Tính chất của môđun e đối cốt yếu và e địa phương

Tính cấp thiết của đề tài Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun.. Mộttrong các hướng để nghiên

MỞ ĐẦU .1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .2

4 Phương pháp nghiên cứu .2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Bố cục đề tài 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN .4

1.2 MÔĐUN ARTIN, NƠTE VÀ PHẦN PHỤ 14

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN E-PHẦN PHỤ VÀ

E-NÂNG 18

2.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN E-PHẦN PHỤ 18

2.2 MÔĐUN VỚI ĐIỀU KIỆN TRÊN MÔĐUN CON E-ĐỐI CỐT YẾU.28 CHƯƠNG 3 MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG VÀ MÔĐUN E-PHẦN PHỤ NHIỀU 33

3.1 MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG 33

3.2 MÔĐUN E-PHẦN PHỤ NHIỀU .38

3.3 MÔĐUN MÀ CÁC MÔĐUN CON CỰC ĐẠI CÓ E-PHẦN PHỤ NHIỀU .39

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2014

Học viên

Đoàn Thị Kim Chi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

A ≤ M : A là môđun con của môđun M

A < M : A là môđun con thực sự của môđun M

A ≤e M : A là môđun con cốt yếu của môđun M

A  M : A là môđun con đối cốt yếu của môđun M

A e M : A là môđun con e-đối cốt yếu của môđun M

A ⊕ B : Tổng trực tiếp

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay được phát triển mạnh

mẽ và có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun Mộttrong các hướng để nghiên cứu vành là đặc trưng vành qua tính chất củamột lớp xác định nào đó các môđun trên chúng

Việc mở rộng các lớp môđun là một trong những vấn đề đang đượcnhiều tác giả nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm

Tác giả Er và Nil Orhan đã nghiên cứu một vài thuộc tính của vànhhoàn chỉnh và nửa hoàn chỉnh thông qua môđun nâng Tác giả D.X Zhou

và X R Zhang cũng đã giới thiệu môđun e-đối cốt yếu và một số tínhchất của nó cũng đã được nghiên cứu Hơn nữa, năm 2006 Yousif – Zhounghiên cứu lớp vành δ-hoàn chỉnh và δ-nửa hoàn chỉnh đã đạt được nhiềukết quả và nó trở thành công cụ hữu ích để khảo sát tiếp các lớp vànhkhác

Tác giả Kosan đã giới thiệu khái niệm δ-phần phụ và nghiên cứu nhiềutính chất của lớp môđun này và mối quan hệ của môđun δ-phần phụ vàmôđun phần phụ Gần đây, tính chất cơ bản của môđun cốt yếu và e-cốt yếu cũng được nhiều tác giả chú ý đến để nghiên cứu các tính chấtcủa vành và môđun Tác giả Rachid Tribak đã nghiên cứu khái niệm củamôđun δ-địa phương và δ-phần phụ nhiều và cũng chứng minh được mộtvài tính chất của chúng

Dựa trên những kết quả của các bài báo đó, bằng phương pháp tương tựchúng tôi nghiên cứu lớp môđun e-phần phụ, e-nâng, e-địa phương Vì vậy,chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là : “Tính chất của môđun

e-đối cốt yếu và e-địa phương ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này là phát biểu một số khái niệm và tính chất củamôđun con e-đối cốt yếu và môđun e-địa phương nhằm tạo ra một số kết

quả làm cơ sở để khảo sát tiếp và mở rộng thêm một số thuộc tính củamôđun với điều kiện trên môđun con e-đối cốt yếu.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số thuộc tính của môđun con

e-đối cốt yếu và e-địa phương Áp dụng lớp môđun e-phần phụ và e-nângtrong lớp vành các số nguyên

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướngdẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm được, đồng thời

sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net, math.vn,

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về lớp môđun e-phần phụ,

e-nâng, e-địa phương và e-phần phụ nhiều

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệu thamkhảo dành cho học viên và một số người quan tâm nghiên cứu về Lý thuyếtvành và môđun

