Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không quá 9 kg.. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM.. Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy là trọng tâm G của..
Trang 1ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 ( ID: 79148 ) (2 điểm) Cho hàm số (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất
Câu 2 ( ID: 79149 ) (1 điểm) Giải phương trình:
Câu 3 ( ID: 79150 ) (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
và
Câu 4 ( ID: 79151 ) (1 điểm)
a) Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: √ √
b) Cho 8 quả cân trọng lượng lần lượt là: 1 kg, 2 kg ,…, 8 kg Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không quá 9 kg
Câu 5 ( ID: 79152 ) (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều
cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 300 Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy là trọng tâm G của
Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ C đến mặt phẳng
Câu 6 ( ID: 79153 ) (1 điểm) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các
đỉnh Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ (D) đến (P)
Câu 7 ( ID: 79154 ) (1 điểm) Cho có trung điểm cạnh BC là , đường thẳng
chứa đường cao kẻ từ B đi qua điểm và đường thẳng chứa AC đi qua điểm Điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm
Tìm tọa độ đỉnh A của và phương trình đường thẳng BC
Câu 8 ( ID: 79155 ) (1 điểm) Giải hệ phương trình: { √
√ √
Câu 9 ( ID: 79156 ) (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng
minh rằng:
-Hết -
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút
m Câu 1
(2 điểm) Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
Tập xác định: D = R/ {1}
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và Hàm số không có cực trị
0.25
Tính nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng
là đường tiệm cận ngang
Tính ; nên đồ thị hàm số nhận đường
thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng
0.25
b) Tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất
1
x y’
y
+∞
O
2
3
2
3
-2 -1
Trang 3Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C), khi đó
Hai đường tiệm cận của đồ thị là: (d1) x =1, và (d2) y = 1 Ta có khoảng cách từ M đến (d1) là: √
Khoảng cách từ M đến (d2) là:
√
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương và ta có: √ , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi | | [
√
0.25 0.25 0.25 Tương ứng ta có 2 điểm M thỏa mãn là: √ √ và √ √
0.25 Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình:
ĐK: khi đó: PT sin2x.cosx + 2sinx – 3cosx = 0 sin2x.cosx – cosx + 2 sinx – 2cosx = 0 (sin2x – 1).cosx + 2(sinx – cosx) = 0 – (sinx – cosx)2 cosx + 2(sinx – cosx) = 0 (sinx – cosx)(2 – cosx (sinx – cosx)) = 0 0.5 * [ √
[ √
[
√
√ ( )
Thỏa mãn điều kiện => họ nghiệm của phương trình là:
0.5 Câu 3 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: và
(1 điểm) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và được tính theo công thức: ∫ | | ∫ ) |
| ∫ ∫ |
0.25
Trang 4Đặt
Vậy ∫
∫
∫ ∫
[ ] [ ]
+
Tiếp tục tính tích phân ∫
Ta có ∫ ∫
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là
(đvdt) 0.25 Câu 4 (1 điểm) a) Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: √ √
√
√ (√ )
(√ )
(√ ) (√ )
( √ )
√ √ √
0.25 Kết luận: Phần thực của số phức z là: √ Phần ảo của số phức z là: √ √
0.25
b) Cho 8 quả cân trọng lượng lần lượt là: 1 kg, 2 kg ,…, 8 kg Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không quá 9 kg
Gọi A là biến cố chọn được 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá
9 kg
Suy ra A có các trường hợp sau:
A = { (1, 2, 3); (1, 2, 4); (1, 2, 5); (1, 2, 6); (1, 3, 4); (1, 3, 5); (2, 3, 4)}
0.25
Trang 5=>
Vậy xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chon không quá 9 kg là:
0.25
Câu 5
(1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh
bên tạo với đáy một góc bằng 300
Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy là
trọng tâm G của Tính thể tích khối chóp và khoảng cách
từ C đến mặt phẳng
Hình vẽ: Gọi M’ là trung điểm của B’C’, sao cho
Kẻ
Ta có AHGI là hình bình hành nên
Hơn nữa Gọi I là trung điểm của AM G là trọng tâm của
Nên H là trung điểm của
0.25 Ta có: √ √ √ 0.25 √ √
Từ đó: √ √ (đvdt) Ta có:
Từ H kẻ , Khi đó
Ta có: √ √
Tam giác AHT vuông tại H suy ra √ √ √
0.25 Suy ra diện tích của tam giác là: √ (đvdt) Ta có
√
0.25
Câu 6 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ (D) đến (P)
(1 điểm) Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau: 0.25
A
I
C
M
B
C’
M’
B’
T
Trang 6Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I
của CD
Trường hợp 1: (P) qua A, B và song song với CD
Vec tơ pháp tuyến của (P): ⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
Phương trình (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0
0.25
Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I
của CD
I (1; 1; 1) => ⃗⃗⃗⃗ ; vec tơ pháp tuyến của (P) : ⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ]
Phương trình (P): 2x + 3z – 5 = 0
Kết luận: Vậy (P): 4x + 2y + 7z – 15 = 0 hoặc (P): 2x + 3z – 5 = 0
0.5
Câu 7
(1 điểm)
Cho có trung điểm cạnh BC là , đường thẳng chứa đường
cao kẻ từ B đi qua điểm và đường thẳng chứa AC đi qua điểm
Điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp
là điểm Tìm tọa độ đỉnh A của và phương trình đường
thẳng BC
Hình vẽ:
Gọi H là trực tâm ΔABC thì có BHCD là hình bình hành, nên M là trung
điểm HD => H (2; 0)
BH chứa nên (BH):
0.25
Do DC // BH và D (4; -2) thuộc DC nên (DC): x – y – 6 = 0
Do BH AC và F (1; 3) thuộc AC nên (AC): x + y – 4 = 0 0.25
Do nên tọa độ C là nghiệm của hệ {
Tìm được C (5; -1)
M (3; -1) là trung điểm của BC nên B (1; -1) => ⃗⃗⃗⃗⃗
0.25
[ T y p e a q u o t e
f r o m
t h e
d o c
[ T y p e a
q u o t e
f r o m
t h e d o c u m e n t
[ T y p e a
q u o t e f r o m
t h e d o c u m
[ T y p e a q u o t e f r o m
t h e
d o c u m e n t
[ T y p e a q u o t e f r o m
t h
D (4;-2)
B
H
C
A
E(-1;-3)
M (3;-1)
F (1; 3)
I
Trang 7Từ đây ta suy ra phương trình đường thẳng BC là: y = -1
Do H là trực tâm ΔABC nên AH BC x – 2 = 0
Do A = AH ∩ AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ { =>
A (2;2) Kết luận: A (2; 2), phương trình BC: y = -1 0.25 Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình: { √
√ √
Điều kiện: {
{
Ta có: √
√
√ √
√ ) Với hàm số
0.25 Xét hàm số với [ có
Hàm số đồng biến trên [
Nên từ √ => √ √
0.25 Từ √ √
(√ )
√
(√ )
√
(√ )
Với điều kiện thì √
=>PT (*) có nghiệm duy nhất là y =1 Với y =1 => x = 3 Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:
0.5 Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
Ta xét hàm số: ] ta có
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1 =>Xét
0.25 Có phương trình tiếp tuyến tại t =1 là:
Nhận thấy:
0.5
Trang 8
= ]
=> ]
=>VT
=>Điều phải chứng minh
0.25
