Phân tích dao động tự do của tấm mindlin có vết nứt bằng phần tử xcs dsg3 và chẩn đoán vết nứt của tấm bằng phân tíc wacelet

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- NGUYỄN ANH TUẤN PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM MINDLIN CÓ VẾT NỨT BẰNG PHẦN TỬ XCS-DSG3 VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT CỦA TẤM BẰNG PHÂN TÍCH WAVELET Chuyên ngành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN ANH TUẤN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM MINDLIN CÓ VẾT NỨT BẰNG PHẦN TỬ XCS-DSG3 VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT CỦA TẤM BẰNG PHÂN TÍCH WAVELET

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn 1: TS NGUYỄN THỜI TRUNG

Cán bộ hướng dẫn 2: TS LƯƠNG VĂN HẢI

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS HỒ ĐỨC DUY

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 31 tháng 01 năm 2013

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 PGS TS BÙI CÔNG THÀNH

2 PGS TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

3 TS NGUYỄN THỜI TRUNG

4 TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

5 TS HỒ ĐỨC DUY

6 TS LÊ TRUNG KIÊN

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số: 605820

I TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM MINDLIN

CÓ VẾT NỨT BẰNG PHẦN TỬ XCS-DSG3 VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT CỦA TẤM BẰNG PHÂN TÍCH WAVELET

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Sử dụng phương pháp XCS-DSG3 để phân tích dao động tự do của tấm Mindlin có vết nứt, sử dụng phân tích Wavelet để chẩn đoán vết nứt của tấm

2 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để mô phỏng và tính toán các kết quả số

3 So sánh kết quả đạt được với kết quả từ các tài liệu tham khảo

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 02/07/2012

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2012

LỜI CẢM ƠN

Sau hơn một năm rưỡi theo học chương trình đào tạo bậc thạc sĩ tại trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM, vượt qua bao khó khăn, cuối cùng tôi cũng đã vượt qua chặng đường sau cùng đó là hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Đây là mục đích

và niềm tự hào của mọi Học viên Cao học hướng đến

Để đạt được thành quả này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thời Trung đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, phương pháp tư duy và suy luận, động viên, nhắc nhở kịp thời…để giúp tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng hết sức biết ơn TS Lương Văn Hải đã dành cho tôi thời gian vô cùng quí báu để giải thích những thắc mắc và định hướng cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn quí Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa Tp HCM đã truyền dạy những kiến thức quí giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các tổ chức và cá nhân, đặc biệt là ThS Lâm Phát Thuận và ThS Phùng Văn Phúc đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ba-Mẹ cùng các anh chị em trong gia đình, những người đã không ngừng quan tâm, động viên tôi trong quá trình hoàn thành hơn một năm rưỡi chương trình đào tạo Thạc sĩ

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành đúng thời gian qui định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể tránh những thiết sót Kính mong quí Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 30 tháng 11 năm 2012

NGUYỄN ANH TUẤN

Do sử dụng phương pháp đường đồng mức (Level-set) trong X-FEM, lưới phần tử hữu hạn của tấm Mindlin có thể được rời rạc một cách độc lập với vết nứt mà không cần rời rạc tương thích với vết nứt Để tính toán các ma trận độ cứng phần tử từ các hàm xấp xỉ chuyển vị, phần tử CS-DSG3 sẽ được sử dụng để tính toán các phần tử không đi qua vết nứt Tuy nhiên, với các phần tử cắt ngang vết nứt và phần tử chứa đỉnh vết nứt, phần tử CS-DSG3 sẽ được bổ sung tương ứng bằng các hàm làm giàu bất liên tục và hàm suy biến của X-FEM

Bằng cách xem kết quả độ võng của tấm có vết nứt bằng phương pháp DSG3 như là bộ dữ liệu đầu vào cho phép biến đổi Wavelet rời rạc hai chiều, chúng

XCS-ta có thể nhận diện được vết nứt trong tấm Mindlin

Trong luận văn này các kết quả số được mô phỏng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, và được so sánh với lời giải tham khảo để chứng minh tính chính xác và hiệu quả của phương pháp được đề xuất

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thời Trung và TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 30 tháng 11 năm 2012

NGUYỄN ANH TUẤN

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU x

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xi

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tình hình nghiên cứu 2

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 2

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 5

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 8

1.4 Cấu trúc luận văn 8

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 10

2.1 Cơ sở lý thuyết phần tử tấm CS-DSG3 10

2.1.1 Lý thuyết tấm Mindlin 10

2.1.1.1 Dạng yếu của phương trình chủ đạo cho tấm Mindlin 10

2.1.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin 12

2.1.2 Phần tử tấm DSG3 [4] 13

2.1.3 Phần tử tấm CS-DSG3 [6] 15

2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [7] 18

2.2.1 Ý tưởng của phương pháp 18

2.2.2 Phương pháp xác định loại phần tử mở rộng 23

2.2.3 Phương pháp XFEM cho tấm Mindlin có vết nứt 25

2.3 Cơ sở phương pháp XCS-DSG3 [6], [7] cho tấm Mindlin có vết nứt 28

2.3.1 Ý tưởng và việc triển khai của phương pháp 28

2.3.2 Phân tích dao động tự do tấm Mindlin có vết nứt bằng XCS-DSG3 33

2.3.3 Sơ đồ khối 34

2.4 Cơ sở lý thuyết của phân tích Wavelet 35

2.4.1 Khái niệm 35

2.4.2 Biến đổi Wavelet liên tục 35

2.4.3 Biến đổi Wavelet rời rạc 37

2.4.4 Biến đổi Wavelet hai chiều 39

2.4.5 Thuật toán dò tìm vết nứt 40

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ SỐ 42

3.1 Bài toán tấm Mindlin có vết nứt ở giữa 42

3.2 Bài toán tấm Mindlin có vết nứt ở biên 53

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64

4.1 Kết luận 64

4.2 Kiến nghị 65

MỘT SỐ BÀI BÁO TỪ KẾT QUẢ ĐỀ TÀI 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