6 Bố cục đề tài

Mở đầu

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm và kết quả liên quan

1.2 Môđun Artin, Nơte và phần phụ

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN E-PHẦN PHỤ VÀ

E-NÂNG

2.1 Một số tính chất của môđun e-phần phụ

2.2 Môđun với điều kiện dây chuyền trên môđun con e-đối cốt yếuChương 3 MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG VÀ E-PHẦN PHỤ NHIỀU

3.1 Môđun e-địa phương

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáohướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêmtúc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, giúpcho tác giả tự tin hơn trong quá trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng và rènluyện khả năng tập dượt nghiên cứu khoa học

Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sựgiúp đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học ĐàNẵng

Tác giả cũng xin được cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán,Khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng và các bạn lớp caohọc khoá 26 tại Đà Nẵng, Sở Giáo dục và Đào tạo TP Đà Nẵng

Cuối cùng, do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi nhữngsai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầygiáo, cô giáo cùng tất cả các bạn

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nêu một số kí hiệu, khái niệm và các kếtquả liên quan đến đề tài và chúng được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo[1] và [5]

Trong toàn bộ đề tài này, vànhR đã cho là vành có đơn vị 1 6= 0, khôngnhất thiết phải giao hoán Các môđun được xét là các R-môđun phải

Định nghĩa 1.1.1 Môđun con K của M được gọi là cốt yếu (lớn) trong

M và được kí hiệu K ≤e M trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,

K ∩ L = 0 suy ra L = 0

Định nghĩa 1.1.2 Môđun conK củaM gọi là đối cốt yếu (nhỏ) trong M,

kí hiệuK  M, trong trường hợp với mọi môđun conL ≤ M,K +L = M

Do đóK ≤e N Ta lại cóK ≤ N nên0 6= L ∩ K ≤ L ∩ N vớiL ≤ M, L 6=

0 Từ đó, ta có N ≤e M Ngược lại, nếu K ≤e M, N ≤e M và L ≤ M

Ngược lại, cho H ≤e M; K ≤e M và L ≤ M sao cho 0 = L ∩ (H ∩ K)

Chứng minh Phép chứng minh của mệnh đề tương tự như Mệnh đề 1.1.3

Định lý 1.1.5 Cho M, N là các R-môđun Khi đó:

(1) NếuM có dãy các môđun con A ≤ B ≤ C thìB  C kéo theo A  M

f (K)  N Đặc biệt, nếu K  M ≤ N thì K  N

Chứng minh Cho L là một môđun con bất kỳ của N sao cho L + f (K) =

N Chúng ta sẽ chứng minh: L = N Thật vậy, với mọi m ∈ M, ta có

f (m) = f (k) + l Từ đó, ta có f (m − k) = l =⇒ m − k ∈ f−1(L) suy

ra m ∈ K + f−1(L) Điều này chứng tỏ M = K + f−1(L) Mặt khác,theo giả sử của chúng ta K  M vậy nên f−1(L) = M Bây giờ, chúng

ta có f (M ) = f f−1(L) = L ∩ Im(f ) = L ∩ f (M ) Điều này có nghĩa là

00 ⇐00 Giả sử L là một môđun con khác 0 của M và 0 6= x ∈ L Ta

có xR  M, do đó tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xR ∈ K ∩ L Vậy nên

K ≤e M

Mệnh đề 1.1.8 Cho K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M = M1⊕ M2.Khi đó:

Ngược lại, giả sửK1 ≤e M1 vàK2 ≤e M2 Khi đó, ta có∀0 6= x1 ∈ M1

do Bổ đề 1.1.7 tồn tại r1 ∈ R sao cho 0 6= x1r1 ∈ K1

Với 0 6= x2 ∈ M2 bất kỳ:

Nếu x2r1 ∈ K2 thì 0 6= x1r1 + x2r1 ∈ K1 ⊕ K2

Nếux2r1 ∈ K/ 2 thì doK2 ≤e M2 và0 6= x2r1 ∈ M2 nên tồn tại r2 ∈ R

sao cho 0 6= x2r1r2 ∈ K2 Suy ra 0 6= x1r1r2 + x2r1r2 ∈ K1 ⊕ K2.Theo Bổ đề 1.1.7, K1 ⊕ K2 ≤e M1 ⊕ M2

