề tài này nghiên cứu sự tách không gian pha của biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng thành không gian pha của biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô hạn chiều của đại số chưa biến dạng

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử biến dạng

- Nghiên cứu sự gián đoạn của không gian pha

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là C - số và khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị

- Nghiên cứu sự tách không gian pha khi thông số biến dạng q bằng căn đơn vị

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nhóm lượng tử

- Phương pháp lí thuyết trường lượng tử

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Viết tổng quan về dao động lượng tử

- Nghiên cứu dao động lượng tử khi thông số biến dạng là C- số và

khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị

- Nghiên cứu sự tách từ biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng

thành biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô hạn chiều của đại số chưa biến dạng

CHƯƠNG 1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ

Trong thực tế các hệ dao động tử thường là các hệ phi điều hòa, nhưng

để giải quyết trực tiếp bài toán phi điều hòa là một vấn đề rất phức tạp, do đó người ta thường lí tưởng hoá bài toán bằng cách giải quyết bài toán cho dao động tử điều hòa, sau đó sẽ dùng phương pháp hiệu đính để nghiên cứu dao động tử phi điều hòa Do đó ở chương này chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu dao động tử điều hòa Khi nghiên cứu các hệ vật lý dùng đại số Lie hoặc nhóm Lie thì vấp phải những khó khăn khi giải quyết bài toán về mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê Do đó người ta có nhu cầu mở rộng đại số thành đại số lượng tử, nhóm thành nhóm lượng tử, dao động tử thành dao động tử biến dạng Khi mở rộng như thế người ta thấy giải quyết được một số vấn đề về dao động phi tuyến Vì vậy trong chương này chúng tôi sẽ nghiên cứu cụ thể về các hệ dao động tử Boson,dao động tử Fermion thông thường, dao động tử Boson biến dạng-q, dao động tử fermion biến dạng- q, đồng thời phân biệt giữa dao động tử Boson biến dạng- q và dao động tử Boson biến dạng- Q

1.1 Dao động lượng tử Boson

1.1.1 Dao động tử Boson[2], [6], [16]

Những hạt có spin nguyên được gọi là những hạt Boson Các toán tử

sinh dao động tử , toán tử hủy dao động tử của dao động tử Boson tuân theo

a+ là toán tử sinh dao động tử

w w

Suy ra hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

0 0

1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng - q [4], [5], [7], [8]

Dao động tử Boson biến dạng- q được định nghĩa thông qua các hệ thức giao hoán:

+ +

=

Nếu q = 1 thì (1.1.15) trở về (1.1.1), tức là trở về dạng hệ thức của dao động

tử Boson thông thường

Trong không gian Fock chọn một hệ vecto cơ sở n q là hàm riêng

của toán tử số N ứng với trị riêng n Ta có phương trình

-=-

-= -

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử H:

E = h w n + + n n = 0,1,2, (1.1.20)

Khi q = 1 thi (1.1.20) trở về công thức xác định năng lượng của dao

động tử Boson thông thường: ( 2 1 )

2

n

E = h w n +

1.1.3 Dao động tử Boson biến dạng – Q

Trong hệ thức (1.1.15) để không có mặt toán tử số dao động N chúng ta thực hiện biến đổi như sau:

Đưa vào các toán tử A A, + được biểu diễn qua các toán tử hủy , sinh dao động

tử theo hệ thức:

2 2

hợp với (1.1.23) và (1.1.24) ta thu được các hệ thức :

[ ]

1,

b + là toán tử sinh dao động tử

Dễ thấy toán tử số N thỏa các hệ thức giao hoán sau:

+ +

=

=

=

=

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng – q

Các toán tử hủy, sinh dao động tử b b , + của dao động tử Fermion biến

dạng- q thỏa mãn các hệ thức sau:

( )

[ ]

2 2

0 ,

N là toán tử số Fermion biến dạng q

Khi q = 1 thì hệ thức đầu của (1.2.5) có dạng:

1

bb+ + b b+ =

tức là trở về dạng dao động tử Fermion thông thường

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N:

q q

+ +

=

Khi q = 1 ta có dao động tử Fermion thông thường Khi đó không gian Fock được phân thành không gian con hai chiều và nguyên lý loại trừ Pauli có thể suy ra từ ( )2