PHỤ LỤC 72

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 77

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Các vết nứt xảy ra trong các công trình xây dựng……… …… 1

Hình 2.1 Tấm Reissner – Mindlin và chiều dương của độ võng w và các góc xoay β βx, y .10

Hình 2.2 Ba nút (1-2-3) của phần tử tam giác Ωe và hệ trục tọa độ địa phương 14

Hình 2.3 Ba tam giác con (∆ ∆ ∆ được tạo từ phần tử 1-2-3 trong CS-1, 2, 3) DSG3 bằng cách kết nối điềm trọng tâm O với ba nút phần tử 1, 2, và 3 .16

Hình 2.4 Mô hình vết nứt với nút làm giàu trong XFEM .18

Hình 2.5 Vectơ tiếp tuyến es và pháp tuyến đơn vị en với đường nứt trơn và đường nứt thắt nút 20

Hình 2.6 Hệ trục tọa độ địa phương tại đỉnh vết nứt .21

Hình 2.7 (a) Vết nứt trùng với lưới phần tử; (b) Vết nứt cách lưới phần tử một đoạn ε .22

Hình 2.8 Phần tử chứa nút hiện hữu có vết nứt cắt ngang .22

Hình 2.9 Định nghĩa về hàm levelset .23

Hình 2.10 Quy ước dấu của φ( )x , ψ( )x 24

Hình 2.11 Vectơ tiếp tuyến esvà pháp tuyến đơn vị en được xây dựng từ x* .24

Hình 2.12 Minh họa các loại nút và phần tử trong XCS-DSG3 .29

Hình 2.13 Minh họa việc chia nhỏ phần tử được làm giàu cạnh, và phần tử được làm giàu đỉnh thành 3 và 5 tam giác nhỏ và quy trình chuyển tọa độ điểm Gauss từ tam giác nhỏ về phần tử tam giác lớn .31

Hình 2.14 Số lượng và vị trí các điểm Gauss được sử dụng trong các loại phần tử khác nhau bằng phương pháp XCS-DSG3 .32

Hình 2.15 Tín hiệu sin ở các tỷ lệ khác nhau .36

Hình 2.16 Dịch mức trong Wavelet .37

Hình 2.17 Minh họa quá trình phân tách tín hiệu bằng phân tích Wavelet 2D .40

Hình 2.18 Minh họa quá trình tổng hợp tín hiệu bằng phân tích Wavelet 2D .40Hình 3.1 Tấm vuông tựa đơn có vết nứt tại giữa tấm……… …….42Hình 3.2 Tấm vuông có vết nứt ở giữa được rời rạc thành 24×24×2 phần tử

tam giác .42Hình 3.3 Dạng dao động thứ 1 của tấm có vết nứt ở giữa bằng phương pháp

XCS-DSG3 .44Hình 3.4 Dạng dao động thứ 2 của tấm có vết nứt ở giữa bằng phương pháp

XCS-DSG3 .44Hình 3.5 Dạng dao động thứ 3 của tấm có vết nứt ở giữa bằng phương pháp

XCS-DSG3 .44Hình 3.6 Dạng dao động thứ 4 của tấm có vết nứt ở giữa bằng phương pháp

XCS-DSG3 .45Hình 3.7 Dạng dao động thứ 5 của tấm có vết nứt ở giữa bằng phương pháp

XCS-DSG3 .45Hình 3.8 So sánh dạng dao động của 5 mode đầu có và không có vết nứt tại

đường tâm dọc theo chiều rộng của tấm; (a) Mode 1; (b) Mode 2; (c) Mode 3; (d) Mode 4; (e) Mode 5 .46Hình 3.9 Hội tụ tần số dao động 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở giữa

bằng phương pháp XCS-DSG3 47Hình 3.10 Tần số dao động của mode 1, 2 và 3 của tấm có vết nứt ở giữa ứng

với chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 .49Hình 3.11 Tần số dao động của mode 4 và 5 của tấm có vết nứt ở giữa ứng với

chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 .49Hình 3.12 Phân tích Wavelet với phân tách mức 1 cho trường hợp tấm có vết

nứt ở giữa .51Hình 3.13 Dữ liệu độ võng chứa nhiễu tạo bởi phương pháp Box-Muller cho

trường hợp tấm có vết nứt ở giữa .52Hình 3.14 Kết quả phân tích Wavelet cho trường hợp dữ liệu độ võng có nhiễu 52Hình 3.15 Tấm vuông tựa đơn có vết nứt tại biên của tấm .53

Hình 3.16 Tấm vuông có vết nứt ở biên được rời rạc thành 24×24×2 phần tử

tam giác .53Hình 3.17 Dạng dao động thứ 1 của tấm có vết nứt ở biên bằng phương pháp

XCS-DSG3 .55Hình 3.18 Dạng dao động thứ 2 của tấm có vết nứt ở biên bằng phương pháp

XCS-DSG3 .55Hình 3.19 Dạng dao động thứ 3 của tấm có vết nứt ở biên bằng phương pháp

XCS-DSG3 .55Hình 3.20 Dạng dao động thứ 4 của tấm có vết nứt ở biên bằng phương pháp

XCS-DSG3 .56Hình 3.21 Dạng dao động thứ 5 của tấm có vết nứt ở biên bằng phương pháp

