Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 100

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm tọa độ điểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I1; 1.. Tìm tọa độ đỉnh B b

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA MÔN TOÁN SỐ 100

Ngày 13 Tháng 5 Năm 2015

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y =

1

x

x−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1)

Câu 2.(1,0 điểm)

1 Giải phương trình: cos3 cos2 2 1 sin( )

sin cos

x

+

2 Tìm số phức z thỏa mãn : z2+2 z z+ z2 =8 và z z+ =2

Câu 3 (1,0 điểm)Giải phương trình sau trên tập số thực: 1

15 5x 5x 27 23

x = + + x+

Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

2







Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân:

1

ln

1 ln

e

x dx

x + x

∫

Câu 6.(1,0 điểm)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =

4

a

Câu 7.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm

M(0; )1

3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng

(MAC) (NPQ)⊥ .

Câu 8.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1: 4

1 2

x t

=



 = −



 = − +



d2: 2

x = y− = z

, và d3: 1 1 1

x+ = y− = z+

Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 ,

d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC

Câu 10(1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + =3,

ta có: 2 2 2

1

-Hết -Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 100

1.1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =

1

x

x−

1.0

TXĐ : D = R\{1}

1 0 (x 1)

−

lim ( ) lim ( ) 1

x f x x f x

→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

lim ( ) , lim

x f x x

→ = +∞ → = −∞nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

0.5

Bảng biến thiên

1 + ∞

- ∞

1

-y

y'

x -∞ 1 + ∞

Hàm số nghịch biến trên (−∞;1)và (1;+∞) ,Hàm số không có cực trị 0.25

Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng

0.25

1.2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi

qua điểm M và điểm I(1; 1)

1.0

Với x0 ≠1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0

x

x − ) có phương trình :

0 0 2

1

x

2 0

1

0

x

x y

(d) có vec – tơ chỉ phương 2

0

1

u

x

= −

−

r

0

1

1

x

−

uuur

0

0

2

x

x

=



r uuur

+ Với x0 = 0 ta có M(0,0) + Với x0 = 2 ta có M(2, 2) 0.5

2.1

Giải phương trình: cos3 cos2 2 1 sin( )

sin cos

x

+ ĐK: sinx+cosx≠0

0.5

Khi đó PT ⇔ −(1 sin2x) (cosx− =1) 2 1 sin( + x) (sinx+cosx)

(1 sinx) (1 cosx sinx sin cosx x) 0

⇔ + + + + = ⇔ +(1 sinx) (1 cos+ x) (1 sin+ x) =0

x x

= −



⇔  = − (thoả mãn điều kiện) 2 2

2

 = − +



= +



(k m, ∈Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2

2

x= − +π k π

và x= +π m2π (k m, ∈Z)

2.2 Tìm số phức z thỏa mãn : 2 2

Gọi z = x + iy ta có z x iy z= − ; 2 = z2 =zz x= 2+y2

2

z + z z+ z = ⇔ x +y = ⇔ x +y = z z+ = ⇔2 2x= ⇔ =2 x 1 (2)

Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1± Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 – i

3 Giải phương trình sau trên tập số thực: 1

15 5x 5x 27 23

Phương trình đã cho ⇔5 15x( x− =5) 27x+23

Ta phải có 15x− ≠5 0 và phương trình trên trở thành 27 23

5

15 5

x x

x

+

=

Hàm số ( ) 5x

f x = đồng biến trên R còn hàm số ( ) 27 23

15 5

x

g x

x

+

=

480

15 5

g x

x

−

−

nên nó nghịch biến trên các khoảng 1

; 3

1

; 3

Vậy phương trình có tối đa 1 nghiệm trên mỗi khoảng

Mặt khác f ( )1 =g( )1 =5 và ( )1 ( )1 1

5

f − = g − =

Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= ±1

4

Giải hệ phương trình:

2





1.0

Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình

Với x≠0, ta có:

2

2

1

4

1 4

y

x y

x y

x



+

Đặt

,

y

x

+

+) Với v=3,u=1ta có hệ:

+) Với v= −5,u=9ta có hệ:

5

x y

 + =

 + = −

 , hệ này vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y = x y = −

0.5 5

Tính tích phân:

1

ln

1 ln

e x

dx

x + x

Đặt t = 1 ln x+ có 2tdt = 1dx

x x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2

2 2

2

1 ln

e

dx tdt

t

−

+

3

t t

3

−

6 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt

phẳng (ABB’A’) góc 60 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, 0

BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = a Tính theo a thể tích khối lăng trụ

1.0

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC) (NPQ)⊥

Gọi I là trung điểm A’B’ thì ' ' ' ' ( ' ')

' AA '

C I A B

C I ABA B

C I



mp(ABB’A’) chính là góc · 'C BI Suy ra · 0

2

a

C I =BI C BI =

3

ABC A B C A B C

a

/ / '

NP BC

PQ C I



ABM = BB I c g c suy ra AMB BIB suy ra AMB B BI− − = + = ⇒ ⊥

Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥AM nên AM ⊥ ( 'C BI )

Suy ra (AMC) ⊥ ( 'C BI (2))

Từ (1) và (2) suy ra (MAC) (NPQ)⊥

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm M

1

(0; )

3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có

hoành độ dương

1.0

Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có : '

'

N I N

N I N





Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – 1 = 0

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 4.2 3.1 12 2 2

+

AC = 2 BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:

4

d = x + x suy ra x = 5 suy ra BI = 5

Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5

Tọa độ B là nghiệm của hệ: 4x 3y – 1 02 2

(x 2) (y 1) 5



 − + − =

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1: 4

1 2

x t

=



 = −



 = − +



d2: 2

x = y− = z

x+ = y− = z+

Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 ,

d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC

1,0

Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3

Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)

A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔B là trung điểm của AC

( 1 5 ) 2

4 (1 2 ) 2.(2 3 )

1 2 ( 1 ) 2( 3 )





− + + − + = −



Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0

Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)

Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2

x = y− = z

9

Tìm hệ số của 4

x trong khai triển biểu thức 2 3 n

x x

  , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức

n

C −− +nA =

0.5

Từ hệ thức đã cho suy ra n≥6

( ) ( ) ( )

4

n

−

−

−

− − ⇔ 2n3− −n2 9n−888 0= ⇔ =n 8.

2

x

Hệ số của x4 tương ứng với 24 4− k= ⇔ =4 k 5

Vậy hệ số của x4 là 5 5( )8 5

10 Câu 10(1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

3

ab bc ca+ + = , ta có: 21 21 21 1

1,0

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a b2 2+b c2 2+c a2 2+a b c2 2 2 ≥4

Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh x2+y2+ +z2 xyz≥4 với mọi x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z = 3

Không làm mất tính tổng quát giả sử x ≤ y; x ≤ z thì x ≤ 1 ta có:

4

x