Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến .. Biết mặt phẳng MNP tạo với mặt phẳng SAB mộ
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 2
Ngày 28 tháng 5 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3 mx2 4 m3 (1) với m là tham số.
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2 Cho đường thẳng có phương trình: y = x Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số (1) có
hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến
Câu 2.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3sin 3 cos5 3 4sin -1
cos
x x
2 Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức
3
2
1
i
z i z
i
Hãy tính giá trị của biểu thức 2
A z iz .
Câu 3.(0.5 điểm) Cho phương trình : 2
log ( 3) log 3 1 log ( )
2
x
m x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm x R .
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
1
- 3 3
1
x y
y
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân :
2 1 0
x
x x e
dx
x e
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của SB, BC, AD Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc a với
21
os
7
c a = , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Câu 7.(1.0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip có 4 đỉnh A, B,
C, D là 4 đỉnh của một hình thoi Biết rằng độ dài trục lớn của elip gấp 4 lần bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn của elip bằng 5 5.
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC Biết đỉnh A (1, 2, 5), đường cao BH có phương trình : 3 6 1
- , đường trung tuyến CN có phương trình:
, viết phương trình đường thẳng BC.
Câu 9.(1.0 điểm) Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 7.
Câu 10.(1,0 điểm) Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c + + = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = ab bc ca + + - 2 abc
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 112
Trang 2Câu NỘI DUNG Điểm 1.1
Cho hàm số y x 3 3 mx2 4 m3 (1) với m là tham số.
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
1.0
Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 3x2 + 4
+ TXĐ: R
x x
+ Sự biến thiên: y’ = 3x2 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên: (; 0) và (2; +) Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0
LËp BBT:
§å thÞ:
1.2
Cho đường thẳng có phương trình: y = x Tìm các giá trị m > 0 để đồ thị hàm số (1) có hai
điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gấp đôi khoảng cách từ điểm cực đại đến 1.0
Với m > 0 ta thấy : y’ = 3x2 6mx = 0 0
2
x
,
khi đó hàm số có cực đại và cực tiểu Khi đó hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0),
A là điểm cực đại d( , )B 2 d( , )A 2 m 2.4 m3 Giải ra ta có: 1
2
m
2.1
Giải phương trình: 3sin 3 cos5 3
4sin -1 cos
x x
§iÒu kiÖn:
2
PT 3sin 3x c os5x 3 2sin 2 x cosx
3sin 3 x 3 2sin 2 x cos5 x cos x 0 3(sin 3 x 1) 2sin 2 x 2sin 3 sin 2 x x 0
(sin 3 x 1)(2sin 2 x 3) 0
2sin 2 3, (loai) 6 3
x
x
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ 5
x k x k 2.2
Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức
3
2
1
i
z i z
i
Hãy tính giá trị của biểu thức 2
A z iz
0.5
3
2 3
1 3 3 3 3 3 4 1
i
Đặt z a bi a b ; , Do đó
0
x
∞
y’
y
0
x y
O
Trang 3
2
2z i z 2 2i 2a2bi ai bi 2 2i 2a b a2b i 2 2i
a b
Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3
A z i z i i i i i
3
Cho phương trình : log22 ( 3) log 2 3 1 log ( )2
2
x
m x m x m Tìm m để phương trình có nghiệm x R
0.5
+ Với x > 0, đặt log x2 = t Khi đó phương trình (1) có dạng:
mt m t m t 2 2
1 2( 3) 3 1 2 1
t
2
1 1
4 ( 2 3) 4
2 3
t t
t t
t t
(2) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm
Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) =
2 2
4
2 3
t t
t t
trên miền [1; +)
+Ta có f’(t) =
2
6 6 12 ( 2 3)
t t
t t
, f’(t) = 0 1
2
t t
+BBT
t -1 1 2 +
f’(t) 0 + 0 -f(t)
4 5/2 1
Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m 4
4
Giải hệ phương trình:
1
- 3 3
1
y
x y R
x y
y
y
1.0
3 (1) 5(2)
a b
a b
Thay (1) vào (2) được 2, 1
1, 2
a b
a b
Với a = 2, b = 1 được
1
5, 1
3 1
y
x y
x y
(thỏa mãn điều kiện)
Với a = 1, b = 2 được
1
4 10, 3 10
3 2
y
x y
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có 4 nghiệm 5
Tính tích phân :
2 1 0
x
x x e
dx
x e
1.0
Ta có
2 1
0
x
x x e
dx
x e
1
0
.( 1) 1
x
xe x e
dx xe
Trang 4Đặt t x.e x 1 dt x e x dx
) 1 (
Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t e 1
Suy ra
1
0
.( 1) 1
x
xe x e
dx xe
1
1
( 1)
e t dt t
1
1
1 1
e
dt t
t ln t 1e1 e ln( e 1)
6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC,
AD Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc a với os 21
7
c a = , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
1.0
Gọi H là trung điểm AB suy raSH ^AB Do ( SAB ) ^ ( ABCD ) suy ra SH ^ ( ABCD )
2
V = SH dt = SH a
O P
N
M
H
A
B
S
I
D
C E G
Gọi E là trung điểm CD, do (MNP)//(SCD) suy ra:
(( MNP ),( SAB )) = (( SCD SAB ),( )) = ES H = a
SH
2
3 os
c
a
a
2
3
V = V
a
= Gọi O là giao điểm của AC, BD, dựng đường thảng a qua O và vuông góc (ABCD)
Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, dựng đường thẳng b qua G và vuông góc (SAB)
Chứng minh được a, b đồng phẳng và cắt nhau tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Bán kính mặt cầu
R=SI=
3 4 2 3
a a
SG + GI = + = a
Diện tích mặt cầu
2
2
7 7 4
3
2 3
S p æ ç ç a ö÷ ÷ p a
= ç ç ÷ ÷ =
÷
çè ø
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip có 4 đỉnh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình thoi Biết rằng độ dài trục lớn của elip gấp 4 lần bán kính đường tròn nội tiếp
hình thoi ABCD và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn của elip bằng5 5
1.0
Giả sử elip có phương trình chính tắc :
a + b = , a>b>0,
c = a - b (1)
Theo đề bài ta có 2 a2 5 5
c = (2) Từ (1), (2) suy ra
125( a - b ) = 4 a (3)
Gỉa sử AC là trục nhỏ của elip, H là hình chiếu của O trên AB thì OH =
2
a
Trong tam giác vuông OAB có
OH = OA + OB suy ra 2 2
1 3
b = a (4)
Giải hệ hai phương trình (3) và (4) được a2 = 125
6 , b
2 = 125
18 .
Trang 5Elip có phương trình:
1
125 125
6 18
8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC Biết đỉnh A (1, 2, 5), đường cao BH có phương trình : 3 6 1
- , đường trung tuyến CN có phương trình:
, viết phương trình đường thẳng BC.
1.0
N nằm trên CN nên N(4+t, 2-4t, 2+t), B nằm trên BH nên B(3-2t’, 6+2t’, 1+t’)
N là trung điểm AB nên:
1 (3 2 ') 2(4 )
0
2 (6 2 ') 2(2 4 )
' 2
5 (1 ') 2(2 )
t
t
ìï + - = +
-ï + + = + ïî ïïî
suy ra B(7,2, -1)
C(4+t, 2-4t, 2+t) thì AC uuur (3 + - t , 4 , t t - 3)vuông góc BH nên:
-2(3+t)+2(- 4t)+1(t-3) = 0 suy ra t = - 1 nên C(3,6,1)
Phương trình đường thẳng BC: 7 2 1
-9 Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
mà tổng của ba chữ số đó bằng 7.
0.5
- Bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm {0, 1, 6} (a), {0, 2, 5} (b), {0, 3, 4} (c),
{1; 2; 4} (d)
- Mỗi bộ trong các bô (a), (b), (c) có số cách lập là: 3! - 1.2.1 = 4 số (trừ chữ số 0 đứng
đầu) => 3 trường hợp đầu có 12 số được lập
- Bộ (d) có 3! = 6 số được lập
- Vậy có 12 + 6 = 18 số được lập thoả mãn yêu cầu bài toán
10 Xét các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c + + = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = ab bc ca + + - 2 abc
1.0
Ta có ab bc ca + + - 2 abc = a b c ( + + - ) (1 2 ) a bc = a (1 - a ) (1 2 ) + - a bc
Đặt t = bc thì ta có
( ) (1 ) 0
Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t là đơn điệu trên đoạn
2
(1 ) 0;
4
a
é - ù
ë û Có f(0) = a(1 – a)
2
( 1 ) 1 7
a + - a
£ = < và
2 2
(1 ) 7 1 (2 1 ) 1 7
a
f æ ç ç - ö ÷ ÷ ÷ = - a + æ ç ç ç a - ö ÷ ÷ ÷ £
÷
[ 0;1 ]
Î
2
27
ab bc ca + + - abc £ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
