Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu của một môđun.. Nội dung thứ hai là ứng dụng của môđun nội xạ và mở rộng cốt y

Trờng đại học vinh Khoa Toán

Vinh 2010

Mục lục

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chơng 1 Kiến thức cơ sở 4

1.1 Đồng cấu môđun 4

1.2 Môđun nội xạ 5

1.3 Bổ đề Zorn 5

Chơng 2 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 6

2.1 Mở rộng cốt yếu 6

2.2 Bao nội xạ 14

Kết luận 21

Tài liệu tham khảo 22

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra bởi R Bayer năm 1940 và sau đó là các khái niệm khác liên quan như bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ, đối sinh nội xạ, Chúng có nhiều ứng dụng đối với ngành Đại số nói chung và Đại số giao hoán nói riêng

Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích dược, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cấu trúc của chúng

Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại Hiện nay người

ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu được nhiều kết quả trong việc nghiên cứu đặc trưng vành Trong phạm vi khóa luận này chúng tôi đi sâu nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài : “Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ”

Khoá luận được chia làm 2 chương :

Chương 1 : Kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái

niệm cơ bản liên quan đến phần nội dung chính của khoá luận Cụ thể, chúng tôi tóm các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản của môđun và môđun nội xạ

Chương 2 : Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ Trong chương này chúng tôi đề cập

đến hai nội dung chính Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu của một môđun Nội dung thứ hai là ứng dụng của môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của một môđun để định nghĩa bao nội xạ của môđun và chứng minh một số tính chất của bao nội xạ

Trong toàn bộ khóa luận vành luôn được giả thiết là giao hoán, có đơn vị

Khoá luận được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của cô giáo, Tiến sỹ Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành khoá luận

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo, các cán bộ trong Khoa Toán, đặc biệt

là các thầy cô tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đõ tôi trong suốt quá trình học tập Xin cảm ơn các bạn sinh viên ngành Toán đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành khoá luận

Do trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận đựơc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 05 năm 2010

Tác giả.

Chơng 1 Kiến thức cơ sở

Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và kết quả cần dùng cho các chứng minh ở chơng 2

1.1 Đồng cấu môđun

1.1.1 Định nghĩa Cho M và N là hai R-môđun Một ánh xạ f : M →N đợc gọi là

đồng cấu môđun, hay còn gọi là R- đồng cấu, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau đối

với mọi phần tử u, v ∈ M và x ∈ R:

f(u+v) = f(u) + f(v)

f(xu) = xf(u)

1.1.2 Chú ý (i) Trong Định nghĩa trên M, N đều là môđun trên cùng 1 vành

(ii) Nếu M ≡ N thì f đợc gọi là tự đồng cấu

(iii) f đợc gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu môđun, nếu đồng cấu f tơng ứng là

đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau đợc ký hiệu

là M ≅N.

(iv) ảnh: Im f = {f(u) | u ∈ M}= f(M)

Hạt nhân: Ker f = {u∈M | f(u) = 0N} = f-1(0N)

1.1.3 Định lý Mỗi đồng cấu R- môđun đều có thể phân tích đợc thành tích của một

toàn cấu và một đơn cấu nghĩa là cho f: M →N là một đồng cấu R-môđun Khi

đó ta có biểu đồ giao hoán sau đây: f = f o p

f

M N p

f

M/ Kerf Trong đó p : M → M/ Kerf

x a x + Kerf

là toàn cấu chính tắc

và f : M/ Ker f  →N là đồng cấu cảm sinh của f.

1.1.4 Định lý Cho M là một R - môđun, N và P là hai môđun con của M sao cho

1.2.1 Định nghĩa Một R-môđun E đợc gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính chất mở rộng

biểu đồ sau (với dòng trên khớp) là giao hoán

Khi đó ta nói h là một mở rộng của f

1.2.2 Định lý Mỗi R- môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một R-môđun nội

xạ.

