a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 b Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị đồ thị hàm số 1 là nhỏ nhất.. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VĨNH PHÚC
KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC: 2014 - 2015 Môn: Toán 12 Khối A - B
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao
đề)
Câu 1 ( ID: 80902 ) (2,0 điểm)
Cho hàm số (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là nhỏ nhất Câu 2 ( ID: 80903 ) (1,0 điểm) Giải phương trình
Câu 3 ( ID: 80904 ) (1,0 điểm): Tính tích phân ∫
Câu 4 ( ID: 80905 ) (1,0 điểm) Giải phương trình
Câu 5 ( ID: 80906 ) (1,0 điểm) Một hộp đựng 4 quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu mầu xanh và 7 quả cầu mầu vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng Câu 6 ( ID: 80907 ) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều Biết góc giữa hai đường thằng và bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo
Câu 7 ( ID: 80908 ) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa trung tuyến và phân giác trong đỉnh B lần lượt là , Điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng √ Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy xác định tọa độ đỉnh của tam giác ABC Câu 8 ( ID: 80909 ) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình {
√ √
Câu 9 ( ID: 90910 ) (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng
-Hết -
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn: Toán: Khối A + B
(Đáp án – thang điểm: gồm 04 trang)
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: ∑ a) TXĐ D= R
b) Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên khoảng
0,25
+ Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 0,
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2,
+Các giới hạn tại vô cực:
0,25
c) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (1; 0), ( √ ) √
Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0;2)
Vẽ đồ thị
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm
đối xứng
0,25
b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho tổng khoảng
cách từ M tới hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là nhỏ nhất ∑ Các điểm cực trị là
Xét biểu thức
Ta có: và
sau ra hai điểm A, B nằm về hai
đường thẳng
0,25
2 y’
x
y
Trang 3
điểm giữa d và AB
Phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M là
nghiệm hệ phương trình:
{ {
;
0,5 2 Giải phương trình ∑
Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với PT
0,25 √ 0,25 √ 0,25
với
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm là với
0,25 3 Tính tích phân: ∫ ∑
Đặt {
{
0,25 ∫ 0,25 Vậy 0,5 4 Giải phương trình 0 ∑
Điều kiện: {
{
0,25 Khi đó phương trình đã cho
0,25 *
*
[
√
0,25 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm là √ 0,25 5 ∑
Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = 0,25 Gọi A là biến cố “ 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không có quá hai quả mầu vàng” 0,25 Khi đó 0,25 Xác suất của biến cố A là 0,25 6 ∑
Trang 4Trên tia ⃗⃗⃗⃗⃗ lấ điểm D sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ => là
hình bình hành Đặt √ ,
Từ đó suy ra √ = √
0,25 Tứ giác là hình bình hành => BC’ // DB’ Vậy ̂ hoặc ̂
0,25 +) Trường hợp 1: ̂
=> (vô lý) 0,25 +) Trường hợp 2 ̂ đều => √ √ √
Vậy thể tích của lăng trụ là √ √ √
0,25 ( ) ( )
√ √ √ 0,25 7 ∑
Ta có: Do đó phương trình 0,25 Gọi tọa độ điểm , điểm N đối xứng với M qua phân giác khi đó ta tìm được N (1; 0) Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh: => Trung điểm của AC là
0,25 Do
Dễ thấy, tam giác ABC vuông tại B => √
(2)
0,25 Từ (1) và (2) đi đến hệ PT {
[
Vậy A (3;1), C (1; -3) 0,25 8 Giải hệ phương trình {
√ √
∑
Điều kiện {
PT (1):
[ ] [ ]
0,25 Thế (3) vào (2) ta được PT: √ √
(√ ) (√ )
0,25
√
Trang 5[
√
√
(4)
√
√
(√ ) (√ ) √ (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất
0,25 9 ∑
Nhận xét 1: Ta có
Nhận xét 2:
Ta chứng minh rằng
0,25 Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta được:
√ tương tự ta có:
√
√
0,25 Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
√
0,25
Dâu “=” xảy ra khi và chỉ khi (bước nhận xét 1 sử dụng
phương pháp tiếp tuyến
0,25
