Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 108

Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’.. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó, mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ s

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 108

Ngày 22 tháng 5 năm 2015 Câu 1: (2.0 điểm)

Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− (1) có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(1, 2) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho

2 2

Câu 2: (1.0 điểm)

1 Giải phương trình: cos os3 sinx cos 0

sinx cos

x x

+

2 Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình : 2

z + +i z− + =i Tính giá trị biểu thức A= −z1 z2

Câu 3.(0.5 điểm)

Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

log x −20log x +40log x+ =7 0.

Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 11 1







Câu 5: (1.0 điểm) Tính tích phân: 2

1

ln

e

dx

+

∫

Câu 6.(1.0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’, AB, BC Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 0

60 Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’

Câu 7.(1.0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình 2x y− + =5 0, đường thẳng AC có phương trình 3x−6y+ =1 0.Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng BC biết rằng I nằm trên đường thẳng có phương trình: 2x y− + =1 0

Câu 8.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3,8,2), mặt phẳng (P): x y z+ + + =3 0,và hai đường thẳng chéo nhau: 1 2

2 2

z t

= −



 =

 Tìm trên mặt phẳng (P) các điểm M sao cho đường thẳng AM cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

Câu 9.(0.5 điểm)

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó, mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đứng sau nó (kể từ trái qua phải)

Câu 10.(1.0 điểm)

Cho x, y là các số dương thoả mãn 1 1 1 3

xy+ + =x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

M

-HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 108

1.1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− (1)

1.0 TXĐ : D=R\{1}

1 0,

− < ∀ ∈

− Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ,1);(1, +∞ )

Không có cực trị

0,25

→−∞ = →+∞ = tiệm cận ngang y = 2

→ = − ∞ → = +∞ tiệm cận đứng x =

Bảng biến thiên

−∞

+∞

2

0,25

Đồ thị nhận I (1,2) làm tâm đối xứng

12 10 8 6 4 2

-2 -4

0,25

1.2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (1, 2)I cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=2 2 1.0

Giả sử đường thẳng d đi qua I(1,2) căt (C ) t ại hai điểm A, B

Do I (1,2) làm tâm đối xứng c ủa (C ) n ên hai điểm A, B đ ối xứng nhau qua I Suy ra

Ta tìm ( ,2 1) ( ), 1

1

a

2

0

2

a a

a

=



−

Hai điểm (0,1) và (2,3) đối xứng nhau qua I

Đường thẳng d cần tìm có phương trình 0 1 1

2 0 3 1

y x

− = − ⇔ = +

0,25 2.1

Giải phương trình: cos os3 sinx cos 0

sinx cos

x x

+

0.5

Điều kiện : cosx+s inx 0≠

Với đ/k đó phương trình tương đương os3c x+cosx c+ os2x=0

os2 (2cos 1) 0 (cos sin )(cos sin )(2cos 1) 0

(cos sin ) 0

(cos sin ) 0( )

(2cos 1) 0

x







Nghiệm của phương trình :

, 4 2

, 3

π π

π π

0,25 2.1 Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình :1, 2 2

z + +i z− + =i Tính giá trị biểu thức 0.5

1 2

A= −z z

Đặt z r c= ( os +i sin )ϕ ϕ

Ta thấy :z2 =r c2( os2 +i sin 2 )ϕ ϕ suy ra z = =r r2 = z2

1 2 ( 2 1)

Chú ý: Thí sinh chứng minh theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

Áp dụng định lí Vi – et ta có 1 2

1 2

1 1

+ = − −



 = − +

(z −z) =(z +z) −4z z = − −( 1 )i − − + = −4( 1 ) 4 2i i

3

Giải phương trình: 1 2 81 3 9

3

log x −20log x +40log x+ =7 0. 0.5 Điều kiện: x∈(0;+∞)

3

2log 60log 20log 7 0

2log x 15log x 10log x 7 0

4

Giải hệ phương trình: 11 1







1.0

Điều kiện: 11 0

0

x y

y x

− ≥



 − ≥

 Đặt 11x y− = ≥a 0, y x b− = ≥0 0,25

Ta có hệ 12 2

a b

− =



 − + =

1

2

b

=





 =



0,5

Với b= 1 suy ra:a = 2 Có

1

2

x

x y

y x

y

 =



− =



Hệ có nghiệm

1 2 3 2

x y

 =





 =



0,25

5

Tính tích phân: 2

1

ln

e

dx

+

ln

e

+

1 1

ln( ln ) ln( 1)

e

+

Vậy 2

1

2 ln 1

1 ln( 1) ln

e

+

6 Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm

của các đoạn thẳng AA’, AB, BC Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’

1.0

2

O M

N

B'

B I

0.25

3 ' ' '.