1.2.3 Chú ý Cho M là một R- môđun tuỳ ý, theo Định lý 1.2.2 tồn tại đơn cấu

xạ Vậy Định lý 1.2.2 có thể phát biểu lại dới dạng hay đợc sử dụng nh sau

Mỗi R- môđun luôn có ít nhất một mở rộng nội xạ.

1.3 Bổ đề Zorn Nếu mỗi xích của một tập hợp đợc sắp thứ tự X đều có cận trên,

thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại.

Chơng 2

Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 2.1 Mở rộng cốt yếu

2.1.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun E đợc gọi là mở rộng cốt yếu của một

E luôn có N I M ≠ 0

(ii) Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M đợc gọi là mở rộng cốt yếu cực đại của

M, nếu mọi mở rộng thực sự E’ của E không thể là mở rộng cốt yếu của M

2.1.2 Ví dụ Xét Ô là Â - môđun, Â là Â - môđun, khi đó Ô là mở rộng cốt yếu của Â

2.1.3 Bổ đề Mỗi môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó Ngoài ra khái

niệm mở rộng cốt yếu có tính bắc cầu: Nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và M

là mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của N.

Chứng minh Rõ ràng mỗi môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó.

Nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và M là một mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của N

môđun con của E)

(QIN)IM≠0 do đó QIN≠0.

Vậy E là một mở rộng cốt yếu của N W

2.1.4 Bổ đề E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với mỗi phần

tử 0≠x∈E luôn tồn tại phần tử a∈R sao cho 0≠ax∈M.

Chứng minh Giả sử E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M, x≠0 và x∈E thì khi

cho 0≠ax∈M thì do ax∈B nên BIM≠0.

2.1.5 Hệ quả E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi RxIM≠0 với mọi x∈E.

Chứng minh Trớc tiên ta có nếu E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M với 0≠x

0 nên tồn tại x∈X mà x≠0 Suy ra 0=MIX⊃RxIX≠0 vô lý

2.1.6 Bổ đề Cho M⊆E và M’⊆E ’là những R-môđun Giả sử ta có biểu đồ sau là giao hoán

Mj→E

f f'

M’→j' E’

Trong đó j và j’ là các phép nhúng tự nhiên Khi đó dễ dàng suy ra đợc rằng, nếu E

là mở rộng cốt yếu của M thì E’ cũng là mở rộng cốt yếu của M’.

Chứng minh Giả sử 0≠x’∈E’ ta sẽ chứng minh tồn tại phần tử a∈R sao cho 0≠a.x’

Thật vậy, Vì f ’ là đẳng cấu môđun từ E vào E’ nên tồn tại y∈E, y≠0

M

Ta có f ’o j ( )ay =f ’( j ( )ay )=f ’( )ay = a f ’( )y = a.x’

Vì biểu đồ trên là giao hoán nên j’o f = f ’o j

⇒ j’o f ( )ay = f ’o j ( )ay = ax’

Suy ra f ( )ay = ax’ nên ax’∈M’.Vậy với 0≠x’∈E’ luôn ∃a’∈R để 0≠a’x’∈M’.

2.1.7 Mệnh đề Cho (M i ) i∈I là một họ các R-môđun Giả sử với mỗi i∈I, E i là một

mở rộng cốt yếu của M i Khi đó i I⊕∈ E i là một mở rộng cốt yếu của i I⊕∈ M i

Chứng minh Đặt M= i I⊕∈ Mi và E=i I⊕∈ Ei Để chứng minh E là mở rộng cốt yếu của M

ta sử dụng Bổ đề 2.1.4

Cho x∈E là một phần tử tuỳ ý Khi đó x = (x1, …., xn), xk ∈Eik i1, i2,…, in∈I.

Vì Ei1là một mở rộng cốt yếu của Mi1nên tồn tại phần tử a1 ∈ R sao cho 0≠a1x1 ∈Mi1

Xét tích 0≠a1x = (a1x1, …., a1xn)∈E Nếu a1x1 là thành phần khác không duy nhất

của a1x thì a1x∈M và mệnh đề đợc chứng minh.

