Thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose -

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

===íoEQca===

NGÔ VĂN NGHĨA

THỐNG KÊ CỦA HỆ CÁC DAO ĐỘNG TỬ

BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ

Chuyên ngành: Vệt lí lí thuyết & Vật lí toán

Mã sề: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤTNgười hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2015

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đã đặt nền móng và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận văn này Tôi xin bày tỏ lòng kính họng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Vật

lí, Phòng Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm

Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, kinh

nghiệm quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn Mặc dù tôi đã rất

cố gắng, nhưng chắc chắn bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiếncủa quý thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Tác giả

Ngô Văn NghĩaTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luậnvăn này không trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác, mọi thông tin trích dẫn trong luận văn được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2015 Tác giả

Ngô Văn Nghĩa

MỤC LỤC

TrangLời cảm ơn

Lời cam

đoan Mục

lục

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô tả bằng phưong pháp thống kê Để hiểu biết đầy đủ hon về các hạt cơ bản, việc mở rộng biến dạng hai tham số p,q cũng là một hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lí Bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử ta thấy rất thuận lợi đồngthời có khả năng xây dựng các phân bố thống kê lượng tử mở rộng chotrường họp các dao động phi điều hòa hay dao động tử điều hòa biến dạng Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí, đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí củacác quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi

- Dirac như thống kê Para - Bose, Para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là thống kê mở rộng hai tham số Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại

số biến dạng

Việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã được phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lí lý thuyết bởi các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lí lý thuyết Việc mở rộng hình thức lượng tử điều hòa hai tham số cũng được quan tâm nghiên cứu cùng với sự quan tâm ngày càng nhiều đếncác hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê quen thuộc

Vì vậy dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em xin chọn đề tài: “ Thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham số”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê của hệ các dao động

tử biến dạng hai tham số bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Khảo sát hệ nhiều hạt đồng nhất

- Xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số

44

- Xây dựng phân bố thông kê Fermi - Dữac biến dạng hai tham số.

4 Đối tượng nghiên cứu

Hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết:

- Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác.Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử

55

II NÔI DUNG CHƯƠNG 1

HỆ NHIỀU HẠT ĐÒNG NHẤT

1.1 Dao động tử lượng tử

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng [1] :

Trong đó: X = q = Xlà toán tử tọa độ

p x = p = -ữi là toán tử xung lượng Hệ thức giao hoán giữa P và q

Khi đó ta biểu diễn toán tử H theo à và â + như sau:

Ta biểu diễn các toán tử â và â +

và ngược lại qua p\ầ q:

I m

h

(điều phải chứng minh)

Vậy ta thu được toán tử

Hamiltonian có dạng:

Việc nghiên cứuphổ năng lượngcủa dao động tửđiều hòa quy vềbài toán tìm cácvectơ riêng và trị

riêng củaHamilonian (1.8),trong đó các toán

tử ữ yà ã thỏa mãn hệ thức giaohoán (1.7) Để làm điều đó ta đưa vào toán tử mới như sau

/ A A

A A _ | _ \ A ^

A A

| N ị r ì ỳ

=

=

n ị n

Irc)

(1.12)

n > o

Các kết quả tínhtoán cho chúng

ta các kết luận

sau:

Kết luân 1: Các trịriêng của toán tử

N là các số không

âm.Xét véc tơ trạngthái thu được ã\n)

bằng cách tácdụng toán tử â

lên véc tơtrạng thái |n) Tácdụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N và sử dụng công thức

(1.10) ta có:

(1.14)

Hệ thức trên có

nghĩa là:Véc tơ trạngthái â\n) cũng là

dụng công thức

(1.11) ta có:

(1.15)Nghĩa là véc tơ

trạng thái a I n) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứngvới trị riêng (n + 1).

