a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x+3y+2 = 0.. Chứng tỏ tam giác ABC vuông và viết p
Trang 1SỞ GD –DT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA
Năm học: 2014 -2015 Môn Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 ( ID: 79191) (4,0 điểm)
Cho hàm số y =2 1
1
x x
gọi là đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+3y+2 = 0
Câu 2 ( ID: 79192 ) (2,0 điểm)
Giải phương trình: 2 sin2(
2
x
) = cos 5x + 1
Câu 3 ( ID: 79193 ) (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x.√ trên đoạn [0;5]
Câu 4 ( ID: 79194 ) (2,0 điểm)
3 3
2log (2x 1) 2log (2x1) 2 0
b Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có
nữ và có đủ ba bộ môn
Câu 5 ( ID: 79195 ) (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy, cho tam giác ABC có A(4;8), B(-8;2),
C(-2;10) Chứng tỏ tam giác ABC vuông và viết phương trình đường cao còn lại
Câu 6 ( ID: 79196 ) (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc 0
60
hình chiếu của S trên mặt (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a
Câu 7 ( ID: 79197 ) (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy, cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là 3x + 5y – 8 = 0 và x –y-4 = 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4;-2) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3
Câu 8 ( ID: 79198 )(2, 0 điểm)
Giải hệ phương trình{ √ √
√
Câu 9 ( ID: 79199 )(2, 0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và a2 +b2+c2 = 5 Chứng minh rằng:
(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) -4
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1:
1 (2,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C )
* TXĐ: D=R\ 1 0.25
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y’= 3 2 0, 1
(x 1) x
Hàm số đồng biến (-;-1) và (-1;+), khoảng nghịch biến (0;2)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
2 1
1
x
x
, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
2 1 lim ; lim
1
x
x
, đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng 0.5
* Bảng biến thiên: 0.5
x -1 +
y’ + +
y
2
+
2 -
* Đồ thị : 0.5 đ
Đồ thị hàm số cắt trục 0x tại điểm A(1
2;0)
Đồ thị hàm số cắt trục 0y tại điểm B(0;-1)
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I(-1;2) làm tâm đối xứng
Hình vẽ
2 Viết phương trình tiếp tuyến
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0;yo) ta có
k = f’(x0) = 2
0
3 (x 1) 0.5 Lại có k.(-1
3)=-1 k = 3 0.5
0 0
0 3
3
2
x x x
Với x0 = 0 suy ra y0 = -1 vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3x -1
Với x0 = -2 suy ra y0 = 5 vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3x +11 0.5
Câu 2 (2,0 điểm)
Trang 32sin ( ) 1 cos 5 cos cos 5
2
x
cos( )x cos( 5 )x
k x
x
là nghiệm của phương trình 1.0
Câu 3: (2,0 điểm)
(5 )
x x hàm số liên tục trên đoạn [0;5]
f(x) =x(5-x)3/2, với mọi x thuộc (0;5) 0.5
f’(x)= 5 x (5-5
2x) 0.5 f’(x) = 0 suy ra x = 5, x = 2 Ta có f(2) = 6 3, f(0) = f(5) = 0 0.5
Vậy
[0;5] (x)
x
Max f
=f(2) = 6 3;
[0;5] (x)
x Min f
= f(0)=0 0.5
Câu 4:(2,0 điểm)
3 3
2log (2x 1) 2log (2x1) 2 0
ĐK: x 1
2
0.25
8log (2x 1) 6log (2x 1) 2 0
0.25
3 2
3
log (2 1) 1
4 log (2 1) 3log (2 1) 1 0 1
log (2 1)
4
x
x
0.25
4
3
2
3 1
2 3
x x
là nghiệm của phương trình đã cho 0.25
b Tính xác suất
16 1820
C
0.25 Gọi A =”2 nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ”
B =”1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ” 0.5
C =” 1nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ”
Thì H A B C = “có nữ và đủ ba bộ môn”
P(H) =
7
0.25
Câu 5 : (2,0 điểm)
Ta có: AB=(-12;-6); BA=(6;-12) 0.5
Trang 4Viết phương trình đường cao BH Ta có đường cao BH đi qua B(-8;2) và nhận
AC=(-6;-18) =-6(1;3) làm véc tơ pháp tuyến 0.5
PT BH: x + 3y + 2 = 0 0.5
Câu 6 : (2,0 điểm)
Gọi O = ACBD Ta có OBAC, SOAC SOB=600 0.25
Xét tam giác SOH vuông tại H: tan 600
.tan 60 3
Ta có tam giác ABC đều SABCD = 2SABC =
2
3 2
a
0.25 Vậy VS.ABCD =
2
3 ABCD 3 2 2
a a
SH S (đvdt) = √
0.25 Tính khoảng cách FB
Trong (SBD) kẻ OE //SH khi đó ta có OC, OD, OE đôi một vuông góc và
OC OD OE 0.5
a d
d O SCD OC OD OE 0.5
Mà d(B, SCD) = 2d(O,SCD) = 6
112
a
Câu 7: (2,0 điểm)
Trang 5Gọi M là trung điểm của BC,
H là trực tâm tam giác ABC,
K là giao điểm của BC và AD
E là giao điểm của BH và AC
Ta kí hiệu n u d; d lần lượt là véc tơ pháp tuyến, véc tơ chỉ phương của đường thẳng d
Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
7
( ; )
2
x
x y
M
x y
y
0.5
AD vuông góc với BC nên n AD u BC=(1;1) mà AD đi qua điểm D suy ra
phương trình của AD: 1(x-4) + 1(y+2) = 0 x+y -2 =0
Do A là giao điểm của AD và Am nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
(1;1)
A
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
(3; 1)
K
Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE, mà KCEBDA( nội tiếp chắn cung
AB) suy ra BHK BDK Vậy K là trung điểm của HD nên H(2;4) 0.25
Do B thuộc BC suy ra B(t;t-4), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C(7-t; 3-t)
HB(t-2;t-8); AC(6-t;2-t) Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
2
7
t
t
0.25
Do t3 suy ra t = 2 suy ra B(2;-2), C(5;1)
Trang 6Suy ra AB: 3x +y – 4 = 0; AC = y -1 = 0
Câu 8 (2,0 điểm)
Điều kiện x 1; y [ 3 3; ]
2 2
0.25
Ta có (1) 3
2y y 2 1 x 2x 1 x 1 x
3
2y y 2(1 x) 1 x 1 x
0.25
Xét hàm số f(t) = 2t3 + t ta có
f’(t) = 6t2 + 1 > 0, t R f(t) đồng biến trên R
1
y
0.25 Thế vào (2) ta được : 2
4x 5 2x 6x 1
2 4x 5 4x 12x 2 ( 4x 5 1) (2x 2)
1 2
4 5 2 3( )
1 2( )
4 5 1 2
1 2
x
x
0.5
Với x = 1- 2 suy ra
4
4
2 2
y x
Câu 9: (2,0 điểm)
Ta có:
(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)-4 (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) 4 (*)
Đặt vế trái của (*) là O
Nếu ab + bc + ca <0 thì P 0 suy ra BĐT đã được chứng minh 0.25
Nếu ab + bc + ca 0, đặt ab + bc + ca =x 0 0.25
a b
0.25
Ta có 4(a2
+b2+c2 – ab-bc-ca) = 2(a-c)2 +2(a-b)2 +2(b-c)2
2(a-c)2 +[(a-b)+(b-c)]2 = 2(a-c)2 + (a-c)2 = 3(a-c)2
Suy ra 4(5-x) 3(a-c)2 , từ đây ta có x5 và a –c 4(5 )
3 x (2) 0.25
4x 3 x 9 x x (3) Theo câu a ta có f(x) = x 3
(5 x) 6 3 với x thuộc đoạn [0;5]
Nên suy ra P 2 3.6 3
9 suy ra P 4
Trang 7Vậy (*) được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0
