Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai 0 đường thẳng AB1 và BC.
Trang 1ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA MÔN TOÁN 2015 SỐ 109
Ngày 24 tháng 5 năm 2015
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
1
x y x
−
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng d x: +3y m+ =0 cắt (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN
vuông tại điểmA(1; 0)
Câu 2.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình sin 3x+2cos2x= +3 4sinx+cos (1 sin ).x + x
2 Cho số phức z thoả mãn z 1 − = − 2 iz Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức Oxy
biểu diễn số phức w biết w i 3 z = +
Câu 3 (0.5 điểm) Giải phương trình ( )2
1 2 1 2 1 2
16x+ − x+ 8 x+ 4 x+
=
Câu 4.(1.0 điểm) Giải phương trình: x3 1 x
3 4x − 2 x =
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân
1
2 0
3 2ln(3 1)
d ( 1)
x
=
+
∫
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C 1 1 1 có AA1=a 2, đường thẳng B C1 tạo với mặt phẳng (ABB A1 1) một góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai 0
đường thẳng AB1 và BC
Câu 7.(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), (4; 1)B và đường thẳng
: 3x 4y 5 0
∆ − + = Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt ∆ tại C, D sao cho CD=6
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 0) và hai đường thẳng
d − = − = − d − = + = −
− − − Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
1
d và d2 đồng thời cách M một khoảng bằng 6
Câu 9.(1,0 điểm)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:1 0 1 1 1 2 1 3 ( 1) 1
n n
n
−
+
Câu 10.(1,0 điểm)
Giả sử x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn 0 (< +x y)2+ +(y z)2+ +(z x)2 ≤18
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
2 2 2
2 2 2
x y z
P x y z
x y z
+ +
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 109
1.1
1
x y x
−
=
−
1.0
x y
→−∞ = và lim 2
x y
→+∞ =
x y
+
→ = −∞ và
1
x y
−
( 1)
x
−
0,5
* Bảng biến thiên:
; 0 , 2
làm tâm đối xứng
0,5
điểmA(1; 0)
1.0
m
,
x
2 ( 5) 9 0, 1
0,5
Ta có uuuurAM =(x1−1; ),y1 uuurAN =(x2−1;y2)
1
9
1 2 1 2
10x x (m 9)(x x ) m 9 0
0,5
2cos 2 sinx x 2cos 2x (sinx 1)(cosx 3) (sinx 1)(2cos 2x cosx 3) 0
2
(sinx 1)(4cos x cosx 5) 0 (sinx 1)(cosx 1)(4cosx 5) 0
2
x= − ⇔ = − +x π k π k∈Z.
2
x= − +π k π x= +π k π k∈Z
0,25
x
'
y
y
∞
2
∞
−
∞
+
2
x O
y
I
3
2
2
Trang 32.2 Cho số phức z thoả mãn z 1 − = − 2 iz Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức Oxy biểu diễn số
0.5
w x yi = + ( x, y ∈ℜ ) Giả sử M(x;y) trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w
w i 3 z = + ⇒ = − z w i 3 ⇒ = + z x ( y − 3 )i
z 1 − = − ⇔ 2 iz ( x 1) ( y − + − 3 )i = ( 2 y + − 3 ) ix − 0.25
x 1 y 3 2 y 3 x 2x 4 y 3 4 3 0
Kết luận: tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức Oxy biểu diễn số phức w là đường thẳng có
3
1 2 1 2 1 2
16x+ − x+ 8 x+ 4 x+
4 1 2 1 3 2 1 2 4
2 x+ − x+ 2 x+ 2 x+
=
4 x+ −1 2x+1 +3 2x+ =1 2x+ ⇔4 ( )2
2x+ −2 2 2x+1 +3 2x+ =1 2x+4 0,25
Đặt 2x+ = ≥1 t 0, phương trình trở thành:( 2 )2 2
⇔t4 −4t3+5t2− − = ⇔t 2 0 (t−2) ((t t−1)2+ = ⇔1) 0 t=2,vì t t( −1)2+ >1 0
2
x=
0,25
4
Giải phương trình:
3
x
3 4x − 2 x =
− . Điều kiện:
3
0 x
4
2
x x 1
3 4x 2 x
2
2x ( 1 2x ) 3 4x 0 4x 2( 1 2x ) 3 4x 0
3 4x 2x 1 2x 1 3 4x 4
3 4x 2x 3
0.25
2
1
2
3 4x 4x 4x 1
≥
2
3
2 2x 8x 3 0
0.25
5
Tính tích phân
1
2 0
3 2ln(3 1)
d ( 1)
x
=
+
Ta có
+
x
x
1 ( 1)
x
x x
+ +
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
2
0
( 1)
x
+
+
0,5
2
1 1 1
ABC A B C có AA1=a 2, đường thẳng B C1 tạo với mặt phẳng
1 1
(ABB A) một góc 45 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường 1.0
Trang 46 thẳng AB1 và BC.
1 1 1 1 1 1
CH ⊥ ABB A ⇒CB H = B C ABB A = ⇒ ∆CHB1 vuông cân tại H
0
2
x
4
x
B H = B B +BH = a +
1
3
4
ABC
x
1 ABC 6
V = AA S =a 0.5
1
5
KE
5
a
d AB BC =
0,5
1.0
0.5
5
a
2
2 2 (9 29)
9
25
a
Từ (1) và (2) suy ra
2
25
a
43 13
a a
=
⇔ =
(1; 3), 5
A
C
H
E B
K
1
C
1
K
1
B
1
A
2
a
I
∆
H
A
B
C D
Trang 5Suy ra ( ) : (C x−1)2+ +(y 3)2 =25 hoặc
C x− +y− =
8
d − = − = − d − = + = −
1.0
2
(1; 1; 1)
, (1; 2; 1) ( 1; 2; 3) P
u
n u u u
= −
uur
uur uur uur uur
9 6
D D
d M P
D
=
P x y z
P x y z
0,5
Lấy K(1; 3; 1)∈d1 và N(1; 3; 2)− ∈d2 thử vào các phương trình (1) và (2) ta có
N∈ P x+ y z+ + = nên d2 ⊂( ) :P x+2y z+ + =3 0 Suy ra phương trình mặt phẳng (P) thỏa
9
n n
n
−
+
0.5
0 1 2 ( 1)n n n 1 0 1 ( 1)n n n (1 ) n
C x C x− + + − C x + = C −C x+ + − C x x= −x x
( 1)n n n d (1 ) d n
C x C x− + + − C x + x= −x x x
Hay
n
n
+
−
(n 1)(n 2) 156= ⇔n + n− = ⇔ =n
0,25
lớn nhất của biểu thức
4
2 2 2
2 2 2
x y z
P x y z
x y z
+ +
1.0
Khi đó
4
3
x y z
x y z
+ +
Đặt t= + +x y z t, >0
0,5
( ) 3
9
3
Suy ra bảng biến thiên:
0,5
( )
f t
'( )
f t
0
6