Trái lại, giả sử p là số bé nhất sao cho a1xp ≠0 trong dãy a1x2,….,a1xn Lại vì Ei plà

mở rộng cốt yếu của Mi pnên tồn tại phần tử ap ∈R sao cho: 0≠apa1xp∈Mi p Lúc này ta cũng có apa1x1 ∈Mi1 Nếu apa1x = (apa1x1,apa1xp) thì đó chính là phần tử

cho apa1xq ≠0 trong dãy apa1xp+1,…., apa1xn Tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta

2.1.8 Bổ đề Cho

σ : 0→M’→f Mg→M’’ →0

là một dãy khớp ngắn các R-môđun Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng:

(i) Dãy khớp ngắn σ là chẻ ra.

(ii) Tồn tại một R- đồng cấu f 0 : M→M’ sao cho f 0of = 1 M’

(iii) Tồn tại một R- đồng cấu g 0 : M’’→M sao cho gog 0 = 1 M’’

Hơn nữa, khi các điều kiện tơng đơng trên đợc thoả mãn thì ta có

M≅Imf⊕Kerf 0 ≅Kerg⊕Img 0≅M’⊕M’’.

Chứng minh (i)⇒(ii) Theo định nghĩa của dãy khớp ngắn thì để dãy

0 →M’→f Mg→M” →0

là một dãy khớp khi và chỉ khi ngoài điều kiện Kerg = Imf ta phải có f là đơn cấu và

g là toàn cấu

Hơn nữa, trong trờng hợp này ta suy ra M’ đẳng cấu với môđun con Imf = Kerg của

giả sử M’ là một môđun con của M với đồng cấu f là phép nhúng tự nhiên Vì dãy

Mặt khác, giả sử u ∈ Im f I Ker fo Vì u ∈ Im f, tồn tại u’ ∈ M’ sao cho u = f(u’)

Ta suy ra u’= fo of(u’) = fo(u) = 0 Điều này chứng tỏ Im f I Ker fo = 0

Vậy M = Im f ⊕Ker fo

(i)⇒(iii) Giả sử M = Ker g ⊕ L Ký hiệu j: Ker g →M là phép nhúng tự nhiên và

Ker g I L = 0, tức h là đẳng cấu Ta đặt go = joh-1 : M’’ →M Khi đó dễ dàng kiểm tra đợc gog0 = 1M’’

(iii)⇒(i) Hoàn toàn tơng tự nh chứng minh (i)⇒(ii) Ngoài ra, khi các điều kiện

t-ơng đt-ơng trong định lý thoả mãn ta dễ kiểm tra đợc rằng

Im f = Ker g ≅ M’ và Ker fo = Im g0 ≅ M’’.

2.1.9 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi

R- đồng cấu I  →E từ một iđêan I của R (xem nh R- môđun) vào E luôn đợc mở rộng thành một đồng cấu R  →E.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên từ Định nghĩa của môđun nội xạ Để chứng

không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng N là một môđun con của M

Cho (A, Φ) , (B, ψ ) là hai phần tử của Ω, ta xác định (A, Φ)≤(B, ψ ) nếu A⊆B và

(A1, Φ 1) ≤ (A2, Φ 2) ≤ … ≤ (An, Φ n) ≤ …

Các phần tử trong Ω Ta xét cặp (A,Φ) trong đó A =

1

n n

A

∞

=

đợc xác định bởi: với mỗi x ∈ A tồn tại một số tự nhiên n để x ∈An , khi đó ta đặt Φ

cấu mở rộng của Φ n , ∀n

I ={a∈R | ax ∈B}

h(a) = ψ (ax), ∀a ∈I

định nghĩa đợc một tơng ứng

Φ : B + Rx  → E,xác định bởi Φ (y+ax) = ψ (y) + Π(a), ∀y∈B, ∀a∈R.

