Luận văn thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra ừong thế giới hạt vi mô, và đóng vai ừò quan trọng ừong nhiều lĩnh vực của vật lí, đặc biệt ừong việ

NGÔ V ĂN NG H ĨA

BIÉN DANG HAI THAM SỔ

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết & Vật lí toán

Mã sổ: 60 44 01 03

LU Ậ N VĂ N THẠC SĨ K H O A HỌC VẬ T CHẤT • • • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2015

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, ngưòi đã đặt nền móng và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận văn này Tôi xin bày

tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tói cô

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lí, Phòng Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi ừong suốt thời gian học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngưòi đã động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn Mặc dù tôi đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Ngô Văn Nghĩa

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưói sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác, mọi thông tin trích dẫn ừong luận văn được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Ngô Văn Nghĩa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ Đ Ầ U 4

NỘI DUNG 6

Chương 1: HỆ NHIỀU HẠT ĐỒNG N H Ấ T 6

1.1 Dao động tử lượng tử 6

1.2 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất 13

1.3 Đối xứng hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng 16

1.4 Nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein 18

Chương 2: THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ 21

2.1 Thống kê Bose - Einstein 21

2.1.1 Dao động tử Boson 21

2.1.2 Thống kê Bose- Einstein 26

2.2 Thống kê Bose- Einstein biến dạng hai tham số 29

Chương 3:THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ 3.1 Thống kê Fermi- D ừ ac 32

3.1.1 Dao động tử Fermion 32

3.1.2 Thống kê Fermi- Dirac 35

3.2 Thống kê Fermi- Dirac biến dạng hai tham s ố 37

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô

tả bằng phương pháp thống kê Để hiểu biết đầy đủ hơn về các hạt cơ bản, việc mở rộng biến dạng hai tham số p,q cũng là một hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lí Bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử ta thấy rất thuận lợi đồng thời có khả năng xây dựng các phân

bố thống kê lượng tử mở rộng cho trường hợp các dao động phi điều hòa hay dao động tử điều hòa biến dạng Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra ừong thế giới hạt vi mô, và đóng vai ừò quan trọng ừong nhiều lĩnh vực của vật lí, đặc biệt ừong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí ừong hệ nhiều hạt

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống

kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dừac như thống kê Para - Bose, Para

- Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng với tư cách là thống kê

mở rộng hai tham số Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là ừong khuôn khổ của đại số biến dạng

Việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã được phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lí lý thuyết bởi các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lí lý thuyết Việc mở rộng hình thức lượng tử điều hòa hai tham số cũng được quan tâm nghiên cứu cùng

với sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác vói thống kê quen thuộc.

Vì vậy dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em xin

chọn đề tài:44 Thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham sổ”.

- Xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số

- Xây dựng phân bố thông kê Fermi - Dirac biến dạng hai tham số

4 Đổi tượng nghiên cứu

Hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết:

- Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử

II NỘI DUNG CHƯƠNG 1

HỆ NHIÈU HẠT ĐỒNG NHẤT

1.1 Dao động tử lượng tử

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng [1] :

Trong đó: X = q = X là toán tử tọa độ

px - p - -ih là toán tử xung lượng

(1.2)

(1.3)

tử ũ và à thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.7) Để làm điều đó ta đưa vào toán

tử mới như sau

Các kết quả tính toán cho chúng ta các kết luận sau:

Kết luân 1 : Các trị riêng của toán tử iV là các số không âm

Xét véc tơ trạng thái thu được ẫ\n) bằng cách tác dụng toán tử â lên véc tơ trạng thái |n ) Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N vầ sử dụng công

Nâ+ I n) = ầ+ ị t i + = à+ (n + l)ln ) = (n + ì)â+ In) (1-15)

Nghĩa là véc tơ trạng thái â+ I n) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n + 1)

Tương tự như vậy à+1 \n)‘,â+3\n), cũng là véc tơ trạng thái của toán tử

N ứng với ừị riêng (n + 2) , (n + 3),

Kết luân 2: Nếu I TÌ) là một vectơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì ,với p=ì,2,3, ,âr In) cũng là một vectơ riêng của toán tà N ứng với trị riêng (n - p); và (â+Ỵ I n) cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tà N ứng với trị riêng (n+p), và n - p ^ O

Từ hai kết luận trên ta thấy n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi các số không âm n - 1, n - 2, n - 3, cũng là trị riêng của toán tử N Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmk Khi đó:

Vì nếu ầ I nmin) =£ 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với ừị riêng

nmm - 1 < nmm trái với giả thiết llnún là trị riêng nhỏ nhất.

Kết luân 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là ĩinún = 0.

Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được kí hiệu là |0) Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện: â |0) =0.

Khi đó : â+10) tỷ lệ với vectơ riêng 11) của N ứng với trị riêng n=l,

(iâ+ý 10) tỷ lệ với vectơ riêng 12) của N ứng với trị riêng n=2,

( â +)n10) tỷ lệ với vectơ riêng I n) của N ứng với trị riêng n,

I n) là vectơ riêng của ồ ứng với trị riêng

|0) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |0) được gọi là trạng tháichân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, 12) là trạng thái chứa hai

lượng tử |n) là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N cỏ các giá trị nguyên

không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng

Toán tử N có trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán số lượng tử năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên I rì) cho một trạng thái tỷ lệ vói I n -1 ) và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â+khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỷ lệ vói

I n + 1) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt và â+ sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái I rì) với năng lượng

En = n h

sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ a n,ß n, và Yn trong các hệ thức

Tacó \n) = ỵnâ+n\0) = ỵn(â+Ỵ lâ+\0)

<^> I«) = r» (à+ )" 1A |1> = YnPữ (à+ )" 2 à+11) = rnp ữ (â+ )" 2 p ỉ |2)

1.2 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.

Ngoài những đại lượng vật lí đặc trưng trạng thái chuyển động của hạt

vi mô ừong không gian như tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng, năng lượng, hình chiếu spin, còn có những đại lượng vật lí gắn liền với bản chất của hạt vi mô như khối lượng, điện tích, spin, Những hạt có bản chất giống nhau, tức là có cùng một giá ừị khối lượng, điện tích, spin, , gọi là các hạt đồng nhất Một đặc điểm của Cơ học lượng tử là ừong một hệ nhiều hạt đồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác Đó là một hiện thực khách quan của thế giới vi mô và được lý thuyết hóa dưới dạng một

nguyên lý gọi là Nguyên lý bất khả phân biệt cảc hạt đồng nhất [2]

Cụ thể hơn, ta xét một hệ N hạt đồng nhất mỗi hạt đều có khối lượng m Hamiltonian của hệ là

Trong đó l = ( 7í ơ i} , 2 = {r2 cr2} 5 với ĩ[ và ƠỊ là biến số tọa độ và chỉ

số spin của hạt thứ 1, uự,t) là thế năng của hạt thứ 1 trong một trường ngoài

nào đó và W(/,n) là năng lượng tương tác giữa hạt thứ 1 và hạt thứ n Hamiltonian (1.21) cho thấy rằng nếu ta quy ước đánh số các hạt theo một thứ

tự nào đó từ 1 đến N, thì việc đổi chỗ giữa các hạt vói nhau chỉ làm thay đổi

thứ tự đánh sô đã quy ước và chỉ xáo ừộn các sô hạng ừong các tông 2_J và

ỹ chứ không làm thay đổi giá trị của chính các tổng đó và vì vậy

với k, j bất kỳ Tính chất này được phát biểu như sau: “ Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép hoán vị hai hạt bất kỳ” Hàm sóng của hệ nhiều hạt đồng nhất là một hàm đa thành phần

Để mô tả sự đổi chỗ giữa các hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị Pk giữa hai

trong đó f là một hàm bất kỳ Sử dụng toán tử hoán vị Pk , ta có thể viết lại

So sánh hai phương trình (1.24) và (1.25) ta suy ra rằng nếu

ựặ,2, ,k, ,j, ,N,t) là lời giải của phương trình Schrödinger (1.23) thì

\ự' = 4 ^ ( 1 ,2 ,k , j , N , t) = xựặ, 2 , k , ị N , t)

cũng là lời giải của phương trình này Do đó y cũng như y/ đều diễn tả một

trạng thái khả dĩ của hệ các hạt đồng nhất Vì ừong lập luận ừên k và j là bất

kỳ nên có thể kết luận rằng tất cả các hàm sóng thu được từ

y/(Ậ,2, ,k, , j , N , t )bằng cách hoán vị tùy ý giữa các hạt đều là lời giải của

phương trình Schrödinger (1.23) Tất cả các hàm sóng được tạo theo kiểu hoán vị nói trên đều bình đẳng với nhau và vì vậy không thể biết chính xác sự phân bố ừong không gian của từng hạt riêng biệt mà chỉ có thể biết thông tin

về toàn bộ hệ mà thôi Từ đó cần phải hiểu là trong thế giới vi mô các hạt đồng nhất là một tổng thể khách quan mà ta không thể nói gì về trạng thái của từng hạt riêng biệt Điều này được phát biểu dưới dạng một nguyên lý chung gọi là nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất như sau: “Các trạng thái vật lí của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đổi vói bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt” [2]