XCS-DSG3 .56Hình 3.22 So sánh dạng dao động của 5 mode đầu có và không có vết nứt tại

đường tâm dọc theo chiều rộng của tấm; (a) Mode 1; (b) Mode 2; (c) Mode 3; (d) Mode 4; (e) Mode 5 .57Hình 3.23 Hội tụ tần số dao động 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở biên

bằng phương pháp XCS-DSG3 58Hình 3.24 Tần số dao động của mode 1, 2 và 3 của tấm có vết nứt ở biên ứng

với chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 .60Hình 3.25 Tần số dao động của mode 4 và 5 của tấm có vết nứt ở biên ứng với

chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 .60Hình 3.26 Phân tích Wavelet với phân tách mức 1 cho trường hợp tấm có vết

nứt ở biên .61Hình 3.27 Dữ liệu độ võng chứa nhiễu tạo bởi phương pháp Box-Muller cho

trường hợp tấm có vết nứt ở biên .62Hình 3.28 Kết quả phân tích Wavelet cho trường hợp dữ liệu độ võng có nhiễu 62

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

giữa bằng phương pháp XCS-DSG3 và bằng các phương pháp khác 43Bảng 3.2 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

giữa bằng phương pháp XCS-DSG3 .47Bảng 3.3 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

giữa với chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 và bằng các phương pháp khác .48Bảng 3.4 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

biên bằng phương pháp XCS-DSG3 và bằng phương pháp của Bachene (2009) [10] .54Bảng 3.5 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

biên 58Bảng 3.6 So sánh tần số dao động của 5 mode đầu tiên của tấm có vết nứt ở

biên với chiều dài vết nứt thay đổi bằng phương pháp XCS-DSG3 và phương pháp của Bachene (2009) .59

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

XFEM Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (PTHHMR)

CS-FEM Phương pháp PTHH trơn dựa trên phần tử

ES-FEM Phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh

DSG3 Phương pháp rời rạc độ lệch trượt

CS-DSG3 Phương pháp rời rạc lệch trượt làm trơn

QPSEM Phương pháp phần tử hữu hạn suy biến một phần tư

IFEM Phương pháp phần tử hữu hạn liên mặt

PNM Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng nút ảo

XCS-DSG3 Phương pháp CS-DSG3 được mở rộng bằng cách kết hợp với

phương pháp PTHHMR

GA Thuật giải di truyền

CWT Phép biến đổi Wavelet liên tục

DWT Phép biến đổi Wavelet rời rạc

IDWT Phép biến đổi Wavelet rời rạc ngược

Wavelet 2D Phép biến đổi Wavelet hai chiều

m Ma trận mật độ khối lượng của vật liệu

B Ma trận gradient biến dạng uốn

S Ma trận gradient biến dạng cắt

K Ma trận độ cứng tổng thể

M Ma trận khối lượng tổng thể

I

d Vectơ chuyển vị nút tại nút thứ I

F Vectơ tải tác dụng tại các nút

Bɶ Ma trận gradient biến dạng uốn trơn

Sɶ Ma trận gradient biến dạng cắt trơn

µ Modul đàn hồi trượt

b Chiều rộng của tấm

d Chiều dài của vết nứt

c

y Khoảng cách từ vết nứt đến biên dưới của tấm

e

A Diện tích của phần tử tam giác Ωe

k Hệ số hiệu chỉnh cắt kể đến sự phân bố bậc hai theo bề dày của

A Diện tích tính từ vết nứt xuống biên dưới

KΨ Hằng số phụ thuộc vào loại Wavelet

µ Giá trị trung bình trong công thức tạo nhiễu Gauss

σ Độ lệch chuẩn trong công thức tạo nhiễu Gauss

, [0,1]

t s∈ Biến ngẫu nhiên trong công thức tạo nhiễu Gauss

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu

Mô phỏng ứng xử và chẩn đoán kết cấu có vết nứt là hai trong nhiều vấn đề quan trọng của cơ học rạn nứt Khi vết nứt xuất hiện trong kết cấu được thể hiện trên Hình 1.1, đáp ứng cơ học của kết cấu sẽ bị thay đổi Điều này có nghĩa độ võng

và các dạng dao động tự do của kết cấu có vết nứt sẽ khác so với trường hợp không

có vết nứt Những vết nứt này sẽ ảnh hưởng đáng kể đến khả năng làm việc và tuổi thọ của kết cấu, đặc biệt là trong khoảng thời gian dài dưới tác động của tải trọng chu kỳ

Hình 1.1 Các vết nứt xảy ra trong các công trình xây dựng

Để mô phỏng ứng xử của kết cấu có vết nứt, ba phương pháp phổ biến thường được sử dụng gồm: a) thí nghiệm với mô hình thực; b) tính toán bằng các phương pháp giải tích; c) tính toán và mô phỏng bằng phương pháp số Trong ba phương pháp này, phương pháp thí nghiệm thường rất tốn kém và chỉ giới hạn cho các mẫu thí nghiệm đơn giản Còn phương pháp giải tích cũng giới hạn cho các kết cấu có vết nứt đơn giản Riêng phương pháp tính toán và mô phỏng bằng phương pháp số

đã cho thấy những đặc tính vượt trội về tốc độ tính toán cũng như khả năng mở rộng cho các kết cấu có vết nứt phức tạp Vì vậy, việc nghiên cứu và phát triển các phương pháp số để mô phỏng ứng xử các kết cấu trong quá trình hình thành và phát triển vết nứt luôn là một hướng nghiên cứu thu hút nhiều nhà khoa học trên thế giới Một số phương pháp số phổ biến có thể được liệt kê như phương pháp phần tử hữu hạn suy biến một phần tư (Quarter-Point Singular Element Method – QPSEM) [32],

phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite Element Method – XFEM) [7], phương pháp phần tử hữu hạn liên mặt (Interface Finite Element Method – IFEM) [31], phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng nút ảo (Phantom-Node Method – PNM) [30], v.v…