Xét trường hợp

i m

Với các toán tử mới B B, +, trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số

N trong không gian Fock có biểu thức:

( )

[ ] ! 0

n

B q

B n

So sánh (1.2.10) với (1.1.27) ta thấy nếu thay q bằng iq thì (1.2.10) sẽ trở về dạng (1.2.27), do đó hàm cấu trúc của dao động tử Fermion biến dạng q cũng có thể được xây dựng từ hàm cấu trúc của dao động tử Boson biến dạng

1 1

1 1

n A

q

B q

q n

q

n

q iq

-= -

+ -

Điều này cho thấy sự thuận lợi khi sử dụng định nghĩa dao động tử Boson biến dạng –Q

1.3.Thống kê của dao động lượng tử

Trong mục này chúng sẽ nghiên cứu phân bố thông kê của dao động tử Boson biến dạng và phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q

Hàm Geen của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F

Ù

đ ược định nghĩa là:

N n

e b w n

¥ -

e b w n

¥ -

bb

ebw

Chương 2 KHÔNG GIAN PHA

2.1.Khái niệm không gian pha [14], [15]

2.1.1 Định nghĩa không gian pha

Không gian pha là một không gian quy ước để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của một hệ hạt hay một hệ dao động Các tọa độ của không gian pha là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ Không gian pha thường là không gian nhiều chiều Không gian pha của một hệ N hạt nói chung là 2fN chiều ( f là số bậc tự do của một hạt trong hệ) Ví dụ như, không gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất( có 3 bậc tự do) là không gian sáu chiều

2.1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và xung lượng suy rộng và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm gọi là điểm pha Khi trạng thái của hệ thay đổi theo thời gian, điểm pha sẽ chuyển động và vạch một đường cong gọi là quỹ đạo pha, mỗi điểm pha trên quỹ đạo pha sẽ tương ứng với một trạng thái nào đó của hệ Không gian pha chỉ là một không gian quy ước, vì thế quỹ đạo pha cũng sẽ không giống với quỹ đạo thực, mà chỉ là một quỹ đạo quy ước giống như bản thân không gian pha

Các phương trình Hamilton luôn xác định một cách đơn trị tính cách của hệ, từ đó ta suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong không gian pha, vì nếu như vậy thì ứng với mỗi giao điểm của chúng sẽ có hai nghiệm của phương trình Hamilton Như vậy, đối với mỗi điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi qua

Để hiểu rõ hơn về không gian pha, sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi –kx dọc theo một đường thẳng nào đó Chất điểm này có một bậc tự do, vì vậy tọa độ suy rộng q chính

là khoảng cách x từ chất điểm tơi vị trí cân bằng( q = x), và xung lượng suy rộng p có biểu thức là p = mv

Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung lượng suy rộng p:

2

2

d

p E

Mỗi trạng thái tức thời của dao động tử được biểu diễn bằng một điểm của elip, theo thời gian điểm đó sẽ dịch chuyển theo elip đó Như vậy quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa là một elip, hoàn toàn khác với quỹ đạo thực của nó là một đường thẳng Qua bài toán này ta đã thấy rõ hơn về sự khác nhau giữa quỹ đạo pha và quỹ đạo thực của một hệ

2.2 Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha [14], [15]

Không gian pha có thể là gián đoạn hoặc liên tục Không gian pha của dao động tử điều hòa được giới hạn ở phần dao động tử chuyển động, đó là một không gian có giới hạn Trong không gian này tọa độ suy rộng của dao động tử có thể nhận các giá trị trên một đường thẳng,các giá trị này là liên tục, ứng với mỗi giá trị của tọa độ có một giá trị của xung lượng Tọa độ và xung lượng của dao động tử điều hòa nhận các giá trị liên tục, do đó không gian pha của dao động tử điều hòa là liên tục

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa được xác định theo công thức (1.1.10), phổ này nhận các giá trị gián đoạn, do đó không gian pha xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa là gián đoạn