(2) Nếu M = K ⊕ L, M = N + L và (N + K)/K  M/K thì

(N + K)/N  M/N

Chứng minh (1) Xét môđun conX sao choK ∩ L ≤ X ≤ M vàM/(K∩L) = (K ∩ N )/(K ∩ L) + X/(K ∩ L) Khi đó M = (K ∩ N ) + X.Theo Bổ đề 1.1.9, M = N + (K ∩ X) Vì N/L  M/L suy ra

M = L + (K ∩ X) Áp dụng Bổ đề 1.1.9, M = X + (K ∩ L) và do

đó M = X Vậy (K ∩ N )/(K ∩ L)  M/(K ∩ L)

(2) Từ M = K ⊕ Lta suy ra M/K ∼= (K + L)/K ∼= L/(L ∩ K) ∼= L Từ

M = N + L ta suy ra M/N ∼= (N + L)/N ∼= L/(L ∩ N ) Ta có toàncấu chính tắcL −→ L/(L ∩ N )cảm sinh một toàn cấuφ : M/K −→M/N Vì N + K ≤ M nên khi đó φ(N + L/K) = N + K/N Mà

(N + K)/K  M/K nên suy ra (N + K)/N  M/N theo Mệnh

đề 1.1.6

Cho N là một môđun con củaM NếuN0 ≤ M là cực đại với tính chất

N ∩ N0 = 0 thì ta nói N0 là một M-phần bù của N Dùng bổ đề Zorn ta

có thể thấy nếu N ≤ M thì tập {K ≤ M |K ∩ N = 0} chứa một phần tửcực đại N0 Phần tử này có tính chất:

Mệnh đề 1.1.11 Mọi môđun con N ≤ M có một M-phần bù Hơn nữa,nếu N0 là một M-phần bù của N, thì

(2) Giả sử (N + N0)/N0 ∩ L/N0 = 0, trong đó L là một môđun của M

chứa N0 Khi đó N + N0 ∩ L = N0 Theo luật môđula ta có

N0 = (N ∩ L) + N0 suy ra N ∩ L ⊂ N0

Từ đó N ∩ L ⊂ N ∩ N0 Bởi vì N0 là M-phần bù trong M của N

nên N ∩ N0 = 0, do đó N0∩ L = 0 Từ tính tối đại của N0 suy ra

N0 = L Vì vậy L/N0 = 0, điều này chứng tỏ N ⊕ N0/N0 là cốt yếutrong M/N0

Một môđun con L của M được gọi là môđun con bù nếu nó là M-phần

bù của một môđun con nào đó của M Nếu L là M-phần bù của K, thìtồn tại K là M-phần bù của L sao cho K ≤ K Một môđun con K đượcgọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con H của M sao cho K ≤e H

thì suy ra H = K

Định nghĩa 1.1.12 Cho A và A0 là các môđun con của MR Khi đó A0

gọi là M-phần bù cộng tính (hay còn gọi tắt là M-phần phụ) của A nếu

đó ta có L = A0 theo tính cực tiểu của A0.

(2) ⇒ (1) Giả sử M = A + A0 và A ∩ A0  A0 Lấy L ≤ A0 sao cho

M = A+L Theo luật môđula ta cóA0 = L+(A∩A0) VìA ∩ A0  A0 nên

L = A0 VậyA0 là môđun con cực tiểu thỏa mãn tính chất A+A0 = M

Định nghĩa 1.1.17 Một MR được gọi là tổng trực tiếp trong của họ

(Mi)i∈I những môđun con của nó thỏa một trong các điều kiện tươngđương của định lý trên

Chú ý 1.1 Do tính chất trong Định lí 1.1.16 từ nay về sau thay chotổng trực tiếp trong ta chỉ nói đơn giản là tổng trực tiếp cùng với kí hiệuL

ta nói P là môđun con phụ của N trong M

Từ định nghĩa ta suy ra ngay:

N là hạng tử trực tiếp của M ⇔ ∃P ≤ M [M = N + P và N ∩ P = 0].Định nghĩa 1.1.19 Một môđunM được gọi là có tính chất phân phối nếuvới mọi môđun con A, B, C củaM ta cóA ∩ (B + C) = (A∩B)+(A∩C).Định nghĩa 1.1.20 Một môđun con X của môđun M được gọi là bấtbiến hoàn toàn nếu với mọi h ∈ EndR(M ) ta có h(X) ≤ X

Định lý 1.1.21 Nếu M = A ⊕ B và N là môđun con bất biến hoàn toàncủa M thì M = (A ∩ N ) ⊕ (B ∩ N )

Định nghĩa 1.1.22 Một môđun khác không TR là đơn nếu nó không cómôđun con không tầm thường nào

Định lý 1.1.23 Môđun T (khác không) là đơn nếu và chỉ nếu mọi đồngcấu khác không T −→ N (N −→ T) trong MR đều là đơn cấu (toàn cấu)

Định nghĩa 1.1.24 (a) Cho (Tα)α∈Alà một tập các môđun con đơn của

M Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là

M = L

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M

(b) Một môđunM được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.Sau đây là định lí đặc trưng cho môđun nửa đơn:

Định lý 1.1.25 Đối với một MR, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là nửa đơn

(2) M là tổng của tập nào đó các môđun con đơn

(3) M là tổng của tất cả các môđun con đơn của nó

(4) Mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M

Hệ quả 1.1.26 (1) Mỗi môđun con và môđun thương của môđun nửađơn là nửa đơn

(2) Ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là nửa đơn

Chứng minh (1) Cho B  M, C  B suy ra C  M

Vì M nửa đơn nên C là hạng tử trực tiếp của B Suy ra B là nửađơn

Cho M/H là môđun thương của M Gọi H là hạng tử trực tiếp của

M Khi đó ∃H0 ≤ M : M = H ⊕ H0 Do H0 ≤ M suy ra H0 là nửađơn (theo chứng minh)

Mặt khác ta có M/H ∼= H0 nên M/H là nửa đơn

(2) Cho A là môđun đơn và α : A −→ B toàn cấu Khi đó, A/Ker(α) ∼=

B Nếu Ker(α) = 0 thì B đơn, còn nếu Ker(α) = A thì B = 0.Căn và đế của một môđun là một trong những đối tượng quan trọngtrong việc nghiên cứu lý thuyết môđun và vành

Định nghĩa 1.1.27 (i) Tổng tất cả các môđun con đối cốt yếu củamôđun M được gọi là căn của môđun M Kí hiệu Rad(M ).

(ii) Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M được gọi là đếcủa môđun M Kí hiệu : Soc(M )

Mệnh đề sau đây cho ta một cách định nghĩa khác của các khái niệmcăn và đế của môđun

Mệnh đề 1.1.28 (i) Rad(M ) là giao của tất cả các môđun con tối đạicủa M

(ii) Soc(M ) là tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M

Định nghĩa 1.1.29 Một MR được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tậpsinh gồm hữu hạn phần tử Nói các khác, M là hữu hạn sinh nếu có cácphần tử nào đó s1, s2, , sn ∈ M sao cho M = s1R + s2R + + snR.Định nghĩa 1.1.30 MôđunMR được gọi là hữu hạn đối sinh trong trườnghợp với mọi tập Γ là tập nào đó các môđun con của M, nếu

Định nghĩa 1.1.31 Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun thì

U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M-xạ ảnh) trong trường hợp vớimọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu ν : UR −→ NR tồn tại một

R-đồng cấu ν : U −→ M sao cho giản đồ sau giao hoán:

giản đồ sau giao hoán:

Số hạng tử khác không lớn nhất của tổng trực tiếp các môđun conM

được gọi là số chiều Goldie (hay chiều đều) của M và được kí hiệu là

Gdim(M ) (hay U dim(M ))

(2) Cho R là vành tùy ý, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldiecủa RR và chiều Goldie trái của R là chiều Goldie của RR

Nhận xét 1.1.35 Gọi N là một môđun con của môđun MR

1 Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun M thì M có chiều đềuhữu hạn nếu và chỉ nếu N có chiều đều hữu hạn, và trong trường hợpnày Udim(M)= Udim (N)