'

a

Gọi O là giao điểm của A’C và AC’

khi đó

/ / 1 2





/ / 1 2





 =

 suy ra NI / /MO, NI = MO suy ra MOIN là hình bình hành

/ / / /( ' ) MN AC MN AC I N AC I

0,25

2

3

3 8

,

1

2

AIC

N AC I AIC

a S

c

'

8

N AC I AIC

h S

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương

trình 2x y− + =5 0, đường thẳng AC có phương trình 3x−6y+ =1 0.Tìm toạ độ trung điểm I

của đoạn thẳng BC biết rằng I nằm trên đường thẳng có phương trình: 2x y− + =1 0

1.0

Tam giác ABC cân tại A, I là trung điểm BC nên I nằm trên đường phân giác góc A 0,25 Phương trình 2 đường phân giác góc A:

2 ( 1) 3 ( 6)

Và 22 52 3 2 6 12 9 9 16 0

− + = − − + ⇔ − + =

0,25

Trường hợp 1: I là giao điểm của (d) và đường thẳng: 2x y− + =1 0 Suy ra ( 17, 25)

Trường hợp 1: I là giao điểm của (d’) và đường thẳng: 2x y− + =1 0 Suy ra ( ,7 23)

9 9

8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3,8,2), mặt phẳng (P): x y z+ + + =3 0,và hai

2 2

z t

= −



 =

 Tìm trên mặt phẳng (P) các điểm M sao cho đường thẳng AM cắt cả hai đường thẳng d và1 2

d

1.0

1

d qua M1(2,3,0),có vec- tơ chỉ phương uur1( 2,0,1)−

2

Mặt phẳng (Q) qua A(3, 8, 2) và d có vec- tơ pháp tuyến 1 M A uuuuur ur1 , 1 = − (5, 5,10) nên có phương

Mặt phẳng (R) qua A(3, 8, 2) và d có vec- tơ pháp tuyến 2 M A uuuuuur uur2 , 2 = − ( 16,0,8) nên có 0,25

phương trình: 2− + + =x z 4 0

Đường thẳng d là giao tuyến của (R) và (Q) qua A và căt cả 2 đường thẳng d và 1 d2

d căt mặt phẳng (P) tại điểm M(1, 2, 2)− −

Vậy M(1, 2, 2)− − là điểm nằm mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng AM cắt cả hai đường thẳng

1

d và d 2

0,25

9 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà trong các số đó, mỗi chữ số đứng trước đều nhỏ

Giả sử số cần tìm có dạng abcdef (a b c d e< < < < < f )

Số được chọn không có chữ số 0, vì giả sử có chữ số 0 thì số đó phải có dạng

0bcdef b c d e f, , , , , ∈ 1;2; ;9 (không thỏa mãn)

Với mỗi cách chọn ra 6 chữ số, có duy nhất một cách tạo thành số có 6 chữ số sao cho mỗi chữ

số đứng trước đều nhỏ hơn chữ số đằng sau nó

0,25

Số các số có 6 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn 6 trong 9 chữ số thuộc tập

{1;2;3;4;5;6;7;8;9}

10

Cho x, y là các số dương thoả mãn 1 1 1 3

xy+ + =x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

M

1.0

Đặt a 1 0,b 1 0

= > = > , theo đề bài có:

2

4

a b

− + = ≤ (BĐT Cô-sy) kết hợp với a +b>0 suy ra a +b 2≥

0,25

Ta tìm giá trị lớn nhất của 3 3 2 2

2

0,25

Đặt t = a +b 2≥ xét hàm số : g t( ) -t +t+2 12+2

t

= g t'( ) 2t 122 1 0, t 2

t

= − − + < ∀ ≥ Suy ra g(t)

Do đó [2,max ( )+∞)g t =g(2) 6= suy ra giá trị lớn nhất của M bằng 3

2 đạt khi