Tính thể tích khối chóp C.ABNM theo a.. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 138 )
Bài 1(2 điểm):
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =(| | 1) (| | 1)x + 2 x − 2
2) Tìm trên trục hoành những điểm mà từ điểm đó kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến (C)
Bài 2(3 điểm):
1) Giải hệ phương trình:
2 2 1
2 2
x y
( x y R , ∈ ) 2) Giải phương trình: sin tan2 x x + cos2 x = cos 2 (2 tan ) x − x , ( với x R ∈ )
3) Tìm m thực để phương trình sau có nghiệm thực trong đoạn 5
;4 2
: 1/ 22 2 1/ 2 1
2
x
−
Bài 3(1 điểm):
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a; các cạnh SA SB SC = = = 3 a, (a > 0) Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm M, N sao cho SM = BN = a Tính thể tích khối chóp
C.ABNM theo a
Bài 4(2 điểm):
1) Tính tích phân:
1
0
.ln(1 )
∫
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất.
Bài 5(1 điểm):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1:
1
1 2 ;( )
1 2
= +
= + ∈
= +
,đường thẳng d2 là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0 Gọi I là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1và
d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I
Bài 6(1 điểm):
Cho x, y, z≥ 0 và x2+ y2 + z2 = 3 Chứng minh:
3 2 2
Hết
Đáp Án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 138)
Bài 1:
Trang 21
điểm
*Có hàm số : y=(| | 1) (| | 1)x + 2 x − 2 ⇔ y = x4 - 2x2 + 1 ( C)
*TXĐ: R; lim ; lim
→−∞ = +∞ →+∞ = +∞; y ' 4 = x3 − 4 ; ' 0 x y = ⇔ = x 0; x = ± 1
2)
1
điểm
*Gọi A(a:0) ∈ Ox mà từ A kẻ được đến ( C) ba tiếp tuyến phân biệt
*Đường thẳng d đi qua A với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a)
*d là tt của ( C) khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:
4 2 3
( )
I
0.25
0
1 0
k
x
=
⇔ − =
2 2
( )
x x k
B
x ax
0.25
*Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1: y = 0 Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp
tuyến pb tới (C) cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm pb (x;k) với x khác 1± , tức là
phương trình (1) phải có 2 nghiếm pb x khác 1±
0.25
Bài 2:
1)
1
điểm
*Hệ
( 1)( 1)[( 1) ( 1)] 6
1 1
u x
v y
= −
= −
, thu được hệ
2 2 5
uv u v
0.25
* Giải ra được: 3
u v
u v
+ =
; * Giải ra được:
1 1
1 2
u x
v y
= − =
= − =
1 2
1 1
u x
v y
= − =
= − =
0.50
3 2
x
y
=
⇒ =
hoặc
2 3
x y
=
=
0.25
2)
1
điểm
* ĐK:cosx≠ 0 PT ⇔ sin3 x + cos3 x = cos 2 (2 cos x x − sin ) x 0.25 (sin x cos ).cos (2sin x x x cos ) 0 x
sin x cos x 0; 2sin x cos x 0
1
3)
1
điểm
*PT ⇔ ( m − 1).log (1/ 22 x − − 2) ( m − 5) log (1/ 2 x − + − = 2) m 1 0
5
2
t= x− x∈ ⇒ ∈ −t
0.25
Thu được pt: ( ) 22 5 1
1
t t
m f t
t t
− +
− + ;
2
t
t t
−
− +
0.25
* Lập BBT của f(t) trên đoạn [−1;1], thấy f(t) liên tục và NB trên đoạn [−1;1] , nên
7 3;
3
thỏa mãn đề bài.
0.50
Bài 3:
Trang 3điểm
* Chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh S là trung điểm H của cạnh AC 0.25
* Tính được
3
34 12
S ABC
a
* CM được . 2 .
9
S MNC S ABC
3 C.ABNM
.
9 S ABC 108
a
Bài 4:
1)
1
điểm
* Tính
1
0 ln(1 )
I =∫x +x dx
* Đặt
2
3
2
1 3
x
=
= +
=
1 1 4
2
0 0
.ln(1 )
x
x
+
∫
0.25
* Tính
2
x
π
.ln 2
2)
1
điểm
* Từ gt ta có P a ( ;0); (0; ), Q b a > 0, b > 0. * d có pt: x y 1
d qua A(3; 1) nên 3 1 3
a b + = ⇒ ≥ ab ⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
2
a b
=
= ⇒ =
0.25
3 2
OPQ
S∆ = a b ≥ Nên S∆OPQnhỏ nhất (= 3) khi và chỉ khi 6
2
a b
=
=
0.25
* Vậy d có pt: 1
6 2
Bài 5:
1)
1
điểm * d2 có pt:
1
1 1 1
3 2
x t
=
= −
* Tìm được I(1;1;1)
0.25
Trang 4Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(t1;-1 +2 t1;3 -2 t1) ,
( đk: B khác I, C khác I ⇒ ≠ t 0, t1 ≠ 1)
*Tam giác BIC cân đỉnh I (1)
IB IC
AB AC
=
0.25
1
1
2
t t
=
0.25
* Từ đó có pt d3 :
2
1 2
x
=
= +
0.25
Bài 6:
1)
1
điểm
Ta có: VT + 3 =
0.25
VT
+
1
4 2
+
1
4 2
+
0.25
2 2 2
6 3
6 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2
( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)
0.25