Ngược lại, nếu M có chiều đều hữu hạn và Udim (M)= Udim (N),thì N là môđun con cốt yếu của môđun M

2 Nếu M = M1 ⊕ ⊕ Mn thì M = U dim(M1) + + U dim(Mn)

3 Giả sử N và M/N đồng thời có chiều đều hữu hạn Khi đó M cóchiều đều hữu hạn và U dimM ≤ U dim(N ) + U dim(M )

4 Nếu M có chiều đều hữu hạn thì mọi môđun con của M có chiều đềuhữu hạn

1.2 Môđun Artin, Nơte và phần phụ

Định nghĩa 1.2.1 (1) Tập Γ các môđun con nào đó của M được gọi

là thỏa mãn điều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thườngđược viết tắt là ACC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤

trong Γ, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, )

(2) Tập Γ các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiệndãy giảm (descending chain condition, thường được viết tắt là DCC)trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong Γ, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, )

Định nghĩa 1.2.2 Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗngcác môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại

Định nghĩa 1.2.3 Môđun MR được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗngcác môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu

Sau đây là một số tính chất đặc trưng của môđun Artin và Nơte.Định lý 1.2.4 (I) Các điều kiện sau là tương đương:

(a) M là Artin,

(b) A và M/A là Artin,

(c) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con,

(d) Mỗi môđun thương của môđun M là hữu hạn đối sinh

(II) Các điều kiện sau là tương đương:

(a) M là Nơte,

(b) A và M/A là Nơte,

(c) M thỏa mãn ACC đối với tập các môđun con,

(d) Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.2.5 Cho U là một môđun con của môđun M Một môđuncon V ≤ M là một phần phụ của U trong M nếu V là một phần tử cựctiểu trong tập các môđun con L ≤ M với U + L = M

Mệnh đề 1.2.6 V là một phần phụ của U nếu và chỉ nếu U + V = M

và U ∩ V  V

Chứng minh Nếu V là một phần phụ của U và X ⊂ U với (U ∩ V ) + X =

V thì ta có M = U + V = U + (U ∩ V ) + X = U + X, do đó X = V theotính chất cực tiểu của V Do đó U ∩ V  V

Mặt khác, choU +V = M vàU ∩ V  V Cho Y ⊂ V vớiU +Y = M, ta

cóV = M ∩V = (U +Y )∩V = (U ∩V )+Y (Luật môđula), do đóV = Y.Vậy V là cực tiểu trong tập các môđun con L ⊂ M với U + L = M.Định lý 1.2.7 Cho U, V là các môđun con của M Giả sử V là phần phụcủa U Khi đó:

(1) Nếu W + V = M với W ∩ U thì V là phần phụ của W

(2) Nếu M là hữu hạn sinh thì V cũng là hữu hạn sinh

(3) NếuU là môđun con cực đại của M thìV là xyclic vàU ∩V = Rad(V )

là một môđun con cực đại duy nhất của V

(4) Nếu K  M thì V là một phần phụ của U + K

(5) Cho K  M ta có K ∩ V  V và Rad(V ) = V ∩ Rad(M )

(6) Nếu Rad(M )  M thì U được chứa trong một môđun con cực đạicủa M

(7) Cho L ⊂ U, (V + L)/L là phần phụ của U/L trong M/L

(8) NếuRad(M )  M hoặcRad(M ) ⊂ U và nếup : M −→ M/Rad(M )

là phép chiếu chính tắc thì M/Rad(M ) = p(U ) ⊕ p(V )

Chứng minh (1) V là một phần phụ của U và W ⊂ U sao cho (W ∩

V ∩ RadM Vậy Rad(V ) = V ∩ Rad(M )

(6) Cho U ∩ Rad(M ) 6= M khẳng định rõ ràng Nếu U * Rad(M ),khi đó theo (5) Rad(V ) = V ∩ Rad(M ) 6= V Từ đó, suy ra có mộtmôđun con cực đại V0 trong V Khi đó M/(U + V0) ∼= V /V0 Vậynên U + V0 là môđun con cực đại trong M