Nếu y + ax = 0, suy ra ax ∈ B, tức a ∈ I Khi đó

ψ (y) + ∏(a)= - ψ (ax) + ∏(j(a)) = - h(a) + h(a) = 0

chất Φ(x) = ψ (x) = h(x), ∀x ∈N, vì N⊆B.Vậy cặp (B + Rx, Φ) ∈Ω.

đại của (B,ψ ) trong Ω và định lý đợc chứng minh W

2.1.10 Bổ đề Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp ngắn

0 →E →M →M’ →0 các R- môđun với M là môđun xyclic đều chẻ ra.’

Chứng minh Ta sẽ chứng minh một điều kiện mạnh hơn điều kiện cần của

Bổ đề 2.1.10 nh sau: Nếu E là nội xạ thì mọi dãy khớp ngắn

đều chẻ ra

hof = 1E và dãy khớp trên là chẻ ra theo Bổ đề 2.1.8

Ngợc lại, giả sử I là một iđêan của R và α : I→E là một R - đồng cấu Ký hiệu

ứng β : b a (0,b) + W, ∀b∈R, j *: x a (x,0) + W, ∀x∈E và

biểu đồ sau là giao hoán với các dòng là những dãy khớp ngắn

j p

0 I R R/ I 0

α β

j* p*

0 E P R/ I 0Vì R/ I là R - môđun xyclic nên theo giả thiết dòng dới của sơ đồ là chẻ ra, tức theo

Bổ đề 2.1.8 tồn tại một R- đồng cấu δ : P →E sao cho δ oj * = 1E Bây giờ, nếu ta xác định γ : R→E bởi γ (b) = δ o β(b), ∀b ∈ R khi đó: α = γ oj Điều này

nhờ tiêu chuẩn Baer W

2.1.11 Định lý Cho E là một R- môđun khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng:

(i) E là R- môđun nội xạ.

(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức nếu E’ là một mở rộng cốt yếu của

E thì E = E’.

Chứng minh (i)→(ii) Giả sử E là nội xạ và E’ là một mở rộng thực sự của E khi đó

theo Bổ đề 2.1.10 mọi dãy khớp ngắn

0 →Ei→E’ →M →0

cốt yếu của E

(ii)⇒(i) Dựa vào Bổ đề 2.1.10 ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu f : E  → F là một R- đơn cấu thì E phải đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của F Vì tính nội xạ của một môđun không thay đổi qua đẳng cấu nên có thể giả thiết thêm mà không làm

Khi đó mệnh đề đợc chứng minh nếu ta chỉ ra E’ là một hạng tử trực tiếp của F tức E

F / E’⊇ (E + E’) / E’≅E / (EIE’) = E

(E + E’) /E’ cũng không có mở rộng thực sự nào Do đó tồn tại một môđun con Y của F sao cho Y ⊃ E’ và Y / E’ I (E + E’) / E’ = 0 Ta suy ra YI(E +E’) = E’, tức

YIE ⊆ YI(E+E’) = E’

Vậy YIE ⊆ EIE’=0, tức Y ∈Ω Điều này trái với giả thiết cực đại trong Ω của E’

và định lý đợc chứng minh W

2.1.12 Mệnh đề Cho K là một môđun con khác không của môđun M, M là mở

rộng cốt yếu của A thì khi đó K là mở rộng cốt yếu của AIK.

Chứng minh Giả sử X là một môđun con khác không của môđun K, khi đó X cũng

⇒ ∃0 ≠ a∈ A I X ⇒ a∈ X và a ∈ A.

Do vậy a ∈ K ⇒ a ∈ ( AIK )IX ⇒ ( AIK )IX ≠ 0

Vậy K là mở rộng cốt yếu của AIK W

2.1.13 Mệnh đề Cho A⊂B⊂M nếu M/A là mở rộng cốt yếu của B/A thì M là mở rộng cốt yếu của B.

Chứng minh Giả sử X là môđun con khác không của M Nếu BIX=0 thì ta có

Vậy BIX≠0, tức là M là mở rộng cốt yếu của B W

2.1.14 Mệnh đề (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A⊂B⊂C và M là

mở rộng cốt yếu của A thì C là mở rộng cốt yếu của B.

