Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng và của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

lí do chọn đề tài Trong một vài năm trở lại đây, nghiên cứu dao động tử biến dạng và ứng dụng của nó trong nghiên cứu các hệ nhiều hạt, trong đó có vật lý chất rắn đã thu hút được sự qua

MỞ ĐẦU

1 lí do chọn đề tài

Trong một vài năm trở lại đây, nghiên cứu dao động tử biến dạng và ứng dụng của nó trong nghiên cứu các hệ nhiều hạt, trong đó có vật lý chất rắn đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học Số lượng các công trình nghiên cứu theo hướng này được công bố trên các tạp chí khoa học trong và ngoài nước tương đối lớn Ngoài ra, phương pháp toán tử sinh, huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử là phương pháp nghiên cứu hiện đại của vật lý, nó cho kết quả chính xác và đáng tin cậy, do vậy mà phương pháp này đã và đang được sử dụng rộng rãi trong các công trình nghiên cứu của vật lý chất rắn và vật lý lý thuyết

Chính vì những lí do trên và theo xu hướng chung của thời đại mà tôi đã mạnh dạn sử dụng phương pháp toán tử sinh huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử vào đề tài: Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng và của dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng

- Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu dao động tử biến dạng và dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp toán tử sinh, huỷ hạt trong vật lý thống kê lượng tử

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đưa ra một công cụ hiện đại để nghiên cứu dao động tử biến dạng, dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử khác loại và các thống kê của chúng

7 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Thống kê lượng tử của các dao động tử biến dạng

Nghiên cứu về dao động tử điều hoà, các dao động tử biến dạng và thống

CHƯƠNG 1

THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG 1.1 Dao động tử điều hòa

1.1.1 Dao động tử điều hòa

hệ các toán tử Boson Trong không gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa mãn:

của toán tử N tương ứng với các trị riêng:…n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2………

Vì N là toán tử xác định dương (các trị riêng của nó phải không âm) nên

dãy sẽ có kết thúc nào đó ở cận dưới Giá trị riêng của cận dưới này là n = 0

Vì vậy ta định nghĩa một véctơ đặc biệt 0 trong không gian Hilbert có tính

chất sau:

a0 0 và 0 0 1

0 là trạng thái chân không

Có thể chuẩn hóa dãy (3) thành dãy các véc tơ riêng sau

không gian Hilbert vì số chiều gồm các véctơ trực chuẩn (4) Các véc tơ này là các véctơ riêng của toán tử số hạt N

Tương tự , ta có thể định nghĩa một hệ các toán tử boson: ai , ai, i = 1,

……N và thỏa mãn:   a ai, j   ij

  a ai, j   0

Bây giờ chúng ta đi xét xem có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử

i

2

a a

J  a a a a

2  1 2 2 1

12

J  a a a a   (7)

3  1 1 2 2

12

J  a a a a  

Dựa vào các hệ thức giao hoán (7) ta được các hệ thức giao hoán của J i: J J i, j  iбijkJk

Đây chính là đại số Lie, vậy có thể biểu diễn đại số Lie qua các toán tử boson, tức (6) chính là véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn

Vấn đề đặt ra bây giờ là: từ không gian biểu diễn (6) ta đi tìm ra các không gian con bất khả qui Muốn vậy ta đi xét toán tử Causimin:

C J12J22J32 (8)

12

Đối với biểu diễn bất khả qui toán tử Causimin có giá trị xác định cho nên

từ (9) ta thấy có thể đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie bởi các giá trị riêng của

toán tử J mà ta kí hiệu là j

Theo định nghĩa của N i từ (9):

 1 2

12

j  n n (11)

Ta thấy j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm

Để xác định các véctơ riêng của không gian con của không gian Hilbert (6) biểu diễn bất khả qui của đại số Lie, ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi

hai số n 1 và n 2 ) Ta nhận xét rằng toán tử J 3 giao hoán với J (tức là có giá trị

riêng xác định) Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J 3 ta có:

 1 2

12

m n n (12)

Vậy biểu diễn bất khả qui của đại số Lie trong không gian các véc tơ cơ

sở (6) có thể đặc trưng bởi j và m liên hệ với n 1 và n 2 như sau:

Vậy không gian biểu diễn bất khả qui là 2j + 1 chiều

Tiếp theo chúng ta đi biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Hamiltonaian của dao động tử điều hòa có dạng:

2 2

2 2

1ˆ

Thay vào trên ta có:

     2 2

i



Nên:  p q ˆ ˆ ,   pq ˆ ˆ  qp ˆ ˆ =i aa(ˆ ˆ a aˆ ˆ ) = -iћ (aaˆˆa aˆ ˆ ) 1

Nghĩa là: a aˆ ˆ,   1 (16)

Hmiltonian (13) trở thành:

ˆ 1 ˆ ˆ 2 H    a a        (17)

Việc nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng của Hmiltonian (17) Để tìm điều đó ta quay lại định nghĩa về toán tử số hạt N (đã tìm hiểu ở trên):

  + + + + ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ hay ˆˆ ˆ( ˆ 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N,a a hay Na a ( 1) N a a N a a Na a N N               Chứng minh         + + + + + + + + + + + + + + + + ˆ,ˆ ˆˆ ˆ ˆ aˆ ˆ ˆ ˆaˆ ˆ ˆaˆ aˆ ˆ aˆ ˆ ˆ, aˆ aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,a a a =a a a a a a a a , a N a Na aN aa a a a a a a N N N a a a a a a                                   điều phải chứng minh /n> là véc tơ riêng của toán tửNˆứng trị riêng n: n n n Vì / Nˆ n  n n nên 2 2 ˆ / / /ˆ ˆ/ / / / ( ) 0 0 ˆ ˆ ˆ = / / = ( ) 0

n n n N n n a a n n n n n n mà MS n n r dr n TS n a a n a r dr                       

Vậy: các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

Tiếp theo ta tìm được các hàm riêng và trị riêng của Nˆlần lượt như sau:

1) aˆ n là hàm riêng của Nˆ ứng với trị riêng n – 1

4) Tương tự: a n a n ˆ2 ; ˆ3 a n ˆp là véctơ riêng của N ˆ có trị riêng  n p  

 điều phải chứng minh

Chúng ta tìm được trị riêng nhỏ nhất của N ˆ là n

min = 0 Chứng minh

Theo trên ta có: n n,( - 1),( - 2),( - 3) n n là trị riêng củaNˆ ứng với

không âm nmin a nˆ min  0 (vì nếu a n  ˆ min 0 theo định lý 2 có trị riêng min 1

n  < nmin < 0 không xảy ra vì nmin là giá trị nhỏ nhất)

 điều phải chứng minh

Vậy:a nˆ min 0 a a nˆ ˆ min = 0 = Nˆ nmin nmin

Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ được kí hiệu

là 0 : ˆ 0 a  0

Trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của

thấp nhất là E0.Trạng thái tiếp theo 1 ứng với năng lượng E1 E0  có thể

thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượngE2  E1    E0   có thể

nào, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng

không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng

dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 và do đó được đoán nhận là

toán tử sinh lượng tử năng lượng

Ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán tử số hạt , ˆa sẽ là toán tử hủy hạt và a ˆ

Trên đây chính là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Cuối cùng chúng ta đi tính các hệ số   n, n, n trong các hệ thức:

tử a và toán tử sinh dao động tử a+ :N a a

Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những trạng

được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0

Đại số (1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các vectơ

riêng đã chuẩn hóa (4) của toán tử số dao động tử N:

Ta chứng minh (19) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n = k + 1

=a a a = k+1 a (dpcm)

a - a 2

= 2a a - 2aa

2 = - a,a -

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các

Mà ta có:

 

1

1

n n

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động tử N:

Tác dụng của các toán tử b b, lên các véc tơ trạng thái n như sau:

Trong mục (1.1) đã trình bày những kiến thức tổng quan về dao động tử

điều hoà, cơ sở hình thức luận dao động tử điều hoà của các dao động tử

Boson và Fermion, đồng thời cũng đã tính các phân bố thống kê của chúng

1.2 Dao động tử biến dạng - q

1.2.1 Dao động tử biến dạng - q

+Dao động tử Boson biến dạng q

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử

huỷ và toán tử sinh dao động tử a aˆ ˆ ,  theo hệ thức sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ N

aa  qa a q   (31)

Trong đó : q là thông số biến dạng

N là toán tử số dao động tử biến dạng thoả mãn phương trình hàm

Chúng ta đưa vào không gian cơ bản Fock :

 

ˆ ( )

0

!

n q

q

a n

q q

2 !

N q

N q

N q

1

2 !1

ˆ ˆ ˆ

1

k q

q

q q

11

1

N q q

1

ˆ 1

k

q q

q q

Áp dụng (36.1) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2 của (36) :

1 ( 1) 1

Khi q=1 thì (38) trở về giá trị thông thường p x,  i

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau:

phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H:

+Dao động Fermion biến dạng q

mãn hệ thưc dao hoán:

 

 

ˆ0

+Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q

Đối với hệ các dao động tử boson biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán

(31) ta thu được phân bố thống kê sau:

1

+Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q

Đối với hệ fermion thỏa mãn hệ thức giao hoán (42) ta thu được phân bố

Nhận xét:

Trong trường hợp giới hạn q = 1 thì phân bố thống kê (48) trở về phân bố

Bose – Einstein thông thường đối với hệ các boson

1.3.1 Dao động tử có thống kê vô hạn

Khái niệm thống kê vô hạn được Greenberg đưa ra lần đầu tiên năm 1990

trường

aa ˆ ˆ  1

(50) Toán tử số hạt bây giờ có dạng:

Trạng thái riêng chuẩn hóa của toán tử N là:

n =   a n 0

(53)

Khi đó: N n  n n (54) chứng minh

1.3.2 Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn

Dao động tử có thống kê vô hạn thoả mãn hệ thức giao hoán (50) có phân

bố thống kê sau:

1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát

1.4.1 Dao động tử biến dạng q tổng quát

+Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát

Trong công trình nghiên cứu của GS Đào Vọng Đức đã đề nghị một kiểu

biến dạng q tổng quát bao gồm cả các dao động tử biến dạng q thông thường

và cả dao động tử có thống kê vô hạn như là một trường hợp đặc biệt

Hệ các dao động tử Boson thoả mãn:

Khi c 0 ,q  0 thì (57) là hệ thức giao hoán của các dao động tử có thống kê vô hạn: a a ˆ ˆ  1

c q

q

a n

c q c c

( )

ˆ1

11

1

c q

c k

c q c

Vậy (61.1) được chứng minh

Dựa vào (61.1) ta chứng minh:

Bây giờ dựa vào (61) ta chứng minh (57) như sau:

 

( 1)1

ˆ

c N N

Đại số (57) đã chỉ ra hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ x và xung lượng p

Tương tự đối với dao động tử điều hòa Fermion biến dạng q tổng quát

được xác định theo các toán tử sinh và hủy ˆ ˆb b thỏa mãn hệ thức:

bb ˆ ˆ  + q b b ˆ ˆ   qCN (63)

Trong đó: q là thông số biến dạng

N là toán tử dao động thỏa mãn:

 

 

ở đây nguyên lý loại trừ Pauli là hệ quả trực tiếp từ điều kiện: b2  b2 0

Từ (63) ta có thể chứng minh hệ thức giao hoán sau:

q

c

Như vậy đại số (63) có thể được thực hiện trong không gian Fock với cơ

sở là các véctơ trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N

1.2.6 Phân bố thống kê của dao động tử biến dạng q tổng quát

+Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q tổng quát

c

q n

n cn c

c q

+ Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát

Đối với các dao động tử fermion biến dạng q tổng quát thì phân bố thống

0

q n

Đối với thống kê Bose và Fermi khi q = 1 và kết quả (64),(65):

Đối với biến dạng thông thường khi c = -1

Trong giới hạn của thống kê vô hạn c0, q0 chúng ta thu được phân bố

Kết Luận

Trong mục 1.2 chúng ta đã nghiên cứu đại số biến dạng một tham số bằng cách xây dựng hệ dao động tử điều hoà biến dạng q Đồng thời đã đi xây dựng dao động tử đơn mode biến dạng q tổng quát, trong trường hợp đặc biệt khi c=-1 đại số này trở về đại số biến dạng q thông thường Dao động tử có thống

kê vô hạn chỉ là trường hợp đặc biệt của dao động tử Boson đơn mode biến

Đặc biệt, cũng trong mục này chúng tôi đã đi tính toán một cách chi tiết các phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng Các kết quả sẽ cho chúng

ta biểu thức tương ứng đối với hệ dao động tử biến dạng-q, hệ dao động tử có thống kê vô hạn, hệ dao động tử biến dạng-q tổng quát đặc biệt là khi q,c nhận các giá trị đặc biệt thì các phân bố thống kê trở về phân bố Bose-Einstein hay phân bố Fermi-Dirac

CHƯƠNG 2

THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG MẠNG TINH

THỂ CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ KHÁC LOẠI 2.1 Dao động mạng tinh thể

Những tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan dao động mạng

tinh thể Trong tinh thể các nguyên tử này dao động quanh VTCB của nó (nút

mạng) Dao động này được lan truyền trong mạng tinh thể tạo thành sóng

trong mạng tinh thể Sóng này phụ thuộc vào 2 yếu tố:

- Loại lực liên kết trong tinh thể:loại lực liên kết thì liên quan tới bản chất

của nguyên tử tạo nên tinh thể và sự tương tác giữa chúng

- Cấu trúc của mạng tinh thể: cấu trúc tinh thể thì liên quan tới sự sắp xếp

của các nguyên tử trong mạng

Mỗi loại tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ phonon của nó

Phổ phonon quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của chất rắn như:

Nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt

Chính vậy mà bài toán dao động mạng thể là một phần quan trọng của vật

lý chất rắn Sau đây ta nghiên cứu dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên

tử cùng loại và khác loại

2.1.1 Dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử cùng loại

Trước hết ta nghiên cứu dao động mạng tinh thể từ một thí dụ đơn giản

nhất về mạng tinh thể: chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau

một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có

khối lượng M và chuyển động quanh vị trí cân bằng của nó Đánh số các

nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân

bằng là xn:

x n  n a

u t n ( )  u x ( n,t)

Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kề nhau, ở các nút thứ n và n + 1, tỷ

lệ với bình phương độ dời tương đối:

n n

du t M



Vậy dao động chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (67) với tần

trị k của véctơ sóng (xem hình 2.2), giống như hiện tượng tán sắc trong quang học

Trong trường hợp này dao động của mạng tinh thể trùng với sóng âm với

(68) gọi là các dao động âm

Trên đây là lý thuyết cổ điển về dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại Bây giờ ta trình bày lý thuyết lượng tử của hệ vi mô này Để làm điều đó ta ký

động của chuỗi nguyên tử cùng loại

-k

Giữa các toán tử u ˆnvà p ˆn có các hệ thức giao hoán:

  u p ˆm, ˆn   i  nm (69) u u ˆ ˆn, mp p ˆn, ˆm0 (70)

của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với sóng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất:

Trong các khai triển (71) và (72), chỉ số “1” có nghĩa là tổng theo k chỉ

lấy trong vùng Brillouin thứ nhất Chúng ta xét các sóng phẳng thỏa mãn điều

kiện biên tuần hoàn trên đoạn thẳng chiều dài L = Na với N là số nút mạng có

trên đoạn thẳng này, cũng là số giá trị gián đoạn k trong vùng Brillouin thứ

1 i k k x n

kk k