Để chẩn đoán vết nứt, có hai nhóm phương pháp chính gồm: chẩn đoán tổng thể

và chẩn đoán cục bộ Trong chẩn đoán tổng thể, các phương pháp được sử dụng nhằm xác định công trình có bị suy yếu tổng thể hay không Phương pháp chẩn đoán tổng thể phổ biến hiện nay là đo gia tốc dao động bằng sensor gia tốc Nếu công trình bị suy yếu tổng thể thì các phương pháp chẩn đoán cục bộ sẽ được sử dụng để xác định cụ thể vị trí vết nứt trong kết cấu nhằm có biện pháp gia cố kịp thời, từ đó giúp kéo dài tuổi thọ của công trình và tránh những tai nạn đáng tiếc Trong thực tế, việc chẩn đoán cục bộ vết nứt có thể được thực hiện bằng các thiết bị máy móc đo chuyên dụng như máy hồng ngoại, máy X-ray Các thiết bị này thường giúp phát hiện những vết nứt trên bề mặt, hoặc những vết nứt lớn Tuy nhiên đối với những vết nứt nhỏ hoặc những vết nứt nằm bên trong kết cấu, ta cần phối hợp thêm các thiết bị đo tín hiệu (độ võng, dao động) nhằm phân tích các dữ liệu thay đổi bất thường để chẩn đoán vết nứt Ngoài ra, khi đo đạc tín hiệu, ta còn gặp các vấn đề phát sinh như nhiễu tín hiệu, sai số đo đạc, hoặc mất cục bộ tín hiệu đo

Do đó, ta cần thêm những phép phân tích toán học nhằm xử lý tín hiệu đo như phép biến đổi Laplace, biến đổi Z, biến đổi Fourier, biến đổi Wavelet, v.v…

Trong các phép phân tích này, biến đổi Wavelet có ưu điểm hơn cả vì nó mô tả được các yếu tố thời gian, biên độ của các đột biến và gián đoạn của tín hiệu Do

đó, biến đổi Wavelet tỏ ra khá nhạy so với các biến đổi khác trong việc phát hiện các trạng thái bất liên tục, và gần đây đã trở thành một công cụ khá mạnh và hiệu quả trong việc chẩn đoán vết nứt

1.2 Tình hình nghiên cứu

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu mô phỏng ứng xử của kết cấu có vết nứt bằng phương pháp số và chẩn đoán kết cấu có vết nứt bằng biến đổi Wavelet được công bố

+ Một số công trình tiêu biểu về mô phỏng kết cấu có vết nứt có thể được liệt kê như:

• Gounaris và Dimarogonas (1988) [16] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để mô phỏng ứng xử cho kết cấu dầm lăng trụ có vết nứt

• Kwon (1988) [32] đã đề xuất phần tử suy biến “điểm một phần tư”, trong đó trường ứng suất, chuyển vị, biến dạng gần đỉnh vết nứt có thể được biểu diễn chính xác bằng phần tử đẳng tham số bậc hai chuẩn nếu điểm nút ở giữa phần

tử được dịch chuyển về phía đỉnh vết nứt một khoảng một phần tử chiều dài phần tử Đây là một bước phát triển quan trọng trong việc áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để mô phỏng kết cấu có vết nứt

• Belytschko và Black (1999) [27] đã mô phỏng sự phát triển của vết nứt, trong

đó lưới phần tử hữu hạn có thể được rời rạc độc lập với vết nứt Phương pháp này đã tạo tiền đề cho sự hình thành và phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) được đề xuất sau đó bởi Moes và cộng sự (1999) [7] Trong phương pháp này, một hàm suy biến được sử dụng để làm giàu trường ứng suất suy biến tại đỉnh vết nứt, và một hàm bất liên tục được sử dụng dọc theo đường nứt của kết cấu

• Stolarska và các cộng sự (2001) [29] đã mô phỏng sự lan truyền của vết nứt trong kết cấu 2D và 3D bằng cách kết hợp phương pháp đường đồng mức (Level sets) và phương pháp XFEM

• Alfano và Crisfield (2001) [31] đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn liên mặt (IFEM) để phân tích ứng xử phân lớp cho tấm “laminated composites”

• Bachene và các cộng sự (2009) [10] đã kết hợp phần tử đẳng tham số 9 nút với phương pháp XFEM để phân tích dao động tự do của tấm hình vuông tựa đơn

có vết nứt ở biên và ở giữa tấm Kết quả tính toán rất tốt khi so sánh với các lời giải tham khảo của Stahl và Keer (1972) [8], Liew và các cộng sự (1994) [9]

• Châu Đình Thành và các cộng sự (2012) [30] đã phát triển phương pháp phần

tử hữu hạn sử dụng nút ảo (PNM) để mô phỏng cho tấm tựa đơn có vết nứt ở biên và ở giữa tấm chịu tác dụng của tải trọng

• G.R Liu và cộng sự (2010-2012) ([48]-[50]) đã phát triển các phần tử suy biến hiệu quả dùng kỹ thuật trơn biến dạng của phương pháp phần tử hữu hạn trơn S-FEM

+ Một số công trình tiêu biểu về chẩn đoán kết cấu có vết nứt bằng biến đổi Wavelet có thể được liệt kê như:

• Cawley và Adams (1979) [15] đã xác định vị trí và khuyết tật trong kết cấu có vết nứt bằng kết quả đo đạc thực nghiệm tần số tự nhiên Công trình này đã mở đường cho những nghiên cứu tiếp theo về chẩn đoán kết cấu có vết nứt bằng các phép phân tích dữ liệu đo

• Douka và cộng sự (2002) [18] đã trình bày phương pháp xác định vết nứt trong tấm dựa trên phân tích Wavelet Trong nghiên cứu này, các dạng dao động được phân tích dựa trên biến đổi Wavelet liên tục, và các tác giả bước đầu đã đề cập đến cách xác định vị trí và độ sâu của vết nứt dựa trên hệ số cường độ ứng suất

• Ovanesova và cộng sự (2004) [17] đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và biến đổi Wavelet để xác định các điểm hư hỏng trong kết cấu khung Những nghiên cứu tiếp theo của Li và cộng sự (2004) [19] đã trình bày cách phát hiện vị trí và kích thước vết nứt trong kết cấu

• Loutridis và các cộng sự (2005) [14] đã sử dụng phân tích Wavelet 2D để dò tìm vết nứt trong tấm trong đó các tác giả đã xét thêm ảnh hưởng của nhiễu vào bài toán phân tích

• Belsak và cộng sự (2009) [12], Lonkar và cộng sự (2011) [11] cũng đã sử dụng Wavelet để dò tìm vết nứt trong các kết cấu có vết nứt

Một cách tổng thể, các công trình nghiên cứu trên đã giải quyết khá nhiều vấn

đề cơ bản trong cơ học rạn nứt Tuy nhiên, với những đòi hỏi ngày càng cao nhằm nâng cao độ chính xác và tốc độ xử lý cũng như nâng cao độ phức tạp của các kết cấu có vết nứt, thì các nghiên cứu hiện tại vẫn còn một chặng đường dài để phát triển Các phần tử mới để mô phỏng kết cấu có vết nứt cần tiếp tục được cải tiến, cũng như các phép biến đổi Wavelet cũng cần được mở rộng cho các kết cấu bị nứt trong hai chiều và ba chiều

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Cùng với xu hướng phát triển của thế giới, việc nghiên cứu các phương pháp số

và chẩn đoán kết cấu có vết nứt tại Việt Nam bằng phân tích Wavelet cũng đang trong giai đoạn hội nhập và phát triển

+ Một số công trình tiêu biểu trong nước về mô phỏng kết cấu có vết nứt có thể được liệt kê như:

• Lê Hoàng Tuấn (1997) [45] đã nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết cấu dầm và khung

• Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm (2002) [34] đã phân tích tĩnh kết cấu khung có nhiều vết nứt

• Nguyễn Phi Hùng (2003) [46] nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của kết cấu tấm mỏng

• Vương Quang Giang (2004) [43] nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của tấm mỏng chịu uốn

• Nguyễn Vĩnh Phú (2005) [47] đã nghiên cứu đề tài: “Một cách tiếp cận phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để giải quyết bài toán cơ rạn nứt”

• Nguyễn Thị Hiền Lương, Nguyễn Đăng Thạch (2006) [44] đã nghiên cứu cách xác định vết nứt trong dầm công xôn bằng thuật giải di truyền

• Trương Tích Thiện, Trần Kim Bằng (2010) [33] đã ứng dụng phần tử suy biến điểm nút phần tư trong phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt Trong nghiên cứu này, các tác giả đã tính toán và mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt trong không gian hai chiều, và sử dụng các chương trình ANSYS, FRANC2D để tính toán hệ số cường độ ứng suất, đồng thời mô phỏng trường ứng suất, chuyển vị gần đỉnh vết nứt, và hiện tượng vết nứt lan truyền

• Phan Tuấn Duy (2010) [41] đã khảo sát hệ số cường độ ứng suất động trong bài toán tấm chịu kéo chứa vết nứt bằng phương pháp X-FEM Trong nghiên cứu này, tác giả đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) với phần tử tấm MITC4 để khảo sát hệ số cường độ ứng suất của tấm chịu kéo chứa vết nứt

• Lâm Phát Thuận (2011) [23] với đề tài: “Một số phát triển của XFEM cho bài toán nứt trong cơ rắn 2D” đã kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn làm trơn dựa trên cạnh (Edge-based smoothed FEM – ES-FEM) với phương pháp XFEM

để mô phỏng ứng xử tấm hình chữ nhật có vết nứt ở biên chịu tải trọng, trong

đó tấm được rời rạc bằng các phần tử tam giác ba nút

+ Một số công trình tiêu biểu trong nước về chẩn đoán kết cấu có vết nứt bằng biến đổi Wavelet có thể được liệt kê như:

• Nguyễn Thị Hiền Lương, Lý Vĩnh Phan (2009) [36] đã phân tích độ nhạy của dầm có vết nứt bằng phép biến đổi Wavelet

• Trần Văn Liên, Trần Tuấn Khôi (2010) [35] đã nghiên cứu cách xác định các vết nứt trong dầm bằng phân tích Wavelet

• Nguyễn Hoài Sơn, Nguyễn Thị Bích Liễu (2010) [37] đã phân tích động tấm có vết nứt sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và biến đổi Wavelet

• Nguyễn Hoài Sơn, Lâm Phát Thuận (2010) [38] đã nghiên cứu cách nhận dạng vết nứt và tính toán ứng suất kì dị trong tấm dùng phân tích Wavelet

• Trần Văn Liên, Trần Tuấn Khôi (2010) [39] đã nghiên cứu cách xác định các vết nứt trong kết cấu hệ thanh bằng phân tích Wavelet chuyển vị tĩnh

Ngoài ra, một số luận văn thạc sĩ tại trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã kết hợp cả hai vấn đề về mô phỏng số và chẩn đoán kết cấu có vết nứt như:

• Tác giả Phạm Ngọc Tiến (2007) [20] đã bảo vệ thành công đề tài: “Độ nhạy cảm của độ võng tấm có vết nứt bằng phương pháp biến đổi wavelet” Trong luận văn này, tác giả đã kết hợp phần tử đẳng tham số 8 nút của FEM và phần

tử tam giác suy biến Barsoum để phân tích độ võng của tấm mỏng Kết quả số được so sánh với kết quả từ phần mềm Ansys Tác giả cũng đã sử dụng phép biến đổi Wavelet một chiều (1D) để xác định vết nứt từ dữ liệu độ võng của tấm mỏng Gần đây, tác giả Trần Duy Phương (2011) [42] đã tiếp tục phát triển đề tài trên nhằm phân tích độ nhạy chuyển vị ngang của tấm có vết nứt chịu lực động bằng phương pháp biến đổi Wavelet

• Tác giả Lê Xuân Hàng (2009) [21] đã bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ với đề tài: “Phân tích và chẩn đoán dầm đàn hồi có nhiều vết nứt” Trong luận văn này, tác giả đã trình bày cách xác định vị trí và chiều sâu các vết nứt trong dầm công xôn bằng giải thuật di truyền (Genetic Algorithm – GA) kết hợp với việc phân tích tần số dao động riêng của dầm Ma trận độ cứng của phần tử dầm có vết nứt được xây dựng dựa trên giả thuyết độ mềm cục bộ tăng lên do sự xuất hiện của vết nứt Vị trí và chiều sâu vết nứt được xác định bằng cách cực tiểu hóa hàm mục tiêu biểu diễn sự chênh lệch giữa tần số riêng tính toán và tần số riêng được đo

• Tác giả Phạm Minh Tâm (2010) [40] đã bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ với

đề tài: “Phân tích, nhận dạng vết nứt trong kết cấu dạng dầm sử dụng thuật giải

di truyền” Trong luận văn này, tác giả đã trình bày khá chi tiết về cách xây dựng hai bài toán thuận -nghịch như sau: a) bài toán thuận: xây dựng mô hình FEM phân tích ảnh hưởng của sự hình thành và phát triển của vết nứt đến tần số

và dạng dao động riêng của khung phẳng, thiết lập cơ sở đầu vào cho bài toán ngược; b) bài toán ngược: xây dựng mô hình FEM nhằm xác định vị trí và chiều sâu của vết nứt trong dầm, có sử dụng thuật giải di truyền (GA)

• Tác giả Nguyễn Quý Hân (2010) [22] đã bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ với

đề tài: “Phân tích và chẩn đoán khung đàn hồi có chứa vết nứt” Trong luận văn này, tác giả đã sử dụng giải thuật di truyền (GA) kết hợp với phương pháp Wavelet để xác định vị trí các vết nứt trong khung phẳng dựa trên cơ sở là chuyển vị của khung phẳng và tần số dao động riêng

Các kết quả nghiên cứu trong nước này đã đạt được một số kết quả đáng chú ý, tuy nhiên vẫn còn những giới hạn nhất định Ví dụ, các tác giả chỉ sử dụng phương pháp Wavelet một chiều (1D) chứ chưa sử dụng phương pháp Wavelet hai chiều (2D) Kết cấu được chẩn đoán vết nứt là kết cấu dầm và tấm mỏng (Kirchhoff) chứ chưa có kết cấu tấm Mindlin

Luận văn vì vậy sẽ nghiên cứu một phương pháp số mới để mô phỏng kết cấu tấm Mindlin có vết nứt Phương pháp số được chọn là phương pháp rời rạc lệch trượt trơn dựa trên phần tử (Cell-based smoothed DSG – CS-DSG3) [6] do Nguyễn

Thời Trung và cộng sự đề xuất gần đây Phương pháp chỉ sử dụng phần tử tấm tam giác ba nút, nhưng có thể cho độ chính xác cao Ngoài ra, luận văn cũng sẽ nghiên cứu cách áp dụng phương pháp Wavelet hai chiều (2D) để chẩn đoán kết cấu tấm Mindlin có vết nứt

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Như đã đề cập ở trên, mục tiêu và hướng nghiên cứu cụ thể của luận văn được tóm tắt trong hai ý chính:

Thứ nhất, phương pháp CS-DSG3 được mở rộng bằng cách kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite Element Method – XFEM) để cho

ra phương pháp XCS-DSG3 nhằm phân tích dao động tự do tấm Mindlin có vết nứt

Để tính toán các ma trận độ cứng phần tử từ các hàm xấp xỉ chuyển vị, phần tử DSG3 được sử dụng để tính toán các phần tử không đi qua vết nứt Tuy nhiên, với các phần tử cắt ngang vết nứt và phần tử chứa đỉnh vết nứt, phần tử CS-DSG3 sẽ được bổ sung tương ứng bằng các hàm làm giàu bất liên tục và hàm suy biến của X-FEM Các kết quả số từ việc áp dụng phương pháp XCS-DSG3 sẽ được so sánh với các lời giải tham khảo để chứng minh tính chính xác và hiệu quả của phương pháp

CS-đề xuất

Thứ hai, bằng cách xem kết quả độ võng của tấm có vết nứt sử dụng phương pháp XCS-DSG3 như là bộ dữ liệu đầu vào cho phép biến đổi Wavelet rời rạc hai chiều, chúng ta có thể nhận diện được vết nứt trong tấm Mindlin

Trong luận văn này các kết quả số được mô phỏng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

1.4 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1 giới thiệu tổng quan, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2 trình bày cơ sở, các công thức toán học về phần tử tấm Mindlin tam giác CS-DSG3, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite Element Method – XFEM), phương pháp XCS-DSG3, và lý thuyết biến đổi Wavelet Các

kiến thức này sẽ làm nền tảng để giải quyết bài toán mô phỏng tấm Mindlin có vết nứt và chẩn đoán vết nứt

Chương 3 trình bày các kết quả số từ việc phân tích dao động tự do của tấm Mindlin có vết nứt ở giữa tấm và ở biên của tấm Chương này cũng trình bày cách

sử dụng bộ dữ liệu độ võng làm bộ dữ liệu đầu vào cho phép biến đổi Wavelet rời rạc hai chiều Các kết quả số được mô phỏng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, và được so sánh với các lời giải tham khảo để chứng minh tính chính xác và hiệu quả, trực quan của phương pháp được đề xuất

Chương 4 tóm tắt một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Các đoạn mã lập trình Matlab chính để mô phỏng và tính toán các kết quả số trong Chương 3

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Cơ sở lý thuyết phần tử tấm CS-DSG3

2.1.1 Lý thuyết tấm Mindlin

2.1.1.1 Dạng yếu của phương trình chủ đạo cho tấm Mindlin

Xét một tấm chịu biến dạng uốn Mặt trung hòa của tấm được chọn làm mặt phẳng tham chiếu 2

d

x y

trong đó b= b x y( , ) 0 0Tlà tải phân bố tác dụng lên tấm Ma trận Db và Ds

tương ứng là ma trận vật liệu của biến dạng uốn và biến dạng cắt được cho bởi công thức sau

3 2

µν

trong đó E là modul đàn hồi Young;

t là chiều dày của tấm;

+ là modul đàn hồi trượt;

k =5 / 6 là hệ số hiệu chỉnh cắt kể đến sự phân bố bậc hai theo bề dày của biến dạng trượt

Đối với phân tích dao động tự do của tấm Mindlin, dạng yếu Galerkin có thể nhận được từ biểu thức động lực học ([24]-[25])

2.1.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin

Rời rạc miền bài toán Ω thành n e phần tử hữu hạn sao cho

1

e

n

e e=

d là vectơ chuyển vị nút tại nút thứ I

Biến dạng uốn và biến dạng cắt được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau

và F là vectơ tải tác dụng tại các nút và được tính bởi

trong đó fb là phần còn lại của F chịu tải trên biên

Khi phân tích dao động tự do, hệ phương trình đại số có dạng

Trong phương pháp DSG3 (Bletzinger, 2000) [4], miền bài toán Ω được rời rạc

thành n n nút và n e phần tử tam giác Ωe sao cho

1

e

n

e e=

Ω =∪Ω và Ω ∩Ω ≠ ∅ ≠i e , i j Xét một phần tử tam giác Ωe có 3 nút 1-2-3 như được minh họa trong Hình 2.2 Khi đó trường chuyển vị xấp xỉ h T

trong đó deI =w I βxI βyIT (I =1, 2,3) tương ứng là bậc tự do của nút 1, 2 và 3;

và N x I( ) là hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên (ξ η, ) được cho bởi

Hình 2.2 Ba nút (1-2-3) của phần tử tam giác Ωe và hệ trục tọa độ địa phương

trong DSG3

Biến dạng uốn trong phần tử Ωe được cho bởi công thức sau

h e

x , i =1, 2, 3, tương ứng là tọa độ của ba nút 1,2 và 3;

A e là diện tích của phần tử tam giác Ωe;

Bi, i =1,2,3, chứa đạo hàm các hàm dạng của nút thứ i

Để khắc phục hiện tượng khóa cắt (Shear locking), Bletzinger (2000) [4] đã đề xuất phương pháp rời rạc độ lệch trượt (DSG3) để thay đổi trường biến dạng cắt Biến dạng cắt được thay đổi có dạng như sau

h e

=

trong đó

với S i = i, 1,2,3, chứa đạo hàm của các hàm dạng của nút thứ i

Thay thế công thức (2.19) và (2.21) vào công thức (2.12), ma trận độ cứng tổng thể của phần tử có dạng như sau

3

1 0ˆ

Ω lại được chia tiếp thành 3 tam giác con ∆ ∆1, 2 và ∆3 bằng cách nối trọng tâm

O của tam giác với ba nút của phần tử như được minh họa trong Hình 2.3

Trong CS-DSG3, chúng ta giả định vectơ chuyển vị deO tại điểm trọng tâm O

là trung bình cộng của ba vectơ chuyển vị d de1, e2 và d 3 tại ba nút của phần tử Ωe

( 1 2 3)

13

Áp dụng phương pháp DSG3 cho tam giác thứ nhất ∆1, biến dạng uốn ∆ 1

κ và biến dạng cắt ∆ 1

γ được xấp xỉ bởi các công thức

Hình 2.3 Ba tam giác con (∆ ∆ ∆ được tạo từ phần tử 1-2-3 trong CS-DSG3 1, 2, 3)

bằng cách kết nối điềm trọng tâm O với ba nút phần tử 1, 2, và 3

Thay thế deO trong công thức (2.24) vào công thức (2.25) và sắp xếp lại chúng

Tiếp theo, áp dụng kỹ thuật làm trơn biến dạng dựa trên phần tử trong CS-FEM (Liu, 2007) [5], các hằng số biến dạng uốn κ∆1, κ∆2, κ và các hằng số biến dạng ∆3cắt γ∆1, γ∆2, γ tương ứng được dùng để tạo các biến dạng trơn ∆3 κɶe và γɶe trên phần tử tam giác Ωe, như sau

x , trong đó A e là diện tích của phần tử tam giác Ωe, các biến dạng trơn κɶe và γɶe trong công thức (2.28) trở thành

j

j e

A A

3 1

j

j e

A A

=∑

trong đó Kɶ là ma trận độ cứng phần tử trơn có dạng e

2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [7]