(7) Cho L ∩ U ta có U ∩ (V + L) = U ∩ V + L (luật môđula) và (U/L) ∩[(V + L)/L] = [(U ∩ V ) + L]/L Vì U ∩ V  V suy ra [(U ∩ V ) +L]/L  (V + L)/L (ảnh của một môđun con đối cốt yếu) Ta lại có

(U/L) + [(V + L)/L] = M/L Vậy (V + L)/L là phần phụ của U/L

trong M/L

(8) Nếu Rad(M ) ⊂ U thì theo (7), p(U ) ∩ p(V )  p(V ) Ta cũng có

p(U ) ∩ p(V )  M/Rad(M ) và do đó p(U ) ∩ p(V ) = 0

Định lý 1.2.8 Cho K ≤ L ≤ M là các môđun con

(1) Nếu L là một phần phụ trong M thì L/K là một phần phụ trong

M/K

(2) Nếu K là một phần phụ trong M và L/K là một phần phụ trong

L0)+K0 vàM = L+L0 Ta có L+(L0∩K0) = L+(L0∩L)+(L0∩K0) =

L + (L0∩ ((L0 ∩ L) + K0)) = L + (L0 ∩ K0) = L + L0 = M

L = L ∩ (K + K0) = K + (L ∩ K0) (luật môđula) và (L ∩ L0)/K L/K Từ đó, ta suy ra (L ∩ L0∩ K0)/(K ∩ K0)  L/(K ∩ K0) Điềunày có nghĩa là L ∩ L0 ∩ K0  L VậyL là một phần phụ củaK0∩ L0

trong M

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN E-PHẦN PHỤ VÀ E-NÂNG

Trong chương này, bằng cách lập luận tương tự, chúng ta nghiên cứu sự

mở rộng của môđun cốt yếu, đối cốt yếu; môđun nâng; môđun phần phụ

Cụ thể là các khái niệm và một số tính chất của môđun e-cốt yếu, e-đốicốt yếu; môđun e-nâng; môđun e-phần phụ

Ngoài ra, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của môđun với điềukiện trên môđun con e-đối cốt yếu

Các kết quả trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [3] và [6]

Định nghĩa 2.1.1 Môđun con N của M được gọi là e-đối cốt yếu trong

M (kí hiệu N eM) nếu N + L = M với L ≤eM thì L = M

Mệnh đề 2.1.2 Cho M là một R-môđun phải

(1) Giả sử N, K, L là các môđun con của M

(a) Nếu N eM và K ≤ N thì K eM và N/K eM/K

(b) N + L eM nếu và chỉ nếu N eM và L eM

(2) Nếu K eM và f : M → N là một đồng cấu thì f (K) e N Đặcbiệt, nếu K eM ≤ N thì K eN

(3) Giả sử K1 ≤ M1 ≤ M, K2 ≤ M2 ≤ M và M = M1 ⊕ M2 Khi đó,

K1 ⊕ K2 e M1 ⊕ M2 nếu và chỉ nếu K1 e M1 và K2 e M2.Chứng minh (1)(a) Cho L là môđun con cốt yếu của M sao cho K + L =

M Theo giả thiết, ta có N eM nên từ N + L = M với L ≤e M ta suy

ra L = M Vậy K eM

Cho L là một môđun con của M giả sử L/K ≤eM/K và L/K + N/K =M/K ta cần chứng minh N/K eM/K Thật vậy, từ giả sử của chúng

ta, suy ra N + L = M và L ≤eM Do đó L = M vì N eM Từ kết quảnày, ta cũng suy ra được L/K = M/K Vậy N/K eM/K.

(b) Chiều (⇒) suy ra ngay từ (a)

00 ⇐00 Giả sửK ≤eM vớiN +L+K = M vàL + K ≤eM VìN eM nên

M, khi đó (X + A) ⊕ Y0 ≤eM Từ X + A + Y0+ N = M vàN eM tasuy ra X + A + Y0 = M Vậy X + A = X ⊕ A là hạng tử trực tiếp của

M Mặt khác, X + A + Y0 = X + Y ta suy ra A + Y0 = Y nên A là một