www.facebook.com/hocthemtoan
Trang 1www.facebook.com/hocthemtoan
Thầy Huy: 0968 64 65 97
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 17
NĂM HỌC 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 180 phút
A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 3
2
5 3
2
2 2
2 2
y x y
x
y x y
x
2 Giải phương trình 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
1
0
2
1
dx
Câu IV (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = 60 0
, BSC = 900
,
CSA = 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc
) 1 2 (
1 )
1 2 (
1 )
1 2 (
1
a
1
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)
Phần 1:
Câu VI a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (): x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; - 1),
B(2;1) Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên () Tịm tọa độ các điểm C, D
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng () có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = 2 Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên () sao cho:
OM + AN = MN Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một mặt cầu cố định
Câu VII a (1 điểm) Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0, x R
Phần 2:
Câu VI b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G(
3
1
; 3
5
), đường tròn đi qua trung điểm các cạnh có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y = 0 Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng ():
3
6 2
1 1
x
Tìm tọa độ của điểm M trên () sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất
Câu VII b (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
3
1
z
z
= 1,
i z
i z
2
= 2
-Hết -
Trang 2HƯỚNG DẪN ĐỀ 17 Câu I:
1 Tự làm
2 Gọi M(a;b) là điểm cần tìm M thuộc (d) nên b = -3a + 2
Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x0;y0) là: y = (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 +2
Tiếp tuyến đi qua M(a;b) - 3a + 2 = (3x02 – 3)( a – x0) + x03 – 3x0 + 2 2x03 – 3ax02 = 0
x0 = 0 hoặc x0 = 3a/2
Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k1 = f ’(0) = -3 và k2 =f ‘(3a/2) =
4
27a2
- 3
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau k1.k2 = - 1 a2 = 40/81 a =
9
10 2
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M(
9
10 2
3
10 2
Câu II:
1 Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương:
2
3
2
7 3
2
y
x
y x
2
7 3 ) 2
3 ( 2 2 3
2 2
x x
x y
…
) 20
13
; 20
17 ( )
; (
) 1
; 2
1 ( )
; (
y x
y x
2 Phương trình ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0
( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0
tan 1;cos 1
2
x k x l k l
( k,l Z)
Câu III:
Đặt x = sint với t ]
2
; 2 [
Ta có:dx = costdt và 1x2 1sin2t cos2t =|cost| = cost
Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t =
2
Từ đó:
2
0 1
0 2 1 cos
cos 1
1
t
tdt x
dx
2
0
2 2
) 2 / ( cos 2
1 ) 2 / ( cos 2
dt t
s
t s
=
2
0 2 2
0 cos ( /2)
) 2 / (
t
t d
dt =( t – tan (t/2) ) | 2
0
= 2
-1
Câu IV: Tự vẽ hình
Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a Tam giác SAB’ đều cạnh
a nên AB’ = a Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên B’C’ = a 2 Tam giác SC’A cân tại S có C’SA
= 1200 nên C’A = a 3 Suy ra AB’2 + B’C’2 = C’A2 hay tam giác AB’C’ vuông tại B’ diện tích tam giác AB’C’ =
2
2
2
a
Hạ SH mp(AB’C’) HA = HB’ =HC’ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ H là trung điểm của C’A SH = SA Sin 300 = a/2
Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ =
12
2 2
2
2 3
1 a2 a a3
Áp dụng công thức:
'
'
'
.
SC SB
SB V
V
C AB S
ABC S
Tính được: VS.ABC =
12
2
abc
Câu V. Đặt x =
a
1 , y =
b
1 , z =
c
1
ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2
Ta có: a(2a – 1)2 = 1(21)2
x
2
) (
x
z
y
Từ đó:
Trang 3: P = 2 2 2
) 1 2 (
1 )
1 2 (
1 )
1 2 (
1
a
z x
z
y z
y
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: y z y z x x
z y
x
4
3 64
3 8 8
) (
3 3 2
3
x z
y
4
3 8 8
)
3
y x y x y x
z
4
3 8 8
)
3
Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P
4
1 (x + y + z) =
2
1 Đẳng thức xảy ra x = y = z = 2/3 a = b = c = 3/2
Câu VIa:
1 Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi.Vì I nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1)
Ta có: AI (a;b+1) và BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI BI suy ra :
a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2) Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a2 – 2a = 0 a = 0 hoặc a = 2
TH1: Với a = 0 thì I(0;1) Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung điểm,
ta có:
2 2
0 2
A I C
A I C
y y y
x x x
và
1 2
2 2
B I D
B I D
y y y
x x x
; C(0;2) và D(-2;1)
TH2: Với a = 2 thì I(2;-1) Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3)
Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) hoặc C(4;-1) và D(2;-3)
2 Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng và Ox (là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau) Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA khi và chỉ khi OM + AN = MN Vậy khi OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA
cố định (Phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + ( z – 1)2 = 1)
Câu VIIa: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0 3x > (1 –a).( 2x +1)
1 2
3
x
x
> 1 – a (*)
Xét hàm số: f(x) =
1 2
3
x
x
với x R Ta có: f ‘ (x) = 2
) 1 2 (
2 ln 3 2 3 ln )
1 2 (
3
x
x x x
x
> 0 với mọi x
Hàm số luôn đồng biến., mà:
xlim f(x) = 0 Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x 1 – a 0 a 1
Vậy đáp số: a 1