Tương tự như vậy â +2 ịn);â +3

|n), cũng là véc

tơ trạng thái của toán tử N ứng với trị riêng (n + 2) , (n + 3),

Kết luân 2; Nếu I

rì) là một vectơ riêng của toán tử

N ứng với trị riêng

n thì ,với

P=ỉ,2,3, ,â p ìn)

cũng là một vectơriêng của toán tử

N ứng với trị riêng(n - p); và (â + Y I

n) cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tử

N ứng với trị riêng(n+p), và n-p^o

Từ hai kết luận trên ta thấy

n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi các số không âm n - 1, n

- 2, n - 3, cũng

Mặt khác theo định nghĩa NI «min) = «min I «min)

(1.17)(1.18)

Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được kí hiệu là Ịo) Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện: ã Ịo) =0.Khi đó : a 10) tỷ

lệ với vectơ riêng 11) của N ứng vớitrị riêng n=l,

12) củ

a

N

ứn

g vớitrị riêngn=

2, (â+

)" 10)

tỷ

lệ vớivectơ

11) là vectơ riêng của ũ

ứng với trị riêng

E =(1+-)h 1

2

có thể được xem

như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h vào trạng thái |l), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tửnăng lượng h vàotrạng thái Ịo) Nếu ta lấy gốc tính năng lượng

là Eo, thì có thể coi trạng thái |0)

là trạng thái không chứa lượng

tử nào Vì vậy |o) được gọi là trạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng

tử, |2) là trạng thái chứa hailượng tử |n) là trạng thái chứa n

lượng tử Toán tử

N có các giá trị nguyên

không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận

là toán tử số năng lượng

Toán tử N có trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận

là toán số lượng

tử năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỷ

lệ với I n — 1) và

do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán

tử â+khi tác dụng lên I«) cho một trạng thái tỷ lệ

trạng thái I n) với

năng lượng

E n =nh

n

nên

=

=a* n \n-1)

Do đó : n = a* {n -11 a n I

a

n

=

y f ñ

+

T ì m

ß

n

:

T a

c ó

n

—

( n

| i v

| n )

( n

| â

+

â

| n )

=

( n

I

ã

—

1 1

n

^ Ị

M ặ t

k h

á c :

( n

\ ẫ

=

ß

*

( n

+

1

- n +1 =>

ß n - -Jn +1

+ Tìm ỵ :

1n ị n ) = S m,n

\ n )

=

n

\ n )

a

1 0 )

=

0 â

\

n )

=

4 n

\ n - l )

( n

> 0 )

+

\ n )

+

ỉ )

( n

>

0 )

|n)

=

j

-= â

+ n

Ịo)

v» !

(1.20 ) 1.2 Nguyên lỷ bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.

Ngoài

những đại lượng vật lí đặc trưng trạng thái chuyểnđộng của hạt vi

mô trong không gian như tọa độ, xung lượng, mômen xung lượng, năng lượng, hình chiếu spin, còn có những đại lượng vật lí gắn liền với bản chất của hạt

vi mô như khối lượng, điện tích, spin, Những hạt

có bản chất giốngnhau, tức là có cùng một giá trị khối lượng, điện tích, spin, , gọi

là các hạt đồng nhất Một đặc điểm của Cơ học lượng tử là trong một hệ nhiều hạt đồng nhất ta không thể phân biệt được giữa hạt này với hạt khác Đó là một hiện thực khách quan của thế giới

vi mô và được lý thuyết hóa dưới dạng một nguyên

lý gọi là Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất.

[2]

hạt thứ n

Hamiltonian

(1.21) cho thấy

rằng nếu ta quy ước đánh số các hạt theo một thứ

tự nào đó từ 1

đến N, thì việc

đổi chỗ giữa các hạt với nhau chỉ làm thay đổi

thứ tự đánh số đãquy ước và chỉ

xáo trộn các số

hạng trong các

tổng 22 và

/=1chứ không làmthay đổi giá trịcủa chính cáctổng đó và vì vậy

l>n=1

Hặ,2, ,k, ,j, ,N,t)

=

Ỗ(l,2, ,j, ,k, ,N,t) (1.22)

với k, j bất kỳ

Tính chất này

được phát biểu như sau: “

Hamiltonian của

hệ các hạt đồng nhất bất biến (đốixứng) đối với

phép hoán vị hai hạt bất kỳ” Hàm sóng của hệ

nhiều hạt đồng nhất là một hàm

đa thành phần

thỏa mãn phươngtrình

với Hnên ta cũng

có thể viết

iĩi ) = ồịp k y\

(1.25)