Đối với dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị, các trị riêng của toán tử xung lượng và toán tử vị trí là nghiệm của đa thức Hermite biến dạng, các trị riêng này nhận các giá trị gián đoạn, dẫn đến không gian pha khi đó cũng là gián đoạn

Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha sẽ được chúng tôi tiếp tục nghiên cứu cụ thể hơn trong chương 3

Chương 3 SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA

Trong chương này chúng tôi sẽ nghiên cứu về dao động tử biến dạng tổng quát khi thông số biến dạng q bằng căn đơn vị, đồng thời chứng minh rằng biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng tổng quát có thể phân tích thành biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng tổng quát và biểu diễn vô hạn chiều của đại số dao động tử cổ điển Mặt khác chúng tôi cũng chỉ ra rằng các toán tử tọa độ và xung lượng của dao động tử biến dạng khi q bằng căn đơn vị có các trị riêng gián đoạn, và không gian pha của dao động tử biến dạng khi đó cũng là gián đoạn

3.1 Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị[1], [3], [4]

3.1.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát

Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát có thể được cho bởi hệ thức giao hoán cơ bản:

( )

trong đó ,a a+ là các toán tử liên hợp hermit

Với dao động tử thông thường thì;

Giả sử giữa toán tử số N và các toán tử sinh, hủy dao động tử a a+,

có mối liên hệ sau:

( )

Khi đó hàm f x( ) liên hệ với hàm g x( ) theo hệ thức:

( ) ( ) 1 ( )

3.1.2 Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng bằng căn

[ ] [ 1 ]

+ +

=

= + (3.1.13)

Khi q = 1 thì đại số trở về trường hợp Boson thông thường, như thế a+

là toán tử liên hiệp hermit của a Tuy nhiên khi tham số biến dạng q là một số phức (căn đơn vị) thì điều đó không còn đúng nữa do đại số (3.1.12) không còn bất biến với phép liên hợp hermit

3.2 Biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn vô hạn chiều [1], [3],[11], [15]

3.2.1 Biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng

Ta gọi A* là liên hợp hermit của A Lấy liên hợp hermit của (3.1.12) ta được:

a+ = G N a ( ) * (3.2.2)

Bây giờ ta sẽ xác định dạng cụ thể của G(N) sao cho a+ và ( )a+ * thỏa mãn đại số (3.2.1) Đưa (3.2.2) vào phương trình cuối trong (3.2.1), ta thu được:

= (3.2.7) Bây giờ ta sẽ xét biểu diễn này trong trường hợp

2

i m

p

= hay [ ] m = 0

Ta đưa vào hệ vecto cơ sở j = p j -J, ,+J của không gian Fock là

trạng thái riêng của toán tử số N theo hệ thức:

N n = n n ; n = 0,1,2 (3.2.8)

Như vậy với đại số (3.1.12) ta có:

( ) ( )

1 1

a n+ g n n

-= + (3.2.9)

Giả sử tồn tại trạng thái nền 0 thỏa mãn a 0 = 0 thì ta buộc phải có

Vì thế những biểu diễn cho các toán tử là:

1 0

a n* - =

( ) a+ * n = [ ] n * n - 1 (n = 0,1,2, ,m-1)

3.2.2 Biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu về biểu diễn vô hạn chiều của đại số (3.1.12) với q bằng căn đơn vị

Từ đại số (3.1.12) ta biết:

a km+ - = (k = 1,2,3 ) (3.2.15)

Điều này áp đặt làm ta không thu được trạng thái km bằng cách tác

động toán tử nâng lên km - 1 Như vậy trạng thái cao nhất đúng là m- 1Nhưng nếu chúng ta có thể đưa vào một dạng mới của toán tử như sau:

( )

[ ] [ ]

m a A

( )

[ ] !

m m c

m

+ +

Sử dụng đại số (3.1.12) và hệ thức (3.1.13) ta có thể xác định quan hệ giữa toán tử số cổ điển N c với toán tử số biến dạng tổng quát N thông qua hệ thức:

Khi N là hermitic và q bằng căn đơn vị ta dễ dàng kiểm tra được N c

cũng là hermitic Từ điều trên ta thu được: