Phân tích tĩnh học, dao động tự do và ổn định tấm gấp gia cường cân bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn cs fem min3

Niyogi và các cộng sự [50] đã phân tích động học tấm gấp composit gia cường dầm bằng việc sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT kết hợp phần tử tứ giác chín nút.. Lew và các cộng

TRẦN QUANG MINH

PHÂN TÍCH TĨNH HỌC, DAO ĐỘNG TỰ DO VÀ ỔN ĐỊNH TẤM GẤP GIA CƯỜNG GÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-FEM-MIN3

Chuyên ngành : xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số : 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học 1:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 23 tháng 01 năm 2015

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 01/05/1987 Nơi sinh: Quảng Ngãi

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

1 Sử dụng phương pháp CS-FEM-MIN3 để phân tích tĩnh, phân tích dao động

tự do và phân tích ổn định của tấm gấp Reissner-Mindlin có dầm Timoshenko gia cường

2 Phát triển thuật toán và code Matlab để tính toán các ví dụ số

3 So sánh kết quả đạt được với các kết quả tham khảo

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 07/07/2014

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07/12/2014

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

1 PGS.TS NGUYỄN THỜI TRUNG

2 TS LƯƠNG VĂN HẢI

Tp HCM, ngày tháng 01 năm 2015

PGS.TS NGUYỄN THỜI TRUNG PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

TS LƯƠNG VĂN HẢI

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học cao học tại trường Đại học Bách Khoa-Đại học quốc gia Tp.HCM, tôi đã được sự dạy dỗ, hướng dẫn tận tình của các Thầy cô giáo khoa Kỹ thuật xây dựng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Quý Thầy Cô của khoa, Quý Thầy Cô Ban Giám Hiệu, phòng đào tạo Sau Đại học đã cho tôi những kiến thức quý báu và dạy dỗ tôi trong thời gian học tại trường

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy của tôi là PGS.TS Nguyễn Thời Trung và TS Lương Văn Hải, Người đã định hướng nghiên cứu khoa học, đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tinh thần để tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù công việc luôn luôn bận rộn nhưng lúc nào hai Thầy cũng nhiệt tình hướng dẫn, tiếp sức cho tôi nghị lực và kiến thức để bước qua những giai đoạn khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này Tôi cũng xin cảm ơn các bạn Đặng Trung Hậu, Nguyễn Minh Nhân, Lê Anh Linh, Hồ Hữu Vịnh đã rất tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn, chia sẽ những kiến thức hữu ích về đề tài để tôi có cơ sở thực hiện tốt luận văn của mình

Tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, giúp tôi hoàn thành khóa học này

Dù bản thân tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn này Do đó, tôi kính mong và luôn ghi nhận những góp ý, nhận xét của Quý Thầy Cô để tôi hoàn thiện thêm luận văn của mình.Tôi xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2014

Trần Quang Minh

ABSTRACT

This paper presents the static, free vibration and buckling analysis of stiffened folded plates In particular, the folded plate is modeled by flat shell theory combining with FSDT theory, and the stiffener is modeled by Timoshenko beam theory The numerical solution is executed based on the smoothed finite element method in which the cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) is used to analyze the behavior of the folded plate, and the 2D linear element is used to analyze the behavior of the stiffener The CS-FEM-MIN3 method

is chosen for its capability of avoiding the shear locking phenomenon Numerical results obtained via Matlab programing language is used to verify the accuracy and efficiency of the present method with others in the literature In addition, the paper also studies the eccentricity between the mid-plane of the plate and the centroid of beam, as well as the effect of folds and stiffeners to the bearing capacity and stability of stiffened folded plates.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sỹ này là do chính bản thân tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thời Trung và TS Lương Văn Hải tại trường Đại học Bách Khoa – Đại học quốc gia Tp.HCM

Các kết quả được nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, đúng sự thật và chưa từng được công bố ở các luận văn trước

Tôi cam kết và chịu trách nhiệm về kết quả luận văn này

Người cam đoan

Trần Quang Minh

MỤC LỤC

MỤC LỤC vi

DANH MỤC HÌNH VẼ ix

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu chung 1

1.2 Tình hình nghiên cứu hiện nay 2

1.3 Ý nghĩa thực tiễn và tính cấp thiết của đề tài 4

1.4 Cấu trúc của luận văn 7

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8

2.1 Khái niệm và một số lý thuyết tấm 8

2.1.1 Khái niệm chung 8

2.1.2 Một số lý thuyết về tấm 8

2.1.2.1 Sơ lược về lý thuyết tấm Kirchhoff 8

2.1.2.2 Sơ lược về lý thuyết tấm Reissner-Mindlin 9

2.2 Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin [34] 10

2.2.1 Trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong tấm Reissner-Mindlin 10

2.2.2 Năng lượng biến dạng của tấm Reissner-Mindlin 15

2.2.3 Động năng của tấm Reissner-Mindlin 17

2.2.4 Công ngoại lực tác dụng lên tấm Reissner-Mindlin 19

2.3 Lý thuyết tấm gấp Reissner-Mindlin 19

2.3.1 Chuyển đổi hệ trục tọa độ 19

2.3.2 Năng lượng biến dạng, công ngoại và động năng của tấm gấp Reissner-Mindlin 20

2.4 Lý thuyết dầm 20

2.4.1 Một số lý thuyết về dầm 20

2.4.1.1 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [34] 21

2.4.1.2 Lý thuyết dầm Timoshenko [34] 21

2.4.2 Lý thuyết dầm Timoshenko [34] 22

2.4.2.1 Phép chuyển trục 22

2.4.2.2 Trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất của dầm Timoshenko 23

2.4.2.3 Năng lượng biến dạng của dầm 26

2.5 Lý thuyết tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko 33

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP CS-FEM-MIN3 CHO PHÂN TÍCH TẤM GẤP REISSNER-MINDLIN GIA CƯỜNG DẦM TIMOSHENKO 34

3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko 34

3.1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm gấp Reissner-Mindlin 34

3.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko 38

3.1.3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko 41

3.1.3.1 Điều kiện tương thích về chuyển vị 41

3.1.3.2 Năng lượng biến dạng, công ngoại lực của tấm gấp gia cường gân 42

3.2 Phương pháp CS-FEM-MIN3 cho tấm gấp Reissner-Mindlin có dầm Timoshenko gia cường 46

3.2.1 Phương pháp MIN3 cho tấm gấp Reissner-Mindlin 46

3.2.2 Phương pháp CS-FEM-MIN3 cho tấm gấp Reissner-Mindlin 54

3.2.3 Phương pháp CS-FEM-MIN3 cho tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko 60

3.3 Điều kiện biên của bài toán 62

3.3.1 Điều kiện biên tựa đơn 62

3.3.2 Điều kiện biên ngàm 62

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ SỐ 63

4.1 Phân tích tĩnh 63

4.1.1 Phân tích tĩnh tấm gấp không gia cường 63

4.1.2 Phân tích tĩnh tấm gấp không gia cường gân 65

4.1.3 Phân tích tĩnh tấm gấp gia cường gân 68

4.2 Phân tích dao động tự do 70

4.2.1 Phân tích dao động tự do tấm gấp không gia cường gân 70

4.2.2 Phân tích dao động tự do tấm gấp gia cường gân 73

4.3 Phân tích ổn định 76

4.3.1 Phân tích ổn định tấm gấp không gia cường 76

4.3.2 Phân tích ổn định tấm gấp gia cường gân 78

cấu tấm gấp 79

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 83

5.1 Kết luận 83

5.2 Kiến nghị và hướng phát triển của đề tài 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Ứng dụng kết cấu tấm gấp trong công trình dân dụng (Nguồn: Internet) 1

Hình 1.2 Ứng dụng tấm gấp gia cường trong công trình cầu (Nguồn: Internet) 2

Hình 1.3 Mô hình tính toán kết cấu tấm gấp (Nguồn: [9]) 2

Hình 1.4 Một số hình ảnh về sự sụp đổ của chiếc cầu Tacoma Narrow do bị cộng hưởng (Nguồn: Internet) 5

Hình 1.5 Mất ổn định của hệ cột (Nguồn: Internet) 5

Hình 1.6 Khả năng chịu lực của tấm gấp lớn hơn tấm nhờ các nếp gấp (Nguồn: Internet) 6

Hình 2.1 Qui ước dấu trong tấm Reissner-Mindlin 10

Hình 2.2 Biến dạng của tấm 10

Hình 2.3 Các ứng suất ngang o o o x y xy     trong mặt phẳng trung bình của tấm 17

Hình 2.4 Phần tử tấm gấp trong hệ tọa độ tổng thể 19

Hình 2.5 Dầm Euler – Bernoulli 21

Hình 2.6 Dầm Timoshenko 21

Hình 2.7 Phần tử dầm trong hệ tọa độ Oxyz và Orsz 22

Hình 2.8 Phần tử dầm trong hệ tọa độ địa phương Orsz 23

Hình 2.9 Biến dạng của dầm 24

Hình 2.10 Đổi biến dầm từ hệ trục Osz sang hệ trục Os’z’ 28

Hình 3.1 Phần tử tam giác ba nút 34

Hình 3.2 Phần tử dầm hai nút 38

Hình 3.3 Tương thích về chuyển vị giữa tấm và dầm gia cường 41

Hình 3.4 Phần tử tam giác ba nút trong hệ tọa độ địa phương 51

Hình 3.5 Tọa độ các đỉnh của phần tử tam giác ba nút được thể hiện trong phần tử MIN3 54

Hình 3.6 Các tam giác con Δ1, Δ2, Δ3 được tạo thành từ tam giác (123) bằng cách nối trọng tâm với ba đỉnh của tam giác trong phương pháp CS-FEM-MIN3 54

Hình 3.7 Điều kiện biên tựa đơn 62

Hình 3.8 Điều kiện biên ngàm 62

Hình 4.1 Tấm gấp hai đầu ngàm 63

Hình 4.2 Mô hình biến dạng (chia lưới 1717 nút) 64

Hình 4.3 Khảo sát sự hội tụ của độ võng tại tâm tấm A 65

Hình 4.4 Tấm gấp một nếp gấp 65

Hình 4.5 Mô hình chia lưới (1717 nút cho mỗi tấm) (a) và mô hình biến dạng của tấm gấp với góc gấp 90o (b) 66

Hình 4.6 Mô hình chia lưới (1717 nút cho mỗi tấm) và mô hình biến dạng của tấm gấp với góc gấp 120o 67

Hình 4.7 Tấm gấp công xôn một nếp gấp có gân gia cường 68

Hình 4.8 Mô hình chia lưới (1717 nút cho mỗi tấm) (a) và mô hình biến dạng (b) của tấm gấp công xôn gia cường 68

Hình 4.9 Tấm công xôn hai nếp gấp 70

Hình 4.10 Mô hình chia lưới (77 nút) với góc gấp lần lượt là 90o, 120o, 150o của tấm công xôn hai nếp gấp 71

Hình 4.11 So sánh năm tần số dao động đầu tiên tấm công xôn hai nếp gấp, góc gấp150o, t = 0.02L lưới chia 77 nút 72

Hình 4.12 Tấm gấp công xôn một nếp gấp được gia cường gân 74

Hình 4.13 Năm mode dao động đầu tiên của tấm công xôn một nếp gấp gia cường gân 75

Hình 4.14 Tấm công xôn một nếp gấp 76

Hình 4.15 Tấm công xôn một nếp gấp gia cường gân bị ngàm tại cạnh ‘a’ và ‘b’ chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm 78

Hình 4.16 Tấm công xôn một nếp gấp gia cường gân bị ngàm tại cạnh ‘c’ và ‘d’ 78

Hình 4.17 Trụ tấm công xôn bốn nếp gấp và trụ tấm công xôn tám nếp gấp 80

Hình 4.18 Mô hình chia lưới 80

Hình 4 19 Mô hình biến dạng của mode dao động ổn định đầu tiên 81

Hình 4.20 Hệ số ổn định của trụ ứng với số lượng nếp gấp của chu vi tiết diện 81

Hình 4.21 Trụ tấm công xôn tám nếp gấp gia cường dầm 82

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Cấu hình nút ban đầu (không chịu ràng buộc cắt) và cấu hình nút lúc sau

(đã chịu ràng buộc cắt) trong phần tử tấm MIN3 48

Bảng 4.1 Độ võng tại tâm tấm A (đơn vị: m) 64 Bảng 4.2 Độ võng dọc theo đường x = 1 m và y = 1 m của tấm A với góc gấp 90o.66 Bảng 4.3 Độ võng dọc theo đường x = 1 m và y = 1 m của tấm A với góc gấp 120o.67 Bảng 4.4 Độ võng dọc theo đường x = 1 m và y = 1 m của tấm A 69 Bảng 4.5 Giá trị tần số dao động riêng của năm mode dao động đầu tiên

( L (12) /E ) của tấm công xôn hai nếp gấp với chiều dày tấm t = 0.02L 71 Bảng 4.6 Giá trị tần số dao động riêng của năm mode dao động đầu tiên

( L (12) /E ) của tấm công xôn hai nếp gấp với chiều dày tấm t = 0.1L 72 Bảng 4.7 Hình dáng năm mode dao động đầu tiên của tấm công xôn hai nếp gấp với

góc gấp150o, chiều dày tấm t = 0.02L, lưới chia 77 nút 73 Bảng 4.8 Tần số dao động năm mode đầu tiên của tấm công xôn một nếp gấp gia

cường gân 74 Bảng 4.9 Hình dáng năm mode dao động của tấm công xôn một nếp gấp gia cường

gân với góc gấp 90o 75 Bảng 4.10 Giá trị hệ số ổn định k của tấm công xôn một nếp gấp với t = 0.02L 77 Bảng 4.11 Giá trị hệ số ổn định k của tấm công xôn một nếp gấp với t = 0.05L 77 Bảng 4.12 Hình dạng mode dao động ổn định đầu tiên của tấm công xôn một nếp

gấp với t = 0.02L 77 Bảng 4.13 Giá trị hệ số ổn định kcủa tấm gấp gia cường 79 Bảng 4.14 Hình dạng mode dao động ổn định đầu tiên của tấm gấp gia cường 79 Bảng 4.15 Giá trị hệ số ổn định không thứ nguyên k của mode dao động đầu tiên.81 Bảng 4.16 So sánh hệ số ổn định giữa trụ không gia cường và trụ được gia cường 82

MITC : phương pháp nội suy tổng hợp các thành phần ten-sơ (Mixed

Interpolated Tensiorial Components)

CS-FEM : kỹ thuật trơn hóa trường biến dạng dựa trên phần tử (Cell-base

Smoothed Finite Element Method)

CLPT : thuyết tấm cổ điển (The Classical Lamina Plate Theory)

FSDT : lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm (The First-order Shear

Deformation plate Theory)

HSDT : lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm (Hight-order Shear

Deformation plate Theory)

Chỉ số trên và chỉ số dưới

 p : các đại lượng của tấm

 s : các đại lượng của dầm

 E

: các đại lượng có liên quan đến đàn hồi

 G : các đại lượng có liên quan đến hình học

 m : các đại lượng có liên quan đến biến dạng màng

 b : các đại lượng có liên quan đến biến dạng uốn

 s : các đại lượng có liên quan đến biến dạng cắt

 ( )e

: các đại lượng có liên quan đến phần tử

 i : các đại lượng có liên quan đến nút thứ i

T : động năng của dầm gia cường

e : khoảng cách giữa mặt phẳng trung hòa của tấm với trục dầm

x i , y i : tọa độ đỉnh thứ i của tam giác

uo : chuyển vị của tấm trong mặt phẳng Oxy theo phương x

vo : chuyển vị của tấm trong mặt phẳng Oxy theo phương y

w o : độ võng của tấm theo phương z

s : véc-tơ trường chuyển vị của phần tử dầm trong hệ tọa độ Oxyz

 : ma trận chuyển đổi hệ tọa độ

N i : ma trận hàm dạng tuyến tính tại nút thứ i của phần tử tam giác

( )e

sfp

K : ma trận độ cứng của phần tử tấm gấp gia cường gân

M : ma trận khối lượng của hệ

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu chung

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật xây dựng hiện đại, những công trình không chỉ được xây dựng với mục đích đảm bảo công năng sử dụng mà còn phải bền, nhẹ, chi phí rẻ và thời gian thi công nhanh Chính vì vậy, các nhà khoa học đã không ngừng nghiên cứu và cải tiến để kết cấu công trình có thể đáp ứng cùng lúc nhiều yêu cầu khác nhau trong cuộc sống Trong các kết cấu xây dựng, kết cấu tấm gấp là một trong những kết cấu được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi do

có ưu điểm như dễ chế tạo, khả năng chịu lực cao, chi phí sản xuất thấp và thời gian thi công nhanh Một số công trình có sử dụng kết cấu tấm gấp có thể kể đến như công trình xây dựng dân dụng (Hình 1.1) và công trình cầu (Hình 1.2)

Hình 1.1 Ứng dụng kết cấu tấm gấp trong công trình dân dụng (Nguồn: Internet)

Hình 1.2 Ứng dụng tấm gấp gia cường trong công trình cầu (Nguồn: Internet) 1.2 Tình hình nghiên cứu hiện nay

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Tấm gấp đã được nghiên cứu rất sớm từ những năm đầu của thập niên 90, các nhà nghiên cứu đầu tiên về kết cấu tấm gấp là Ehlers [9] và Creamer [10] đã mô hình tấm gấp như các dầm đơn giản và bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị tại các nếp gấp (Hình 1.3)

Hình 1.3 Mô hình tính toán kết cấu tấm gấp (Nguồn: [9])

Sau đó, chuyển vị tại các nếp gấp được xem xét bởi Gaafar [11], Yitzhaki, Reiss [13] và Whiteney [14] để cải thiện hơn độ chính xác của việc tính toán Năm 1957, Goldberg và Lee [15] đã phát triển một phương pháp dựa trên lý thuyết đàn hồi gọi

là phương pháp bán giải tích để nghiên cứu ứng xử tĩnh học của tấm gấp Trong phương pháp này, tại mỗi nút trên nếp gấp có bốn bậc tự do (hai thành phần chuyển

vị và hai thành phần góc xoay), ma trận độ cứng được lấy đạo hàm từ phương trình cân bằng tại nếp gấp, trường chuyển vị được tính toán thông qua tải trọng và điều kiện biên dựa vào chuỗi Fourier

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ khả năng tính toán của máy tính, nhiều phương pháp số đã được phát triển và đóng vai trò quan trọng hơn trong việc phân tích tấm gấp Bar-Yoseph và Herscovitz [45] đã thiết lập phương pháp gần đúng trong việc phân tích tấm gấp dựa trên lý thuyết dầm mỏng của Vlassov Trong lý thuyết này, kết cấu được rời rạc hóa thành các dầm mỏng và được liên kết với nhau như một hệ cứng Cheung [46], [47] là người đầu tiên phát triển phương pháp dải hữu hạn nhưng gặp phải khó khăn tại những gối tựa trung gian Maleki [48] đã khắc phục được vấn đề trên bằng cách thêm một ma trận độ cứng tại phần tử gối tựa trung gian trong phương pháp dải hữu hạn phức

Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được phát triển và cho thấy tính hiệu quả và khả năng áp dụng thực tế một cách rộng rãi bởi nó có thể áp dụng cho việc phân tích các kết cấu lớn và phức tạp với tất cả các loại điều kiện biên và tải trọng Niyogi và các cộng sự [50] đã phân tích động học tấm gấp composit gia cường dầm bằng việc sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) kết hợp phần tử tứ giác chín nút Trong khi đó, Haldar và Sheikh [51] sử dụng phần tử tam giác mười sáu nút trong việc phân tích dao động tự do của tấm gấp Tuy nhiên, do các phần tử tam giác sáu nút hay tứ giác chín nút là những phần tử bậc cao nên việc tính toán gặp nhiều khó khăn cho những bài toán có kết cấu hình học phức tạp

L X Peng và các cộng sự [1]-[4] đã sử dụng phương pháp không chia lưới Galerkin kết hợp lý thuyết lý FSDT để phân tích tĩnh học, động học và ổn định của tấm gấp gia cường dầm Kết quả nghiên cứu được tác giả so sánh với kết quả của phần mềm Ansys

K M Lew và các cộng sự [7] đã sử dụng phương pháp SSKPM kết hợp lý thuyết lý FSDT để phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm gấp gia cường dầm Các kết quả nghiên cứu được tác giả so sánh với kết quả của phần mềm thương mại Ansys

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Tình hình nghiên cứu trong nước cho đến nay cho thấy chưa có sự quan tâm đúng mức cần thiết về phân tích ứng xử của kết cấu tấm gấp Có rất ít công trình nghiên

cứu về kết cấu tấm gấp được công bố trong nước Dưới đây là một số nghiên cứu gần đây về tấm gấp được công bố trong nước

Trần ích Thịnh và các cộng sự [43], [44] đã sử dụng phần tử đẳng tham số tám nút với năm bậc tự do tại mỗi nút trong việc phân tích tĩnh học và động học của tấm gấp Mặc dù kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho một số kết cấu tấm gấp phổ biến nhưng do tác giả sử dụng phần tử bậc cao nên phần tử sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán các kết cấu có kích thước lớn và hình dạng hình học phức tạp Phạm Đức Tuấn [40] đã áp dụng phương pháp làm trơn CS-FEM dựa trên phần

tử DSG3 để phân tích ứng xử tấm Reissner-Mindlin có dầm Timoshenko gia cường Các kết quả được so sánh với kết quả của Mukherjee cùng các cộng sự và phần mềm Sap 2000, Nastran

1.3 Ý nghĩa thực tiễn và tính cấp thiết của đề tài

Việc nghiên cứu tĩnh học, dao động tự do và ổn định của kết cấu tấm gấp gia cường gân có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn Ngoài việc phân tích tĩnh học được xem như là một vấn đề tất yếu trong việc phân tích ứng xử của các kết cấu, một số hệ kết cấu còn chịu tải trọng động học với một tần số dao động nhất định Ví dụ như: đoàn người đi qua cầu; các cột đèn, cột điện chịu tác dụng của tải gió; các khán đài chịu tải trọng cổ vũ của các cổ động viên; các sàn vũ trường,v.v Trong các kết cấu chịu tải trọng động này, tần số dao động riêng tự nhiên của bản thân kết cấu là một đặc trưng rất quan trọng Trong quá trình dao động, nếu tần số dao động của tải trọng động trùng với tần số dao động riêng tự nhiên của bản thân kết cấu thì kết cấu sẽ bị

khuếch đại dao động, hiện tượng này được gọi là hiện tượng cộng hưởng và trong

một số trường hợp nó đã gây ra những hậu quả nghiêm trọng Ví dụ như: vào ngày

7 tháng 11 năm 1940, cầu Tacoma Narrow bị tác động bởi cơn gió có tần số đúng bằng tần số dao động tự nhiên của chiếc cầu đã làm chiếc cầu lắc lư mạnh trong nhiều giờ đồng hồ và cuối cùng là chiếc cầu đã bị sập (Hình 1.4); giữa thế kỉ XIX, khi một đoàn quân đi đều bước qua một chiếc cầu treo làm chiếc cầu rung lên dữ dội và đứt xuống, gây tai nạn chết người v.v Do đó, việc phân tích giá trị riêng để tìm các tần số dao động tự nhiên phải được thực hiện trong quá trình thiết kế một hệ kết cấu chịu tải trọng động

Hình 1.4 Một số hình ảnh về sự sụp đổ của chiếc cầu Tacoma Narrow do bị cộng

hưởng (Nguồn: Internet)

Ngoài ra, khi một hệ kết cấu làm việc chịu nén, dù chỉ xảy ra mất ổn định của một thanh cũng sẽ dẫn đến sự sụp đổ của toàn hệ kết cấu Tính chất của việc phá hoại do mất ổn định là đột ngột và do đó là rất nguy hiểm (Hình 1.5) Trong lịch sử xây dựng trên thế giới đã từng xảy ra những thảm họa sập cầu chỉ vì sự mất ổn định của một thanh dàn chịu nén như cầu Lavrentia ở Mỹ (1907), cầu Mekhelstein ở Thụy Sỹ (1991) [41] Do đó, khi thiết kế các cấu kiện chịu nén, ngoài việc phải đảm bảo các điều kiện bền, người kỹ sư còn phải quan tâm đến điều kiện ổn định của kết cấu

Hình 1.5 Mất ổn định của hệ cột (Nguồn: Internet)

Các kết cấu tấm gấp gia cường gân có cường độ chịu nén và chịu uốn tốt hơn kết cấu tấm thông thường nhờ có các “nếp gấp” và các “gân gia cường” (Hình 1.6)

Đồng thời, kết cấu này cũng nhẹ hơn các cấu kiện bằng bê tông cốt thép hay kết cấu

thép Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa cường độ và trọng lượng của kết cấu tăng lên,

do đó kết cấu có thể đảm bảo cả yêu cầu chịu lực và yêu cầu hiệu quả kinh tế

Hình 1.6 Khả năng chịu lực của tấm gấp lớn hơn tấm nhờ các nếp gấp (Nguồn:

Internet)

Việc phân tích kết cấu tấm gấp gia cường gân được thực hiện dựa trên hai giả thuyết Một là, xem kết cấu tấm gấp gia cường gân như một tấm liên hợp (composite plate) trực hướng Hai là, xem kết cấu tấm gấp gia cường gân gồm hai thành phần độc lập là tấm gấp và dầm gia cường, hai thành phần này liên hệ với nhau thông qua điều kiện tương thích về chuyển vị Trong hai giả thuyết trên thì giả thuyết thứ hai là đơn giản và thực tế hơn nên được phát triển mạnh mẽ hơn Hai lý thuyết hiện nay đang được sử dụng rộng rãi cho việc phân tích kết cấu tấm gấp gia

cường gân là tấm Kirchhoff kết hợp dầm Bernoulli và tấm Reissner-Mindlin kết hợp dầm Timoshenko

Lý thuyết tấm vỏ Kirchhoff thường sử dụng các phần tử hữu hạn bậc cao, không

kể đến biến dạng cắt nên thường dùng để tính toán tấm mỏng [18] Trong khi đó, lý thuyết tấm vỏ Reissner-Mindlin thường sử dụng phần tử tuyến tính đơn giản như các phần tử tam giác ba nút hay tứ giác bốn nút và có kể đến biến dạng cắt nên thường được sử dụng cho việc tính toán cả tấm dày và tấm mỏng

Tuy nhiên, vì lý thuyết tấm Reissner-Mindlin được thực hiện thông qua phần tử đẳng tham số nên khi áp dụng trong trường hợp tấm mỏng (tức tỉ lệ giữa bề dày và

cạnh của tấm tiến dần về không) thì gặp phải hiện tượng khóa cắt (shear locking)

Để khắc phục hiện tượng này, đã có nhiều phương pháp khác nhau đã được nhiều tác giả đề xuất như DSG (Discrete shear gap) [40], MITC4 (Mixed interpolated Tensiorial Components) [39], MIN3 (Three node Mindlin plate element) [5] v.v

Trong phạm vi luận văn này, việc phân tích ứng xử của kết cấu tấm gấp được phân tích thông qua lý thuyết FSDT kết hợp phương pháp làm trơn dựa trên phần tử tam giác Mindlin ba nút (CS-FEM-MIN3), mỗi nút có sáu bậc tự do Phần tử CS-FEM-MIN3 [30] là phần tử đơn giản trong việc tính toán và dễ dàng trong việc chia

lưới, đồng thời cũng khắc phục được hiện tượng khóa cắt (shear locking) cho tấm

khi sử dụng lý thuyết tấm Mindlin

1.4 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc luận văn như sau:

 Chương 1 – Tổng quan: Giới thiệu tổng quan về kết cấu tấm gấp gia cường gân

 Chương 2 – Cơ sở lý thuyết: Trình bày lý thuyết tấm gấp Reissner-Mindlin,

lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko

 Chương 3 – Phương pháp CS-FEM-MIN3 cho tấm gấp Reissner-Mindlin gia cường dầm Timoshenko: Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm gấp gia cường gân Tấm sử dụng phần tử CS-FEM-MIN3 Dầm sử dụng phần tử một chiều hai nút

 Chương 4 – Kết quả số: Trình bày một số ví dụ về việc phân tích tĩnh, phân tích dao động và phân tích ổn định của tấm gấp không gia cường và gia cường gân bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM-MIN3

 Chương 5 – Kết luận và kiến nghị: Trình bày một số kết luận quan trọng từ việc thực hiện luận văn và kiến nghị hướng phát triển thêm của đề tài trong tương lai

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Khái niệm và một số lý thuyết tấm

2.1.1 Khái niệm chung

Tấm là những cấu trúc hình lăng trụ hoặc hình trụ được xác định trong không gian

ba chiều, có kích thước một phương nhỏ hơn nhiều so với hai phương còn lại, kích thước này gọi là chiều dày của tấm Một mặt phẳng quỹ tích cách đều hai mặt của tấm được gọi là mặt phẳng trung bình của tấm Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt bên của tấm được gọi là cạnh biên (hay chu vi) của tấm

Dựa vào tỉ lệ giữa kích thước bề dày và kích thước các cạnh xung quanh của tấm, người ta phân ra 02 loại tấm như sau [37]:

- Nếu

min

15

  thì được gọi là tấm mỏng với lý thuyết tấm Kirchhoff

trong đó t là bề dày của tấm, lmin là kích thước cạnh nhỏ nhất của tấm Ứng xử của tấm được phân tích thông qua mặt phẳng trung bình của tấm

2.1.2 Một số lý thuyết về tấm

Để nghiên cứu ứng xử của kết cấu tấm, các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều lý thuyết tấm như lý thuyết tấm cổ điển (Classical lamina plate theory-CLPT) [34], lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-order shear deformation plate theory- FSDT) [34], lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Hight-order shear deformation plate theory- HSDT) [34], v.v., nhưng phổ biến hơn cả là lý thuyết tấm Kirchhoff và lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

2.1.2.1 Sơ lược về lý thuyết tấm Kirchhoff

Lý thuyết tấm Kirchhoff [34] được dùng để tính toán tấm mỏng chịu uốn, với một

số giả thuyết như sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm trước khi biến dạng vẫn còn thẳng và còn vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm sau khi biến

dạng (γ yz = 0, γ xz = 0);

- Độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm không

thay đổi trước và sau khi biến dạng (ε z = 0);

- Bỏ qua sự tương tác giữa các lớp song song với mặt phẳng trung bình của tấm (σ z

= 0)

2.1.2.2 Sơ lược về lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin [34] thường được dùng để tính toán cho cả tấm dày

và tấm mỏng chịu uốn, với một số giả thuyết như sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm trước khi biến dạng vẫn còn thẳng nhưng không nhất thiết còn vuông góc với mặt phẳng trung bình của

tấm sau khi biến dạng (γ yz ≠ 0, γ xz ≠ 0);

- Độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm không

thay đổi trước và sau khi biến dạng (ε z = 0);

- Bỏ qua sự tương tác giữa các lớp song song với mặt phẳng trung bình của tấm (σ z

= 0)

Lý thuyết tấm Kirchhoff thường sử dụng các phần tử hữu hạn bậc cao [24] Điều này gây bất lợi cho việc tính toán vì số bậc tự do lớn gây tốn kém về chi phí tính toán Đồng thời, lý thuyết này sẽ không phù hợp khi tỉ lệ giữa chiều dày và cạnh của tấm tăng cao Trong khi, lý thuyết tấm Reissner-Mindlin có thể sử dụng phần tử tuyến tính đơn giản như các phần tử tam giác ba nút hay tứ giác bốn nút và phù hợp hơn khi phân tích các bài toán tấm dày Điều này làm cho việc tính toán trở nên đơn giản hơn và chi phí tính toán cũng thấp hơn Ngoài ra, do lý thuyết Reissner-Mindlin có kể đến biến dạng cắt nên có thể được sử dụng cho việc tính toán cả tấm dày và tấm mỏng Trong phạm vi luận văn này, ứng xử của cấu trúc tấm gấp được tác giả phân tích dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

2.2 Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin [34]

2.2.1 Trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong tấm Reissner-Mindlin

Xét một phần tử tấm có thể tích V trong hệ trục tọa độ địa phương Oxyz Mặt phẳng trung bình của tấm nằm trên mặt phẳng Oxy với chiều dương của góc xoay và

chuyển vị được quy ước như Hình 2.1

Hình 2.1 Qui ước dấu trong tấm Reissner-Mindlin

Dưới tác dụng của tải trọng, tấm bị biến dạng như Hình 2.2

Hình 2.2 Biến dạng của tấm

Theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin, trường chuyển vị của một điểm bất kỳ trong tấm được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại mặt phẳng trung bình của tấm như sau:

( , ) ( , )( , ) ( , )( , )

trong đó uo , vo lần lượt là chuyển vị của tấm trong mặt phẳng Oxy theo phương x

và y; w o là độ võng của tấm theo phương z; β x , β y lần lượt là các góc xoay của pháp

tuyến mặt phẳng trung hòa quanh các trục Oy và Ox

  

ε ε

z y

o x

v

w w

y y

z z z z

o G

x w

u v

w y

y

x x

y y

v E

v E

x

y E

b

y x

Ez v

1 0

0 12(1 )

s

o x E

s

o y

y

u v

w v

2.2.2 Năng lượng biến dạng của tấm Reissner-Mindlin

Năng lượng biến dạng của tấm bao gồm năng lượng biến dạng đàn hồi E

p

U và năng lượng biến dạng hình học G

 ( )       ( )

1

d2

v v

v v

với E là mô-đun đàn hồi của vật liệu tấm; t là bề dày tấm; ν là hệ số poisson; k là hệ

số hiệu chỉnh biến dạng cắt (thường được chọn k = 5/6);

năng lượng biến dạng hình học G

 ( )   ( )

1

d2



x

y o

z

o x



o xy



o xy



o y



o x



Hình 2.3 Các ứng suất ngang o o o

x y xy

Thế (2.23) và (2.30) vào (2.21) ta có năng lượng biến dạng của tấm là:

         

d2

2.2.3 Động năng của tấm Reissner-Mindlin

Động năng của phần tử tấm được tính theo công thức:

d 2

e

với ρ là mật độ khối vật liệu của phần tử tấm; v là đạo hàm theo thời gian của

2.2.4 Công ngoại lực tác dụng lên tấm Reissner-Mindlin

2.3.1 Chuyển đổi hệ trục tọa độ

Mỗi phần tử tấm gấp được xem như một phần tử vỏ phẳng (flat shell) và được xác

định bất kỳ trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ Do đó, để phân tích ứng xử của kết cấu

này, ta cần xây dựng một phép chuyển đổi tọa độ để đưa mỗi phần tử tấm gấp trong

hệ tọa độ tổng thể OXYZ về hệ tọa độ địa phương Oxyz Và để dễ dàng trong việc chuyển đổi hệ tọa độ, thành phần β z được thêm vào trường chuyển vị của tấm, β z

được xem như là góc xoay quanh trục Oz Như vậy, trường chuyển vị của mỗi phần

tử tấm được biểu diễn lại như sau:

Theo Martin H Sadd [35], ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ địa phương Oxyz và

hệ tọa độ toàn cục OXYZ là:

Oxyz  ij OXYZ

với ijlà ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ, được xác định như sau:

trong hệ tọa độ toàn cục OXYZ Áp dụng công thức (2.43), mối liên hệ giữa trường chuyển vị của tấm gấp trong hệ tọa độ địa phương Oxyz và hệ tọa độ toàn cục OXYZ

được biểu diễn như sau:

00

fp

fp o

fp o

fp

fpx x

fpy y

fpz z

u u

v v

w w

2.4 Lý thuyết dầm

2.4.1 Một số lý thuyết về dầm

Dầm là những vật thể hình lăng trụ có chiều dài l lớn hơn rất nhiều so với hai kích

thước còn lại Trục của hình lăng trụ được gọi là trục dầm

2.4.1.1 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [34]

Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli như sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh trước khi biến dạng vẫn còn thẳng và

còn vuông góc với trục thanh sau khi biến dạng (γ xz = 0);

- Độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh không thay đổi trước và sau

Lý thuyết dầm Timoshenko như sau:

- Các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh trước khi biến dạng vẫn còn thẳng

nhưng không còn vuông góc với trục thanh sau khi biến dạng (γ xz ≠ 0);

- Độ dài của các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh không thay đổi trước và sau

khi biến dạng (ε z = 0);

z,w

o

Hình 2.6 Dầm Timoshenko

2.4.2 Lý thuyết dầm Timoshenko [34]

2.4.2.1 Phép chuyển trục

Hình 2.7 Phần tử dầm trong hệ tọa độ Oxyz và Orsz

Xét một phần tử dầm bất kỳ trong hệ tọa độ Oxyz, gắn vào phần tử dầm một hệ tọa

độ địa phương Orsz, giả sử rằng trục dầm tạo với trục Ox một góc Ø được thể hiện

Theo (2.43), ta có mối liên hệ giữa trường chuyển vị của phần tử dầm trong hệ

tọa độ địa phương Orsz và hệ tọa độ Oxyz như sau:

s s

s z

v u

w u

trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ Kết hợp (2.45) và (2.50), ta có mối liên hệ giữa trường chuyển vị của phần tử dầm trong hệ tọa độ địa phương Orsz và hệ tọa độ tổng thể OXYZ như sau:

2.4.2.2 Trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất của dầm Timoshenko

Xét một phần tử dầm trong hệ trục Orsz, trục dầm được đặt song song với trục Or

Chiều của tải trọng, chuyển vị và góc xoay của dầm được biểu diễn như Hình 2.8

Hình 2.8 Phần tử dầm trong hệ tọa độ địa phương Orsz