So sánh hai

phương trình (1.24) và (1.25)

ta suy ra rằng nếu

làlờ

i giảicủaphươngtrìnhSchrodinge

r

(1.23) thì

ự' =

P kị y/ặ,2, ,k, , j, ,N,t)=ựặ,2, , k, , ị , N,t)

cũng là lời giải của phương trình này Do đó \ự'

cũng như y/ đều diễn tả một trạngthái khả dĩ của hệcác hạt đồng nhất Vì trong lập luận trên k và j là bất kỳ nên có thểkết luận rằng tất

cả các hàm sóng thu được từ

ựf(l,2, ,k,, ,j, ,N,t )bằng cách hoán

vị tùy ý giữa các hạt đều là lời giải của phương trình

Schrodinger (1.23) Tất cả cáchàm sóng được tạo theo kiểu hoán vị nói trên đều bình đẳng vớinhau và vì vậy không thể biết chính xác sự phân bố trong không gian của từng hạt riêng biệt mà chỉ có thểbiết thông tin về toàn bộ hệ mà thôi Từ đó cần phải hiểu là trongthế giới vi mô cáchạt đồng nhất là một tổng thể khách quan mà takhông thể nói gì

về trạng thái của từng hạt riêng biệt Điều này

được phát biểu dưới dạng một nguyên lý chung gọi là nguyên lý bất khả phân biệtcác hạt đồng nhất như sau:

“Các trạng thái vật lí của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đổi với bất

kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt” [2]

1.3 Đối xứng hóa

và phản đối xứng hóa hàm sóng

Đầu tiên ta xét hệhai hạt đồngnhất, N = 2 Saukhi giải phương

ụ/ (l, 2, t) (1 2 6)

ta thu được hàm sóng y/{l,2,t) của

hệ Hàm sóng này nói chung không có tính đối xứng hoặc phản đối xứng phù họp với nguyên lý bất khả phân biệt cáchạt đồng nhất Do

đó ta phải tiến hành đối xứng hóa hoặc phản đối xứng hóa như sau Vì

cũng là lời giải của

phươ

Se hr

"

(1.26) nê

n hà

đang xét là hai boson thì ta phải chọn c = c ì =c 2 để thu được hàm sóng ự s có tính đối xứng cần thiết

y /

s

= c [ y / ( l ,

2 , 0 + P

n

ự ( 1 , 2 , 0 ]

còn nếu hai hạt đang xét là hai fermion thì ta phải chọn c’ =c { = -c 2 để thu được hàm sóng y/ a có tính phản đối xứng cần thiết

a

= ơ [ y/ {

1,2,0-

P n

y/ (l,

2,0]

Trong trường hợp tổng quát với

N > 2, các hàm sóng hoàn toàn đối xứng hoặc phản đối xứng đốivới phép hoán vị giữa bất kỳ hai hạt nào được xây dựng như sau:

\ự s = cỴ^Py / (\,2, , k, „ ,t) (1.27)

lại rằng tích của các hàm sóng

(/Ỉ Ơ-

!, ,V TJ

=(1-30)

a=\

cũng là một hàm riêng của

Hamiltonian toàn

N N'

V \ V N ' v —

V N v 11’ N N'

chuẩn hóa Rõ ràng rằng nếu haihoặc hơn hai trong số N chỉ số

V V V 2 , , V N trùng nhau thì hàm sóng y/_lập tức triệt tiêu Từ đó suy ra nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể

có hơn một hạt cùng ở một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ chỉ cóthể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi Nguyên lý này là một hệ quả của nguyên lý bất khả

phân biệt các hạt đồng nhất.

Khác với trường hợp của fermion, hàm sóng (1.31) mô tả

hệ các boson không hề triệt tiêu khi có các chỉ

số v atrùng nhau Điều này có nghĩa

là mỗi trạng thái của hệ các boson

có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được.Khi nhiệt độ đủ thấp, các boson

có thể dồn hết xuống trạng thái

cơ bản, là trạng thái có năng lượng thấp nhất Mật độ boson ở trạng thái cơ bản

có thể đạt tới mức vĩ mô tạo thành một trạng thái vật chất đặc biệt gọi là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Khả năng tồn tại trạng thái ngưng

tụ Bose- Einstein

là một hệ quả củanguyên lý bất khảphân biệt các hạt boson đồng nhất

Kết luận chương 1

Trong

chưong 1 chúng tôi đã trình bày một cách lôgic của hệ nhiều hạt đồng nhất:

- Trình bàybiểu diễn

động tửđiều hòa:

- Chứng minh được các hệthức giao hoán của các toán tử sinh, hủy Boson toán tử số hạt

- Biểu diễnHamiltoniancủa daođộng tửđiều hòatheo cáctoán tử a,a +

- Trình bày

về nguyên lý bất

khả phân biệt cáchạt đồng nhất, đối xứng hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng.

- Trình bày vềnguyên lý

Pauli vàngưng tụBose-

Einstein.Nội dung trìnhbày trong chương này lànhững nội dung cơ bản, tiền đề đểtrên cơ sở đó chúng tôi áp dụng vào nghiên cứu hệ các dao động tử có thống

kê lượng tử ở các chương sau

CHƯƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ

2.1 Thống kê Bose - Einstein.

Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi nghiên cứu các hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các vectơ chuẩn hóa trong một không gian Hilbert

và sử dụng các toán tử sinh hạt và hủy hạt như ta đã nói đến trong dao động tử điều hòa để kiến tạo các vectơ trạng thái nhiều hạt Ta nhắc lại rằng, toán tử sinh hạt â+và toán tử hủy hạt â thỏa mãn các

hệ thức giao hoán[l], [4]:

Các hệ thức giao hoán này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều

trạng thái khác nhau như sau:

(2.1)

Ta kiến tạo hai vectơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau V và n V; đó là

I vụ) = a v ẫl 10>

trong đó 10) là trạng thái chân không không chứa hạt nào

Vì các toán tử sinh hạt thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.1) nên

=>l Vịu) =1 ịuv)

(2.2)

Vậy do có các hệ thức giao hoán (2.1) nên vectơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt: chúng là các boson Ta đã chứng minh được rằng do có các hệ thức giao hoán (2.1) nên trịriêng của toán tử số hạt N v = â~â v trong một trạng thái ycó thể nhận bất cứ giá trị nguyên không âm nào, phù họpvới hoàn toàn với hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein.

Hệ thức giao hoán tử Boson thỏa mãn hệ thức:

Ta có toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ với các toán tử dao động ã , a như sau:

Khi ấy hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng

(2.13)Phổ năng của dao động điều hòa được xác định bởi phưong trình hàmriêng và trị của toán tử H:

2.1.2 Thống kê Bose - Einstein

Để xây dựng thống kê Bose - Einstein ta xuất phát từ các biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F, tưong ứng với toán tử F [1],[4] :

TẢẽ^-^Ễ)

(2-17)Trong đó z là tổng thống kê đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ và có

dạng:

Với ß =

k: là hằng số Boltzman T: là nhiệt độ của hệ H:

là Hamiltonian của hệChọn mốc tính năng lượng

Với Elà năng lượng của một dao động tử

Mặt khác ta lại có NIn) = lĩIn) và điều kiện trực chuẩn: I n) = ổ

k T

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng luợng

£ đuợc gọi là phân bố thống kê Bo se - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson.

2.2 Thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số

Đe hiểu biết đầy đủ hơn về các hạt cơ bản, việc mở rộng biến dạng một tham số q thành biến dạng hai tham số p,q cũng là một huớng nghiên cứu thu hút đuợc sự quan tâm của nhiều nhà vật lí lý thuyết

Xuất phát từ đại số biến dạng hai tham số p,q [3]

ũũ — p ữ ữ = CỊ

p ,q ’ P ' H

(2.23)