Đề thi thử đại học môn Toán số 46

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tìm trên C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của C nhỏ nhất.. Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Mụn thi : TOÁN ( ĐỀ 46 )

Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

Câu II (2 điểm)

1 Giải hệ phơng trình: 1 1 4

 + + − =

 + + + =



2 Giải phơng trình: 1 2(cos sin )

−

=

Câu III (1 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2

3

R

M là một

điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

Câu IV (1 điểm)

Tính tích phân: I =

1

2

1 1 1

dx

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

1 1 1 1

Phần riêng(3,0 điểm).Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A.Theo chơng trình Chuẩn

Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích

bằng 3

2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆ : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7

Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: 1 2 1

log x + > 1 log (ax a+ )

B.Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1

x + y = và đờng thẳng ∆ :3x + 4y =12 Từ

điểm M bất kì trên ∆ kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số 2 4 3

2

y x

= + có đồ thị (C).Giả sử đờng thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.

Câu VIII.b (1 điểm) Giải phơng trình: ( )log 2 ( )log 2 2

3 1 + x+x 3 1 − x = + 1 x

- h

-đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.

Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 46 )

m

2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm

0 0

1

x y x

+

= +

Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì

MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0

0

1

x x

+ + - 2| = | 0

1 1

x + |

Theo Cauchy thì MA + MB ≥ 2 0

0

1

x 1

1

x

+

+ =2

⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần tìm

là (0;1) và (-2;3)

0,25 0,25 0,25 0,25

(2,0 điểm)

Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ

 + + + + − + + =

 + − + + + − − =



Đặt u= x+ +1 x+6, v = y− + 1 y+ 4 Ta có hệ

10

5 5 2u v

u v



 + =

 + =





⇒{ 5

5

u

v=

5

x

y=

= là nghiệm của hệ

0,25 0,25 0,25 0,25

2 (1,0 điểm) Giải phơng trình

Phơng trình tơng đơng

1

−

=

⇒ cosx = 2

± +

Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2

− +

0,25 0,25

0,25 0,25

H I

M A

3

R

,

0,25

0,25

SM = SO2 +OM2 = 2R⇒SH = R hay H là trung điểm của SM

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1

2 R , (không

đổi)

⇒ V BAHM lớn nhất khi dt( ∆ MAB) lớn nhất ⇒ M là điểm giữa của cung AB Khi đó V BAHM = 3 3

6 R (đvtt)

0,5

2

2

1

u

2

1

2

du

u I

 + 

2 1 2 1

du

du

0,25 0,25 0,25 0,25

Câu V

a b 1 ab a b c ≤

c 1 bc a b c

3 3

a 1 ca a b c

x y + y z +z x

1

a + b + 1+ 3 3

1

c 1

1

a 1

≤ (a b c1 ) ab bc ca1 1 1

+ +  =(a b c1 ) (c a b+ + =) 1

0,25

0,5

0,25

(1,0 điểm)

2

2

2

t− t− − = 1

Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)

0,25

0,5 0,25

(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là abcdef

Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số

Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số

Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số

0,25 0,5 0,25

(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0

1

x

a

x + <

+ Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có 2 1

1

x

a

x + >

+ Xét hàm số y =

2 1 1

x x

+ + với x ≠- 1 y’ = 2 12

x

− + + =0 khi x=1 a>

2

0,25 0,25 0,25 0,25

x x + y y = (1)Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt

0 0 1

⇒ 4 0 4 0

4

4

4x y− =y 4 0 x y= 1

Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)

0,25

0,5

(1,0 điểm)

y = kx + 1 cắt (C): 2 4 3

2

y x

= + Ta có pt

2 4 3 2

x

+ = kx + 1 có 2 nghiệm phân biệt 1

k

2 3

2 2 1

k x k

y kx

+

 =

 = +



2

y

x

⇒ =

2

y

x

=

−

0,25 0,5 0,25

Đặt( )log 2

3 1 + x =u, ( )log 2

3 1 − x =v ta có pt

u +uv 2 = 1 + u 2 v 2 ⇔ (uv 2 -1)(u – 1) = 0

2 1 1

u

uv=



⇔  = x =1

0,25 0,5 0,25