1.3 Đổi xứng hóa và phản đổi xứng hóa hàm sóng

Đầu tiên ta xét hệ hai hạt đồng nhất, N = 2 Sau khi giải phương trình

Sehr"

ta thu được hàm sóng y/ịì, 2,0 của hệ Hàm sóng này nói chung không có tính

đối xứng hoặc phản đối xứng phù hợp với nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất Do đó ta phải tiến hành đối xứng hóa hoặc phản đối xứng hóa như sau Vì

Trong trường hợp tổng quát với N>2, các hàm sóng hoàn toàn đối xứng

hoặc phản đối xứng đối với phép hoán vị giữa bất kỳ hai hạt nào được xây dựng như sau:

¥ a =c ^ - \ Y Py/(X,2, ,k, , (1.28)

p

trong đó p là toán tử hoán vị bất kỳ giữa các hạt, ^ ký hiệu phép cộng theo

p

N! các phép hoán vị P giữa tất cả các hạt ừong hệ N hạt đang xét và

(-l)p = +1 hoặc -1 nếu số lần hoán vị giữa các hạt là chẵn hoặc lẻ

Để cụ thể hơn, ta xét trường hợp đặc biệt khi có thể bỏ qua tương tác giữa các hạt Khi đó Hamiltonian của hệ là tổng của các Hamiltonian của mỗi hạt

a=1

trong đó H (a) chỉ tác dụng lên tọa độ ra và chỉ số spin ơ a của hạt thứ c t

Ký hiệu các hàm riêng của Ế (a) là ys(va)ÌTaơ a) và Ej,a), ta có

ừong đó chỉ số va bao gồm tất cả các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của htaj thứ cc khi xét riêng biệt,bao gồm cả hình chiếu spin của hạt này Dễ

thử lại rằng tích của các hàm sóng y/(va](raơ a) của tất cả các hạt

(rxơx, ,rNơN) = f [ ự i£ (raơa) (1.30)

(1.31)

p a=1 r

đôi với hệ các boson và

JV

p

đối với hệ các fermion

1.4 Nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein

Công thức (1.32) có thể viết lại dưới định thức (định thức Slater) [2] :

ự vM ơ i) ¥vÁr2ơ 2) iỵvl(rNơ N)

ừong đó ơ = l/4W\ là hệ số chuẩn hóa Rõ ràng rằng nếu hai hoặc hơn hai

trong số N chỉ số Vj,V 2, ,V N trùng nhau thì hàm sóng y/_lập tức ừiệt tiêu Từ

đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có hơn một hạt cùng ở một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi Nguyên lý này là một hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng

Khác với trường hợp của fermion, hàm sóng (1.31) mô tả hệ các boson

không hề triệt tiêu khi có các chỉ số va trùng nhau Điều này có nghĩa là mỗi

trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được Khi nhiệt độ đủ thấp, các boson có thể dồn hết xuống trạng thái cơ bản, là trạng thái có năng lượng thấp nhất Mật độ boson ở trạng thái cơ bản có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Khả năng tồn tại trạng thái ngưng tụ Bose- Einstein

là một hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất

(1.33)

nhất

Kết luận chương 1

Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách lôgic của hệ nhiều hạt đồng nhất:

- Trình bày biểu diễn hạt dao động tử điều hòa:

- Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy Boson toán tử số hạt

- Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử a,a+

- Trình bày về nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất, đối xứng hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng

- Trình bày về nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein

Nội dung trình bày ừong chương này là những nội dung cơ bản, tiền đề đểừên cơ sở đó chứng tôi áp dụng vào nghiên cứu hệ các dao động tử có thống

kê lượng tử ở các chương sau

CHƯƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ

2.1 Thống kê Bose - Einstein.

2.1.1 Dao động tử Boson

Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi nghiên cứu các hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các vectơ chuẩn hóa ừong một không gian Hilbert và sử dụng các toán tử sinh hạt và hủy hạt như ta đã nói đến ừong dao động tử điều hòa để kiến tạo các

vectơ trạng thái nhiều hạt Ta nhắc lại rằng, toán tử sinh hạt â+ và toán tử hủy hạt ẳ thỏa mãn các hệ thức giao hoán[l], [4]:

[â,â+] = l, [ẵ,â] = [à\â+] = 0

Các hệ thức giao hoán này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau: