Đề thi thử đại học môn Toán số 47

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7 điểm Cõu I.. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng BDMN.. Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần phần 1 hoặc 2 1.Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu VIa.. The

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Mụn thi : TO N ( Á ĐỀ 47)

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (C m ); ( m là tham số)

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2 Xỏc định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E sao cho cỏc tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuụng gúc với nhau

Cõu II (2 điểm)

1.Giải phương trỡnh:

x

x x

x

3 2

2

cos

1 cos cos

tan 2

2 Giải hệ phương trỡnh:

1 4

 , ( ,x y∈R )

Cõu III (1 điểm)

Tớnh tớch phõn:

3 2 2 1

log

1 3ln

e

x

=

+

Cõu IV (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3

2

a

và góc BAD

= 600 Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN

Cõu V (1 điểm) Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c+ + =1

Chứng minh rằng: 2 7

27

ab bc ca+ + − abc≤ .

B PHẦN RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trỡnh Chuẩn

Cõu VIa ( 2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam

giỏc ABC

2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

Cõu VIIa (1 điểm) Cho z , 1 z là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 2 2z2−4z+ =11 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức

2

z z

+

2 Theo chương trỡnh Nõng cao

Cõu VIb ( 2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0, ' :3∆ x−4y+ =10 0và điểm

A(-2 ; 1) Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xỳc với đường thẳng ∆’

2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Cõu VIIb (1 điểm)

Giải hệ phương trỡnh :

2

2log ( 2 2) log ( 2 1) 6 log ( 5) log ( 4) = 1



-ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Môn thi : TO N ( Á ĐỀ 47 )

2 PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔ m = 0, f(x) = 0 0.25

Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và







0.25

Giải ra ta có ĐS: m = 9 65

8

II 1 ĐK cosx ≠ 0, pt được đưa về cos 2x− tan 2x= + 1 cosx− + (1 tan 2x) ⇔ 2cos 2x− cos -1 0x = 0.5

Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:

x k= π x= ± π +k π x k= π

2

0

y≠ , ta có:

2

2

1

4

1 4

x

x y y

x y

y





0.25

Đặt

,

x

y

+

+) Với v=3,u=1ta có hệ:

2, 5

+) Với v= −5,u=9ta có hệ:

vô nghiệm

KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −

0.25

2

3

ln

ln 2

x

x

Đặt 1 3ln2 ln2 1( 2 1) ln 1

dx

x

2

3

2 2

2

1 1

1 3ln

t

−

+

2 3

1

9 ln 2 3t t 27 ln 2

C/m AC’⊥ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN Suy ra AC’⊥ (BDMN) 0.25 Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’ Nếu dùng cách hiệu các thể 0.25

tớch thỡ phải chỉ ra cỏch tớnh.

Tớnh đỳng diện tớch hỡnh thang BDMN Suy ra thể tớch cần tỡm là:

3

3 16

a

V Ta cú ab bc ca+ + −2abc a b c= ( + + −) (1 2 )a bc a= (1− + −a) (1 2 )a bc Đặt t= bc thỡ ta

cú

( ) (1 ) 0

≤ = ≤ = Xột hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trờn đoạn

2

0;

4

a

0.5

Cú f(0) = a(1 – a) ( 1 )2 1 7

a+ −a

2 2

(2 )

a

0,25

27

ab bc ca+ + − abc≤ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 0.25 VIa 1 Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC

Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C’ là trung điểm của AB nên:

2 5 11 2 2

m

5 41 ( ; )

6 6

I

⇒ = − Phơng trình BC: 3x – 3y + 23=0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;

x y

C

− + =

0.5

Tọa độ của B = 19 4;

3 3

2 Ta cú: uuurAB=(2; 2; 2),− uuurAC=(0; 2; 2). Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của

Vectơ phỏp tuyến của mp(ABC) là nr=uuur uuurAB AC, =(8; 4; 4).− Suy ra (ABC):

Giải hệ:

Suy ra tõm đường trũn là (0; 2;1).I 0.25

( 1 0) (0 2) (1 1) 5

VII

a Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 2

Suy ra

2 2

Đo đú

2

11

4

z z

+

= =

VIb 1 Tõm I của đường trũn thuộc ∆ nờn I(-3t – 8; t) 0.25

Theo yc thỡ k/c từ I đến ∆’ bằng k/c IA nờn ta cú

3( 3 8) 4 10

( 3 8 2) ( 1)

3 4

− − − +

+

0.25

Khi đú I(1; -3), R = 5 và pt cần tỡm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 0.25

2 Ta có uuurAB=(2; 3; 1),− − uuurAC= − − − ⇒ =( 2; 1; 1) nr (2; 4; 8)− là 1 vtpt của (ABC) 0.25 Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25

M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25 VII

b + Điều kiện:

2

( )

0 1 1, 0 2 1

I

 < − ≠ < + ≠

2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1) ( )

log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2).

I

Đặt log2+y(1− =x) t thì (1) trở thành: 1 2

2 0 ( 1) 0 1

t

Với t=1 ta có: 1− = + ⇔ = − −x y 2 y x 1 (3) Thế vào (2) ta có:

2

0 2

x x

=



⇔  = − Suy ra: 1

1

y y

= −



 =

0.25

+ Kiểm tra thấy chỉ có x= −2,y=1thoả mãn điều kiện trên

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x= −2,y=1 0.25

A B

D P

M N

Q