2.2.1 Ý tưởng của phương pháp

Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng là mở rộng không gian phần tử hữu hạn bằng cách thêm vào các hàm xấp xỉ mở rộng (hàm làm giàu)

để mô tả ảnh hưởng của vết nứt, tức là những phần tử chuẩn sẽ được tính toán như phương pháp phần tử hữu hạn thông thường, tuy nhiên với các phần tử cắt ngang vết nứt hay những phần tử chứa đỉnh vết nứt, phần tử sẻ được bổ sung tương ứng bằng các hàm làm giàu bất liên tục hay hàm suy biến trong XFEM Như vậy, ứng

xử của lưới phần tử có vết nứt đi qua có thể được mô phỏng một cách tương đối chính xác

Trong phương pháp XFEM, phương pháp đường đồng mức (level-set) được sử dụng để xác định vị trí bất kỳ của vết nứt, vì vậy lưới phần tử hữu hạn có thể được rời rạc một cách độc lập với vết nứt mà không cần rời rạc tương thích với vết nứt như trong phương pháp FEM chuẩn Đây là một ưu điểm của XFEM so với FEM, vì khi sử dụng FEM để giải quyết các bài toán có vết nứt thì việc chia lại lưới khi vết nứt lan truyền là cần thiết, trong khi với XFEM ta chỉ cần sử dụng một lưới chia duy nhất trong suốt quá trình lan truyền vết nứt

Hình 2.4 Mô hình vết nứt với nút làm giàu trong XFEM

Trong XFEM, các hàm làm giàu sẻ được sử dụng để mô tả ảnh hưởng của vết nứt Theo Belytschko và Black (1999) [27], trường chuyển vị được xấp xỉ như sau

Để giữ lại tính chất nội suy, công thức được hiệu chỉnh như sau

N là tập hợp các nút được làm giàu bằng hàm suy biến;

ui là vectơ bậc tự do gắn với nút FEM

i∈N ;

a , j bαk tương ứng là các vectơ bậc tự do của nút được làm giàu gắn với hàm Heaviside và hàm suy biến (Moes, 1999) [7]

Đối với tấm Mindlin, mỗi nút phần tử có 3 bậc tự do (w,β βx, y)và mỗi bậc tự

do sẽ được xấp xỉ bởi công thức (2.36) Ví dụ độ võng w, góc xoay β βx, y sẽ được xấp xỉ bởi

trong đó x là 1 điểm thuộc miền đang xét, *

x là 1 điểm thuộc đường nứt và gần x

nhất được chỉ trong Hình 2.5 Tại *

x ta xây dựng một vectơ tiếp tuyến esvà pháp tuyến đơn vị en ứng với đường nứt

Hình 2.6 Hệ trục tọa độ địa phương tại đỉnh vết nứt

Ngoài ra, Bαk là hàm tiệm cận tại đỉnh vết nứt được biểu diễn như sau

Ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa H

N là tập hợp các nút được làm giàu bằng hàm bất liên tục Heaviside Tập hợp này, tuy nhiên, cần được xác định hợp lý để tránh dẫn đến sự suy biến của ma trận độ cứng

đó, Dolbow (1999) [28] đã đưa ra khái niệm về tiêu chuẩn để chọn các nút được làm giàu bằng hàm bất liên tục Heaviside

Hình 2.8 Phần tử chứa nút hiện hữu có vết nứt cắt ngang

Xét phần tử chứa nút hiện hữu có vết nứt cắt ngang được minh họa như trong Hình 2.8 Theo Dolbow thì tiêu chuẩn để chọn các nút được làm giàu bằng hàm bất liên tục Heaviside như sau

;

ab w ab w

A r A

=

be w be w

A r A

A là diện tích tính từ vết nứt xuống biên dưới

Trong tiêu chuẩn trên thì dung sai cho phép là 4

10− , nếu một trong hai tỉ số trên nhỏ hơn dung sai cho phép thì nút hiện hữu sẽ không được làm giàu bằng hàm bất liên tục Heaviside

2.2.2 Phương pháp xác định loại phần tử mở rộng

Dựa trên nghiên cứu của Stolarska (2001) [29], để xác định loại phần tử là phần

tử làm giàu cạnh hay phần tử làm giàu đỉnh được căn cứ dựa trên phương trình đường nứt Theo đó, một vết nứt được mô tả bởi hai hàm khoảng cách: φ( )x là phương trình xác định hình dạng vết nứt, ψ( )x là đường vuông góc với φ( )x tại vị trí đỉnh vết nứt Quy ước dấu của φ( )x , ψ( )x trong Hình 2.10 dựa trên định nghĩa

về hàm levelset được chỉ trong Hình 2.9

Hình 2.9 Định nghĩa về hàm levelset

Hình 2.10 Quy ước dấu của φ( )x , ψ( )x Như vậy, dựa vào Hình 2.10, có thể mô tả đường vết nứt và đỉnh vết nứt theo hai hàm khoảng cách như sau

( , )x t 0 , ( , )x t 0

( , )x t 0 , ( , )x t 0

Xét một điểm x được chỉ như trong Hình 2.11, và *

x là 1 điểm thuộc đường nứt và gần x nhất Tại *

x ta xây dựng một vectơ tiếp tuyến esvà pháp tuyến đơn vị

n

e ứng với đường nứt

Hình 2.11 Vectơ tiếp tuyến esvà pháp tuyến đơn vị en được xây dựng từ x*

Khi đó φ( )x , ψ( )x được biểu diễn như sau