Đề thi thử THPT môn Toán 2015 số 16

Chứng minh rằng khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 cùng với điểm C-1;2 tạo thành tan giác vuông tại C.. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra khác màu.. Tìm m để phương trình có 2

Câu 1 ( ID: 81260 ) (4 điểm ) Cho hàm số y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Xác định các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 2 Chứng minh rằng

khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với điểm C(-1;2) tạo thành tan giác

vuông tại C

Câu 2 (ID: 81261 ) (2 điểm )

1 Giải phương trình √

2 Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp gồm 5 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh Tính xác suất để

2 quả cầu lấy ra khác màu

Câu 3 ( ID: 81262 ) (2 điểm ) Tính tích phân ∫

Câu 4 ( ID: 81263 ) (2 điểm ) Tìm m để phương trình

có 2 nghiệm thỏa mãn

Câu 5 ( ID: 81265 )(2 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,

SB = 2a , SA= SC Cạnh bên SB tạo với đáy một góc Tính thể tích khối chóp và góc giữa

hai đường thẳng SA , BC

Câu 6 ( ID: 81267 ) ( 2 điểm ) Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm M(3;4;0) , N(3;0;5)

, P(0;4;5) lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC , BC của tam giác ABC

1 Chứng minh rằng tứ diện OMNP có các cặp cạnh đối diện tương ứng bằng nhau

2 Tính thể tích khối tứ diện OABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Câu 7 ( ID: 81268 )( 2 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh

A(-4;2) , B(3;-3) , đường phân giác trong kẻ từ đỉnh C của tam giác có phương trình là d : 2x – y + 1

= 0 Tìm tọa độ đỉnh C và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Câu 8 (ID: 81270 ) ( 2 điểm ) Giải hệ phương trình {( √ )( √ )

√ √

Câu 9 ( ID: 81271 ) (2 điểm ) Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn { Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức : Q=√ √

√

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 – NĂM 2015 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN – ĐỐNG ĐA Môn thi: Toán

Thời gian làm bài : 180 phút

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT LÊN QUÝ ĐÔN – ĐỐNG ĐA – HÀ NỘI Câu 1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 1

m = 1 : y = (0,25)

TXĐ : D = R

+ (0,25)

+ [ (0,25)

+ = - ; ; đồ thị không có tiệm cận (0,25)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- và ( nghịch biến trên khoảng (2;0) , các điểm CĐ A(-2;3) , CT B(0;-1)

Vẽ đồ thị( tự vẽ )

y’’ = 6x + 6 ; y’’ = 0  x = -1 => y = 1

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng

2

Có (0,25)

(0,25)

Hàm số đạt cực trị tại x = 2 (0,25)

Thử lại với m = 7 , hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (0,25)

Với m = 7 hàm số có dạng (0,25)

Tìm được các điểm cực trị A(0 ;5) ; B(2 ;1) (0,25)

Tính độ dài các đoạn AB =√ , BC = √ , CA = (0,25)

x

y’

y

-2 0

3

-1 -∞

+∞

Thấy tam giác ABC vuông tại C (0,25)

Câu 2

1 Giải phương trình √

√ = 0 Điều kiện tanx √ (*) (0,25)

Với điều kiện (*) , pt  √ sin2x – cos2x – 2sinx = 0  √ sin2x – cos2x = sinx (0,25)

 sin(2x = sinx  [

với k

Kiểm tra các nghiệm đều thỏa mãn (*) Vậy pt  [

, k (0.25)

2 Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp gồm 5 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh

Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra khác màu

+ Gọi A là biến cố để 2 quả cầu lấy ra khác màu (0,25)

+ Tính n( = (0,25)

+ Công thức P(A) = (0,25)

+ Tính P(A) = và kết luận (0,25)

Câu 3 Tính tích phân ∫

+ Có ∫ = ∫ ∫ (1) (0,5)

+ Suy ra J ∫ = 0 (2) ( Phần này hs phải chứng minh rõ hơn ) (0.5)

+ Có K ∫ = ∫ (0,25)

+ Tính được K =∫ (0,25)

+ Thế cận đúng và tính ra kết quả K = (3) (0,25)

+ Thay (2) và (3) vào (1) được I = (0,25)

Câu 4

Đưa về dạng (0,25)

Đặt t = , t , pt trở thành 2 (0,25)

Biến đổi điều kiện  (0,5)

Điều kiện => = 5 (0,25)

 m = 5 (0,25)

Thử lại với m = 5 pt ẩn t có 2 nghiệm thỏa mãn (0,25)

Kết luận m = 5

Câu 5

Gọi O là trung điểm BC Chứng minh được AC vuông góc với (SBO) (0,25)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BO Khi đó SH vuông góc với (ABC) (0,25)

Chỉ ra góc SBH = và tính SH = a (0,25)

Tính √ ; V √ (0,25)

Tính được HB = a√ = 2OB (0,25)

=> tứ giác ABCH là hình thoi (0,25)

Ta có BC // AH => ( ̂ ) ( ̂ ) ̂ (0,25)

Tính được góc SAH = (0,25)

Câu 6

1 Chứng minh rằng tứ diện OMNP có các cặp cạnh đối diện tương ứng bằng nhau

Tính được OM , ON , OP (0,25)

Tính được MN , NP , PM (0,25)

Chứng minh 4 điểm O,M,N,P không đồng phẳng (0,25)

Kết luận (0,25)

2 Tính thể tích khối tứ diện OABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Tìm được toạ độ các điểm A(6;0;0) , B(0;8;0), C(0;0;10) => OA, OB, OC đôi một vuông góc (0,25)

Có OA = 6 ,OB = 8, OC = 10 V OA.OB.OC = 80 (đvtt) (0,25)

( với h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)) (0,25)

Thay số được h

√ (0,25)

Câu 7

Tìm được điểm đối xứng với A qua d là điểm ( ) (0,25)

d là đường phân giác trong xuất phát từ C nên BC là đường thẳng đi qua A’ và B

=> BC: 7x – y – 24 = 0 (0,25)

C = d BC nên tọa độ C là nghiệm của hệ { (0,25)

Giải hệ tìm được C(5;11) (0,25)

Tính được khoảng cách d(A;BC) =

√ , BC = 10 √ (0,25) Tính diện tích (0,25)

Tính AB √ ,AC = √ (0,25)

Tính r Thay số vào được r =

√ √ (0,25)

Câu 8

{( √ ) ( √ ) √ √ Nhận xét:

(√ ) ( √ )

nên (1)  √ √ (0,25)

Xét hàm f(t) = √ Có f’(t) = 1 +

√ =

√

√

√ , (0,25)

 f(t) là hàm đồng biến Mà ( 1)  √ √ –

 f(x) = f(-y) (0,25)

 x = -y (0,25)

Thay y = -x vào phương trình (2) ta được √ √

√ (0,25)

Ta có :{ (0,25)

Cộng vế với vế ta được : 5t2 -32t + 51 = 0  [ (0,25 )

Từ đó tính được : [ √

Vậy hệ có nghiệm là √ √ ( 0,25)

Câu 9 :

Q = √ + √ +

√

Đưa biểu thức về dạng :

Q = √ √ + √ (0,25) Trên mặt phẳng tọa độ xét 2 đường thẳng : { (0,25 )

Lấy các điểm cố định M(-2 ;4) ; N(3 ;-1) và các điểm chuyển động P(a ;b) ; F(c ;d)

Khi đó Q = MP +PF +FN (0,25)

Q nhỏ nhất  M, P, F, N thẳng hàng  P, F tương ứng là giao điểm của MN với d1 ; d2 (0,25)

Viết phương trình đường thẳng MN : x + y – 2 = 0 (0,25 )

Tìm giao điểm của MN lần lượt với d1 ; d2 được P(-1 ;3) ; F(1 ;1) (0,25)

Kết luận minQ = MN = 5√ , đạt được khi (a,b,c,d) = (-1 ;3 ;1 ;1) (0,25)