(ii) Nếu M là mở rộng cốt yếu của A i , i= 1; 2;3; ;n thì M là mở rộng cốt yếu của

(i) Giả sử X là môđun con khác không của C khi đó X cũng là môđun con của M vì

Vậy C là mở rộng cốt yếu của B.

(ii) Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n.

Với i= 1 thì dĩ nhiên M là mở rộng cốt yếu của A1 Giả sử bài toán đúng với n− 1, tức

là ta có M là mở rộng cốt yếu của

1 1

n i i

A

−

=

An I X ≠0 Lại do giả thiết quy nạp ta có

1 1

n i i

A

=

I W

2.2 Bao nội xạ

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R- môđun Một R-môđun E đợc gọi là bao nội xạ

của M, nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M

2.2.2 Ví dụ Giả sử R là một miền nguyên với Q(R) là trờng các phân thức của R

Khi đó nếu xem Q(R) nh là R- môđun thì Q(R) là R- môđun nội xạ Dễ dàng kiểm tra đợc Q(R) là một mở rộng cốt yếu của R và do đó Q(R) chính là bao nội xạ của R

2.2.3 Hệ quả Cho E là một mở rộng của R-môđun M Khi đó các mệnh đề sau là

t-ơng đt-ơng:

(i) E là một bao nội xạ của M.

(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.

Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử E là một bao nội xạ của M, theo Định nghĩa 2.2.1 ta

suy ra E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M Theo Định lý 2.1.11 suy ra E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M

(ii)⇒(i) Giả sử E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M Theo Định nghĩa 1.1 và

2.2.4 Định lý Mỗi R- môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ Hơn nữa giả sử E

và E’ là những bao nội xạ của M Khi đó tồn tại một R - đẳng cấu f: E  → E’ sao cho f(x) = x, ∀x ∈M.

Chứng minh Theo Định lý 1.2.2 tồn tại một mở rộng F của M và F là R- môđun nội

xạ Bây giờ với phơng pháp hoàn toàn tơng tự nh trong chứng minh của Định lý 2.1.11 ta chỉ ra đợc sự tồn tại một mở rộng E của M là phần tử cực đại (theo quan hệ

chứng minh E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M (và khi đó E chính là bao nội xạ của M nhờ vào Hệ quả 2.2.3)

Thật vậy, cho E1 là một mở rộng cốt yếu của E Ký hiệu j : E  →F và j1: E →E1

là các phép nhúng tự nhiên Khi đó, theo tính chất nâng phổ dụng của môđun nội xạ

F, tức h(E1) ∈Ω Vậy, do E là cực đại trong Ω, h(E1) = E, tức E1 = E Điều này chứng tỏ E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M

các phép nhúng tự nhiên Khi đó theo chứng minh ở trên, tồn tại một R- đơn cấu

f : E →E’ sao cho i’ = f oi Vì g(E) ≅E, g(E) là môđun nội xạ , do đó theo Bổ đề

là một đẳng cấu và định lý đợc chứng minh hoàn toàn W

Từ nay trở đi ta sẽ ký hiệu bao nội xạ của môđun M là E(M) Khi đó Định lý 2.2.4 bảo đảm sự tồn tại của E(M) và nó xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu môđun

2.2.5 Chú ý Cho M là một R- môđun và E là một mở rộng nội xạ của M Chứng

minh của Định lý 2.2.4 cho phép ta suy ra rằng luôn tồn tại một bao nội xạ E(M) của

2.2.6 Hệ quả Cho f: M→N là một R- đẳng cấu và i: M→E(M), j: N→E(N) là các phép nhúng tự nhiên của chúng vào bao nội xạ tơng ứng Khi đó tồn tại một đẳng cấu g: E(M)→E(N) sao cho biểu đồ sau giao hoán

i

M E(M)

f g